장음표시 사용
51쪽
ad Elimenta Verum xIter est usus sitis theoremat;s nunquam fatis praedicandus , silicet co Uructio tabularum
1inuum, tangentium ,& secantium : euius conss ruinctionis unicum proferemus exemptum , quo harum tabularum artiscium quoquo modo adolescentibus innotescat.
- Deseripto eireulo A E D F B C R fi . . a. tab. 4,Er radio AB circumferentiae applicato ex E in κ , ductoque latere A K, erit triangulum H Ax aequi Laterum ; atque iis singuli illius anguli erunt inia ter se aequales , sive singuIi erunt 6 o. graduum iEissecto igitur latere seu eborda Η in duas paristes aequales , eriν arcuF BC 3Q. graduum . . Quoniam vero radius vulgo ponitur partium Io oo oo oo , erit eborda Cκ ipsi aequalis totidem partium: quare ipsius dimidium H I , quod vi sinus arcus SC , per dejinitionem II. ιib. 3. erit
Iam vero in triangulo rectangulo AIR quadrarum υpotenuis AB aequale es quadratis laterum A I Θ R I semul fumptis . Fiat igitur quadratum
νes abit quadratum ipsius a I , aut G E sinu τ esm-
diae quadrata , ut norunt inito metici , habebitur Itanea AI fere 866oas . partium.
innotescet . Eadem metho o utuntur Geometrae in Pomputan dis νeliquorum arcuum circuli sinibus tanganti
52쪽
Praxis Geometria , seu Problemata.
HActenus Geometriae theoriam, sive eam par tem , quae Geometria Deeulativa dieitur , quantum instituti nostri ratio patiebatur , attigimus : nune ad Geometriam practieam veniendum r& aliquot problematis primae saltem ac faciliores illius praxes explicandae.
DEFINITIONES.I. Rgyia Graecorum videtur esse quid idemae hexapeda seu sex peda nostra, nempe mensura eontinens sex pedes.' a. Pes continet duodecim uoeias , sive polli-ees. Uncia quippe sumitur non tantum pro Pondere , quo sensu est duode ei ma pars librae : sed etiam sumitur pro mensura, nempe pro pollicari magnitudine , quae est pars duodecima pedis; ut digitus est eiusmodi pedis pars de ei ma sexta . Nihilominus nostri temporis seriptores pollieem S digitum saepe indiscriminatim sumunt, scilicet Pro parte pedis duode ei ma . Quin etiam ubi de Lunae Eel ipsi agitur, digiti nomen pro duodecima parte apparentis Lunae diametri usurpatur ιItaque eum Eclipsis Lunae dicitur esse duorum , aut trium digitorum, idem est ae si dieatur duarum , aut trium partium duodecimai uni ipsius diametri apparentis . 3. Pollex eontinet duodecim partes , quas i
meas vocamus . Haec omnia sensibus sunt exploranda .
