장음표시 사용
11쪽
P;ime partis Quinta suppositis. mi quantitatis
maioris ad aliqua parae aliquota quatitaris iniunmis sumoportio rationalis: eiusde qualitatis nisi oris ad tota quantitate minoruerit ortiourationalis. obamrim si quantitatis maloris adparte aliquota quantitatis inuioristio rationalis: iam quantitas maior: et pars alti quota minoris quantitatis se babent ut onus meri. I pcoseques pars aliquota minoris quantitatis se abet ut numerus. v cu non sit maior rat Iode una parte aliquota qua de qualibet tanta: s quitur u meae et tanta:se habetur numel'et per fis aggregatu ex cibus partibv aliquoris ipsius mioris:se habet uti e ' ip exma suppositi one:et illud aggregatues ipsa minorquatitas:i ipsa mor quatitasse hin ut numer':ad malope et liciter illas in ortior&aalis et sic p suppositio.
Bena suppositio. midiae quantitaes
tes inequales se habeant in sortione ratonat Lvtracpiuo seDabet ad excellum quo maior ex eis diu minore inhoetione rationali Nequalitatis obatur thee suppositio.qm si illequantitates: te habent in a portione rationali:sedabet ut duo numeruet vltra se habent ut duo numeri: ergo e cessus quo unae edit alterainnumera. qm se numer' medit numera o numersi et vltraexcessus est numerat et quelibet aliam se abet vinumerus respectu illi' cessus. inter iuuexcessu et quali tillarum quantitatum est proportio ratiualis vel equalitatis: quod fuit probandum.
ma clusso.Inlinate sunt species ortionis irrationalis minores dupla: et illarum sinit siparua in aliqua. probatur primapars inlusiora. et capio collauni' quadrati:et sadiametriuet u loq=vniformis in pora dimisi uatur excessus quo
diameter ocedit costa adno quantiruita et in rine diameteret cos aeriit equalia.quo ponto sicar Inter diametruquesae diminuituret cos Meruntur fuit rexportiones Irratroales coluiuommmmdupla:lgitur infinite sunt species xporridis in rionalis minores dupla probaturato edes. qm qumoe cessus: odiametere Mit costa rei de rit medietate sui tsic aggregatu ex alia medietate et costa sedabebit ad coit in amortis irrationali muto idup et quasto casus diametri fuerit diminiit' ad aquarta sui:ninc aggregati ex costa et illa quarta ercessus viametri ad collaerita)poristio irrationalis.et sicco sequerer se 'ggregata costa: et aliqua parte aliquota excesius se habωbit ad costa in ortione irratioali mineuid laetet infinita sunt talia aggregata ex colla et aliqua
parte aliquota messus:igitur muniteeruta orstiones irrationales estinuo minores dupla. sequina:et arguit maior videlicet in aggregatssee costa et medietateexcessus diametri:se abet in ortione irrationali ad costa:qetsi no.sed sena Dint in ortione rationatus uitum utram italaa: sedabet ad cessum quo maiore timui rem ma cutione rationali vel eulitatis. patet na ex sexta suppostrione. et oeseques est falsii. qm n utram inarsi Lenaberet ad excessum quo oram terer ditcosa:in morti erat imal ocu altatera illarum sit costari excellas quomatorexcedit
nuntae sit medietas caesis diametrusequinar in
coste ad medietate excessus diametri erumportio rationalis.Fatet nec colaquctra ex se. et uItra seoquitur incine:ad excissum diametrierit ortio rationalis Naret coseqitella ex quita suppositione hoc additos medietase Gessus ei pars alt4ta illius: et cos uescit falsum vi patet ex quarta igFet ate desint sic abis. ς aggrinatu ex costa et quarta parte ex us diametri se et In FP stione irratioali ad costa:et Rini uter ς, aggregatuereos aet octava parte evressus et sic insequenter. Quod autemeriortiones cotinuo sint minores dupla Naietam a primigio spectio diametri aucosruerat mino: dupla.cu esset medietas duple:et tinuo diminuesus ad no gradu: ut pinos a par viis tinuoerit minor dupla.Ite continuo excessus erit minccet minor respαrueuilae utrutatis:ergo cotinuo ortio erit minor et
