Alexandri Andersoni Aberdonensis Supplementum Apollonii rediuiui. siue, Analysis problematis hactenus desideratiad Apollonij Pergaei doctrinam perì neuseōn, ... Huic subnexa est Variorum problematum practice, eodem auctore

11쪽

SVPPLEMENΤvMQuoniam enim aequales sunt ex constructione in E D, DF,itemque CD, DB, aequales quoque erunt BF, EC.&propterea BC differentia extremarum EB, BF, inter quas B A media est. quod erat faciendum. COROLLARIVM. . Hinc data differentia extremarum , & rectangulo sub extremis, facile inuenientur extremae, si dato rectangulo, fiat aequale quadratum, ex cuius latere,& differentia data, inueniantur extremae, Ut supra.

LEMMA III

DAta summa extremarum , m rectangulo sub extro

mis, inuenire extremas.

Sit data summa extremarum BC, rectangulum sub extremis aequale quadrato A. fiat ipsi BC perpendicularis CF, ipsi A aequalis, cui ad angulos rectos ut FE, secans se peripheriam super diametrum BC decircinatam, in puncto E. & dimittatur perpendicularis ED. CEritque rectangulum B D C, quadrato D Ea qualc. quod erat faciendum. PRO-

12쪽

APOLLONII REDI VIVI.

Problema.

D in duobusfemicirculis, in direcitam basis habentibus,inter eorum circumferentias intercipere re lum datae aequalem, quae ad alteruorius Emicirculi. anaulum ait . a crus aiIeat.

Dicitur linea ad angulum vel punctum 2ertinere seu inclinarii quum continuata per punctum illud transiti Hoc autem problema, Vt varios casus, ita & singulis casibus proprias habet determinationes: distingui vero potest haec casuum multitudo secundum siuersas se- micirculorum positiones. vel itaque dati semicirculi sese contingunt, vel non contingunt. contingere vero se possimi dupliciter, prim9m exterius neutro reliquum includente, atque hinc existunt tres casius: priores duo quum semicirculi dati in eandem partem Daseos ver Sunt, quorum primus, Cyum iubetur datum segmentum intercipi inter utriusque peripheriae connexum al- aer, quum inter unius connexum & reliqui concauum.

Sunt itaque semicirculi exterius sese contingetes ADB, BEFC , rectaque data H. & ab angulo Α, educenda sit recta AE, intercepta segmento D E. ipsi H aequali. cxtra utriusque peripherIam. oportet autem rectam data H,non maiorem esse segmento recte ab angulo A eductae, & semicirculum B E F C contingentis, intercepto inter punctum contingentiae, & peripheriam connexam ADB. sit igitur hoc factum. ducaturque semici cuius A G C, super rectam A C. & agantur rectae D B, GC. '

13쪽

Iam erit ut AC ad AG , ita AB ad AD. & rectangulum A D iii A C, aequale rectangulo AB in AG.& rectangulum C A B, rectangulo FAE quoque aequale est, atque etiam aggregatum AG in AB, FG vel DE

sunt enim aequales, nam ducta recta ex centro L circula BEFC, perpendiculari in EF, erunt D M, M G, a quales, sicut& EM, MF, unde& reliquae DE, FG aequa- έ les quoque erunt.) in B C, aequale est aggregato F G in

AC, AF in AB. est enim A B in A G aequale aggregato AF in AB, &FG in AB.ὶ & aggregatum quadrati F G, & rectanguli FAE,aequale est aggregato rectanguli AGin FG, &ADin AF. est enim rectangulum AE in Ariaequale rectangulis AD in Ak, & DE vel FG in AF.3 sed AF in AB, ad AF in AD est ut AB ad AD. & FG in AC, ad FG,in AG. est ut AC ad AG,i.AB ad A D.ergo & totum aggregatum FG in AC. AF in AB,id est AG in AB, FG, in BC, est ad totum aggregatum AG in FG. & AD in AF, id est FG quadrati, &tei tanguli CAB, ut AB ad AD. hoc est aggregatum AD in AC, FG in BC, est ad aggregatum FG quadrati, &rectanguli CAB, ut recta

A B,ad recham AD. dabitur igitur ex primo lemmate recta AD, quare δί tota ΑΕ.