4. Aliae adhibebantur mensurae a veteribus , quae apud nos non sunt in usu. s. Mensurae communes Romanis 3ς Gallis eo m-prehensae fuerunt his versibus. 'Quatuor ex gran s digitur eomponitur unus.. EI, quoter in palmo digitus ; quateν in pede palmUI si uin-
53쪽
Quinque pedes passum faciunx. Passur quoque
Nota per grana hic intelligi grana hordei deis
Ineeps secundum longitudinem collocata : per passus vero intelligi passus Geometricos : nam parusus Gallieus & communix tribus duntaxat pedi-hus definitur. 6. Romani per stadia aut milIiaria numerahant . Dictum est milliare , quod mille passas Geometricos contineat. Cumque in viis publieis Iapides aut cippos apponerent , quibus milliaria notabant; hinc illae locutiones profluxere , ad primum , ad fecundum , ad tertium lapidem. . Quidam leueis Gallicis dant tria milliaria ς vulgo tamen duo duntaxat iis tribuuntur . Leuineae Germanicae duplo fere maiores dicuntur Ga lieis. Nune in Ie ueis Gallicis ponuntur sex pedae 2282. cum semita a Mathematicis observatorii Regii Parisiensis 8. AEgyptii schoenis utebantur, de quorum R-plitudine non liquet . Nam aIli fingulis schoenistribuunt tres leucas Gallicas, eum dimidia R quadrante; alii duas leucas cum dimidia ; aIli leucam eum quarta leucae parte. Persae intervallae per parasavas metiebantur. Continere autem paratanga dicitur leucam eum
Hobtima prImum. In dato puncto rectae lineae angulum effieere aequalem alteri dato. Sit punctum B lineae A B M. Io. sab. s. in qu efficiendus sit angulus aequalis angulo C D E da to , fg. 21. tob. I. Ex puncto D deseribatur areus C Et tum ma nente eadem circini apertura , fiat ex puncto Rarcus HG, a quo abscindatur arcus AF aequalisare ut C E, ae ducatur linea BF, angulus ABFerit aequalis angulo CDE, ut observatum est ad
definitionem R. libri 3. quia ambo isti anguli aequali arcu sunt demensi.
54쪽
Geometriae. Lib. VI. 42 Problema secundum . Ex puncto in linea dato perpendicularem ex
Datum sit punctum C in I inea AB M. m. saxs. ex quo sumantur hinc inde partes aequales CD, C E . Ex puncti x vero D & E deseribantura reus sese intersecante x in puncto I et tum a puncto C per punctum I excitetur linea Co , est perpendicularis erit, per definitionem Ia. lib. 1. quia punctum I non magis in partem D Α, quam in partem EB, aut vicissim inclinatur .
Moblema tertium αEx dato extra lineam puncto perpendicuIarem ad illam lineam ducere Sit datum punctum C M. 33. tab. s. a quo dein scribatur arcu L D E secanx lineam A B in pu Ehis D R E . Ex illis punctis D & B fiant duo
arcus sese in puncto F intersecantes. Ducatur linea CF, secans lineam AB ita o et x Iinea Coerit perpendicularis quaesita o quoniam ipsa non magis ad partem DA . quam ad partem E B esti Iinata vi fProbIema quartum.
Per datum punctum ducere parallelam lineae
Sit punctum A M. I 4. tab. s. per quod ducenda sit parallela lineae datae CBia Ducatur quaecumque recta AD A secanx rectam datam C B ia D . Ex puncto D describatur areus A F , & expuncto A, eodem intervallo, describatur alter ariscus DE, in quem transferatur arcus A F, se ilicet ex D in Get tum ducta recta AG erit paral-Iela quaesita , per theorema s. lib. I. & ipsius Seho- Irum: quia anguli alterni ADF , & D AG lan: aequales, seu aequali arcu demensi.
Problema quῆntum αInter datas duas lineas mediam proportion Iem invenire ἀSint datae lineae BD, DC M. rs. νβb. s. qum ita directum ponantur,. 3: unam rectam BC etficiant
55쪽
Elementa' .eiant, ex cuius puncto medio E deseribatur lerni circulus B AC: tum ex puncto D excitetur 'perpendicularis D A, occurrens semicireumferentiae in A : dico hane esse mediam proportionalem inter B D , & D C . Etenim ductis lineis B A , & C A fit angulus B AC in semie ire ulo; & proinde rectus, per corollarium 3. Theorematis 3. lib. 3. Quare demissa perpendicularis A D in basim BC est media proportionalis inter segmenta , seu lineas datas B D , D C per corollarium primum theorema
tis quarti lib. s.s C Η Ο L I U M.
