Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum Petri Mengoli ...

2쪽

ILLUSTRISSIMI

PATRES

Ereor quin vestris auri bus,Patres Amplisicomsona liqc numeroru comgeries dissonare vide tur : at innumeris meritis innumeram numerorum seriem deberi quis denegest Arenas maris, stellarum numerum , nivis exagonae multitudi nem eXaminandam Contemnere, dum

vestrae fisus humanitati infinitum m tiri minime dubitaui. Fronti nunquam melior successit sudor, calamus potiori

nunquam Undauit atramento, eo quod vestro nomini, meo veluti numini con- , secratur . Hae meae quaequae sint, int

gritatis fractiones , quia minimae sunt quantitatis, ipsum munus exile profitentur , quia vero in singulis disposi

1 tionibus

3쪽

tionibus infinitae colliguntur, vestrae non minus humanitatis , quam obsequij si iei numerant argumenta . Vester labor est, Patres illustri sic dum

meis lucubrationibus munificentissimo imperio laborastis: vester, inquam, i bor est, cui vestri caetus, nostrique s.culi Apollo amplissimae lucis impendium erogauit. Spinosa haec Matheseos dumeta e rigidis acutissimae artis spinis verecundiae meae rosas collecturi respicere ne dedignemini. Valete.

. e .

Illustrisis. DD. V V

Seruus humillimus

Petrus Meetolus.

4쪽

PRAEFATIO

Editanti mihipersape Archia medis parabola Quadraturam , propter quam infinita

triangula in continue qua drupla proportione exissentia certos limites quantitatis non excedunt l, occurrit uniuersialis ista uuadratura eiusdem argumenti occasione a Geometris demo irata, qua magnitudines: μ ta continuam quamlibet proportionem matoris inaquautatis pos

fidentes in prasenitas homogeneas quantitates colliguntur . Admirabile sane I heorema reuius contemplationem eam quastionem inductus sum, utrum magnitudines ea quacunq; ιτι diuposita, ut aliqua possit assumi minorquatorii posta, vel ut aescientes in in Lium euansscant, infinita composita Omnem Gram quantitatem valeantsuperara . ,γn buiusmodi eausa experimentu dratbm sic 'a times tetare agressus, eas ita disposui, visi,guiat unitates singulis post unitatem nu

meris

5쪽

meris denominarem in qua quidem di positisne sumi potest magnitudo minor qualibet assi

gnata , re propterea ipsa magnitudines ad ordinis incrementum quantitate decrescentes in infinitum evanescunt. Causam igitur in astu ta dispositioris teriminis proponens quarisam, utrum unitates denominata singulis numeris post unitatem in infinitum disposita, re aggregata infinitam aliquam, vel simiam componerent extensi nem . Pro finita extensione respondendum videbaturi, quod numerorum, re fractionum contraria sint potestates, numerorum quidem in multiplicatione, qua magnitudines versus infinitum progrediuntur , fractionum vero in diuisione, qua res ad ipsa indivisibia reduentur: aggregati autem numeri severant quamlibet propositam quamitate ι ergo a contraris senseu aggregata fractiones non videnιur posse quamlibet proposita magnitudinem excedere .

Hoc sopbisma toto fere mense fuit expectati

6쪽

nis argumentum, quod pro hac parte Geometricam in causa ferre polem sententiam: atqui dum processum demo iratιonis examino, furiiscium in alterius partis fauorem conuertιtur. Ea est ratio, quia in propositis stacitionibus aquales magnitudines numeris Arithmeticediosilis denominantur , re propterea truconsequentes, utpote A, B, C, - cseunt Harmonice disposita, oe A , ad C, eamdem habet pro S i portionem, quam excessus, A, B, adexcessum B, C ren autem A, maior G; ergo excessus A, B, maior est excessu B, C aggregaιum A , G, maius duplo B; re aggregatum externis A, B, C, maius triplo media B. Hoc

igitur argumento fra tiones in proposita dispositione siumpta terna a prima sunt maiores

triplis mediis: re media sunt unitates deno minata numeris a ternario mustiplicatis , - ,s earumdem tripla sunt ιιτ, T, T, qua eoiem, quo supra argumento terna sunt

7쪽

maiores tr.lis medist. Ergo fractiones proposta distositionis assumpta rotidem semper se

cundum numeros proportionis continue subtriapus, ρ, 37,δἔ, singulas unitates excedunt.

