장음표시 사용
31쪽
α4 SvPPLEMENΤvMgulum ex latitudine posteriore, in rectam BC. tum aliea ex tr emarum non minore ipsa AB, nec maiore media
proportionali inter AB,B E,sublata recta data,reliqua segmentu, ipsa BC maius esse non debet. Alioqui recta data interponi non potest,ut ex demonstratis liquet. Reliquus casus ex hac semicirculorum positione est. quum data recta,utriusque caua peripheria intercipiemda venit: qualis in figura praecedenti recta IG. hic autem casus, ut& superior, pro diuersa ratione DE, ad BA, dbuersas admittit & factiones, & determinationes. Repetatur itaque primu piaemissa figura, in qua D E, ipsa AB minor est. sitque factum, recta nempe IG sit aequalis datae M. oportet autem rectam datam ipsa A Dnon maiorem,nec media proportionali inter AB, B E norem esse. erit itaque tum , differentia rectanguli BD in ic, &spatij quo differunt KB in IG, & SB in IB, id est A B in FG, adrectangulum AB in BE, ut BD data, ad I RQuaesitam.
32쪽
Est enim ΚΒ in BG. aequale BD in I B. nam est BD ad BG, ut KBad LB.)&BD in I G, minus BD in I A, est BD in BF ostens e sunt enim IL,GF aequalesa est autem set, in BF,ad IB in BF, id est AB in BE, ut BD ad IB. ergo dis ferentia rectanguli BD in I G, & Spatij quod. disserunt ΚΒ in IG, de ΚΒ in IB, est ad rectangulum AB in B E,
ut BD data, ab I B quaesitam. dabitur igietur IB. Esse autem I G minorem ipsa AD,manifestum est. nam tota ΑΕ, maior est tota IF, & GF maior quam DE, ut ostensum est.Ergo reliqua IGaeliqua AD minor est. Est autem eadem maior media proportionali inter AB, BE, est enim huius quadratum, riuale rectangulo IBF, atqui quadratum I G, maius est rectagulo I BF, est enim maius quadrato dimidiae Io, ergo & recta IG, siue quς-cunque alia sit intercepta, media inter B E maior e eritia Quod si AB, DE fuerint aequalis,pragmatia & determinatio obuiae sunt & faciles, erunt enim IG,BF aeqv les, quare iure omittiturhic castis. Restat cassis in quo DE maior est quam AB. repeta tur itaque ea figura,sintque oblati quales isthic semicirculi AF E, BG D. & quoniam illic ostense sunt IH, Cp aequales, facta AC ipsi DE aequali, erunt quoque H F, IG aequales, quomodo autem intercipie da sit recta H F, aequalis datae, ad punctum B pertinens', hrdem ostensum est: quare pro huius casus quum factione, tum de
. Secent se iam semicirculi oblati& tum recta intercipienda, vel ad angulum segmenti communis Vtrique semicirculo, pertinere potest, vel ad reliquum: si hoc,
33쪽
ας S vppLEMENTvM vel recta data terminanda est cxtra utrumque, vel alterum tantum, vel intra segmentum utrique commune
Sint igitur primum circilli sese secantes AF C, BIGE.
