Novae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum Petri Mengoli ...

11쪽

mine: erto diuidendo, om in pon unitatem,mnitati sunt aquales.

Tandem sieiusdem dispositionis fractiones

ratidem Jumantur drinceps secundum num in ros proportionis continue μι dupla a bina inis, videlicet a, , δ, aggregata βιnt incon tinue dupla proportione; atqui magnitudines dupla proportionis aggregata in ita sunt aquales duplo prima, cum in notro casu primast dimidium unitatis, ergo proposita stam nu aggregata infinita sunt aquales unitati. Hum Odi punt, primo prasentis opuscuis libro demonstraui de fractionibus, in

quibus unitates denominantur planis omniunumerorum ab unitate : quia enim singuli

12쪽

portionem sit uti fractiones , in quibus unia

tates denominantur triangulis dupla sunt-gularum, in quibus denominantur planis ὁ σιdeo utrique dispositioni earim conueniunt δε-

monstratιones.

Ab huius stactionum dipositionis contem- templatione feliciter expeditus, ad aliam progrediebar dispositionem , in qua singula urit

tes numeris quadratis denominantur . Hae

speculatio fructus quidem laboris rependit , nondum tamen essecta est soluendo, sed ingeni ditioris postulat adminiculum , ut pracrsam disposistonis, quam mihimetipsi proposu Mum

mam valeat reportare.

Profructibus habetur huius ορψculi me remata, ea pracipue , qua in primo libro δε- monstrantur , re prarerea sequentes propo-ytiones videlicet. ἈI. Umtates denominata compositis ex qua.dratis

13쪽

dratis ab Unitate, ου laterιbus eorumdem, di Dostra in infinitam, re aggrega a sunt aqua-

Constat enim, quod singula fractiones buisisseeι dispositionis congruut singulis, in quibus

unitates denominantur planu omnium num rerum ab unitate. . Ma. Unitates denominata compositis, ex quadratis ab unitate, oe lateribus eorumdem

duplis, di posita in infinitum , π aggregata

sunt aquales

Quia singula, qua siumuntur asterna a prima, congruunt singulis, denominantur planis

14쪽

emnium imparium ab isitate, re ideo fiunt

aquales . Alterna vero a secunda congruunt segulis, qua deniminantur planis cmnium partum a binario , re propterea sevi aquales e. Ergo colligendo, omnes sunt aquais1 .. 3. Unitates denominata compositum quadratis ab unitate , re laterιbus eorumdem

uuiasumpta a prima binis relictis congruum

mnitatibus,qua denominantur planu numer ram Arithmetice dispositorum ab unitate eis

excessu 3, e propterea aggregata infinita sana

aquales - : Sumpta autem a secunda binis reiactis congruunι znitatibus, qua denominantur

planis Arithmeιic. in postoruma a, cum e Marxcessu s, re sunt aquais ἱ 3 Residua tandem

congruunt unitatibus , qua denominantur . . , a planu

15쪽

φ Ianis Arithmetice dispositorum a I. cum eodem excessu 3, s ideo sisnt aquailes .i

Ergo omnes equales sunt aggregatis et ' , --

Et alia huiu modi Theoremata adempa . riter methodo demonstraμi Q . Adpropositam ergo si uastione redeo, cuiussura capιta coni rarsas, ut ostendi, merentus sententias. Inorum autem duo solumodo in hoc opusculo mihi videor asoluisse; alterum defractionibus, in qui us unitates denominantur productis numerorum Arithmetice disposti rum , alterum de ijs, in quibus disserentia dispositorum quomodolibet numeroru eorumdem productis denominantur e praterea eadem in Geometricis quantitatibus demonstrari posse indicaus, prauia solumodo nominum suterpreis ratione, qua habetur in Ultimis dι initionibus libri tertis. '

In assumptis autem capitibus quid questis-m respondiodum sis, ex sequentibus unusquis

3ua poterit iuricare. . . . . , 't '.' ...

NOVAE

16쪽

ARITHMETICAE

S E V

, De Additione Fractionum.

LIBER PRIMUS.

In quo tractatur de Fractionibus, quarum sunt denominatores numeri plani. Principales Additiones habentur in Propositionibus huius libri 7. 8. I . 23. 7. Quadraturae vero in Proposi

tionibus IT. 26. C.

DEFINITIONES

mi serentiam duarum maenitudinum, quando prima excedit secundam,voco, excessum . . prima π secunda. II.

Quando vero prima deficita secunda, voco, desectum prima, resecunda.

