장음표시 사용
41쪽
dem ordinis is est unitas ad B, ut Mumeri AIad D; & dia uidendo, est unitas ad C, ut numeri Α, ad E s igitur E, sunt multiplices numeri C ι & quia C , eκcessus B, &
nitatis magnitudinum, quae sunt inter numeros A , vel aequalis est, vel multiplex excessui consequentium eo. runde A; ergo numeri E,sunt multiplices excessui consequentium A;& sunt numeri E, excessus numerorum D, R ; ergo inmeri D, sunt inter numeros A.I. Praeterea, quia numeri Α, metiuntur numeros D, per Birigitur exiscessus consequentium A, metitur excessum consequentium D, per B; sed inter extremas mediae Arithmetice totidem interponuntur,quoties excessus eonsequentium excessum extremarum metitur una minus I Ergo numeri D. sunt inter numeros A, totidem semper imterpositis numeris A, quot sunt unitates in B, una minus.
Unitates denominata planis ni rori; Arisb- metice dispositorum ab unitate, sumpta semper totidem ab assumpta, quot unιω- tum en numerus inter ArithmeIice dio sit os eiusdem ordinis cum aD Ia,Funt ad singulas a prima, ut unitas ad eumdem
numerum . SInt numeri A, Arithmetice dispositi ab unitate,& B, unitates denominatae planis numerorum A, qua
42쪽
rum una C, assumpta, & inter numeros A, sit D. orditus eiusdem. Dico B, sumptas a C, secundum numerum D, ad singulas easdem B, a prima esse ut unitas adnumerum D. Disponantur Arithmetice numeri E,a D, quos D, metitur per numeros A, & sint F, unitates denominatae planis numerorum Et constat, quod omnes P QP φ numeri Ε, sunt inter numeros A, a D, totidem semper interpositis ex reliquis numeris A, quot sunt unitates in D, una dempta, ergo numerorum A, inter binos num ros consequ eniςs E, fingulae fiunt arithmetice dispositiones numerorum, quorum planis denominatae unitates B, sunt a C, totidem semper, quot sunt numeri inte medij uno amplius, videlicet, quot sunt unitates in D;& ad fingulas F, a prima denominatas plano eXtremo Prop. . rum,qui sunt E, se habent, ut numerus multitudinis earum, quae totidem semper sumuntur, videlicet numerus D, ad unitamn : sunt aut cm singulae F, a prima ad sin- Prop. is. su Ias B, a prima, ut unitas ad quadratum assumpti D, ergo ex aequo unitates B, totidem sim per sumptaea C, secundum numerum D, ad singulas eas in dem B, a prima sunt, ut numeruS D, adsiti quadratum, videlicet, ut unitas ad D.
43쪽
Unitato denominata pianis Arisbm tiee dite positorum ab unitate, sumpta a prima socundum numeros proportionis continue
Iubmultiplicis ab unitate, ad numerum mbi proximum in Arithmeticad positione, sunt in eadem continue multipua propor
SInt A, numeri Arithmetice dispositi ab unitate, quo,
rum B,proximus unitati;& sint C,unitates denomγnatae planis numerorum A; & segregentur C, ut prima fit D,& a secunda totidem, quot sunt unitates in B, sint E; & aliae toties totidem sint F; & quot sunt ri toties t iidem secundum numerum B, sint G, & sic deinceps reonstat C, ita segregatas esse in D, E, F, G, ut sumptae sint secundum numeros proportionis continue submultiplicis ab unitate ad B. Dico D, E, F, G, esse in eadem continue multiplici proportione numeri B,ad unitatem. Prop. 11. Quia B, est secundo loco Arithmetice dispositorum, sim gulae C, a prima ad totidem semper sumptas a secunda secundum numerum B, sunt ut B, ad unitatem ir ergo Prop D, ad E, est ut B, ad unitatem. Item singulae in E , ad
44쪽
totidem secundum numerum B, sumptas in F, sunt ut B, ad unitatem; & quot sunt singulae in Ε, toties totidem secundum numerum B, sunt in F; ergo colligendo omnes E, ad omnes F, sunt ut B, ad unitatem. Similiter dein monstrabitur omnes F, ad omnes C, esse ut B,ad unita . tem, & sie deinceps. Ergo D, E, F,G, sunt in continue multiplici proportione numeri B,ad unitatc. Quod,&
