장음표시 사용
21쪽
voco absolute, disserentias, ου plana m gnitudinum , qua seunt continue consequentes in ista dispositione , prima videlicet, γ'
secunda; secunda, sic deineepsqque adultimam si disposita sunt in aliqua multιtudine, vel in infiniture, si diis ' sita concipiuntur ιn ita. l
Factis duabus distositionibus, prima quidem
omnium numerorum ab unitate, secunda vero omnιum numerorum,quos assumptus aliquis numerus metitur ab a mpto; si ni- diates denomi ta planis in prima. si tates denominatas planis in secunda, singu
la adsingulas eiusdem oriunis,ita se habent, τι Mμπιι numera quadratus aa umta-
22쪽
Arithmetica . 7SIt omnium numerorum ab unitate dispositio A,&at.
sumptus num clus ta cuius quadratus F;& sit omnium numerorum, quos E, metitur ab E, dispositiqC; Sint etiam B, unitatas denominatae plani. in A; α D, unitates denomii atae planis in C. Dico, quod singulae Β, ad singulas D, eiusdem ordinis, ita se habent, ut F , ad unitatem. Quia numerus E ,& vnstas aeque metiuntur numeros in c',& A, etiam mordinis, ut singuli in C, ad Ε, ita singuli eiusdem ordinis in A, ad unitatem , & sunt E, & unitas homo togae ordinis eiusdem numeris in A, dc C; conuertendoque, & ex aequo binae C , inter se sunt ut binae A, inter se, si sumamur homo togae ordinis eiusdem: ergo plani denominatores in singulis , ad planos denominatores in singulis eiu sedin ordinis B, sunt similes, di duplicatam ha b c ni proportionem homologorum laterum videlicet numeri E, ad unitatem, vel eamdem qua numerus F, ad unitatem; sed ut denominatores D, ad B, inter se, ita reciproce sunt unitates denominatae B, ad D, inter se: Ergo singulae B, ad singulas eiusdeni ordini. D, sunt ut F, ad unitatem. Quod, &c.
Vnitates denominata planis omnium numero,
rum ab unitate Ana a secunda sunt amidia singularum a prι .
SIt A, series omnium numerorum ab unitate, & B,sintvnitates denominatae planis in A . Dico,quuid binae B, a secunda sunt dimidiae singularum a prima. Sit C,
series Omnium numerorum a binario, quos binarius metitur,
23쪽
tituri & D, sint unitates denominatae planis in C ; ergo singulae B, a prima ad singulas D, a prima sunt ut 4.hi. narij quadratus ad unitatem: S quoniam in A, sunt ominneS numeri ab unitate, sunt inter numeros A, a binario, qui est secundo loco, omnes C, a primo, intes positis tamen singulis Arithmetice med ijs,quos binarius non m tituri; ergo singuli plani denominatores unitatum D, a prima med ij sunt Harmonice inter binos denominat res B, a secunda; ergo singulae D, a prima mediae fiunt Arithmetice inter binas B, a secunda;& propterea singu4lar D, a prima ad binas B, a secunda sunt dimidiae, videis licet, ut unitas ad at Ergo ex aequo singulae B, a prima ad binas B, a seeunda sunt v Lq. ad a ;& conuertendo binae a secunda sunt dimidiae singularu a prima. Quod,&e.
Disserentia laterum plano denominata est dissimilis a gerentia unitatum singulis lateribus denominatarum .