ex hocposca a pars lusionis. r in infinitu modicuserit excelsus quatitaris maicussast qnsit itatemmode:et ipsa qualitas minor cotinuo manebit equalis et tuariata.igitur infinite modica erit proportio maior S ad quantatatem mirimem. consesquentlapatet secundaparte. Et acpatet perima conclusio. Ex hacconclusione sequitur: innianitis modis possunt generari infinite species misnores dupla irrationalis ornois utpote si ex celsus diametri dimumas per partes xportiona Iesiporturae dupla Silio modo Nortio e tripla alio quadrupla. alio sexquialtera et M in infinituat et correlarissint eurun Hatione coclusi im
meetida coclusio.Infinite sinit spe
caesa portiois irratioarismaicaes dupla:et illauru infinite magnaea aliqua ' iobatur nec conuclusio.etpono excessus quo diameter excedit co distam: minuatur formiter in norariae ad non quantu et capio. ortione que est cine ad excisissolamem: et arguosic. Illina optio est maior duupla irrationalis. Nportio cosse ad medietate i ius excessusestetis irratio alis maior dupla.et portio coste ad quarta steriai reationalis mai dupla et sic in infinitu quelibet Xpectio cosse actaliqua parte aliquom excessus euipomo irratisonalis et sunt imite partes aliquote tinuo misnotes et minores.ergo innite sunt xpcat es irrat ales minores dupla. probar maior. cliue ad cellast diamete euit costa estxpertio area tionalis exqria supposita maior dupla:vicon statiqin ille cessus est minor qua medietas coste qstistestet medietas coste aut maior: iam ibi esset xportio se altera iter diametra et cossa: vrmaui u sexquialtera:quod est fallaniant pt ex edeticapite. ergo qlibetiportio cosse ad aliqua parto aliquota excellus quo diameter excedit costam esta portio irratisalis maiest dupla:qo iuriMbis Uatet sequetia exquitastappositicci qm exilia positide si costa ad aliqua parte aliquot si e celsiis quo diameter excedit costa seda impet pollione ratioaluipsius coste ad totii illvet merit ortio rationaris:sed ipsi' oste ad tota illuri essu quo diameter excedit costaest*pcario rationalis.mpinex quarta suppositice.igitur nocina ad aliqua partae aliquota excessus quo dia merer excedit cosa:se i)abhin mortice ratioalu Datet sequetia psyllogismu i otheticum: a
tot ac ditionali cudestructi cosequetis etca sic
12쪽
nim magn'erite essus quo quantumma or e la det minore Istrupm inruiitumasam emtio qua Maris mioris ad minoria et per cosequestuamuisnuaru pa o rion ni initu magna crit aliqua:auoaruit probandu. Et separet conticiusto. Simile cori elanu: coaiciarios coci Bois:lpic poteris ui ferre sinatione huiuscemodi proporrionutri Gitonaui, lures acie Iem clusiones et correlaria: nili obstaret nancinat mel secunda parte in uniuersum depta re mee mirari oportet:nplurimum lyis duoous capiti γ' tramo et ordirrumati cinatu u: sequieti γ' vius fuerim. Monent pomit ec materia alio inoiducia gapitula qmma in quo agitis diuitione corporis in partes proportionales qua pa
triplaeis motus occurrui pler casus: LIn quibus oportetvli multiplici specie vivistionis coaporis in partes suas proportionaviles variis et duaertis mortionabus rationalibus: ideo ad uniuerso emeto u ium aeneam Ru
poris i qs iae corp'dividit 'tinuo selmtes i eade. orti : Ma et liminio ptes ortionales eius corpis eade ortidea. Orobas M poisibile est v vna medietas alicui' coryis diuidae moespartes suas ivomone tripla:z omes illepartes sunt partes illi' cc opis totalis: in qs ide corp'Diuidit Untes se coruuio in ortione tripla: et titrio sunt oes partea xportionales illius corymis Proportione tripla.dit capio insuppositi Ipois collective in primo loco et in secundo.
