Isaaci Monachi Scholia In Evclidis Elementorvm Geometriae, sex priores libros

31쪽

Qttultione nou autem in cogitatione. Dul enim vi cogitarum de insinito forni ter terminum ac

tur excursus eunt iliariat.manente aut imaginatio

ne id quod animo conceptam it, indefinιtu perm4,net, e tanquam nullas puries habens o menteis comprebensibile iuuii ni quam in infuitim esse relinquuuri tem)nis1iis cogussit, tenebras non uidendo sic etiam imginatio, non cogitando, iam nitam determinat. dissim quod tangitam incurio prebensibile relinquit: appostatur in tu . Quapropter cin petimus datam lineam in uiatam: imaginationeso bocfacimus uter alιM pe, cies geometris hoc modo infiiitGponimus trigora nquam, circulos, 4ngulos, lineas unde mirari desinamus, qua ratione flat: ut actu recta lineas imo finita.

PROPOSITIO DECIMA

, tertia.

rem super recta constituti mee decimatertia I propositio est ibeorema non enim docri quomoad aciendisint anguli recte, uel obtusi, uelacuti iar inproprium problematum. eda gulos iam con stilatos ver aliqua recta uaut C demonstrat eos Rhel nos rector uel duobusrectis aequales com Aram n μι demi traiουν quem problca

32쪽

imata.

Quid etiam in propositione duodecima,dumfostperpendiculuris in rectam subie&im quaeanguis contiguos facit rectos: proxun ierat quaerere quodit non fuerit perpenticulariter ducta quales nainfaciet angulos o quomodose habeat rectas per altera conflauta adiubiectam reillam. Vniiinsaliter ergo demon Prat,quod omnκ rem supercilia recta constituta: ita ut ungulasfaciat si in neutram partem declinauerit erere iafuerit normaliter duos inquum angulos rectosfaciet ed stinatiterum partem magis inclinauerit: ab ultera parte pla distiterit,duobus rectis aequales angulos aciet. Quant anim abundpurae,recedit ab angulo reis

Ela: tantum adjcitreliquo uo excessu. Non uero simpliciter dixit rem super rem stans angulo facit duos rectos, uel duobM rectis aequales besadieeit si angulos fecerit. Nam re Etasi ad extremitatem rectae subiectae fuerit constituta: angulam quidemsed non angulas faciet itus

feri nequit utunus angulus duobM rectis aequalis t. Omnκ enim ungulus rectilineus, etiam ualdeoblia quis: mino: est duobus rectis: sicuti omnis angulas solidin quatuor recti minor est etiam Dum eris angui obliqui mis tumen messurum duoσι rectoram angior nunquam tabeqgetur, ma propicr.

33쪽

PROPOSITIO DECIMA

quarta. SI ad rectum lineam mecima quarta propositio etia theoramis et conuertitur cu decima tertia. quia semper theoremta conuersi sequuntur ua beoremata antecedentia, cium quibm conuertuntur m

quibus unum est datum.nam si plurafuerint data: μ- penu'nero multis alijs interpost post antecede tem propositionem conuersa tandemsequitur: ut uapra in quartu er octua factum fuisse ostendimin.

Postquam ergo in praecedenti theoremate demon strauit: quod rectasuper rectastatis,si angulos ieceririt: uel duos iaciat rectos, uel duobws rectis aequales. nunc demonstrat quodsi adremm quandam, duae rectaepositaefuerint: haec 'ecfecerunt: uti a bari At propositio: quapropter id quod in altero fuit da tum: nn adteros quaesitum Demonstratur etiam per reductionem ad imposibile buc enim demo strandi ratione gaudent conuersae propositiones. Digna etiam est admiratione,certitudo haec fien

tiariam postquam enim dixisset. Si ad rectam aliis quam, adiecit crisiuic ad punctum quod in ea est. Alscilicet rectae illae ab unosint ductaepuncto quod plenim ex duobus punctis extremis data rectae, alia dua

34쪽

interse.