14쪽

ONII REDIVI v I. 7Sin autem ducatur tangens AI K, esse segmentum I Κ maximum omnium quae inter datos circulos interponi possunt,&ad angulum A pertinent, sic demonitratur, est enim ΑΚ m aior quam A E, & AI minor quam A D, ergo relinquitur IK maior quam D E atqui

eodem modo ostendetur, quo angulus D A B minor fuerit, segmenta quoque interccpta minora esse. In secundo casu ex hac semicirculorum positione se oportet datam rectam H ipsa quidem BC non maiorem, nec recta IK minorem esse, sit itaque media, &GE illi aequalis, in sequenti figura, cuius constructio similis priori. Eritque ut sipra AC in AG, aequale A B in A D. S: aggregatum AD in A B, GE in BC, aequale aggregato GEvel F D in Α C, sunt enim GF, ED aequales, ut ostensum est, unde addito communi FE, erunt quoque GE, FD aequales.).& AF in AB. &aggregatum rectanguli

rectangulum aequale rectangulis A p in AG,&AF in GEVel PD. at FD quadratum cum rectangulo F D in A F,

aequalia sunt rectangulo F D in D A sed GE m AC, ad

15쪽

AG, id est C Ab rectanguli ,& quadrati GE, vel FD, ut AC ad AD, vel AB ad AG dabitur itaque AG. quare dc A E. Esse autem GE ipsa BC minorem, sic demonstratur. est AB ad AG, ut o C ad GD. atqui AB ipsa AG maior est,ergo & BC ipsa GD niaiorerit. multo itaque maiori ipse GE 'at eandem maiorem esse ipsa IΚ, ita probatur, protrahatur IK ad N punctum in circumferentia AD C. eritque DG maior ipla IN, est enim ut AB ad BC , ita AG ad GD,&ita AI ad IN, & pcrmutando, ut AG ad AI, ita GD ad IN. est aurem AG ipsa AI maior, ergo& GD ipsa IN maior erit. & proinde eius dimidium ipso IK maior,ergo tota G E multo maior quam IK,

quod erat demonstrandum. Tertius autem Casus ex hac semicirculorum cootiim gentia est, quum oblati semicirculi in diuersas partes communis baseos divergunt. oportet autem in lautus modi casu, rectam datam composita ex basibus labn

maiorem cse.

Sint itaque semicirculi dati ADB infra, at BEC supra

communem basin AC.stque recta data H. minor ipsa AC. diuidatur recta H, secundum rationem AB ad n C,

sitque segmento ipsi AB analogo aequalis recta DB,&' aeliquo segmento aequalis sit BE.

16쪽

APOLLONII REDI VIVI.

Ouoniam igitur est ut AB ad BCi ita DB ad B E. erit de permutando AB ad DB. ut BC ad BE. sunt autem an guli ad D & E simul recti ductis nempe rectis D A,EC. erunt igitur anguli EBC, DBA, aequales,&in directura erunt DB, BE. quare inter periphelias BEC, ADB, intercepta est recta DE, affangulum B pertinens, ipsique H datae tequalis, quod erat faciendum..

Esse autem DE minorem ipsa A C, manifestum est, quoniam AB maior est quam BD, & BC maior quam BE, ergo & tota A C maior erit tota D E. Semicirculi dati secundo,ita sese contingere possunt, ut alter reliquum includat,atque hinc triplex iterum casus emergit, vel enim intercipienda recta, ad communem semicirculorum contactum pertinebit, vel ad reliquum angulum, idque vel maioris, vel minoris semicirculi. in primo oportet rectam datam , basium differentia non maiorem esse.

Sint itaque dati semicirculi A D B maior & exterior, contingens minorem & interiorem C E B, inpuncto B. sitque basium disserentia A C, super quam describatur semicirculus AFC. & sit recta data H, non maior ipsa AC.

17쪽

aptetur itaque ipsi AFC peripheriae,recta FC, ipsi H aequalis. ducaturque recta AFD , iccans circumferentiam maiorem in D puncto. tum ab angulo B, educatur recta BED, intercepta segmento DE, quod dico recta F C,siueia datae, aequale. Quoniam enim in quadrilatero FDEC, iunctis scilicet C, E punctis in anguli F, D, E, in semicirculis, recti sunt, erit& FCE angulus complementum nempe ad quatuor rectos. rectus quoque atque adeo parallelograminum erit rectangulum FDEC,& latera opposita FC,DS, aequalia, quod erat demonstrandum. Determinatio autem problematis manifesta est: nam AC maxima est carum omnium, quae semicirculo AEC aptari possunt. Si ad maioris semicirculi angulum reliquum pertinere debet data recti, duplex existit casus, vel enim caua maioris &convexa minoris peripheria terminanda cst:&tum eadem erit pragmatia quae primi casus, ut inde patet, sunt enim DE, FG in primi casus figura aequales:vel utriusque ferini circuli peripheria caua cadem finienda erit, quod eodem modo perficietur quo casus secudus, sunt enim illic CE, FD aequales, quare eo recurratur.

