장음표시 사용
31쪽
Ut statum ma denominantur planis omnia numerorum ab unitate, quotlibet assum Vlpta a prima sunt aquales numero ιpsarum multitudιnis Menominato per numcrum
SInt A, numeri ab unitate,& B, quotlibet unitates a prima earum, quae denominantur planis numero rum A. Dieo B, aggregatas aequales esse numero mutilitudinis ipsarum B, denominato perinumerum unitate maiorem. Sint D, E, numeri quorum plano denomina tur vltima ipsarum B. Et quoniam sunt dispositi ab uniatate omnes numeri A, quorum consequentium desectus sunt singulae unitates, quae planis eorumdem denomin P μ' tae sunt B ; Igitur B, aggregatae sunt aequales defectui extremorum unitatis,& E, pir eorumdem planum denom, nato . Est autem D, defectus unitatis, & E,& eorumdem planus idem Et Elgo B, sunt squales D, denominato per E. Sedeum numeri A, sint omnes ab unitate, numerus E, est multitudinis numerorum A, usque ad Ε, MD, unitate minor, quam Ε, numerus multitudinis ipsa rum B. Ergo unitates B,aggregatae sunt equales nume mero ipsarum multitudinis denominato per numerum unitate maiorem. Quod,&c. P Co.
32쪽
Viae constat, quod unitatum, qua demomi
nantur planu omnιum numerorum. quot-
uber assumpta a prima sunt minores unia
Data proportione minoris inaqualitatis, alte
ram ιnuem e maiorem data, qua sit numeri ad numerum unitase maιorem.
SIt proportio data minoris inetqualitatis A, ad B. Opis
portet alteram inuenire maiorem proportione A,ad B, quae sit numeri ad numerum unitate maiorem. Sit C, excessus B, A, & D, maxima magnitudo, quam C, meritur in B: constat D, non esse aequalem A; alias C, metiretur etiam A, & metitur se ipsum ς ergo metiretur compositum ex C, A, videlicet B,& non esset D, maxuma magnitudo,quam C, metitur in B: constat etiam D, non esse minorem A, quia sequeretur dem, vel maius absurdum ; ergo D, maior est A; & D, ad C, maioremnabet proportionem Α, ad C. Sit E, numerus, pcr
33쪽
ad C, est,ut E, ad unitatem ; ergo E, ad unitatem maiorem habet proportionem Α, ad C i & componendo E, ad F, maiorem habet proportionem Α, ad Bi & est numerus F, unitate maior, quam E. Quod facere opin
uuando infinita magnitudines infinita siunt
extensionis, pogunt in aliqua multi tudine
cuando in ordine magnitudinum in infinitum dispositarum, quotlibet assumpta a
prima sunt minores una eadem proposita magnιturine generas eiusdem, Omnes a pri -
ma in infinitum di posita, oe aggregata
sunt extensi 1 ιta . . . . SInt in extensione A, dispositae in infinitum,& aggre
garae magnitudines, quarum quotlibet assumprae apri
sumi, ut surrent quamlibet propositam
34쪽
prima sint minores D. generis eiusdem. Dico extensio. nem A, essennitam: alias erit infinita, & sumptae in ali. Λ qua multitudine magnitudines disposita in A, a prima superabunt quamlibet propositam extensionem D,contra hipothesim: non est igitur A, extensionis infinitar, sed finitae. Quod,&c.
Colligitur ex bis quod unitates denominata Coro'. pianis omnium numerorum ab unitate in ' 'e' ''
. in itum divosita,maggregata sunt ex tensom finita.
Magnitudines dicuntur implere propositam
, sensionem , quando existentes infinita sunt extensionis minoras proposita ἱ vel . quando μι uentes ira , ita sunt minores propostia, ut una alta magniturine assic incta in earumdem oriane contιnuato proxι. ma ,sant extensionis maioris proposita. '
suando infinita magnitudines ita siunt extensionis , sngula magnaIuinia eadem
35쪽
in infinitum concipiuntur in una, oe altera extensione disponi, π aggregari, congruit Una extensio alteri.
uuando magnitudines a prima Hypsta in infinitum, re aggregata sunt extensio-
'ita ,sunt m aliqua multitudιne a prima, .qua implent propositam extensionem maiorem quidem prima, mnorem tamen extensione omn/um.
SIt A, extensio finita magnitudinum , qui a prima
dispositae in infinitum,& in ea sunt aggregatae,& sit Proposita extensio B,maior quidem prima dispositarum in A,minor tamen ipsa extensione A,& eκ magnitudini hus in A, dispositis assum prae a prima, & eodem ordine dispositae in C, impleant B. Dico, quod assumptae in in C, iunt in aliqua multitudine et alias assumptae in C , quae implent Bi sunt infinitae; igitur in extensione B, sunt dispostar eodem ordine in infinitum, & aggregatae magnitudines,qua pariter in extensione A; & sunt a minbo A, B, extensiones finitae a congruit ergo B, extensioni Α, minor maiori ; quod est ab stiruum. Ergo assiim-ptae in C, quae implent B,non sunt infinitae, sed in aliqua multitudine. Quod, Sc.
36쪽
7nitates denominata planis omnium numerorum ab unitate in in tum disposita, π mregata sunt aquales unItαι.
