Elementale geometricum, ex Euclidis geometria, à Ioanne Voegelin, Halypronnensi, ad omnium mathematices studiosorum utilitate decerptum

31쪽

et a sim iuncti. Iora esse latere b

Si enim essent aut aeq lia,aut minora eo, no possent currere in anguluia. Nam si essent aequalia lateri Re,tu se cotingedo iacerent supra linea b c et fieret cum ea linea una si uero breuiora essent,no pos sent se colinvre,nes in angilia cocurrereri V. PROPOSITIO. Si in uno quolibet trianguli latere a finiis inibus ivi duae rectae itineae interιus conscurrant,anesum ficient maiorem eo qui a reliquis eiusdcin trianguli

lateribM continetur.

Sit triangulas bis e,super cuivi latere be,duae rectae constitutae, nedum ficiant bd e:dico eum miorem esse anes, a , eontento a reliquis duobM lateribus Nani protrahatur linea Dd,us suam secet latvia e niundis e. Erit igiae an Mitae, per duodecima huiM,mior anulo Dee, e per eandem,anguis Uese,nuior nisloba etintillo illiu in or erit angulibit e,angato ba e quod fuit dentanstranduta VI PROPOSITIO. Ex tribvi datis lineis trianguli costituere. Sint tres lineae datae a Me tu ut quaea libet duae finiti iunctae sint tertia maiores.

id eniis necessarium est per decima quar

tari.

32쪽

l .Pore pedem inoblem circim extera: si stacio lineaera, in altero termino meaea:uerbi gratia in C altero circundu αλ pede,occultu scribe arcum: deinde cisis cino extenso secundin quantitatem lineae C pede ira mobili, posito in temniano Dpriorem arcum intersera in puncto g. Ab hoc intersessionis pundis trahe ad ter minos lineae a,rems, C habebis triangulalam, quem optabas. X VUL PROPOSITIO: Super uncis datum in linea rem, describere angulum, dato angulo aequalem. Sit punctista datus in linea data, mangulas ab edatus. Subtende cum rem, lineaca. ResecatItur ex linea data df, liuia aequalem ei. Deinde circino diducis secundum quantitate lineae a b,er pede eius mobili positio inci,scribatur arcus occultus. Postea circina pro lacio lineaec a exte

e pede eius in f posito, priore interseea arcam in puri l. quo ad punctim d

33쪽

Erlint ex bγpothesibus latera trianguli fid, equalia lateribws trianguli ad e,erra per tertiam anguis id saequalis est an,

gula a b c .cotinentur enim aequis laterib. π V. II. PROPOSITIO. si duorum triangulorum duo latera unius, fuerint aequalia duobus lateribus alterius, Manguli contenti his aequis laterib fuearint Haequales, erit illius basis 'ior,cuius lateribus angulus amplior continetur. Sint duo trianguli abe, eus, s latera duo prioris ud, Cria esint aequalia duob. lateribus pollirioris,d ,σd , G anguolus a,maior angulo d. Dico basim De. maio

rem Use basi e f. Nam superiundis diu

neue,d edocetur,per praecedentcin angulus

aequalis angulo biae, sitq; is e di, σneu di,si aequalisci eoubtendaturq; basis

ea quae necessario erit aequalis alii be,in triangulo a me. Quapropter si probaverior sis, maiorem esse ess,erι quos proabatum De eadem esse aruiorem. Trahatur fg siner. Et quia di,posita est aequalis df igitur per quarta angulus d si, aequalis totali angulo d4s, erra idem angulus fg, erit maior partiali ans ea . quare musto maior erit asgaeus es ginnis gula

34쪽

gula et f. Latus stim eg maius est per

decimamtertiam latere e squod erat deis monstrandum. XIX. PROPOSITIO. si super bases duorum triangulorum anaguli iacetes fuerint aeqviles, ta basis uniam aequilis basi alteriin,aut unum latus unius uteri alterius se resticienti aequales, erunt reliqua latera reliquis aequalia alterum alteri, CT reliqui anguluis reliquo

angulo.