Invenitur quidem geometriee, id es sola ope ci
mni oe regulae , media proportionalis inter duas da-νas lineas: sed nulla adhue extat methodus geome friea , qua duae , aut plures mediae proportionales nter duas lineas datas in υeniantur. Verum aliquae ad iIIud traduntuν viae meehantea, scilicet per υa ria inflrumenta ad id eomparata , quae excogitata fune a Platone , ab Arebia Tarentino , ω ariis veteribus; sed praesertim a Cartesio , cujus in ven
rum eo caeteris excellentius es, quod non ad duas pantum , sed ad quotcumquo medias proportionales nυeniendas inter duas datas lineas extendatur . Duarum autem linearum proportionalium inter
duas datas inventione celebratismum problema Delia eum de duplicatione cubi auolvitur. Vuod ut atyronibus utcumque percipiatur , advertendum , exaIiqua quantitate, puta numero, aut linea in Dinam ducta , seu per seipsam multipticata feri quadratum , ut dictum es definitione I 6. Iib. I. cujus quadrati latus, seu radix est ea quantiras ; rum si quadratum per eamdem radicem multiplicetur , existi Sere cubum , evius latus , seu radix es eadem quantitas , ut etiam traditum in desnitione 18. Iib. s. Exempli gratia si a. multiplices per a. prodibit quadratum 4. cujus radix es a. Rursus si qua-Hratum 4. multiplices per radicem a. exurget cubus 8. eujus radix in idem numerus et . Similiter se 4. ducas in Φ. produees quadratum I 6. quod quadra-xum per ψ. multiplicatum dabit cubum 64.
56쪽
Geometria. Gb. VI. 4sJam vero si sint 4. quantitates continue propor tionales , quales Iunx a. Φ.: et 8. 16. cubus prima es ad eubum secundae , tis prima ess ad quartam . Nam a. es ad i6 , ut 7. etibus ipsius a. G ad 64. rubum ipsius 4. auoniam ut a. es pars octa υa numeri I 6. ita 8. es pars octava numeri 64. si ergo darentur duae lineae , quarum posserior effet dupla prioris inter illas duas duae alia proportionales invenirentur, adeo ut quarta proportionalis foret dupIa prima , manifesum ess , cubum , qui feret in fecunda proportionali , fore duplum eisitis , qui feret in prima ; quoniam ex modo dictis ita se haberer etibus prima Iinea ad cubum fecundae , ut Ie haberet prima linea ad quartam . Sed pνima se baberet ad quartam tanqMam I. ad a. .F-ve tanquam ad quantitatem duplam fui. Ergo priamus eubus esset ad secti udum ut I. ad a. Igitur ad duplicationem Ara DeIiaea , qua eu bica erat , fumenda fui et tinea dupla eujuslibet ex ipsius ιateribus, o inter latus, ac illam lineam quaerenda duae media proportionales. Si fui et triplacanda , quadruplicanda , ω'e. fumenda fuisset Iinea eui cumque ex ipsius lateribus tripla , quadrtipla , oec. ac duae semper media proportionales magnitudines inter duas datas fuissenx invenienda. Problema sextum. Dato triangulo etquale parallelogrammum rectangulum emcere.
Sit triangulum ABC datum , M. I 6. 'ab. s. per cuius verticem A ducatur recta A G parallela basi B C . Tum dividatur basis B C in duas partes aequales in puncto D , ex quo excitetur perpendicularis D E usque ad parallelam A G . Sumatur EF aequalis ipsi DC, & dueatur latus CF: erit rectangulum DF aequale triangulo dato per theo rema s. & 6. lib. a. & eorum corollaria . Problema septimum. Dato parallelogrammo aequale quadratum conis sti tuere. Sit parallelogrammum C D E F datum fg. r .rab. s. inter cuius longitudinem DC , & altitudinem CF, aut cf, media proPortionalis invς
57쪽
s Elementam latur CA, per problema s. erit quadratum C Ahuius mediae proportionalis aequale dato rectangulo, per theorema az lib. s. & ejus corollarium. Problema octa Num. Tineam horizontalem , ad quam una tantum Spsius parte extrema accedere liceat, metiri.