Postea addidit erillud dae continue,quasi dicat. ister quas nihil aliud simile interposituam est sicuti

columnas contiguisnominamim inter quas nulla alia media posita est etiamsi de interponatur attasmen uer non steiusdem cium columna generis, ideos non dicitur columnςsontium. Praeterea adieciter boc non in easdem partes Dactae Negatione ostendens, quod in urramas partem Aut ducendae lineae rectae,Cr ponendae tales enim ρορ terunt, angulos contiguos duobM rectis aequales D-cere: Crae directo positae esse demonstrari. Namst ex ij dei partibus fuerint positae non e directo eis runistra: etiamst duobusrectis aequales angulasse ciant ais haec debac propositione. In delineutione uero utiturfecundo postulato. is demonstratione , praecedentι tbeoremat σχω obus axiomatibM: fecundo C tertio dis ad redus monem adabsurdumfacisndum sumit hoc iom Totum est maius sua parte sed er aequalis quod fierinequit. QRure rectae illae lineaefiunt ducendae mitramc partem qim faciunt duos angulos duobws rectu aeis quales ab uno ductae puncto: Crundin banc alteram alteram protrum partem: e directo collocab na

35쪽

PROPOSITIO DECIMA

I duae linea rectae aciendum quod angulidduer istema feratu ab at ulu contigμου quia anguli

contigui Dut inter se uicini necauinin interposita gulam babent ed anguli aduerit en unum intero medit relinquunt praeterea auguia contigui leuinclaifunt: quando recta super redri L cerit inusti, eatarauguli uero aduertice tria fiunt Ἀρα utri secante. ael rectissest nul es, sit bus Appellanturdutem anguli G criti emi quia veratices habenim unamitim sp u inretiaci L. PIoetheorema non balnis xessi: .es C Omnia

tinterbe aequales:st duae rectae sese mutuo ecant: quod cum esset demtanstrandum peracta demonstra elone: simul idemοUratum quatuor anxios,

aequis essequatuorungulis rectis. Est

36쪽

scuo LIA. st igitur Orsina theorema quod per ulterivi theorematis demonstrationem: er ipsum quos strimul demonstruturmidemur enim quo dum casu quasi

in ipsa incidereporimata. quia nec uolcΗtibus, nec lauestigantibus,nobis obuiusunt portinatu Iroecuridaitase vivificientia natura Criis, profert et gene/rubuiusmodipori'uta: ex antecedentibus demo se strationibus: c declarat abundantiam illam theore maturm , quae in his est scientijs. Sunt autem quaedum poristinata geometrica,ut haec eralia plura quaedam arithmetica, cuiusmodi

lib. . propositionesecunda bubemispori indaritb

PROPOSITIO DECIMA

sexta. TN omni trigono)Haec decimasextistbeoremdaee nos docet,quod I in quovis trigono vnulatu pro traxeris,ungula qui extra trigon constituetur,inuenies maiorem, angulo interno opposito. Necesse fuit, ut hunc conferret cium ungulis oppostlismon autem c angulo contiguo,qui ei sinterne iuxtapoeytM. Is enim potest angulo externo esse aequatus, σeo minor. Numflfuerit trigonin orthogoniam, atq; unmn latus eorium quae ungviam rectum contionent protractwm fuerit: tum internus er uicinisan

37쪽

extern minor erit interno contiguo quapropter inquit angulis internis oppositis maior erit quid in .. propositionibus sequentibus demonstrabit bunean, gulium duobii ualem Criangulos duobuη rectis nores denis tres angulos duobκε rectis aequales Habemus itus uium er methodum in bis, qua ratisis negenerationes eram nobis in o pectura adferant, verus quaestionum causas.

PROPOSITIO DECIMA

septima. TN omni trigono Indesinite in hoc theoremate deis cimostptimo demonstrat: quod duo unguli quovis modo sumpti in trigono sint duobus rectis minores.sed insequentibus desinitive docebit: quanto sint mi, nores scilicet reliquo trigoni angulo. siquidem tres sunt duobus rectis equules unde duo sunt reliquoi minores duobuε rectis.

