Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis inter quotcunque variabiles, complete integrandi

5쪽

Methodus generalis,

aequationes differentiarum partialium,

., nec non

aequationes differentiales vulgares,

utrasque Primi ordinis inter quotcunque variabiles, complete integrandi

6쪽

nter ius ilia laventa, quibus sagacissimus a Grange Analysin auxit, re

renda est melliodus generalis, aequationes disserentiarum partialium inter tres variabiles integrandi. Cuius integrationis investigationem dissicultat haud caruisse, ve exinde intelligere Iicet, quod uterus, peritissimus caIculi artifex, in Ionga harum aequationum pertractatione Calc. Integr. Ol. III. P. 3 - 178. casus tantum particulares, non ratione uniformi, sed variis a

tisiciis usus, solutos dederit, ipse consessus p. sese Iongissime adhuc a solutione probleniatis generalis distare quum quidem Eurexus notionem Dina satis generatim genuinae harum aequationum indolis ninnis concepisse videatur, a Grangius mesiodum auam exinde deduasit, quod easdem ex principio uni mi ex generali contemplatus furit sit nimirum, meliod d, riabilium My - , - - , tum Vulgo constat, aequationem disserentiarum partialium inter tres variabiles nil aliud esse, quam relationem datam interis, , , , , e qua qui eritur relatio inter x, . . Iam cum sit det, dx D dy, a Grange Onesiderat 1ian aequationem Ceu aequationem disserentiaIem inter tres quantitate X, , , quae Praeterea qURntitatem p tanquam hinctionem indeterminatam ipsarum trium variabilium invoIL

7쪽

vit. At vero conr,tat, ut talis aequatio integrabilis sit, seu certam inter tres

variabiles aequationen finitam inserat, inius coementes non a Iulutiunsumi posse, sed certam iter eos. Mationem requiri. Ex hoc criterio int grabilitatis sive realitatis interiis in s 'o petenda est determinatio coes nolentisi, tanquam lanctionis o, Quo comoenis rite determinato his drinceps integratio aevintionis pdW--dy, secundum regulas

aliunde cognitas, praebet relationem quaesitam inter x, E. Quod mino dete minationem τώ p attinet. xaedicta conditio integrabilitatis demio deducit alaequationem disserentiam1 in partiali uin inter cluatuor variabiles, quae auta n est Iinearis quotielites dis rentiales in prima tant utra dimensi brae Continens. quamque igitur ex principiis aliunde a La Gran ὲio demonstratis memi ires

do Adad. de Berlin i s integrare licet In lino solutio in restabat dissicultas, a qua diu se vexatum fuisse, ipse La Gmingius confitetur cum nimirilini ceu functio trium variabilium, ' detur pex aequationem disserentiarum pretiissium, huius in ratio ex lege nota im olvit functionem

. arbitrariari duarum quantitatum quum tamen determinatio es tanquam iunctionis duaruni variabilium, et , unctionem a itrariam unius tantum quantitatis admittat. Hanc ipsam difficultatem atque contraditionem appa-xentem feliciter tandem enodavit a Grange ostendiiqiae ratiociniis ingeniosis, quomodo functio ista duarum quantitatum, quae natura sua infinitie I tior est quam lanctio arbitraria inius quantitatis, ad huiusmodi sunctionem unius variabilis revocetur.

Ceterum alii AnaIystae, qui methodum a Grangianam applicationibus imuiramini, viii Heberri semenso γ vires de Acad. do Paris. Anne a b . P. 33 . . praedictam dissicultatem haud animadvertemini' , vel silentio praeteritiiseriint, serie, quoniam eadem desectus minus essentialis nim odi psius videri poterat, quippe ire applicatione methodi non necesse erat, aequationis auxiliaris pro P integrale completilin invenire, quod functionem

arbitrariam duarum quantitatum involvisset , verum valor ἐirticularis, vel ad complete integrandam aequationem ipsam propositam sincere jam poterat. Quum praedicta ratione integratio aequat tomun dat entiarem pari

8쪽

tiali ii primi ordinis intex tres variabiles pro consecta et omnibus4nmoias absoluta sit habenda, aliter Te se habet, si quaratio a ritii de ii attio valptiiribus variabilibus EuIerus, qui nequationes inter tres variabiles si νε, quod perinde est investigationen functionem duarum variabilium, ampla pertractaverat, Pro quatuor Variabilibus Pauca tantum exempla resolvit

l. c. p. q23 - 40, quibus ipse non nisi prinia elementa huius scientiaoeontineri sis emit, et casum quinque variabilium ob penuriam materiao

quae sunt ri summi verba p. 45 . , ne stringero quidem voluit. Ipse dei ops a Grange Mem do Boi i 9 3, Analystae, vestiti m HOUU- de Paris a 84, p. 556. , o Gendo si α), casus valde limitatos in hoc genere contemplati sunt, qui quidem facile vel ad amua

tiones inter tres variabiles vel ad aequationes lineares reduci possunt, quam formam simplicissimam pro quotclinque variabilibus antegrare docuerat LaGrange CII 'na. l. c. .