Sit linea AB M. I9. tab. s. ad quam accedere liceat tantum in puncto B , cuius lineae longitudo sit inquirenda. Primo excitetur in puncto B perpendicularis ipsi A B, set Iieet BC, noe modo . Centrum in frumenti , puta semieirevii , qui exhibetur M. 18. tab. I. statue in puncto B ; & per foramina dioptrae eius immobilis dd fg. 18ι ει xy. obiectum aliquod fixum in altera lineae parte extrema positum , puta arbustum, aut truncum A re
spice ; & alidadam , seu dioptram, seu regulam
mobilem e e move , donec recedat a basi seu regula immobili d d toto quadrante , seu nonaginta gradibus d si per foramina , quae in alida da pinnulis aperta sunt , respicias signum aliquod positum in C, habebis angulum rectum AB C. Transferatur instrumentum in C, ita ut ipsius centrum puncto C respondeat , & foramina dioptrae immobilis d d in punctum B dirigantur et imis
motoque instrumento alidadam mobilem verte , donec per eius pinnulas mobiles e e appareat signum A. Tumque cognosces quantitatem anguli
ACB in limbo e a semicirculi. Metire lineam B C . Tum in charta due lineam F E M. 2 o. rab. s. in tot Partes aequales divisam, quot in linea BC inventi fuerint pellas , vel hexapedae , &e. Fiatque angulus F E G fg ao. aequalis angulo BCA , Per problema primum . Deinde per punctum F. ducatur perpendicularis F G oe. currens lineae EG in puncto G . Si circino meistiaris quot sint partes in F G aequales partibus
lineae FE, dico totidem esse pedes, vel hexayedas , &c. in A B . Demonstratio. Triangula ABC, & GFE sunt
aequi angula , per constructionem . Ergo per theo-Tema tertium lib. s. ut F E ad F G , ita B C ad
B Λοῦ adeoque quot E G contiati partes aliquot as
58쪽
Geometria. Lib. VI. 4'Iineae F Ε, totidem BA continebit partes aliquo. tas similes ex linea BC.
Altitudinem, ad quam accedere Iieeat, metiri. Utere ut prius semicirculo ita disposito , ut e ius diameter , seu basis sit horizonti parallela . Tum ejus alidadam mobilem attolle, aut demitte , donec per ipsius pinnulas vertex A M. ar. rab. s. videatur . Postea respiee per easdem pinnulas deorsum , ut habeas punctum C, noteturque diligenter angulus Α I G , seu E I C illi aequa Iis , per theorem. a. lib. E. tui etiam aequalis est angulus A C B per theorema 3. eiusdem libri tponaturque exempli gratia esse graduum 37. minutorum 23. Tum metire hexapeda distantiam C B, quae sit v. g. pedum 13s. Si fiat in charta triangulum huic simile , ut praecedenti problemate , invenietur altitudo B A pedum 367. S paulo a inplius. Accuratius vero per tabulas sinuum solvetur Problema . Nam si a puncto C , intervallo C Reirculus describatur, radius CB erit finias tortis ;Iinea C A erit secans ἰ & linea , seu turris AB, erit tangens anguli A C B . Itaque si dicatur rUt sentis totus , qui in tabulis est Io oocio oo , ad tangentem anguli ACB I7. grad. 23. min. qua in tabulis est is 646syo .' at a distantia CB, quae inventa est 23s pedum , ad aluitudinem BA rhaec altitudo B A pei res uiam proportionis re perietur 367 pedum, & 8. unciarum seu Pollicum.
Monitum primum. Ea Geometriae pars, qua resolvuntur triangu-Ia , sive qua eorum latera per reguιam proportionis cognoscuntur, A numeris exprimuntur, T. gonomesria dicitur . Praecipuum eius fundamentum in eo situm est, quod in omni priangulo M-νera sint inrιν se , ut finias anguIortim iis lateribtis oppositorum . Exempli caula in triangulo a b e M. 22. tab. s. latus A est ad latus b e , ut a i ad bb, per defuit. 7. Db. s. Nam ai est media pars ipsius a b , ut b β est media pars ipsius be . sed
59쪽
48 EIem/n a aeg , & eonsequenter anguli aeb aequa Iis Ipsia ei, sive aes per ibeorema Item bis estsnus anguli b ab , aut bes sive bae ipsi aequalis.
