Elementale geometricum, ex Euclidis geometria, à Ioanne Voegelin, Halypronnensi, ad omnium mathematices studiosorum utilitate decerptum

41쪽

tes, b, ed interrisu super eandem basim eis, sint collocata duo parallelo a gramma scilicet, cesσgeeh ico ea esse aequalia Et si primo ut teddat inrera O J:, quia af est aequalisa cum pirus sit aequalis eae, erv abluta comuni fremanebunt a g,C Lb aequales,G ae , est aequalis Le,propter quidistantia: angulus quos se extrinsecus est aequa lis angulo ga, intrinseco per strandam parte uicesimae primae cum ergo duorre tria iguloruin f e,Cra te,duo latera unius sunt aequalia duobus luteribus alterius, σanguli aequis lateribus contenti aequales, erit per secundum alter triangulorum auteri aequaeas,addito er eis comuni trapeaetio fg ce,erunt aggrevia ,hoe est,dim parallelogramma aequalia Secundo cadat

in ipsum punctum D ut in secunda figuorare quia La,est aequalisl cum utrassit aequalis ei opposivae,inai aequalis De oppositae, G angulus' se equalis angulo ae intrinsecus scilicet extrinseco, per secundam itas erunt triangulis te, ex bse aequales , addito erg utrique triangsto

comuni fee erunt per conceptionem Q.

ralleloa

42쪽

rallelogranem equalia Tertio cadat gextras ut in tertia figura . Et quia a faequalis ib,addita ergo communi si, erit avi aequalis Db, C erit propter pria uidim triangulus Lae aequalis trianguis lohs e. Ablato erra ab utrisq; com mi triangulo Ag, quae relinquuntur trapea etia erunt aequalia cilicet a s hc,σghe h. Quibus si addatur communis triangullas chis, erunt aggrevit aequalia, quod

erat demonstrandum.. XVII. PROPOSITIO.

Si super uram basim Cr inter sine aequi

distantes,parallelogrammum C triangui ponantur,parallelogrammiam trianguolo duplum erit.

Sint ut prius duae meae ab, ω eiae Didistantes,inter quas super basim eis, si parallelogramin ace 'trianguae iustis e. dico parallelograminu duplu,se triangulo. Nam ducatur a puncto e linea ehiaequidistans e g. Per praemissum erras . Tallelogrammu c geb aequale est parasse tigrammo de e . Sed per s. ea cum fit diameter parallelogranam, geh, diuidit ipsum per eoualia,qudpropter triangultus ere,es dimidium parallelogrammio Leh,qi re etiam parallelogrammi ac es,

quod

43쪽

qi Od si propositurii.

duobliquadratis relιquorti duoru lateru . Sit triangulus arae, eum angulus are his Qu.idrentur tria latera, sitq; quadratum lateris Uc oppositi angulo rem, beta ebdico ipsum esse aequale reliquis duobus quadratis scilicet a b fg,ah ch,quae

sunt laterum angulum rectim continentia. Ducatureiam ab angulo recto a ad basim Le,qiiadrati be de perpendicularis, quae secet me ignis, Crd e mi. Η se perpendiis cularis diuidit quadratum lateris obtentiaueillo rem in duo parallelogramma,scilicet Minda,er m lce, quorum sim trum dico esse aequale quadrato finistro, Crideo

xtrum quadrato dextro. Horum ut ruinq; eodem nodo probatur. Nam trabantur lineae'

a d, Cr DC probabimm quadrangulum dextrum,scilicet bis des,aequale esse quais drato dextro, scilicet fgba hoc modo. Num quadratum , b a dup um e t triangulo fbc per praecedentem,constituuntureiam inter lineas squidistantes ne, e fbsuper eandem bassim si ritaliter re lanis gulam biadi duplum est triangido ab d.