Vnitates denominata planis Arithmetieὸ dis
positorum ab unitate, quotubet aggregata a prima sisnt aquales numero multιtudiis nis earumdem denominato per productumia eiusdem, oe excessus dispositionis Arith,
SInt numeri A, dispositi Arithmetice ab unitate,quoc
rum excessus B; Sint etiam C, unitates denominat planis numerorum A, assumptae a prima secundum numerum D; & inter numeros A, post unitatem numeri to iidem sumantur,& sumptorum sit extremus E ; &sit F, excessus E, di unitatis et constat F, ad B, esse ut D, multitudo
45쪽
titudo numerorum A,post unitatem ad ipsam unitateruigitur D, multiplicando B, facit F, qui auctus unitate sit E. Dico C, aequales ei Ie D, denominato per E. Ex de. nominatione B, per plana numerorum A, usque ad E, fiant fractiones G, totidem, quot sunt C. Quia B, est excessiis consequentium A,& F, extremorum,& E,pla P P νε num extremorum,videlicet unitatis,& E; sunt G,aequa les F, denominato per E: Sunt autem G, ad C, ut B, ad unitatem ; & ut B, ad unitatem, ita est F, ad D, uel F, denominatus per E. videlicet C, ad D, pariter denominatum per E ; ergo G, ad C, sunt ut G, ad D, denomio natum per E ; ergo C, sunt aequales D, denominato Per E. Quod, dcc.
Vnitates denominata planis numerorum Arithmetice distoptorum ab unitate quo libri aggregata a prima sunt minores uniatatε denominata excessu consequentin dispositionis Arιtbmenca.
L. q. SIntC, quotlibet unitates denominatae planis num eis rorum arithmetice cum excessu B, dispositorum ab unitate, sumptae in multitudine numeri D. Dico C, aggregatas minores esse unitate denominata per B. Ex
ductu B, in D, fiat Eι &F, unitate maior, quam E; igi-
46쪽
tur D, ad F, minorem habit prc portῖoncm, quem D, ad E ; S quia E, productus est ex B, in D,ut D, ad E,ita est unitas ad B; ergo D, ad F, minorem habet proportionem, quam unitas ad B , & propterea D, dc nominatus per F, est minor unitate denominata per B: sunt au p-,3tem C, aequales D, denominato per F; ergo C, sunt minores unitate denominata per B. Quod,&e.
Unde constat primo loco etnitates denominaistas planis numerorum Arithmetice dist*sitorum ab unitate in infinitum di postras, γ' aggregatas esse finita extensionis .
Patet etiam secundo loco, quod unitates denominata planis numerorum Arithmetice aspositorum ab unitate punt in aliqua Prop. i multitudine a prima, qua implent quamlibet propositam extensionem minorem ex
tensone divositarum earumdem in infi
47쪽
Data proportione minoris inaqualitatis, alteram inuenire maιorem data, qua sit numeri , quem datus numerus metιatur ad nu
merum unitate maιoram . A. 39 C. 7. B. 43.
DAta sit proportio minoris inaequalitatis A, ad B, &datus numerus C, opportet alteram proportio nem inuenire maiorem data, quae sit numeri, quem C. metiatur ad numerum unitate maiorem. Data propos tione minoris inaequalitatis A , ad B, maior inueniatur, quae sit numeri D, ad numerum Ε, unitate maiorem. Si contigerit C, metiri D, constat proportionem D, ad quaesitam esse. Quod si C, non metirur D, sumatur C, toties, donec fiat maior D,& sit factus F,cui unitate agriglegata fiat G. Dico proportionem F,ad G, esse 'nae sitam ; quoniam F, maior est D , habet F, ad unitatem, maiorem proportionem, quam D; & componendo Rad G, maiorem, quam D, ad E; sed D, ad B, adhuc maiorem habet, quam A, ad B; ergo F, ad G, multo malo rem habet, quam Α, ad B et inuenta est ergo proin. portio F, numeri, quem C, metitur ad G, numerum unitate maiorem, quae est maior proportione A , ad B. Quod faciendum erat. Theor.
48쪽
Unitates denominata planis numerorino Arithmetic. dispositorum as unitate in
in itum disposta, aggregata μης
aquales unitati denominata diserentia consequentium dispositionis Arithmetica.
