장음표시 사용
21쪽
i SVPPLEMENTVM datum intercipiendum, erit totum extra Utrumque, Vel alterum tantum, in priore casu, oportet rectam datam non minorem esse parte baseos, inter datos circulos in- . teriecta, nec maiorem segmento rectae eductς ab angulo ad quem pertinere debet, & reliquum tangentis, Intercepto inter punctum contactus unius, & conuexam
reliqui peripheriam. Sint itaque quales expetuntur circuli, AIB, CH GD,
quorum neuter, reliquum nec tangat, nec secet, nec in-
Judat. Sitque data intercipienda M. sit hoc factum: &IH ad angulum A pertinens,ipsi M aequalis. fiatque DE aequalis ipsi BC, de ducatur semicirculus AFE. dico a gregatum rectangulorum AI in AE, IH in BE, ad aggregatam quadratim, & rectanguli DAC, esse ut AB ad A I. ini AE ad AF, ut A B ad AI. & rectangulum AF in n. aequale rectangulo AE in ΑΙ. & AD in AC aequale rectangulo AG in AH. sed aggregatum AF in AB, I H
ia BE, aequale est aggregato IH in AE, & AG in AB est enim AF in AB aequale AG in AB, & HI vel GF in AB,
22쪽
sunt enim IH GF aequales, quod eodem modo demo astrari potest, quo ad prunam figuram huius problematis DE, FG ostense sunt aequales. J S aggregatum qua
drati HI, vel GF, & rectanguli G AH, aequale est aggregato AF in I H, vel GF,& AI in AG, est enim AG in AH, aequale IH vel FG. in AG,& AI in AG. sed est AE in IH, ad AF in I H, ut AE ad AF, id est AB ad ΑΙ. & AGH AB ad AG in AI, ut AB ad AI. Ergo aggregatum AE in I H, AG in AB, id est AI in AE,& IH in BE. in ad ag gregatum A Fin IH AG in AI, id est quadrata iis,&rectanguli DA C.) est ut AB ad AI. data itaque recta intercipienda M, dabitur & AI, ex primo lemmate. quod erat quaesitum. Quod si ducatur recta AKL, tangens circulum C G Din L & secans circulum A l B in Κ, este I H, ipsa ΚL minorem, manifestum est. nam tota A H, tota A L minorcst, at AI pars, maior quam A Κ, ergo reliqua IH reliqua ΚL minor est. eodemque modo, est AH maior ipsa AC at A i minor quam AB, ergo reliqua I H, reliqua BC
Sin in hac semicirculorum qi mi , recta intercipienda, semicirculi ad cuius angulum pertinere debet convexa, reliqui vero caua peripheria, termine la sit, oportet rectam datam non maiorem esse,posterioris base co- tinuata basium intersegmento, nec minorem segmento tangentis cundem posteriorem, ab alterius angulo, inter punctum contingentiae,& conuexam prioris peripheriam intercepto.
Sint ut prius circuli dati A IA, CH GD , rectaque data P. & sit factum quod iubetur, dinsta nimirum A G, tra-
23쪽
bens segmentum I G, rectae, P, aequale. fiatque DE, ae qualis ipsi BC ut prius, & sit ductus semicirculus A FE, reliquaque perficiantur ut in priori schemate. erit aggregatum rectangulorum AE in Ai,BE in t G vel HF, lunt enim aequales, quia IIJ, GF aequales sunt ad aggregaturectanguli DAC, & quadrati I G, vel H F,ut AB ad ΑΙ.
Est enim ut supra, AE in AI, aequale rectangulo AB in AF de aggregatum AB in AF,& i G vel HF in BE, aequale aggregato HF in AE& Α Hin AB. aggregatum autem rectanguli DAC, id est GAH,& quadrati iG vel HL aequale est aggregato AH in Ar, AH in I G vel H F,&quadrati ipsus IG,ves Ap. sed quadratum HF vel IG,ciam rectangulo AH in HF aequale est rectangulo HF in FA . ergo aggregatum GAH, vel DAC, & quadrati IG,aequale est aggregato HFin FA,&AH in Ai. est autem Vt supra HFin AE, ad HFin FA, ut AE ad FA,Vel AB ad AI.& AH in AB, ad AH in AB ad A Hin AI, ut AB ad AI. ergo& aggregatum HB
in AE & AH in A B, id est AE in AI,& BE in I G vel HF. est ad aggregatum HF in F A,& AH in AI, id est ad rectangulum D AC, & quadratum I G vel HF. ut ΑΗ ad AI. data igitur IG, vel P recta, labitur & AI quaesita. Esse autem B D maiorem ipsa I G, sic ostenditur. ducantur NO,NL perpendiculares ipsis AG, AL ex centro N, circuli CH GD. &erit BN maior qua IO, & ND quam O G. ergo tota B D, tota I G maior est. & Io maior qua KL, est enim AK ad KL, ut AB ad BN, id est, AI ac I O,& permutando AI ad AK, ut IO ad KL. est autem AI ipsa AK maior, ergo & Io, ipsa KL maior erit: & propterea I G ipsa Κ L multo maior quod erat demonstrandum.