SIni latera A, B, quorum differentia C, denominetur plano D, ut fiat fractio E;& denominata unitate per B, & A, hant fractiones F, & G; & sit C, cxccisus A, B. Dico quod E, eli defectus F, G. Quia F, cli unitas de
24쪽
nominata per A, ex multiplicatione F A, producitur unitas; & ex multiplicatione unitatis, & B, pto ducitur Rr ergo ex mutua multiplicatione F A Bl, producit ut Biest autem D, planum A B; ergo ex multiplicatione F D, produeitur B. Simi liter demonstrabimus,quod ex natu tiplicatione G D, producitur A. Cum igitur ex multiplicationibus G, & F, in D, producantur A, & B ; ergo ex multiplicatione excessus G, F, in D, producitur excessus A, B, videlicet C 1 Sed quia E, fractio est ex denominatione C, per Di ergo etiam ex multiplicatione El, in D, producitur Ciergo E, est aequalis excessui G,Fet ergo E,
eo, cum derrentia antecedentium, re consequentiumsunthmilis. incidispositione simus sumpta suur aquates uni deerantis denomin ta plano extremors m.
25쪽
Vnitates deuominata planis in Arit elisa νοῦ δ' tume μnt ad υ vitatem plans extra
' mirum denominatam ut numerus multi , rudinis imarum ad unitatem . sine
26쪽
I. i. K A. Sint A, B,C,D, in Arithmetica dispositione,cuius planis clanominate singulet unitates sint fractiones E, F, G, & enitas denominata plano extremorum A D, sit H. Dieo quod E, F, G, ad H, sunt ut numerus multitudinis E,F,G, d unitatem. Sit N, differentia semper eadem iadispplition γε planis denominetur,ut fiant fractiones I,Κ,L,& sit O, differentia extremorum A, D, quq plano denominetur, ut fiat fractio M. Igitur facti sunt l,K,L, squales M. Et quia E, F, G, & I, Κ, L, eosdem habent Prop. 7. denominatores, numerator vero communis ipsarum E, F, G, est unitas,& factorum I, Κ, L, est N ι ergo tum sim gulae,tum collectae E,F, G, ad I, Κ, L, vel ad M, sunt ut unitas ad N. Partici quia M, H, eundem habent den minatorem, nnmerator vero M, est Ο, di ipsius Η. est unitas; αγ M, ad H,est, ut O, ad unitatem ι & ex et quo in perturbata collectae E, F, G, ad H, sunt, ut O, ad NaCum autem A, B,C,D, sint Arithmetice dispositi, est differentia extremorum ad N, differentiam consequemtium ita multiplex,ut numerus multitudinis E, F, G ι ad unitatem. Ergo E, F, G, ad H, sunt, ut numerus multitudinis LE, God ν ni tem. Quod,&c.
Rritates denominata planis omnium numero rum ab Uvitate terna a tertis μης parsi tertiauinguiarum a prιma.
27쪽
OR dinentur A, omnes numeri ab unitate, & B, uniis tales denominatae planis A. Dico ternas B, a ter tia, tertiam esse partem singularum a prima. ordine tur omnes numeri C, a ternario, quos idem metitur, &D, v nitates denominatae pia nis Cr Et quoniam Α, sunt Omnes numeri, etiam inter numeros A, a ternario,qui est tertio loco, sunt omnes C, a prmo, binis medijs Arit, metice stmper interpositis, quos ternarius non metitur. Ergo ternae unitates B, a tertia denominatae pia nis quatuor dispositorum Arithmetice a numeris C, qui sunt i ter numeros A, ad singulas unitates D, denominatas planis numerorum C, qui eorumdem quatuor sempersint cxtremio a prima sunt, ut idem ternarius, numerus videlicet magnitudinum, quae ternae sumuntur ad uni. tatem ; Singulae autem D, a prima ad singulas B, a prima sunr, ut unitas ad 9, quadratum ternarh: Ergo ex aequo ternar B, a tertia sunt ad singulas B, a prima, ut 3. ad s. ncmpe pars tertia. Quod,&c.
Unitates denominata planis omnium numero rum as unitate, quaterna a quarta sunt para quarta singuιarum a prima.