17쪽

a Noua AEuadrature

Similes disserentias, voco, tum excessus, tum desectus inter se. IV. Dipsimiles vero exeessus defectibus.

Magnitudines Arithmetice di positas, voco, quarum sumptis continue binis quibusliarit 9 disserιntia similes antecedentrum , σconyιquentium sunt aquales. VI. Magnitudines Harmonice dispositas, voco, quarum Gumptis continue ternis quibus

litii prima se babιt ad tertiam, ut detarentia prima, oe secunda ad simium dise

rentιam secunda, oe tertia.

Praeterea suppono Lectorem informatum esse de ijs qua in Quinto, Septimo, octavo, & Nono libris Elemenis torum Euclidis traduntur, quoad capescendas dein monstrationes. Nam, quoad ipsas propositiones, &praxim numerosiam, sufficit memoriae mandasse praeiscepta logisticae Fractioniim, quae passim penes Arithuaeticos leguntur. Theo

18쪽

Theorema i. Propositio I.

Trium Arithmetice dispositorum planum 'b

na sub mgulis extremis, ου messio.

A. B. I. C. T.

D. a. '

Int Arithmetice disposit i tres A, B,C, qu rurum differentia D,& planum extremorum A C, sit G, plana velo siub singulis extrentis, S medio A B, c B, sint E, F. Dico quod G, medium est Harmonice inter E, F. Ex multiplicationibus D A, D C, pro ducantur H, I; ergo ut A, ad C, ita est H, ad I: &quia E, F, sunt plana BA, B C; ergo E, ad F, est ut A, ad C, vel vi H, ad l: quoniam A, multiplicando B, c , producit E, G, ergo A, multiplicando differentiam B, C, pr ducit similem differentiam E, G & multiplicando D, producit H; est autem D, differentia B, C, crgo H, est differentia E, G, similis differentiae B, C, vel differentis A, B: Similiter dcmonstrabimus quod I, est differentia G, F, similis differentiae A, B, vel E, G: ergo E, ad F,est vi differentia E, G, ad similem differsntiam G, F. Ergo Des LG, medium est Harmonice inter E, F . Quod erat de

monstranduin .

19쪽

Theorema r. Propos a.

Trium Harmonice dispositorum planum siub

extremis medium est Arithmetice inter pia. nasubsingulis extremis, oe messio.

SInt Harmonice dispositi trcs A, B, C, & planum ex tremorum A C, sit G, plana vero sub singulis extremis,& medio A B, C B, sint E, F. Dico quod G, medium est Arithmetice inter E, F. Sint H,&I, differentiae sim Def. s. b S A,B,& B, C , ergo ut A, ad C, ita est H, ad I,& proinductum AI, est aequale producto CH. Sit huiusmodi productum D; quoniam Α, in utriplicando B, C, proinducit E, G; ergo A, multiplicando differentiam, B, C producit similem differentiam E, G; & multiplicando I , producit Di est autem I, disterentia B, C; ergo D, est ferentia E, G, similis differentiar B, C, vel A, B: Simili ter demonstrabimus quod Dest differentia G, F, si mi Iis Def.,ι differentiae A, B, vel E, G : ergo differcntiae E, G, & G, F, sunt aequales, & similes. Ergo G, medium est Ari. thmetice inter E, F . Quod, &c.

DEFINITIO VII.

Vnam magnitudinem altera denominatam, voco, quamlιbet bractionιm, in qua una

20쪽

magnitudo nat loco numeratoris, altera

' vero loco denominatoris .

Theor. 3. Propos 3.

Eadem magnitudine tribus Harmonice di positis denominata sunt fractιones Arithme- disposita.

DE nominetur A, magnitudo tribus Harmonice diis spositis B, C, D, ut fiant stactiones E, F, G. Di-to, quod E, F, G, sunt Arithmetice ldisposita'. Ex multiplicationibus C B, C D, BD, producantur H, I, K; ergo, quia B, C, D, sunt Harmonice dispositi, Κ, medius est Arithmetice inter H, Ir de quia I, Κ, sunt producti D C, D B. ergo I, ad K, est vi C, ad Bl; & ex denominatione A, per C, & B, fiunt fractiones F, & E; ergo ut C, ad B, vel vi I, ad Κ, ita est E, ad Fr Similiter demonstrabimus,quod ut Κ, ad H, ita est F,ad G; ergo per conuersonem rationis,& ex aequo vi I, Κ, Η, sunt Arithmetice dispositi, sic fractiones E, F, G, sunt Arithmetice dispostar . Quod, &

DEFINITIO VIII. Deserentiai, N plana in aliqua distridisne,

voco