sint duo trianguli ab e e se angulus b sit aequalis angulo e Cristigulus e anagulo sitque usis Me aequalis basi ef, aut unum ex lateribus trianguli a b c aequale suo relativo lateri trianguli De f. Dic reliqua latera,reliquosq; angulos se aeqvi αlis. Sint primo bases aequales,c intelligatur basis e , superponi basi be quae cum sint aeqviles, necesse ect punctim e cadere superiunt bis Criun tim Muper . Et propter eqvisitatem angulor eonversionem octauae conceptionis, necesse est lineam eta,cadere super ab , T D , suo per te:non erv erit Uibile ut latera huic ulterius aut citerius lateribus alterius cocurrant, erunt Itur stralia C anguli abeu

35쪽

ὰ eis eotenti aequalis peris conceptione . Potiatur secundo latus te, aequale lateri ab altera aeteri invitur superpora: propter aequalitatE erra eoru ,punctis Leadet super a punctu, σὰ super bilinea deaenis e , supra be lineam cadet, propter aequilitate anguloru ,et conuersione offrauae coceptionis. χε)d id cogruerit etiaipsi ae,cocludes per omuum conceptione propositu. Sin uerotas ceciderit aut intra ast extra triangulu, semper sequetur anugulum extrinsecum se aequalem angulo intrinsecosibi opposito, cuius contrarium demonstrauit propositio duodecma. tata. PROPOSITIO. Si linea re hi duas lineis rectas secando fecerit angueos coaeternos aequales, aut auragulum extrinsecu angulo intrinseco ex eadem parte sumpto aequalem, aut auos inistrinsecos ex eadem parte , duobus rectis aequales, lime sectae .cquidistabunt. Linea a b ,secet cci, C es lineu, d quidem iniusso g,ri uero,in pucto h. Et Aoctu primo angulos coalternos sibi nuiccinaequales,hoc ,angulud g/,angulo e ba,

pti,coalterni dicatur. Duo ι meas e , C ef,cquidistire. Si aut non, productae conin cinant

36쪽

currunt,uerbi gratia in h.Trianguli erugita, angulus d gh extrinsecus aequalis ei angulo hi g,angulus dg extrinsecus aequesis est angulo 4 b,intrinseco sibi opposito,aμ angulus f b, ,extrinsecus angulo gh intrinseco sibi opposito ioc autemper duodecima propositionem impos bile est,iItur c d, σε productae minime concurrunt,erra per definitionem sunt aequiri stantes. Secudo sciat linea ab angulu adiquem extrinseca,aequale intrinseco sibi pposito ex eade parte Dico nihilo minuitiis neu cd,et e sequidistare. Et sit exemplicausta angulus a dextrinsecus aequalis iis trιbec gi f. Quonia angulus agd,aequalis est per l,γpothesim angula ib f. Et per

decima de angulus a id,aequalis e cal, angulo,illisi per prima comune senteritiam anguli e gh e gh inter se sunt

aequales. Et hi sunt coalterni,erra per priama huius propositiois parte lineae ed, σei sunt aequidistates.Tertio ciuiliuea a b duos angulos intrinsecos ex eadem parte, aequales duob. rectis,ut d gi,et fi g,dico lineuita,et e Laequidistare,quonia angulidab, et fba per lis the sunt aequales

pransi postulatam anguli gi, effli g,

37쪽

aequules sunt angulis gi, Crea b. Ab utito ergo communi angulo dgh, relinquιtur per tertiam communem sententiam,angulus, gh, aequalis angulo fhg: sed hi

pugni coalterni,erv per pr a parte huius propositionis linea eta, me sequidistantri XI. PROPOSITIO. Si linea recta duas aequidistantes secuerit, sciet angulos coalternos aequales Extrinsecum intrinseco ex eadem parte sumpto aequalem . Et duos intrinsecos ex eadem parte aequales duobus rectas. Repetatur prior figura, in qua ponantur e d, C es equidistantes. Prima pars propositionis sic denis Miratur: Nam si an aguli coalterni,ut cara, Cris hi, ii suus aequales, erit alteruter eorum viator, sitq;cgb maior . Quoruam igitur e gh maior angulo fh ponatur communis angulusimh:anguli erra per quintam conceptio anem c gh, CT dg Nnuiores sunt angulis d b, C fgh,sed per decimam anguli egh, Cydi aequales sunt duobus rectis, ergo anguli d gh, G fh n nores seunt duobus rectis, eruper secundam petitioin nem c , σὰ f protractae concurru u non ivtur Mnt aequidι stantes, quod ei contra Dpothesim, figulusIItur c gh, aequalis