mecuda suppositio. Ces partes alta
cuius co oris uinnite continue se haberes in aliq; oatione:puta a. v absoluortes totu corpus: suto partes ortionales euilue corporis propeatione ser voto dicere * si aliquod corp' diuidat
in infinitas partes continuo se habentes in or rione a. et absoluentes totai corpus: ille simul sunt sparteSpa portionales proportione a. katet
nec suppositio :m sic dividere corpus est diuidere ipsu3 in oes partes Wortionalesproportione a. aret oco: descriptione terminu
qua cotinuoa portionatur aliqua Horime se t trica: qualis est ortio inter proporrionata: talis est inter suas differentias sit ei us:quoa inemestret M S ad 4 sed et ina omine dupla: simituera ad 2 etcontinuo proportionans eade oportione:ideo differentiast cxcesius inter Set se dabet ad differentia siue enisum inter et 2 inproportione dupla. patet bee suppositio ex quinta pro tetate propcctionalitarissi medietatis geometrice secula parte capitulo secudo.
Qualia stippositio mi aliquod ατα
pus diuidatur in infinitas partes : et deperiisti σprum illaru permitatiqtra; portione puta a. nocen efficitiar in a. portione mim: et mendo scoam postpruna iterum efficitur in a minui rei mendo tertiam post secunda iterumefficitur in a murus:zii: cousequenter ille partes sunt oes partes Nor trionales illivisco Nisa portione si vero endo pruna illarunon perduram propo:tioia a
et endo secunda postprima: s.lrem perem eo tertia post secunda vita alteram psi ortione et sicconsequenter: tales partes no sunt oes partes opportionales talis cois oris orti ea. ποῦ bamrprima parsqr lino: tur posset umideli iacet aliquod coeptis duald rinali et uas partes inlunt rimendo prima illa mou*portionea, etc. et tamen no sunt ille spartes a portionastes illius corporis avoetioe ais sit tale corpus b. et arguitur si est durisum in infinitas partes et metulo pruna illaru in prima parte .pportionalipore exempli gratia : uitae illitis partis est in a. orti mili λ:et mendo secunda parte vis da parte ortionali teporis: iterum inuatur in fine euasdem panis in proportionemi ' quam erat In principio euis partis:et in tertia parte orsrionali Oendo rema i efficitur min qua erat in Principio eiusde partis in a. ortione: et sicco sequeterii inurin partibus memonabilib'illi' uore sunt infinita corpora cotinuo se dabentia in a portione a. 'patet mcoepus eo est in principio e partis ortionalis: se habet ina portionea.ad illud quod est in pricipio secude:et illud quca est in principio seinde:se h abet in NPlone Maaillud quod est in principio tertie:et liccosequenter igitur illa infinita corposta continuo seda nim MiloIleu.et ex sequenti quisui excessus interula corpora tinuos en et in orti ea.puta excessus quocorpus in pati apto par. partis ior rionalis excedit corpus in principio seclide: se abet inisortione a. ad emessiim quo corpus in peticypiose cude exceditcorpus uapricipio terire: et cosequerer. Natet peccos vetitia expcedentis Politae ire:etiuiexcessus sunt illepartesque depercuturin partibus mortionalibus raeporis: ergo illepartesque de ninrn. ialis partibus orsrionalibus rcporis se habentiaruiuom isortiis a. fiosequeritia patet:et a batur antecedens 'quia coepus lyprincipio e partis. tionῆlis respmis: ex itcorpus inpet incipio secunde pilluci quod decuit in i a pina partesportionalit o ricta et inuclesima tuar in partium quas diuiditur coapus excasu:igitur assumptinmmmin. msica babis de quocuae alio exces m et vltra illa partes in quas diuinitur illud coapus di sunt infinite cotinuo se babentes in citione a. et abscIust totum corpusngitumue sunt spartes cationa es illius corporis ortionemnuod imit negatuaret Decconsequentia secunda suppositione. Euod vero ille partes absolarunt totum coepus: Pater aper deperditionem tuam perditur te rumcorpus adnonsuan uam deperdat uim tam lati rudinem proportImus:vt confarragitur. Secuda pars patet facile:quia bene sequitur deruperdendo illas partes continuo: tale cccpus non continuo efficitur mimus in proportione iners sequitur u non sunt ibi in talitimur urione infinista corpora concinuo se 'abentia in proportionea moclo superius Milo: ergo sequiturinexcesssus illorum corporum non continuo se hadent ira proportione a. Dater consequentiaexterriana positioneri illi cessus sunt partes in quas datis debatur ipsumcorpus Nigitur ipse non sunt partes proportionales corporis di proportione a. et
perconsequens de prun ad ultimum sequitur iis in secunda pars suppositionis.