44쪽

ιὸvi super eandem basim bd interclineas

aequidistantes bd , G am ponuntur. Sed

trianduli dicti sunt aequales, ut mox proababitur, erv reddingula ipsa ad aequales trian ludos dupla junt inter se aequalia per sextam coceptione.Trian los aequales esse sis patet: Sut enim lateras b, etcb trianml fye aequalia laterib. ui, b dariaguli a b d ,alteru alteri guli insuper his aequis laterib .cotenti sunt aequales, scilicet bem ab d uters enim constat an o reacto Crangulo communi ab c sunt Iturpe secundam trian ut aequales. Eodem modo ostendes fulistri re tingidum eri Deaequale esse quadrato sinistro h ach, duis Elis lineis dis, σε h. Totum erv quadrarum b d cis,aeques est duobus quadratis apb fg,et a b c li,quod erat demonstrandἄ.c APUT SEcVNDUM, DE IRc VOS. DEFINITIONES.

circuivi e t Dr raptiva, una linea eontenta n cuius medio punctus est,a quo omnes lineae rectae ad circumstrentium exis

45쪽

circus rentia, est linea cotvres circiau. centrἄ,est medius ille putitis iis circulo. Diameter circuli, est linea rem que per eiM eentrum transiens ,extremitatesssus circunferentiae applicans,circulum diis media diuidit. Semicirculus,est figura plana, diametro circuli et medietate circuberentiae colenta. Portio eirculi,est figura plana,rem litania e parte circunstrentiae contenta, statvicirculo aut maior,aut nunor.

circulum linea continvre dicitur, quae eum circulum anuit, in utramq; partem elem eum non secat. chorda,estrem linea,portionem circuli coistinens.

Anguis supra arcum consistere dieiis

tur,qui a quolibet pund arcus uermo unos chordae duabus lineis rem exeuntibus

continetur.

Anguis consistere supra centrum dici tur, qui a duabus lineis rectis a centro ad circum irentiam protractis continetur. PRIMA PROPOSITIO. Anguius redditi M, tu semicirculo supra arcum consistens estis est. In porottone uero minore semicirchio, consi tens, obtusus 'Et in portione eum Aloidi

46쪽

re acu tu est. Sit circulus ab e cuius diameter acie, e in se circulo ad e,consistat angulus remii neu a κ:dico eum ess rectum. Niducanu b d linea,et protrahatur e bade. Et quia lineae d b, Mia,per definitione circuli sunt aequales, erit per quartum prim capitis angulus db aequalis angulo das Smiliter propter aequalitatem linearud b, d e,angulus L e,aequalis est angulo de b. Totus itaq angulus ad e,aequalis est duobus angulis Lao, CHLesb. Ateised eqvistur per. 23 primi cap. augulus extrinsecus eois,ergo per prima communem

sententiam angulus e ba,aequalis est aneulo ab e. ergo per defrutionem anguli recti uterque est retitis,putet Itur propositum. Rursus in portione e ba minore semicirisculo, cons hiat anguliis rectilineus ebis, die eum esse obtusum Ducatur per centrucirculi,quod situ, linea ad e, Criunviturbis.Et quia angulus ab e consistit in semicirculo, ideo per prma huius propositiois est rectus, sed angulus abces maior eo, per definitionem,intvr obtubus est. Porro in portione a b e semicirculo maiore,confistat angulus rectuineus a Me,dico eu esse

acutum. Ducatur per centrum linea ad e,

47쪽

meirculo constitit,intur est rei ius anguolvi uero a b c,est iminor eo erv per dissoritiose et acutM. s EcvNDA PROPOSITIO. cireul propositi centrum inuenire. sit circulus ad e,erus retrum sis iuueni mus.Protrahatur ut lubet chorda d b, o super adterum eius extremitatem constituais ivr angiam rectus,uerbi gratia,super teris minum locutus abe angulus rectus, dum tinea Ue usq; ad circumferentiameircidi. Deinde ducatur linea a ,eas per

medium diuidatur ni undis , hane dico esse centrim circuli. Num per 3pothesin angulos a b c est reddis,er per conuerasum pricredentis, portio a b c,in qua conis sistit,est semicirculia, linea itas a Midis meter,pundiusq; eiu mea ius d centrum. TERTIA PROPOSITIO. si timea a centro exiens , chordam per aequalia secuerit AE ea erit perpedicularis. sit circulus a b,cuius centrumi,asuqextensu rem Ad hordam a b per aequa alia secet in puncto, dico perpendieulare esse edada b.Trabuntur e , C eblia mae.Et quia trianguli ac d latera aequalia

