Elementale geometricum, ex Euclidis geometria, à Ioanne Voegelin, Halypronnensi, ad omnium mathematices studiosorum utilitate decerptum

61쪽

eis partei . Et bae deerestit in infiniatum. Sunt eius stpecies,sesquialtera, q ndo maior continet minorem , C minoris

dimidium. Quod si ultra sumniam minois

ris, maior continet im tertiam partem,

uocatur sesquitertia. Superpartiens ,est quando maior continet minorem , C aliquot eim partes. Quod si continet duas tertius, uocatur sua perbipartiens tertias tres quartus, supertripartiens quartus, ut Multiplex superparticu laris, effqrando maior continet minorem, linquim semel, C insuper aliq in impartem. Quod sit continet eum bis, e eivi dimiis dium , dupla sesquialtera uocatur , ut s . Si ter C tertiam partem, tripusesquitertia,ut IO. 3. Multiplex superpartiens, est quandormior continet minorem plus quam semet. C aliquot praeterea partes. Quodsi conatinet eum bis, C duitertius,uocatur duapta superbipartiens tertia , ut , . Si ter, G tres quartas ripti super tripartiens' rtas , ut si . Proportio minoris inae aeditatis est grando minor quantitas comparatur ad

62쪽

mior ad Q. Et ei tot sunt species , quot mioris inaequalitatis, neque disterunt ab illis nomine, M quod vocabulis proportionum loris inaequa litatis additur praepossitio sub , ut submutiplex a Subsuperparticularis

De miratio proportionis minoris quantitatis miorem,est pars uel parates,ut denominatio proportionis inter .

Denominatio proportionis,quantitatis maioris ad minore est totum,uel tot crpars, uel totu e partes,ut demiatio proportionis, Φ. ad 3.est. I.δ' Termini proportionis,sunt minimi numeri in aliqua proportione, ut proporti ris sesquialterae tennini sunt.3 2 quibM minores in hac proportioue reperiri non possunt. PROPOSITIO PRIMA. Numeros datae proportioris ad terminos eius reducere.

63쪽

Diuidatii maior numerin per minore,

e minor per residuum divisionis prioris, e residuum primae diuisionis,per residui. secundae diuisonis, fiatq; talis reciproca diuisito, donec occurrat alι quis numerus qui diuidendum totum consumat. Deinde per hunc numerum ultimo occurrentem,divide

utrosq; numeros proportionis datae, qui exeunt,sunt minimi numeri, est, temnoni eius proportionis. Vt numeri proporationis quae est interno. C IS.s redigunt tur ad terminos proportionis Trinnia dividuntur per I 3. C relinquentur I2 per quae diuiduntur i8. C relinquentur 6.per quae rursus dι viduntur Q. Cy consumentur. Per hunc ergo senarium diuiduntur numeri dιm,scilιcet,3o. ta I 8 exibunt, s. x. 4ermini scilicet proportionis datorum nu.

merorum.

Hic ammaduertendum, quod si in tali reciproca diuisione ad unitatem peruenire stur,ipsos datos numeros esse terminos,ueisque posse minores reperiri. SEc UNDA PROPOsITI α cuiusculis proportionis datae,

denominationcm inuemre.

si proa

64쪽

si proportio data fuerit iratoris inaeis

qualitatis, diuide miorem numerim per minorem, Cr numerus qui exit,denominatat oes proportiois datae. Si uero proportio data fuerit minoris inaequalitatis, superis pone minorem miori, uteriem uirtuti, more minutim is ulPrium, C habebis denomirationem,reducendi tu, sunt numeri ad terminos per praecedentem, sicubi opiri fuerit. TERTIA PROPOSITIO. Si unus numerus duos multiplicet, eri multiplicatorum e produElari

una proportis. Vt 3. Cra multiplicentur senario Crprouenient 3. Cres 2 eandem cAstidienis te proportionem quam Cra. militer ediuerso: Si uirus numerin,duos diκidendo, utrumque constimat,erit diuisorum C quo itientum uita proportio,ut .consumit IS. e la. exeunt quotientes 3. C 2. in eadem proportione.

Q UARTA PROPOSITIO. Proportiorum proportioni addere.

65쪽

NIuliiplicentur alitecedentes proporationum daturum in F, C deinde conseisiquentes in se,produm numeri cus' dient proportionem compositam ex duab duatis,ut proportio 3 ad a. sit addenda prois portioni q. ad L. Multiplico primo 3. Crq tecedentes in se proueniunt deinde'. Cra. id est, consequentes in se,

C proueniunt s. Inter Ia, Intret sis

est proportio composita ex duabus datis

proportionibus,scιlicet . ad 2. C q. ad 3. Num multiplicetur antecedens unius prois portionis in consequentem alterius, ut 3. in proueniunt . qui stituuntur interer s. hoc modo I 2 9 S. In his itaque tribus numeris, uides diis Elas duas proportiones. Nam II ad s. proportio,sicut . ad 3. eri. ad 6 sicut 3. ad 2 quod patet reducendo eos ad terminos per primam huius. VI NT A PROPOSITIO. Proportionem a proportione subtrahere. Antecedens maioris proportiovis mitiplicetur in consequentem mi oris einde consequens maioris in antecedentem misnoris,

66쪽

noris,duo numeri producti cu'dient proportionem residuam,ut ad . proportiosi subtrahenda a proportloneo ad L. et ervui dictim est, C relinquitur proin

portio,. ad M. Nam multiplicetur anteceis dens maioris,in antecedentem minoris, ta

prodii Amstitus ante di Elas numeros hcς modon 2.9 β Nonne Iῖ. ad 8.proportio est sicut 1. ad I aquasi abieceris proportio in me M. ad 9. id eji.Φ.ad 3. relin Ditur pro tortios .ad 8.s EXTA PROPOSITIO. Quotlibet proportiones eiusdem

denominationis continuare.