Guod si quidem methoduri modo antea iiDdatum a GrangianaIri, aequationes disserentiariun PartiaIlium inter tres variabiles generatim et comis

plate integrandi, ad plures variabiles extendere conemur mox ad inextric bile, dissicultates ambinnir undis seste accidit, ut Analystae hactenus quantum equidem sesam hanc applicationem nondum tentaverint. Quibus perimotus disimitatibiis equidem satius duri, totam aequationes disserentiarum partialium considerandi rationem, ex qua meri diis . Grangiana originem durie, deserere, atque aliud principium in auxilium vocam ex quo etiamsi

per se simplicissimo, hactenus tamen istae aequatiotio nondum consideratae fuerunt, Nodqtie revera, nisi iam aliis subsidiis iungi retiiri parum fg tfrugi semini. et Iriationes nimirum lis irentiarum partiali uiri Conteniplar Iicet tanquari aequationes ille Ientiater, vulgaris generis tritriclitas inter phires

variabiles, quam quae principaliter occurrunt, ipsis scilicet quotientibus

disserentialibus p q, etc. variabilium loco habitis, quarum disserentialia Np, q. . . ideo desunt, quoniam ea in aero ducta esse censentur. Ita a Milo a seid cri qd - pax εχ in F ,-- equatit inter quatuor variabiles My M p;. enim est quontit' a reliquis quatuor quantitatibus. ex hypothesi, data ratione dependens Sio in genere nequatio disserenti inimi artialium inter in variabiles considerari Poteit anquam aequatio disseronitalis vulgaris inter m- variabiles si in variabilibus principalibus n . . . adjiciantur in Variabiles acce Foriae P, m . . cum o

9쪽

currant m - 1 quotientes clisserentiaIes, quorum autem unira, Per reliquos

quantitato dat ira, non in computum venit Ianx' vero Mongius Lis jampriden docuit contra 'muonem antea vulgo receptam, immitiones iusso imitiales, quae criteri, sic dictis integrabilitatis haud satias ciant haud pro surdis lin idas vis'. est potius easdem reveri integrationem admittem, modo non per unain aequatiomem sinitam vervin per systema plurium aequa timium in egregia observatis si in nostro problemate adhibeatur, considerandum est, quod solutio aequationis dissaerentiarum partialium essemtialite exigat expressionem unius variabilitim principalium per reliquas. Quare variabiIes accessoriae P. q. etc. in Computum ingressae iterum sunt

Eli minandae'. quarum numeriIs cram sit - , numerus aestuationum, qua X Im systemate integratio concinetur, non maior esse lebet quam

quod cum ita saerit echis in a aequationibus eliminando variabiles a cessorias remanet aequatio. His intex ipsas variabiles pris 3Mes M. in hoc rio ardo dissiculiaris versatur Nainque si ui evidens est, aequauinni- inerentialem inter tres variabiles per systema duarum aequationum se ex eis integrabilem, ita linua dissiculte intelligitur, idemque a Mongio explicatvi est l. c. p. 533, 34. , aequationem disserentialem inter variabiles regulariter, salvis ex tionibus singularibus, per systema

aequationum integrari posse. Ita nos in nostro casu Ioco desideratarum in I aequationum nancisceremur a m et aequationes integrales i. e. iusto plures qua hus finem propositum neutiquam assequi lioeret. Sic igitur nostra aequationes disserentiam1 paeta alatini consideranda rati sterilis omnino laxet,

neve aliud quidquam suppeditare videretur, quam inrictionem Problem ii, simplicioris a problema magis complicatuni. Etenim quanquam aequationes di entiamni partialium rite conside rentur tanquam aequationes dis . Ditentiales vulgares, ex aliis tamen parte hae posteriores longe latius a me α. et contra illa ha Drmam tantum simplicissimam ostendunt. Quara opinio 'veri aliqua specie haud carere videretur, quod Arma simplicissima ceu casus ungula as acceptus ex systema paucis tu aequax uim integrari

e Haud congrua sunt quae Euterus di a viati in hiis disserentialibus Inter P a variahil eritiis io integrabilitatis non respondentibus statuit, siquod eae ama ab Mimiae, nihil Plane significantes, in

10쪽

queat, nisa rima generalis Attamen rem te ira habere, accuratior consideratio a quationum differentialium vulgarium inter quotcunque variabiles me docucit, sicque pervena ad propositionem novani et illi quidem

inexpectatam, quod quaevis aequatio disserentialis viagaris primi ordinis inter et et variabiles semper per systema n aequationum vel pauciorum integraxi possit. Ex qua propositione generali, quae natiuam in rnm aequationum hactemu etiam post laudatam Issono observationem laudsatis perspectam magis illustrare videtur, sponte quoque consequitur ceu corollarium particulare, solutio aequatio ac direntiarum partialium inter quotcunque variabiles complet .

Quae iactenus liniverse diutibiata clariorem Iucom accipient εἰ ea primum ad casuIn simplicissimum, scilicet aequationes disserentiarn parti lium inter tres variatilles, applicemus. Et enim quanquam hoc problema jam a L. Grangi solutim sit, Ipsa tamen expor illo inventoris Lewn I. c.

a dubiis non omnino libera, novaque egregiae hujus solutionis deductio et illustratio haud prorsus M inua euo videtur, quae quidem a Noahendo aeriterio sic dicto intinabilitatis, nec iunde supposita iam integratione aequa-iimium linearium, transsorinatione tantum simplici aequationis primositae generalis brevitex absolvitur in qua porro deductione , --- rein singulare, T. Grangi sagacitate detectum, ab ipso tantum ad enodandam dissicinatorisOIutioni adliaerontem in auxiniim vocatu in quodque accessorium ac veluti accidentale videri poterat, iam directe et principaliter investigatum, atque ex ipsis calculi sontibus haustum pro funda trient totius solutionis aequationum disserentiarum Partialium inter ues variabiles ponitur.

Priusquam autem rem ipsam aggrediamur, praemone idum est, in onis ni hac disquisitione supponi tanquam cognitam integrationem aequationum disserenitalium inter duas variabiles, quam altem po approximationem ope serierum in potestate esse constat. Quae quidem integi ni ab omnibus An, lassis qui aequationes durerentiarum partialium tracta mih postulatur

vero