24쪽
Quod si in diuersas baseos partes divergant dati se
micirculi sese nec tangentes, nec secantes, quorumque neuter reliquum includit, duplex quoque nascetur casus: aut enim utriusque caua,aut unius caua, reliqui veroco uexa peripla eria,intercipieta est,&data recta. in priori, oportet rectam datam aggregato basium, & inter segmenti, non maiorem est e, nec minorem recta, ab unius angulo reliquum tangente, intercepta inter punctum contactus, & canam reliqui peripheriam ..
Sint igitur dati semicirculi B ΚI, CF G D, dataque recta M.&sit factum. ducta nempe recta Κl G, ad angulum I pertinens, aequalis datae. Fiat ipsi BC aequalis D Itemque BI, LE, & IC, D L aequales, ducatu que semicirculus IHE.& erit disserentia rectangulorum IL in κλ& ae in IG, ad rectangulum BI in IC, ut ID ad I G, Est enim xc in I L, aequale ΚG in IE, minus KG in LE, vel BI. sed IE in ko, minus IE in I G, est IE in KI. hoc autem aequale est ipsi BI in I H. est enim BI ad 1is,ut IE ad IH. &BI in tes, minus BI in KG, est BI in IF. sunt enim EF, GH aequales, ut post ostendetur, & propterea Κ G, FH.
25쪽
ergo IH aequalis erit compositae ex RG & IF. atqui BI HI F, ad Blin IC, est ut IF ad IC, id est ID ad I G. ergo i Lin kG, minus 1 E in I G, est ad BI in IC,viID ad I G,quod crat demonstrandum.hinc ex lemmate praemisso,dabitur segmentum I G. Esse autem aequales KF, GH, sic demonstratur. a centro P semicirculi CGD, ducatur perpendicularis Peritque I P ad I Q , ut PE ad QH, vel BI ad th.&coponedo BP ad k vi PE ad Q H.&permutando, BP ad
PE, vi k id uia. sunt autem ex constructione aequales BP, PE, ergo & k', 'H aequales quoque erunt. sunt autem & F QG aequales, ergo S reliquae KF, GH,aequa les quoque crunt, quod erat demonstrandum. Sed S h G minorem este ipsa B D, manifestum est. nam KI minor est: quam BI, & IG quam tD, ergo & tota KG, tota B D minor erit. similiter, eu eadem kG maior est quam No. ducta nempe recta N IO, tangen te circulum COGD, in opuncto. est enim hi maior
quam NI, & IG quam I O. Ergo & tota kG maior erit
quam tota NO. In reliquo casu ex hac semicirculorum positione, quum nimirum recta data, ua,semicirculi ad cuius angulum pertinere debet, periphoria,& reliqui convexa terminanda est, determinatio maximi & minimi noncst tant obuia,quam in superioribus experti sumus, qua
lena vero praesens demonidiatio suggetit, post analysin
Sint dati semicirculi AEB, CKD, dataque recta M.& sit factii m. ducta scilicet redh.i E B F aequalis datae,&siat segmento BC aequalis DH recta. ducaturque semi-
26쪽
AroLLONII REDI VIVI. I9 circesus B LIq. tum recta perpendicularis ex ceutro G,
circuli CFK D,in rectam EBF pro tensam in I punctum, in peripheria BI H, quaesit GI. eritque differentia B Hin EF, &AH in BF, ad AB in BD, ut BC ad BPF. Est enim AH in BF aequale ipsis AB in BF, &BHin BF, at B H in EF, minus B H in B F, est B H in BE, id est AB, in BL, est enim AB ad BE, ut B Had B L.)sed AB in B L
minus AB in BF, in AB in F L, vel BK. sunt enim BF, hi aequales, quoniam Bi, IL, itemque FI, I k, a quales quoque sunt.ὶ at AB in Bk, ad AB in BD, est ut Bh ad BD, vel BC ad BF. Ergo differentia rectangulorum B H in EF, de&AH in BF, est ad AB in BD , ut B C ad B F,quod erat demonstrandum, ex demonstratis igitur daoitur B F. Hinc omnibus ipsi A si applicatis, oportet latitudinem ortam ex applicatione B H in EF,non minorem esse dupla eius, quae potest rectangulum ex latitudine orta ex applicatione AB in BD, in rectam BC. tum altera extremarum diuisa nempe priori latitudine ita, ut dicta recta inter eius partes media sit proportionalis. maiore quidem quam B C, at minore quam est tangens a puncto B, inter B,& punctum contingentiae in circumfe-
27쪽