NAm quia binae a secunda sunt dimidiae singularum a Prima,bine a quarta sunt ad singu las a secunda,
28쪽
ut unit fad, eolligendo quaternae a quarta sunt ad binas a tunda,ut unitas ad a.& bini a secunda sunt adfingulas a prima, ut unitas ad a. vel, ut a. ad 3. Ergo ex aequo quaternae a quarta ad singulas a prima sunt ut unitas ad A. videlicet pars quarta. Quod, &c. Eadem huius, di praecedentis demonstrationum meuthodo possunt singuli sequentis Theorematis casu S de. monstrata,videlicet, Vnitates denominatas planis omnium numerorum ab unitate quinas a quinta partem esse quintam singularum a prima, ienas a sexta partem sextam, septenas a septima partem septimam,& sic deinceps ex quorum inductione postea patefiat ipsius veritas conclusionis: ne tamen scrupulosum Geometram dubitare contingat, generali superinde factae propositionivnica satisfaciam demonstratione, ut insta.
Unitates denominata planisomnium numer rum ab unitate sumpta totidem ab unai Iarum secundum numerum ordinis eius , dem , sunt pars ab eodem numno demta natamgularum a prima .
ORdineatur A, omnes numeri ab unitate, & B, unitates denominatae pIanis A,qua rum F, assumpta, & inter numeros A, si eiusdem F, numerus ordinis E. Dico B, sumptas ab F, semper totidem secundum nume. rum Ε, partem esse denominatam ab E, fingularum B, a prima. Ordinentur ab E,omnes numeri C,quos E,met, iura
29쪽
tur, &D, unitates denominatae planis numerorum C. Quoniam A,sunt numeri ab unitate, sunt etiam inter nidi meros A, ab E, qui est in eiusdem ordinis loco, omnes numeri C, a primo, qui sint E, H, I, interpositis totidem semper medijs Arithmetice, secundum numerum unitate minorem E. Sint numeros E,N, interpositi Κ, L, & numeros H, I, totidem interpositi M,N, secundum num tum unitate minorem E; Coassumptis ergo hinclinde semper duobus eorum, quos E, metitur,. fiunt singulae dispositiones Arithmeticae numerorum Ε, Κ, L, H,& Η, M,N,I, totidem semper, secundum numerum unitate maiorem T quaru planis denominatae unitates sunt ipsae Β, sumptae totidem ab F, secundu numeru E, quae ad si Prop.8. gulaS unitates D,a prima denominatas planis extremoruearudem dispositionum, qui sunt numeri Q ita se habet, ut E, numreus multitudinis totidem sumptarum ab F, ad Prop. . unitatem; Stogulae autem D, a prima, ad singulas B, a prima sunt, ut unitas ad quadratum E: ergo ex aequo sit tae B , ab A semper totidem secundum numerum Ε, ad singulas B, a prima sunt, vi E, ad suum quadratum; Sed E, cum suum quadratum metiatur per se ipsum, sui quadrati pars est a seipso denominata . Ergo sumptae B, ah F, semper totidem secundum numerum Ε, sunt pals ab eodem E, denominata, singularum B, a primλ-
30쪽
Vestates denominata planis omnium nume-Q rarum ab unitate, sumpta a prima totidem semper sicundam numeros proportionis v x cammties dupla as unitate hunc in νο-
portione continue dupla. 'si' .cit nil a
TNitatum, qua denominantur Hanis omnium n merorum ab unitate prima si A,iduasum i Mys retium aggregatum B. quaruor sequentium aggregatu deineeps totidem huiusmodi vilitatum iecunduminumeros proportionis continue subduplae sumantur δν gregata . Dico A, B, C , esse in proportione continue Prop. seupla . Quia binae a secunda sunt dimidiae sngularum 1 : .'i' prima, B, subduplum est ipsius A, & eadem ratione, quia quaternae a quarta sunt dimidiae binarum a secanda, C, subduplum est ipsius B, α eadem i. semper demon stratione, quodlibet M . Q. . . gregatum subduplum est praece- r
i i dentis. Ergo conuerteBdo As ... l. - 'B, C, sunt in proportio. nne continue dupla. . . . . v