sitque recta data M, intercipienda extra utriusque peripheriam caua, vel inter utriusque peripheriam conue-Xam, pertineatque ad angulum A. oportet autem datam rectam non maiorem este tangentis sesinento ab angulo A, intercepto inter punctum contingentiae in peripheria BIGE, &convexum Ap C periphetiam . sit fa- ct am, intercepta nempe recta Fi aequalis datae I, 5 ad angulum A pertinens. sintque aequales BC, DE, & ducatur semicirculus AH D, & siccet rem A F I circumferentias BGF, AH D, in punctis I,G,H. cruntque primum rectae Fi, GH aequales. nam si a centro L,circuli, BIGE,ducatur perpendicularis L N, in rccham I G, crit vi CL ad LD,
ita F N ad N H. &propterea FN, NH aequales. atqui, NI,NG quoque aequales sunt. ergo S reliquae FI, GH. dico iam esse aggregatum A F in A D, FI vel, HG in CD. ad aggregatum FI vel GH quadrati, & rectanguli AB in AE, ut AC ad A F. enim A D ad A H, ut AC ad A F. & remngulum AC in AH, aequale rectangulo AF in AD. derectangulum
34쪽
AB in ΑΕ, aequale rectangulo AG in AI. sed aggregatum rectangulorum AC in AH, & HG vel FI in C D, est aequale aggregato GH vel FI in AD S: AG in AC. est enim ΑΗ in AC, aequale rectangulis A G in AC, &GH in AC.ὶ & aggregatum rectanguli GAI,& quadrati GH,vel FI, est aequale aggregato AH in GH vel FI,& AF in ΑG. est enim AI in Α G, aequale rectangulis
ad AG in AF, est ut AC ad AF. ergo aggregatum GH in ΑD. & AC in AG, id est AC in AH, v et AF in AD 3e HG in C Dd ad aggregatum quadrati G H, vel FI, & rectanguli GAi, id est E AB, est ut AC ad AF, quod er i demonstrandum . dabitur igitur AF. Esse autem FI minorem segmento tangentiis dicto,
sic docetur: est enim tota tangens, maior tota AI,&segmentum tangentis intra circulum AF C, minus segmento AF. ergo reliquum tangentis, reliquo segmento FI, maius erit. Si extra alterum tantum datorum semicirculorum, terminanda est data recta, erit illud, vel extra circulum ad cuius angulum pertinere debet, vel extra reliquum, si prius,vel tota continebitur intra reliquum circulum, Vel pars tantum. hoc autem ut in proxima praecedente figura, recta FG,ad angulum A pertinens. Repetatur itaque eius construmo. stque interposta recta F G , aequalis datae, ad angulum A pertinens. est autem haec non minor segme aio tangentis circulum BGE,ab angulo A eductae,interpunctu cotactus,&coni am circuli AFC peripheriam comprehenso: nam du-
35쪽
28 SvPPLEMENTUM plum illius segmeti minus est ipsa, FH, ergo eius dimidium minus ipsa, F N, & proinde multo minus ipsa F G, nec maior,segmento rectae ab angulo A eduet perco munes circulorum sectiones, sunt enim illae in eadem rem linea cum A puncto, si quidem Fi, GH,semper sunt aequales,ut ostensum est. inter conuexam circuli ad cuius angulum pertinere debet, de reliqui cauam peripheriam intercepto. erit iam aggregatum A D in AF, CD in
FG vel IH, ex praemissis enim sunt FG,IH aequales ad apgregatum rectanguli E A B, & quadrati FG,ut AC ad Ap. Est enim AD ad ΑΗ, ut AC ad Ap. & rectangulum AD in A F, ςquale rectangulo AH in AC,& aggregatum
A C in AH, dc CD in FG, aequale est aggregato F G, vel I Hin AD,&AI in ΑC: aggregatum autem rectanguli EAB, id est cxi,&quadrati FG vel iH, aequale est agSregato AI in AF, AI in FG,& quadrati ipsius FG, vel iH, sed quadratum i H vel FG, cum rectangulo AI in IH, aequale est rectangulo IH in HA. ergo aggregatum GAI, vel EAn de quadrati FG. aequale est aggregato IH in HA, δί A i in A F. est autem IH in AD, ad IH in HA, Vt AD ad HA, vel AC ad Ap. & A 1 in AC ad A i in A F,ut A C ad AF. ergo aggregatum' i H in AD, AI in AC, ad aggregatum in in HA, &AIlia AF, est ut AC ad Ap, id est ut ostensum est, aggregatum AD in Ar, & CD in FG, ad aggregatum rectanguli EAB quadratiFG,est ut AC ad AF. quod erat demonstraduna: data igitur FG, dabitur & AF. Terminenda sit iam data recta quoque circulo, ita ut tota sit extra eum , ad cuius angulu pertinae debet, sed reliquo tota includatur.