18쪽

ApoLLONII REDI VIVI.

Sed iam ad minoris semicirculi angulu reliquum pertineat data recta,atque hinc duo casias exorietur, nam ut supra, vel caua maioris &convexa minoris, vel utrius que caua periphcria , terminanda est. in priori casu , oportet rectam datam media proportionali interminoris basin, & basium disserentiam, non maiorem esse.

Sint igitur semicirculi ABC, maior, DEC minor, sc- se contingentes in C puncto. sitque data recta L, non maior quam est media proportionalis inter AD DC sit factum, ducta nempe recta DB , intercep Emento EB,ipsi L aequali:producaturque DB,in circum ferentiam maioris semicirculi in G. & sit ductus semicirculus AF D. critque aggregatum AD in DE, E B in AC, ad differentiam AD in DC &EB o ad DE.

19쪽

in DE, aequale rectangulo FD in DC. est autem aggregatum FD in DC, EB vel GF in AC, sunt enim EB, GF a quales,ut post demonstrabitur) aequale aggregato GD in DC& Gp in A D. & AD in DC, aequale est CD in DB. est autem CD in DB, minus EB Vel GF quadrato, aequale aggregato CD in DE&FDin EB vel GF. atqui GD in DC ad CD in DE est, ut DC ad D E, & GF in AD ad GF in FD, est ut A D ad FD,

vel DC ad DE. ergo & aggregatum G D in DC, GF in AD, id est ex demonstratis AD in DE, ΕΒ in AC, est ad aggregatum G D in DE, GF vel EB in FD,id est ut oste- sum est, ad differentiam AD in DC, & EB quadrati, ut DC data, ad DE quaesitam dabitur igitur DE, ex praemisso lemmate.

Esse autem GF, EB aequales, sic demonstratur ducatura centro H circuli ABC, ad GB: perpendicularis HIeruntque GI, IB aequales, est autem AD ad D F, ut D Had DI, & permuta do AD ad DH, ut FD ad DI, & componendo AH ad DH, ut FI ad DI, & iterum permutando AH ad FI, ut DH ad DI, id est HC ad IE, arquales sunt autem AH, HC, aequales igitur erunt FI, Idruare & reliquae G F, E B, quoque aequales: quod erat

emonstrandum.

Sed & EB minorem esse media proportionali inter AD, DC,sic ostenditur. est enim quadratum mediae inter AD,DC, aequale rectangulo G DB: atqui rectangulum GDB, maius est quadrato G F, vel EB: ergo media proportionalis interADMC,major erit ipsa EB, vel aliacpiauis sit intercepta. In teliquo casa ex hac datς,ad minoris semicirculi a sulum reliquum λαυσαυ- Oportet tactam datam, ma-

20쪽

ApoLLONII REDI VIVI. IIioris semicirculi basi non maiorem esse,nec media proportionali inter minoris basin, & basium differentiam,

minorem esse.

Sit itaque factum: & repetatur figura proxima, sitque GE aequalis datae M. & etit differentia DC in GE,&

spatij quo differunt AD in GE,& AD in GD, id est AD

in DE, ad DC quadratum, ut AD ad G D. est enim AD ad FD, ut DC ad D E,& rectangulum AD in D E, aequale rectangulo FD in DC. est autem DC in GE, minus DC in FD, aequale DC in DB: ssunt enim GE,FB, aequales proptet G F, , muales, ut supra ostensiim est.) atqui D C in D B, ad DC quadratum, est ut BD ad DC, id est AD ad GD. erit igitur differentia DC in CE, &spatij quo differunt AD in G E, AD in CD, ad DC quadratum, ut A D ad GD. dabitur igitur GD. De terminatio autem manifesta est, nam G E, minor

est ipsa A C, siquidem & tota G B eadem minor est, at maior est GE media proportionali inter AD, DC, siue GD, DB. quoniam enim quadratum dictae mediae, aequale est rectangulo sub G D, D B. atqui hoc minus est quadrato dimidiae GI, ergo multo minus quadrato GE, est itaque GE dicta media proportionali maior, quod si puctam D cadat in H,vel inter H & C: tum recta GD erit vel aequalis, vel maior dicta medica proportionali, quare etiam in ijs casibus determinatio patet. Si oblati semicirculi sese,non lagunt,vel igitur se secat, vel non secat hocque bifariam: vςl enim alter reliquu includit, vel neuter, quod si neuter reliquii includit, vel ad easdem sunt partes baseos, vel ad diuersas. Si ad easdem pertinent, duplex orietur casus: aut enim segmentum