13쪽
PIime partis Dig positis sit p*ima coclusis. Cuaα
docium aliquod corpus dividitur quovis genere propcutionis tot ucia us se debet habere ad a, armarum ex omnibus partibusproportionalid' Iuuentibus prinam: mea proportione Ecm pus diuiditur. Exemplum vincorpus invidatur
proportione feminavera:opectet * illud corpus se habeat ad aggregarum et ominus partibus proportionabilibus sequentibus p*imam: in propcutione sexquialtera. Mamr lmconclusiora
volo a b co 'dividatur inparies proportion las proportione a. in inlinitum:et arguosae b.coetopus duillitur in partes proportionales in ore rione a. In valitum: igitur P emendo prunam part proportionalempropoetione a. sum etincitur in a. proportio minus:patet consequenaee secunda parte quaraesuppositionis:et vltra ita hae corpus deperdendoprima parim prop*stionalem incitur siue manet in a. proportione minus:et non manet nisi aggregatum ex omibus
sequentibus palmampartem propo rionale: Igliatur illud corpus b.se V et ad aggregatum ex omnibus partibus proportionabilibus sequentibus palmam erus Partem proportionalem proportione a. ut eadempropomone a. quod sint andrunstaret bec consequentia: quia si illud aggregatu
ex omnibus sequentibuspruna. etc. est minus plab corpore in apzopo: tione: sequitur pipsum empus est maius ilio aggregato ex omnibus seisquentibus prunam ina pet Maone.
mecunda coclusio. ad inueniendu3
residuua pruna parte ortional quavis orstione rationali corpus diuidatur: eis r primi numeri talis Mortionis: et duri dar corpus in tot unitates quotus iniimnera maior illuas pzoporstionis:et ex illis pari 'ν residuo a mima partec tantur tor:quotus est numerus minor talis Portionis. Elulum ut avis diuidere eo 'igor timesezquitertia: et videre id restabit pro rest duo a pruna parte pzoportionati: capta. q. et primos numeros . ortionis sexquirerere: et diuta eas tori corpus in quatuor partes equales: quia numerus maior est quaternarius: et pro residuo a primarte a portionali cupias tres partes et illisur numerus minor est te marius. Drobas nec edisclusto et uolo indi corpus druidatur proportionem cuius proportionis primi numeri sint c. maior numerus et i minor et arguo sic. Istud coepus est durissumper partes xportionales proportione a.
ergo totussita die Mus sedabet vi aggregatum
ex olbus partibus isortionabilibus avortionea, sequetibus prima in proportione a. .atet ita ex priori conclumnediet ultra totum di se habet ad aggregatu mori in mortione a. ergo sequitur in ipsum b. sed et ad illud aggregatussciat numerus addi numerumcostat et dinumerus est riumviras minor: ergo se turin aggregatu ex omibus partibus ortionabilim' proportione a. questibus primast abet ut numerus mior primmum numeroru propoerionis a. respectu maioris nusineri: re no potvisse sedaberentu fiat diuino tauliscorporis modo dicto in conclustonem equina initivi constat:tprur sequitur conclusio.
Tertia conclusioad diuidendii ac
pus perpari A portionales quavis avo. nonc
mi Inplicscapienda est pro residuo a prima par epetoportionaliuna pars aliquota denotata a nuα mero tale proportione muli licem denominante ut indiuisione duplaproportione capula est una medietas proloduo a primat PQrmiportionali et proportione tripla una temaz quadrupla una quarta quintupla vero a quinta et sic in i finitu.