Σo s v PPLEMENTUM rentia CKD, sublata ex recta data M, reliquum segmentum, minus esse debet recta AB, at maius segmento dictae tangentis inter B punetum,&cauam semicirculi AEB peripheriam,alioqui dicta recta, intercipi non potest. vi ex demonstratis pateri Quum circulorum sese nec tangentium,nec secantiu, altor reliquum includit, aut recta data intercipienda, ad maioris semicirculi angulum pertinebit,aut ad minoris, re ex utroque bini casus derivantur, ex priori quidem, vel recta data caua maioris & convexa minoris circumferentia terminada est: viri superiori penultima figura, recta G H. vel vitiusque caua peripheria contineri debet : qualis in eadem est recta F H. in huius nodi semicirculorum positione, aut repetita figura iam dicta DE, ipsa CI minor, aut maior, aut eide aequalis est. si minor, petatur prioris casiis pragmatia ex nono casu, sui enim illic IH, GF quales. si maior, operaberis ut in eadem simperiori penultima figura, facta nimirum BC, ipsi DE aequali, sunt enim illic KF, GH aequales, ut ostes um est. quod si aequales fuerint IC, DE, aequales quoque erunt IF, GH, quod in proxima praecedente figura probatum est, indidemque Sc reliquo quoque casui satisfiet. Iam ad minoris semicirculi angulum pertineat data recta,sintque dati semicirculi AFE,BGD. unde duo iterum Oriuntur casus, aut enim maioris caua, minorisque
convexa, aut Vtriusque caua peripheria finienda est d, ta recta. sit itaque pro priori, data recta M. ac primit, sit DE minor quam AB, & tum oportebir datam rectam, media proportionali inter ΑΒ , BE non maiorem ςsse, nec recta I E minorem.
28쪽
Sit igitur factum, ducta nimirum recta BCF, habens segmentum GF, si M aequale. sitquc maioris semicirculi ceutrum N. do si ND fiat aequalis NK, ducatu que semicirculus kLB,interscinis a recta FG B, protensa in circumferentiam maiorem, in I punctum in puncto L. eritque differentia aggregati BD in BI,ΚB in GF,&redhagusi GF in BD, adrectangulum AB in BE, virecta ΚBad BI. Sunt enim primum GF, IL aequales, dum enim atro N, ad rectamIF perpendiculari NO,est kBut L B ad Bo.& componendo,ΚN ad LO ,ut BN ad B Ο, id est ND ad OG,& permutando ΚN ad N D,ut LO ad O G. sunt autem ex constructione FNm D aequales, ergo & LO,O G aequales quoque erunt, igitur & reliqua: IL,GF. Iam BD in BI minus BD in GF, vel IL,est BD in L B. hoc autem aequale ΚΒ in BG. est enim B D ad BG,
29쪽
ergo differentia aggregati BD in BI, LB in GF,&rectanguli GF in BD, est ad rectangulum AB in BE, ut recta hBad recham i B, quod erat demonstradum. datis igitur semicirculis positione ut supra, rectaque i, dabitur IB,ex
Effe autem recta GF minorem media proportionali inter AB, BE, sic ostenditur quadratum mediae inter AB, BF, aequale est rectangulo I B F, hoc autem maius quadrato IL, vel G F, ergo & media proportionalis inter AB, 3ε maior quoque est quam GF at cade GF vellL,
minor est quam DE vel A N quoniam tota BI, maior est tota NA, de pars,nunor parte ΒΚ: ergo reliqua LI, reliqua AK maior erit.
Quod si AB, DE fuerint aequales, aequales quoque
crunt IB, GF, lataque interponenda, media proportionali inter AB, BE maior esse no debet, nec recta A B vel DE,minor. quod ulteriore declaratione non indiget.
Sitiam DE maior quam AB, &sit data recta M. determinationem vide infra analysin. sitque factu, ducta scilicet recta BGF, habens segmentum GF, aequale da tae M. fiatque AC aequalis ipsi D E. & ducatur semicirculus BHC, secans rcctam BGF, in H puncto, protendatur autem B H GF recta, in I punctum in circumferentia maiore AFE, eritque differcntia rectangulorum CF in compositam ex BD,BC,& BD in I B,adrectangu lum AB in BE, ut recta BC ad I B rectam.
30쪽
sunt primum IH, GF aequales, quoniam ex constructione sunt AC, DE aequales, & reliqua: CN,ND, ex
NO, D G. unde&reliquae IH, GF aequales: est autem IH vel GF in BD, minus I B in BD, aequale B H in BD, - laoc autem aequale est BG in BC. est enim BD ad BG, Vt BC ad BH. at aggregatum BG in BC,& IH vel GF in BC, id est BF in BC, est ad AB in BE, id est IB in BF, v t BC ad IB: ergo disserentia I H, vel G F, in compositam ex BD,BC,& BD in IB,est ad rectangulum AB in BE, Vt recta BC, adiectam IB, quod erat demonstrandum. dabitur igitur ex praemissis segmentum IB. Hinc ipsi BD applicatis rectangulis, GF in compositam ex BD, BC, & AB in B E, oportet latitudinem priorem, non minorcm cuc dupla rectae quae potest rectan-