. Sint igitur circuli sese secantes, ΑΗC, BIFE. rectaque
36쪽
ApoLLONII Rr DIVI VI. data M,quae segmcto baseos alterius, ad cuius nimirum angulu non pertinet reliquo a segmeto communi, non maior esse debet. sit ducta recta AP secans circumfercntias datas, in punctis I, H, F. sitque EF rectae datae M , aequalis, & fiatipsi BC aequalis DE, ducaturque perpendicularis DG, in rectam ΑF. eruntque primum rectae I H. GF, aequales. nam a centro L, circuli BIF E, ducatur alia,
in eandem perpendicularis quae sit LN. erunt NH NG, itemque N l,N F, aequales, quare&reliquae GF, I H. dico iam aggregatum A C in HF, A C in A I, A D in HR esse ad BA HAE,ut recta AD, ad AI rectam.
Est enim aggre gatum AC in ALAC in H F, vel IG, sunt enim quales,quiaIIJ, GF, aequales Sut,
Vt ostensum est. uale AC in AG, &AC in AG , aequale AH in AD est enim ut AD ad AG, ita AC ad A H. sed aggregatum A D in AH, AD in HF, est AD in AF. est autem AD in AF ad AF in AI, id est EABὶ ut AD ad AI ergo aggregatum copositae ex ACS: ADin H F,& AC iu AI, est ad EAB, ut AD ad AI . dabitur igitur AI. Est autem H F minor quam CE, quoniam CD maior est quam HG, S: BC quam IH. nam tota AC, maior est tota A H,& AB pars, minor parte AI, ergo reli qua BC, reliqua IH maior erit.) &propterea BD,maior quam lG. id est ex constructione CE maior quam HF. Quod si data recta, tota intra circulum ad caeUS --.
37쪽
3o Su PPLEMENTvMgulum pertinere debet, terminatur, erit vel tota ex inireliquum, vel pars tantum. atque horum duorum casuum, eadem est operatio, & determinatio, quae in antepenultimo , & penultimo proxime praecedentibus. sunt enim illic, in circulis AH D, BIGE, squales hi casus requirunt rectae GH, I H, rectis FI, FG, aequales. quare
Si recta data spatio utrique semicirculo communi,includenda est, ut in superiori figura recta IH , ad angula A pertinens, oportebit rectam datam M, communi basium intersegmento, non maiorem esse.
Repetatur itaque figura proxime praecedens, & sit factum. critque aggregatum AD in AH, & m in AC, adrectangulu AB in AC, ut AE ad AI. cst enim aggregatu AD in AH, IH in AC, aequale aggregato C D in A H,& AC incompositam ex AH&IH vel GF. sed rectaη-gulum CD in AH, aequale est rectangulo AC in se G. sunt enim proportionales CD, HG, & AC, AH. in cr-go aggregatum A D in A H, & IH in AC, aequale est aggregato AC in HG, & AC in compositam ex AH, GF, id est rectangulo ex A C in Ap. sed rectangulum A C in AF, ad rectangulum AC in AB, est ut AF ad AB, id est A E ad AI. ergo aggregatum rectaguloru AD in AH, ita in AC,id est A D in AI,A D in i Η, i H in AC,est ad recta-gulum AB in AC, v t AE ad AI . quod erat demonstrare.