robatur' ccdclino:qm semper corpus divisa per partes proporrionalesaliqua proportioneis debet habere ad residuua prima parte orti natrineam Milone qua dividiturivi patet exprima conclusione: seu odlibet corpus se dabet ad sua dietate in m oportire dupla:et quodlibet ad sua tertia in tripla: ad quarta3 in quadrupla:et ne consequeter: ergo in qualibet divisione corpo :rinxpomone pia debet capi xxenduo a prisma parta proportionali medietas: et proportione' tripla una tertia: et qdrupla una quarta et qui iam Plauna quitari sic in infinum:quod fuit anta.dac coclusione sequitur primo: ον diuidendo Corret corpus propo tride dupla 3zima pars erit melleoria Issitas da medietas reiidula et tertia medietas residuin siccosequenteria portione tripla prima pars est e tertie totius: et seceda oue tertiae resis Det tertia due tertierest i a prima etsecundaret Resine termino Milone vero quadrupla prisma parsest tres quartoet secunda tres quarte ressi ua1porti uero quin in primapars est qua tum quinte. et sextupla quinin s te et septupla sex septimeri se sine termino. Drobatur hoc co*rcia riu:quia diuidendo proportione dupla: totum reduid a prima parte ortionali est una medietas ut patet coctussone: Uitur primapars erit una medietas.'patet cosequetia ex secedas positi Meetili omnes paries proportionales totu corpus ab olusit. Itemdiui ado*portione tripla resis ausi a prima parte ortionali est una tertia igia mimaerit e tertita te diuid do quaer la re siduli acma est una quarta igit primaest3quatat Quini pla veνoen a quinta igitur prima erit quatuor quant Et similiter adiuendu est de ortione seximia septupia et siccosequenter. gii cor relariumverss. Antecedetrahaructaequentiarum patent ex una coclinone et ipse consequentie secunda suppontione. I Eequitur se eo diuti Correlamo corpus per partes propNilonales .pportice risiscentv la: residum a pzuna est equaleprime parauet Nortione triplain sub tu ad prima:et quadrupla subtriplu: et vitupla subquadruplu: et sectu pla subquintuplu: et sic e termio. stet occorrelarisi ruile expriori et conclusione. Si em duris dendo ortione tripla prima pars indue tertie et residuu una tertiacu una tertia sit subduplae Unuas temo residuu a prima Divicido aportio et riplaerit subd tu ad pars Stem indui idcirdo corpus Nortione quadrupla prima pars sitires
quarte et residum amima una quarta: Maa autem quarta est subtripla ad tres quartas: igitur resis ii a prima parte dutiaendo νοῦ portice quadrupla est subtriplum se primampartem. Et hoc modo de aliis probabis.
Quarta conclusiotari diuidendu co;
pus qua vis ortione superparticulari:capula est propma parte-ortionali a pars aIi quota denotata a malor numero mos timer talis
ortionis Puta diuidendo ortione sexqui ab
14쪽
taraxapienda est una tertia propmaparte:et sexquitert a una qudria et set quiquareta una quinta et sexquiquita una serta:et sic sequerer. Drobas qui audiui dum corpus aliqua oportione:pro prima parte capita inexcessesquo numer maior et primus talis a portionise aeseu numeru minore eiusde a portabis et facile educitur exprimaeoclusione idilicta lasa suppontione:sed primus numerret maior avstrionis superparticularis excedit nummmin sempvna parte aliquotam denotta a numero maiore:vt prim' nume et maior . ortionis sexdauere excedit minore perluna tertia sutiet prim' nume et maior a portiois sexu quitertie excedit minor Lperena quarta sui prim vero numera et maior xportiores se quiquarte excedit minore pervi a quinta3sui:ulpis ex generas rione speciem: ortionis superparticularis caspite secado Intus partis: igitur diuidendotione sex qui altera debet capi vita tertia Iprima parteret sex quatertia una quartan sic consequengor rela ieri Patet situr conclusio. Ex daceonclusione ruim. sequitur Sora socorpore per partes .pportionales proportire sexquialtera residua a prima parte est duplum ad primu:et sexquitertia trapis:et secqui quarta quadruplaret sex quiquinta.quintupla et sic in infinitiLopposito modo ad species morutionis multiplicis incipieto a tripta. Probatur correlarui ossi diuiso corpore proportioe sex qui altera prima pars est una tema. ut pl3 expre eti conclussone:ergo remiiuna a prima est due tertiri Dodo due tertie suntduplum ad una.Ite diviso corpore a)porti5ese uitertia prima pars corporise una quarta:igia remin a prima est. Quarte sed triu quartaru aduna quartam es proportio tripla:igitur.Ite diuiso corpore ortione sexquiquarta pruna pars est una quinta ripis ex xxima conclussonesos totu residust in. quinte.Dodoia .quitarum ad unam quintam est prosportio quadrupla et sic qualibet alia xbabis 'patent istaeonsenuerie ex secunda supposivione
Quinta conclusio. ald diuidendum
corpus qua placuerit: or e supra partietige nerentur species dui'xportionis sereatim modo Ponto in secunio capite dui' partis:et diuidaturcoz us in tot partes quotus estnsieriis inferioris ordinis retexiliis partibus eapiantur tot pro ressiduo a prima parte mortionali quot' est numerus superior:et restaud eru prima Mars amorti nesis:Exemptu ut costituaturnaturaliS seriesnumero; incipiendo a ternario: et costituatur infera series omnium numerorum unparu 1Incipaedo a quinario u patet infigura.