38쪽

Secunda pars flenditur. Nam ut modo ostensum est,angulus, gh aequalis est angulos, b er per undecimam idem anguis lutea',aequalis est angulo a id,per primm Itur conceptionem, angκlus a id,

aequalis est angulo fib, extrinsecus sciliiscet intrinseco ex eadem parte.

Tertia pars ostenditur Nam angulus egJ,aequalis est per prima huius partem, angulo fib:posito ere coimni angulo dit, erunt duo anguli per secundam petiistio ,cgb,αdgh,aequales duobus unis gulis,fi g, ta Igb:sed per decima duo anguli,cgh, C dab,aequales sunt duobus rectis, erra duo anguli, fgh, C dgh, aequales sunt duobus rectis, quod erat demonstrandum. π XLI. PROPOSITIO. putidis extra lineam datam feratqeducere aequidistantem datae lineae. Sit linea data Me, purissis extra eam afignatus a. Trabe lineam occultam madutcunq; contivrit einde super pundis scolloca anguilumbae extrinsecum,protra falinea ae,equalem angulo ademtrinseco ex eadem parte constat igitur per seiscundum partem uicesimae, sineam, e qui α

39쪽

di're lineae brim III. I ROPOSITIO. cuiuslibet trianguli angula extrinsecus isqualis est duobuι angulis intrinsecis

sibi oppositis.

Si triangulus abe, e protraham latus a,in Is dico angulum Lais,extrinsecum aequale esse duob. intrinseris, C oppositis, scilicet angulis b. e. Ducabur per praec dentem a pundis a linea a d equidistansb e lineae. Et quia a disquidistat b e lineae,er in ipsam incidit si,erit per secundum parte vicesimaeprimae angulus ad extrinsecus qualis intrinseco ex eade parte angulo a b c . Rursus quia parallela sunt ad,

G Me,Cr eas secat a Otar per prima parte eiusde. 2I. angulus da ,aequalis est bi coaeterno angulo Lesb. Totus intur fais extrinsecus,aequalis ect duo b intrinsem eroppositis ea a Crae λπα IIII. PROPOSITIO, cuiuslibet trianguli tres anguli aequaales sunt duobM ressis.

Nam per precedente angulus Lae extrinsecν equalis Ut duo b .angulis intrinseris,c oppositis eb a Leb, addito eruutriss c5muni angu lo Hya,erunt duo angin f ήGerca aequales tribus ab

40쪽

aeb,ea b sed per decima duo anguli La

era ab aequales sunt duob. rediis , tres intura Me, ebbet ad, duobaestis sunt

aequales,quod erat de rastrandum. παV. PROPOSITIO. Diu,ter parallelogramini, diutisdit ipsum per aqualia.

Sit parallelogram viam ab c d cuias dido intersit a d. Dico hac diametro purallelogrammiam aequaliter secari. Quoiuum a b C ed quidlitant, C super eucadit ad,eri per primam partem uicesimae prin angulusi ad suo coalterno ad aequalis. Rursus quomam i, Cribu sunt paralleisu, C eis incidit ad,erit per eandem as. da suo eoaeterni id aequadis. Sunt itaque duo trianguli ab d et acta, CT anguli bini super comi nem basim ala, sunt equeses,per decimam notisn,erv reliquianguli e latera sunt aequalia, quare persecundam propositio m triangulus triangulo aequalis Hinc etiam diligenter intuentiti putet,latera cuiuscunq parallelogramomi opposita esse aequalia.

XXVI. PROPOSIΤΙΟ. Omma parallelogramma super eano

dem basim, atq; in lims alternis coilocata, sint quata. Sint