Angulus autem bae opponitur lateri ab , ut angulus bae opponitur lateri be . Ergo in omni triangulo latera sunt inter se , ut sinus angulo rum iis lateribus oppositorum . cmnitum feeundum.
Multiplieatione, & divisione arithmetiea opus
est in Trigonometria, cum sinus, tangentes , &secantes in tabulis assumuntur : nam fit regula aurea proportionis , ut datis tribus terminis quar tus proportionalis inveniatur. Sed si sinuum, tangentium , & secantium Logarithmi adhibeantur , qui sunt numeri in proportione Arithmetica di positi: pro multiplicatione ,& divisione , quae sunt Operationes longiores, additione duntaxat, & subintractione opus erit , ut quartus terminus quaesitus reperiatur. . Problema deeimum.. Aream triangularem metiri. . A vertice figurae ad basim ducatur perpendie uiniaris A P fg. 6. rab. s. tum videatur quot sint
pedes, vel hexapedae, &c. in baci B C, & quot pariter in linea A P. Postea multiplicentur paristes in perpendiculari inventae per semissem balis r& area innotescet. Nain totidem futuri sunt pedes quadrati , vel hexapedae quadratae in area triangulari ABC, quot inventae fuerint partes in producto perpendicularis A P per semissem basis BC. Etenim triangulum est media pars parallelogrammi intra easdem lineas parallelas eo menti per theorema I. libri a. Sed p. rallelogrammum haberetur ex multiplicatione basis BC, per altitudinem A P, per definitionem is . lib. 6. Ergo haec eadem perpendicularis per semistem basis multiplicata refert aream triangularem .i Problema undeeimum. Parallelogrammum rectangulum metiri.
Metire primum latus 1 L R. ao. 3ast. 3. tuni
60쪽
Iatus LM . Postea due latus I L in latus L M,
re area tota rectanguli innotescet ob rationem in Praecedenti problemate allatam Problema duodecimum. Figuram polygonam metiri. Primo reducatur polygonum in triangula , deis ductis ab unoquoque angulo ad oppositum rectis I in eis. Tum metire singula triangula per problema Io. & eorum omnium summa figuram polygonam referet. Problema decimumtertium. Cireulum metiri. Multiplicetur radius circuli per semieircumferentiam. Nam per corollarium theorematis 6. lib. a. circulus aequalis est triangulo rectangulo , cuinius unum crus aequale est radio , & aliud circumferentiae et quod triangulum per theorema s. Iib. 3. aequale est parallelogrammo rectangulo . cuius unum latus esset semicircumferentia , aliua
Sed per problema undecimum haberetur istius parallelogrammi area, si duceretur istud latus , quod foret aequale radio circuli , in alterum Iaintus aequale semicircumferentiae.
Ergo, ut habeatur area circuli, multiplicanda est semicircumferentia per radium. Ut vero nota sit semicircumferentia ei reu Ii , quaerenda est illius diameter, quae se habet ad ei
cum ferentiam integram fere ut T. ad 22. quemadmodum demonstravit Archimedes. Pr blema decimum quartum .
Metiri parallelepipedum , vel prisma , vel eΥ-
Iindrum , vel pyramidem , aut conum .
Multiplicetur per definitionem I . lib. I. basis Parallelepipedi , vel prismatis , aut cylindri per altitudinem eius perpendicularem : pyramidis vero, aut coni basis per trientem altitudinis; quia
pyramis est tertia pars prismatis ejusdem basis , S altitudinis; ti conus tertia pars cylindri eiusdem quoque basia, & altitudinis. Tom. II. C Prσα