PROPOSITI DECIMA

octaua. IN omni trigonos Per quintum σβextum Geoream: didicimus quod later aequalitas efficiat an- gulorum aequalitatem quos latera aequalia subtenis sint e uicissim anguIorum equalitas: esciuitiis terum ubtendentium equalitatem. In hoc uer theoremate docet: quod Dequalis

38쪽

em lateram,confiequatur angulorum quos titeri, aequalia ubtendunt inaequalitas e conuersae deis monstrat in theoremate sequenti: cmpe quod Anaei qualitatibus angulorum,subsequantur latervim subotendetim inaequalitti demonstratafuit duabinpropositionibus idq; per conuersionem est factaem Ita

etiam mequesitisborum auobus theorematibus per conuersionem dcmonstratur. AEqualitas itas angulor er laterin conueaniebat aequi luteris er equi cruru trigonu inaequacillas uero scalen κὰτ aequicruris uerim inficatenis trigonis,diuidemus maximiam latin, σfaciemus trigonmm equis rum,ais inaequalitatem angulor demonstrabimin.

PROPOSITIO DECIMA

Nomni trigono viaec conuertiturcium praecedens βιipropositione.

PROPOSITIO VICESIMA.

N omni trigono mo theorema Epicurae solene irridere. aiunt enim hoc etiam Uno esse omnino twm nec ulla indigere delineutione. Diciminers go quod hoc theorema quoadsensum uideatur not et mali est esse sed ea ratione manifestrum ut noo tum It modo quodam scientiis conuenienti. Vt

ignem calefacembensibiu est manifest sed quomo

39쪽

Is AAc MONACHIdoer quibus de causis calefaciat, incorporalipotenσtta, aut sectionibuε corporeu,partibusθbaericis,uel Drai nidulibus hoc inquam tant scientiariam est olsci ci ut explicent e demonstrent.

PROPOSITIO VICESI-

ma prima. Q in trigono Hoc theorema dcmonstraturpe das theoremat uicesimi ,C decimini extam. Num ut demonstret, rectas duas intra trigonium constituitu esse minores, quam quae latera trigonisunt extetariora: indiget o propositione in qua demonstruo turduo latera reliquom lora esse Verum adfaciisendum demonstrationem eiu3 quod angulium comprehendunt maiorem: assumit,spropositionem. in qua demonstratrum fuit,quod in omni trigono uno latere producto angulas externus angulo interno opposito sit maior. Necesse tumensuit Euclidi addere bee uerba: ab extremitatibuε ipsius basis interne constituenda esse dudire ,tion autema partibus aliquibus ipsius bassiquid recteque ab extremitatibus basis non duacuntur sed a partibuleius aliquibwshetiam continere possunt angulo externo aequalem uel minorem unx

PROPOSITIO VICESI-

40쪽

scHOU g. EX tribus rediis lineis diti problemate ubet Euclides constituere trigonum ex tribus lineis rectis,quae datis trib. recti, sint aequales, gulae MMImundunt eraddit distinctionem, non simpliciter dandu esse rectas lineas)sed necesse est inquit ut duae sint maiores tertia:quouis modosumptae propterea quod in omni trigono duo laterusint maiora tertio. ideos er hoc in loco nisi duo latera nitertio malo,

iora non constituetur trigon . Hoc autem problema est ex numero definitor problematum, no indesinitorium:utem unt braoremata definita er indefinita: Ita etiamsuntprooblemata duplicia. Nam ne dicimus,Ex tribuου reictis quae datis rect unt aequales trigonaem constituere definitim problema est,er hoc quod proponitur,nequitferi quod si uero addamus uas debere esse tertia maiores: es quouis modosumuntur: duae ex bis tribus id quod ipse sumptio ostendet est se problema desinitim:erpoterit feri talis trigoni constitutio.

matertia.

Λ Ddutum re hamo Si utemur delineatiotrepropo sitionis praecedentis,nulla diligenti habιta cauatione: tum inuentetur quidem angulus aequalis,uerar non ad datum punctum. sed uel ad alterum exo