Η ---F. . C. et Sint in A, dispositae in infinitum,&aggregarae unit denominatae planis Arithmetice dispositorum ab unitate, quorum differentia B ;& sit C, unitas den minata per B . Dico A, aequalem esse C r alias erit A, maior,vel minor C. Sit maior; is itur in aliqua muli, Coroll. tudine sumptae a prima unitates dispositae in A, implent P 0p- C: sit huiusmodi multitudinis numerus D, qui adiecta Ast. Lunirate fiat E ; ergo aliquot unitates ex dispostis in A, Def. io. sumptae a prima in multitudine numeri Ε, sunt maiores C, quod est absurdum t igitur non est A, maior C. Sit Prop. x minor, & data proportione minoris inaequalitatis Α, ad Pri)P. F. C, inueniatur a Itera maior, quae sit numeri D, quem B, metiatur ad E. numerum unitate maiorem ι metiatur autem B, ipsum D, per F; igitur F, ad D, in ut unitas ad B ι unitas autem ad B, est ut C, ad unitatem; ergo F, ad D , est ut C, ad unitatemi & D, ad Ε, maiorem habet prationem Α, ad C ι ergo ex aequo in perturbata I, ad Ε, maiorem habet proportionem, quam Α, ad unita tem . Denominetur I, per E, ut fiat fractio G i ergo ut
49쪽
est I, ad Ε, ita G, ad unitatem; igitur C , ad unitatem habet maiorem proportionem quam A; ad Amdem uni tatem; ergo G, intor est A. Sumantur ex unitatibus dispositis in A, a prima totidem secundum numerum F;& sit assiimptarum extensio Hr constat quod H, est aequalis F, denominato per E, nempe fractioni G . ergo etiam H, maior est A, pars toto, quod est absurdum: igitur A, non est minor Cy sed neque maior. Ergo A, est aequalis C. Quod,&ci'.
l. Clt A, dispositio Arithmetica numerorum ab unitare, quorum consequentium differentia B. &in C, fini dispositae in infinitum, & aggregatae unitates denom, natae planis numerorum A; S unitas denominata per B, sit D - Dico C aequalem esse D. Sit E, aggregatum quotlibet ex dispositis in C, a prima, quarum multitu do F ; & ex F, in B, fiat G, qui auctus unitate fit 3: eop. 13. constat F, aequalem esse F, denominato p ct H: inter dis positas in C, si I,proxime. Recedens aggregatis in E,&Κ, numerus ordinis eiusdem inter numeros A , cuius I, Prop. i,. inter unitates C: constat etiam, quod unitatum c quae sueeedunt ab I, semptae semper totidem secundum numerum X, ad singulas easdem a prima sunr ut unitas ad K Iergo colligendo, omnes C, ab l, ad omnes ea tacm C, a prima sunt ut unitas ad K; ergo conuertendo, &per conuersionem rationis, omnes c ,adassumptas in Ε,
50쪽
sunt ut Κ, ad excessum Κ, super unitatem: & quoniam Κ, & I, in suis dispositionibus sunt ordinis eiusdem; est excessus Κ, super u nitatem ad excessum consequentium B, ut multitudo aggregatarum in E , videlicet numerus F, ad unitatem; ergo excessus Κ, se per unitatem est a qualis producto ex F, in B, videlicet numero Gi & propterea, adsecta hinc inde unitate, numerus Κ, est squalisti; igitur C, ad E, est ut hi , ad G; & E, ad unitatem est ut F, denominatus per H, ad unitatem, uidelicet ut F, ad H ; ergo ex aequo in perturbata C, ad unitatem est ut F, ad G ; sed quia B, multiplicando F, facit G , est ut F, ad G, ita unitas ad Bi uel unitas denominata per B, ul- desicci D, ad unitatem ; ergo C, ad unitatem est ut D. ad cam dem uultatem .rAEquales ergo sunt C, & D. inod, &c.
Unitatum, qua denominantur pianis Arithmetire dispositorum ab unitate quotlibetasumpta adsuccedentes in infinitum sunt,
ut productus ex numero murtiturinis 1 a
' rum , re differentia dispositionis Aria
SInt A, numeri Arithmetice dissipositi ab unitate quorum consequentium differentia B; & unitatum,que denominantur planis A, sint assumptae a prima C , toti . in dem, quot 'sunt unitates ia D ; & succedentes in infinir E a tum