Possunt autem sums, pro quouis assignato

numero, totιdem in continua proportiona su tripla numeri a ternarιo,suxta quorum ag-

gruatum sumpta fractiones dispositionis proposita ipsium asegnatam numerum superabute Ergo proposita fractiones in in initum disposita, oe aggregata ιψmtam extenseonem valent implere . Sit me si gratia numerus assignatus inere sumantur a ternarso quatuor continue proportionales ιn subtripla s, Ι, quo rum summa ra oragitur sumpta mones in multituine numera Iao superant assignatum numerum-nam tres prima superant tria plum et, videlicet unitatem: nouem deinceps superant triplum aggregati ἱ, , - , vιdelicet aggregatum et, ,et; sed bui moi aggregatum superat unitatem, ut ostendι ι ergo nouem deinceps superant unitatem re propter eamdem

8쪽

tes simulas unitates excedunt.

Hine duo C o rollaria processere. Primum ἰquod eadem dispositis a quocunque ordinetur principio in in tum extenditur ι utpote si distositarum fractionum prima st ,-alia deinceps adhue ipsam dispositionem propositum

quemuis numerum siverare poste e finitum enim en aggregatum ex ijs, qu/ sunt Omissa

st, 4,sre sniti ab infinito substractiUnitum

relinquere non potest.

: Alterum , quod infinitarum stactionum dispositio, in qua singula unitates a singulis

numeris Arithmetice proportionalibus denominantur, pariter in infinitum extenditur ZFiat huiusemodi disinsitio A euius primam, fractionem denominet numerus B, re exesysu Arithmeticeproportionalium t C, re sub fingulis fractionibus dispositimis Λ, ab εodem , principio flat dispositio Doramonum, in quiabus unitates denominantur omnibus numerit ,

9쪽

aB. usia primi denominatores m dispositi

nibus A, D, fiunt aquales, alter minor ea quam ut ad alterum eamdem habeat propo rionem, quam C. ad unitatem; re coiligenda

secundus in dupositione A, minor est quἀm ut ad secundum in dispositione D, eamdem ha

beat proportionem: sunt autem mones eum. dem babentes numeratorem tu reciproca pro portione denomιnatorum I ergo prιma, lec u

G , ου singula deinceps fractiones disipositionis

, suns minores quam ut adprimem, secundam, oe singulas deinceps di positionis A, eamdem habeant proportionem, quam C, ad unitatem, oe colligendo, tota dispositis minor est quam ut ad totam dispositionem A. eamdem habeat proportionem, quam C, advnιtatem. Igitur si extensionis A, quantitas' gnatur 3 etiam rasdem extensionis multi-piam secundum numerum C,quantitatemn

ς es asignari, qua infinita exunsione O, siu

10쪽

maior; quod est absiurdum, Ergo extin=-s nitar ractionu dispositionis A, ιst infinita.

Dimissis igitur hisce dispositionibus quan- ritatis surisdictionem severantibus, eamdem contemplatιonem instituere eqι de stactionitus, ιn quιbus unitates a numeras triangulis denominantur ἰ an Uidelιcet ipsa etiam quadraturam excluderent, an potius paterentur: Factis ergo de more calculis, ου innructa de

monstrationι , inueni dispositionis tam odi

agregata quotuist a prima sunt aqua.

ses numero multuurinis 3psarum denominato per numerum binario maiorem propterea

semper v state sunt minores eo defctu, qui iuxta multitudinis additarum 'actionum

incrementum infra qualibet assignatam ma Initudine diminuitur 1n infinitu evanescit.

Praeterea in eadem dispositione bina sumptap st unitatem si gularum ab .mtat3 sunt di-