dum . data itaque I H,dabitur & AI. determinatio ostensa est, in casu proxime superiori. Si ad angulum segmenti communis utrique semicirculo, pertinet data recta: poterit tota terminari intra, extraue circulum ad cuius angulum pertinere debet, vel
38쪽
APOLLONII REDI VIVI. 3rpartim extra, partim intra eundem. si Primum, debet data recta non maior cffe, segmento baseos semicirculi intra quem continetur, reliquo a communi intcrsegmento. sint itaque dati sic circuli scse intersecantes,
ADLB,MDF C,dataque recta Z.&sit ducta recta MI Fhabens segmentum L F, aequale data: Z. fiat ipsi BC az- qualis G A, & producatur FL M quantumlibet in H, eique perpendicularis sit GH.&ex celitro E circuli ADB, eidem quoque perpendicularis sit EI. crunt primum HK, LF aequales, lunt enim GE, EC. aequales ex constructione. & EM ad MI,vi MC ad M F, & componendo EC ad IF, ut MEU MI, id est EG ad I H. & permutando EG ad EC, ut ita ad IF.ssent autem EG, EC aequales, ergo &iH,IF.at IK,IL aequales quoquc,sunt,ergo & reliquae HK, LF. dico Lim differentiam aggregati rectan
39쪽
Crat de monitiandum. data itaque L F, dabitur &M L. Est autem LF minor quam BC.quoniam tota MF, to 'ta MC minor e st, at ML maior quam MB, ergo reliqua ' LF, reliquae BC, minor. quod si punctum M cadat in Er centrum, tum erunt MB, ML aequales,& remancbit si-: militer L F minor quam BC. at si M punctum ultra cen-ῖ' trum E ceciderit,ium ductis perpendicularibus ad puncta L, F, in ipsim LF rectam, ostendetur segmentum ipsius BC dictis perpendicularibus comprehensium,eta maius ipsa LF vecta, ac proinde totam BC multo maio-
Sit iam data recta, tota extra circulum ass cuius angulum pertinere debet, terminanda, ic inclinanda in partes dicti anguli, ita ut sit citra communem semicircul rum,interscctionem: in hoc casu data recta, minor esse, debet media proportionali, inter segmenta baseos se- micirculi,in cuius caua periphcria terminatur. Sint igitur quales quaeruntur citculi AIC, ΒΚ D. dataque recta Z. & sit factum , ducta nempe recta ΚI habens segmentum KI, aequale datae Z. fiant ut prius AB, DF aequales. ac ducatur perpendicularis A I, in re- . inam KC. tum EL exE,centro circuli BKD. & FG in eandem quoque producta in H punctu,in cipeumfere- tia BFID, perpendiculares. erunt primum KI,GH aequa
Ies, est enim AC ad C I, ut CE ad CL, & componendo, permutandoque AE ad IL,vi CE ad C id est EF ad LG. α iterum permutando AE ad EF, ut IL ad LG. sint a tem AE,E P aequales. ergo & IL,LG aequales quoquφ
40쪽
erunt. atqui KL,LH, aequales sunt, ergo dereliqua: ΚΙ, GH. Iam dico agerceatum ΚI in CF, CF in CI, KI in AC, cste ad disserentiam BC in CD,& ΚI quadrati, ut
AC ad C I. Est enim CFGH in C A, est CH in C A. ergo ΚI in CF, CF in CI, & AC in K Isimul, aequalia sunt duobus, Κ I in CF,&CH in CA : at KC in CH. id est BC in CD, minus ΚI quadrato, est aggregatum I C in CH, &ΚΙ in C G. est autem ΚI in CF. ad xi in CG, ut CF ad CG,&CH in C Α, ad I C in CH, ut CA ad CI, id est CF ad C G. ergo aggregatum kI in
tiam BC in CD, & kI quadrati ut AC ad I C: quod erat demonstrandum. data itaque kI, dabitur & i C. Determinatio manifesta est:nam quadratum mediae proportionalis inter BC,CD,aequale est rectangulo sub kC, CH, hoc autem quadrato kI maius: ergo & dicta media proportionalis, ipsa kI maior erit. Sed ulterius procurrat recta intercipienda,&caua Vtriusque peripheria, citra, ultraqtie semicirculorum comunes interfectiones finienda sit, qualis in sigura pro-