Quaerantii per prunam datae proporistionis termini. Et pro duabu continiasi gradis, ducatur antecedens datae proportionis

prmo in se,deinde in consequentem pora stremo consequens in se tres numeri pro udum duas ustidiunt proportiones sinules datae. Verbi gratia Sint duae sesquialterae continuandae. Proportionis sesquialterae termini sunt 3. C 2. Multiplico Itur 3. in se, deinde in 1. Postremo L in se C vascuna tar numeri 9. 6.Φ cus adrietes duas sesqui Hieras. Si tres sesquialteni fuerint contio

67쪽

nuandae,duratur mior terminoris in tres modo inuentos, G mno termin in ultiis vrum, G exorietur numeri tres sesquio alteras seruantes, ut 3 multiplicati in . G. ,Πnerant aT. I Saa C binarius in

ductis,procreat S .sic sunt prodam quamor numeri Ira Sota cus,dientes tres sesquialteras. Si quatuor sesquialteras continuare placuerit, ducatur,naior terminus inquatuor iam nunc inuentos, C minor terminus in postrenum,er habebis quin pnumerosi,quat o fesquialteras continuaritas retilientes,ut 3I. q. 6. 2qH s.c APUT Q UARTUM, De Proportionalitate.

Proportionalitas, est proportionum similitudo. Quantitates dicuntur proportiorales, quarum una est proportio. Proportionalitas est duplex, contiam Discontinua. continua est quando omnes quantituates sunt antecedentes C consequentes, praeter primam, quae est antecedens tantu:

e ultimam,quae est consequens tantiιm. Et hae reperitur ad minimim in tribias Disco

68쪽

Discontinua,est quando nulla quanti rus simul Cr antecedens es , e conseis

queris,uta: 6. s. q. Et haec ad mitti,iniam in quatuor reperitur tenninis.

Sex sunt species proportionesitatis:

conuersa,perincitata,coniunm, Di uno Ela,Euersa, G Aequa.

conuersa est,quando est prima ad stocundam,silaut tertia ad quartam, C ex hoc

insistur secunda esse ad primm icut quarta ad tertiam, ut si es s ad Greut 6 ad

3 erit conuerso . ad 3.sicut 3 ad 5. Permutata est, quando prinis est ad secundam,sicut tertia ad quartam, 'ex hoe concluditur prini esse ad tertiam sirueut secunda ad quartam, ut sit est S. ad scut 6. ad . erit pernicitat a id G siicut 6 ad .

coniuncti est, quando est prima ad

secundam,sicut tertia ad quartum CC ex hoe infirtur prim cum secunda esse adsecundam,sicut tertia cum quarta ad quoia tam ut sit est Si Φ.ficut G. ad 3.erit cono iunctim 2.ara .sicut 9. ad 3.

Disiuncti ni , quando es prima ad secundam: sicut tertia ad quartam,c ex hoc infirtur , excessus primα, super secundam , esse ad secundam sicut excelliu

69쪽

enessus ternae super quartum ad quarta, ut sint s. -.sicuti ad 3. erit disimnadimi ad s.sicut 6 ad 3. Euersa est, qrando est prima ad stacundam , sicut tertia ada riam in exbo infertur prima esse ad excessum eius super secundam,sicut tertia ad excessum suisum super quartam, ut si est 1 ad Φ sicuts.ad 3. erit eversim I ad 8.sicuti ad s. Aeqαι proportionalitus est quando sunt duo ordines proportion , C pro. portiones huiuε ordinis sunt aeqtae prooportionibus ilius ordinis, interim issaequassi numero intermedij in utros orodine,infertur eadem esse proportio extrea rum,ut ni duo ordines Φ8 aequalium proportio m,et Is internutiantur utrobique ix

duo intermedi',cernes exae stremoriam eandem esse proportionem. PRIMA PROPOSIΤIo. si fuerint tres numeri proportion las, quod continetur sub extremis, eqMum

est quadrato redij.

Sint tres numeri continuati in proaportione sesquialteras. G.Φ cantur e

trem

70쪽

trem .e se,producui M. quibus aequale est quadratum disse rij.

s EcVNDA PROPOSITIO. Quemlibet ex tribri proportio. nalibus ignotum inuenire. si alter extremorum ignosin fuerit, quadrens medim, e produ&m diuidatur per extremum motum, prodibit extremias ignotus. Si mcdius ignoretur, ducamur exatrem in se e producti, radix quadrata erit medius. TERTIA PROPOSITIO. si fuerin quatuor numeri proportisa es quod continetur sub extremis, aequaeli e quod sub hi termedιν continetur. Si u quatuor numeri proportionalis . . q. extremi dum in se producunt

Iraeui aequale est quod conficitur ex meis di s De Φ.m seductis. Q UARTA PROPOSITIO.

Quemlibet ex quatuor proportio vicibM ignotum inuemre.