48쪽

h3pothesim adaequalis db, per defini

lagutem utrique triangulo e d. Ideo per ter ait primi,anguli da, Credin sunt aequales,quare ters remsainea Ituris perpendicαlaris est ad linei ab definitionλα VARTA PROPOSITIO.s in diametro circuli praeter centrιι, signetur uti his, ta ab eo ad circumstrentium plurimae lineae ducantur . u. per centrum transierit, erit ommum IonIllium. Et quae dιametrum perfecerit, Ommum erit breuιβ a. Reliquae quae centro prospiores fuerint remotioribus erunt onugiores.

Sit puum si signatus in diama tro ascirculi a beta,cκius centrumi, C duis cantur ab eo ad circumstrentium liveae lib, ea da e. Dico est, quae per centrutransiit,ommum esse Ion II mam,rs,quae diametrum perficit ommum breuis mam,hra lonorem esse Ue, centro propinoquior fit. Et eadem ratιoire e donllorcii resed',utq; dealq si liter. conm lanis tur bo,bis,h d. Quom. per decimuiri.ca. in triangulo h hin uolatera cri bsunt maiora lateres b, C ah,σbb per esimtione circuli sunt aequales.ue per se iiij undam

49쪽

eundum conceptione, bl aequalis est duabus4h,s h q re emah mior est b. Rursus quoniam bin aequalis est e b, erhhest comitus Ideo per secundam conceptionen b, σὰ timeae sunt aequales e σὰ ineis, O angulus bb maior e per non comunem sententiam, anguloe b, Adeo per decimam omiam primi rapitis binis bra maior est a'eh. Et ob eandem rationem et, mior est si, db,mior e h. constat erra ea quae per cenatrum transit,omnium esse lonIsimum, Crpropinquiores centro,remotioribus stinores esse. Rursus d F σb perdecimam quartam primi capitis,maiores sunt d h. atd hie definitione circuli,aeqvilis est sh, intura Hethh maiores sunt l, servierquartam comunm sententia, ablata utrinque hi comtini, reliquata si maior erit fh. IE ad ratione fh minor esse ostendeis retur quam ho protram esset e centro e . Namst tum est erv k,quae diameistrum perficit,omnium esse minimam. V NTA PROPOSITI Si extra circulum signetur punElas,e ab eo ad circumstrentiam,secantes eam,plurimae ducantur lineae quae per centra trana ferit,omnium erit onuma centro aut propio

50쪽

propiores, remotiori bas lonIores. Particularum autem quae extrinsecus ira

instrentiae applicuntur , breuis a erit

quae diametro continuatur , t ei propinoquiores remotioribu breuiores. Sit extra circulum his de b cuius centrum tuum a sigratM, Cr ab eo ad circumferentiam ipsam secando trahatur plurmae lineae, ut an bin c, id, De.

Dico inter eas, ni suae per centru trasit,omnium esse lonIβtmum,reliquus uero quo centro propinquiores, eo lonIOres. Praeterea dico inter particuta dimrum linearum exteriores,ain quae diametro continuatur,breui imam ese, G reliqua tanto minores, quanto huie breuis ae uiciniores. Prma pars ostenditur ducantur nnta, Et quia an in e aequales sunt lime an b, maiores autem per decimam quartam,quam ais, erit an b quos maiora e. Smili modo in b imis o leuditur eaeteris expunEha dussis. Secunda pars sieastruitur. Et quia a n, Cri sunt eqialesam, erra d lineis,angulus uero a ic,mior est angulo am d. Ideo per decimam ossilisum primi a e basis maior est, a d basi Haud aliter docebis id maiorem esse ais Tertia pars probatur protractis lineis n