SInt in A, dispositae in infinitnm.& aggregatae v states denominatae planis omnium numerorum ab v-nitate. Dico A, aequalem esse unitati: alias erit A, maior,vel minor unitate . Sit maior, igitur in aliqua multi' Ptolia is
tudine sumptara prima unitates in A, dispositae implent unitatem. Sit huiusmodi multitudininis num crus B, qui adiecta unitate fiat C: ergo aliquot unitates in A,. Def io. dissipositae sumpis in multitudine numeti Cinunt maiores unitate,quod est absurdum. Non est igitur A , maior c. buvnitate. Sit minor, & data proportione minoris inae- Prop. t 3. qualitatis A, ad unitatem, inueniatur altera maior,quae Pr P- ε fit numeri r , ad Ε, unitate maiorem ; & aliquot unitates in A, dispositae sumantur a prima in multitudine nu meri D ; quaecum sint aequales numero D, denomissat hper E, habebunt ad unitatem eamdem proporitonem , quam D, ad E , maiorem videlicet , quam A , ad unitatem: Ergo aliquot unitates in A, dispositae sunt maiores omnibus in infinitum dispositis, pals toto ; quod est absurdum. Non igitur A , minor est unitate sed neque maior. Ergo A, aequalis est unitati.
37쪽
Prop. s. Prop. 3Prop. s. Prop. 13
QVia binae unitatum dispositarum in A, a seeunda
sunt dimidiae singularum a prima; colligendo, omnes a secunda sunt dimidiae omnium a prima; S diuiden. . do, omnes a secunda sunt aequales primae; est autem prima dimidium unitatis; Ergo omnes a prima sunt aequa, les unitati. Quod,&c.
QVia dispositarum in A, ternar a tertia sunt pars ter 'tia singularum a prima; colligendo, omnes a tertiae sint pars tertia omnium a prima; & diuidendo, omnes a tertia sunt dimidiae duarum praecedentium; sunt autem' duae praecedentes aequales a. denominato per 3: igitur omnes a tertia sunt aequales unitati denominatae per 3. Ergo colligendo, omnes dispositae in A, sunt aequales 3. denominato per 3. videlicet unitati. Quod, &c.
Unitatum denominatarum planis omniu nu . nerorum ab unitate, qualibet assumpta, summa siuccedentium in infinitum, σsumma pracedentium, re a umpta sunt
38쪽
VNitatum d nominatarum planis omniussi num rorum ab unitate st A, qu slibet assumpta, cuius
ordinis numerus D, Sitque B, Lamma sucte dentium in infinitum, & C, siumma praecedentium, & assumptae A. Dico A, B, C, esse continue proportionales, ut unitas ad D. Sit E, numerus unitate maior Di quia D, est numerus ordinis A, est etiam numerus multitudinis ag8repatarum in C; igitur C, est aequalis D, deinominato per Prop. ra. Et aggregatum vero ex C, B, est aequale unitatii ergo PrQP. F. C, ad aggregatum ex C, B, est ut D, denominatus per E, ad unitatem, vici licet ut D, UE; & diuidendo,C, ad B, est ut D, ad unitatem; quapropter C, ad B, est. vi D, denominatus per B, ad unitatem pariter denominatam per E L ergo B , aequalis est unitati denominatae per E. Quia etiam D, est numerus ordinis A ; & E, inter omnes numeros ipsi D,proximus unitate maior;constar, quod A, est unitas denominata plano D E ; sed unitas denominata per E, ad unitatem denominatam plano DE, est vi planum D E, ad E ; vel diuidendo per E, ud D, ad unitatem ι ergo B, ad A, est ut D, ad unitaten . Sunt ergo continue proportionales C, B, A, ut D, ad unitatem.& conuertendo, A, B, C, sunt continue PI portionales ut unitas ad D. Quod, dcc.
Factis duabus Arithmeticis distositionibus
prima ab Unitate, altera ab asiumpto nu-
39쪽
assumptus metitur per singulos in prima
dispositos; unitates denominata piauu ominnium numerorum prima, ad unitates δε- nominatas planis omnium numerorum aiaterius dispositionis ordinis eiusdem, ita si habent, ut alumpti numera quadratus ad
SIt dispositio Arithmetica numerorum A, ab unitatri
& B, numerus assumptus s a quo sit dispositio numerorum C, quos B, metitur per numeros st, eiusdem ordinisi unitates autem denominatae planis numero rum A, & C, sint D, & E ι & numeri B , quadratus F. Dico D, ad Ε, ordinis eiusdem esse, ut F , ad unitalcm . Quia B, metitur numeros C, per A, eiusdem ordinis, ut sunt numeri Α, ad ν nitatem, ita C, eiusdem ordinis ad B; & sunt numeri A, &C., ordinis eiusdem homologi unitatis, & B; & eadem ratione, ut unitas ad numeros A, ita B, ad C, ordinis eiusdem; ergo ex aequo numeri Α, inter se sunt ut C, eorumdem ordinum inter se; αplani eorumdem ordinum numeris A, &C, contenti sunt similes; ergo denominatorcs D, ad eiusdem ordi
40쪽
nis denominatores Ε, sunt similes, & duplicatam proportionem habent homologorum laterum unitatis, ad Bi videlicet eamdem, quam unitas ad F ; Ergo D, ad Ε, ordinis eiusdem sunt reciproce, ut F, ad unitatem. Quod , &c.
rictis duabus Arithmetieis dispositionibus
prima ab unitate, secunda vero ab assum- . pro in prima, eorum, quos assumptus metitur per singuosprima; omnes numeras cunda sunt ιnprima, totidem semper νnte lectu, quot unitatum est assumptus voadempta .
SIr dispositio Arithmetica numerorum A, ab unitatri& inter numeros A,assumptus B; a quo fiat dispositio Arithmetica numerorum, quos idem B, metitur perfngulos A . Dico numeros D, esse inter numerOS A, tintidem semper interpositis, quot sunt unitates in B, una minus. Sit C, excessus B, & unitatis, &disponantur numeri E, qui sint cxcessus binorum D, & A, eiusdem ordinis. Quoniam B, metitur numeros D, per A, eius-D dem