ruunessuis diuidere aliquod empus in xportifes rabi partiente tertias: qr numerus inferior in illa specie estqvinari' undas totu corp'iqui cmmas:et mnsiems inperimentemari': capias ν residuo a ma partea portionali tresquitaset manebsit due quit Getille equite sunt pma pars xporrioalis orti supinbipartinetertias.Et isto modo in othus aliis specie M operaberis. Et sim in capite scsoubi generan inures Iarportionis ora generanε mauis generens inmitte leo ad dividendsi cor qua volueris mortire
suprapammutaris doctrina secede cocousionis
Datet dee classo facile ercoclulide secada hac coelutione sequii ur in diuisio e corporis oma specie a portio is supraparitemis signate inferi'ressiusta prima parte .pporrioauti sexquialteuad prima: et insecula specie reii dua a prima est sex qui tertia act prima:et in tertia speciem sexquiqrin ad prima:et inqrtaresitan a prima erit se equiquitu ad prima:et sic in innitu se dedo o spectes a portionis supparticutaris. obae hoc correuiariu qm in prima specie illa; speci generatas in figura a residuoa prima parte .pportionali capisitur tres quire:et x prinia parte manet due quite vi phex consulione pr*deti: sed trisi quiraria ad duas quitas est xportio sex qui altera: σ.yte in s a specie x residuo a prima partea ortoaueapiunt quatuor septime:et p prima tres septune sed quatuor septimas ad tres septimas in Npor,tio se tertia:i . In tertia vero specie ν residuo a prima capiutur quim none: τ pro prima renoueqttuor none:seadniae nona* ad quattuor nonas est Nortio se equiqrta igis. Et sica babis de qualibet alia specie illi' figure. Mn igis correlarium Sed ad tuenteda xportione residui a pina parre proportioali ad ipsamprimam in re tauis speciebusconsulas secundam conclusionenti
m exta conclusio. ad diuidendu cop
pus qua volueris avortione multiplici supparuculari:generens innueris species du 'Mportloissmodo pomo in seculo capite dura partis: et diuigatur corpus in tot partes quo eunumera inferioris ordinistet exiliis parti capianr tot Presiduo a prima parte a portionali quot est numeras superior:et re usserit prima pars a portioalis. Et eode modo fiat mutarao opori multi puer suprapartieteret ad diuidenda corp'a orti de pia sexquialtera:qr numera maior i illa specie si quinari': dividar corpus in qui aequitem et mnumera minor est binari capians duequite .p ressiduo a prima parte ortio abi: et tresquite erat a pars a portionalis: et tres quiae residui scda et lim tres quinte residui a prima et se Naaertia et sic sine termio Ite sivis diuidere co 'νpotiione
dupla suprahi partiete tertias diuidas corpusin octo octauas:qr nsier' octonari' est nue maior illius opportiois: et captas presiduo a pina parte proportioali tres octauas: et residue quim octaueersit prima pars amori Malis: et quim octaue rea clutersiis a pars proportioalis:et siccosequeter istis re cocluso ex scda coclusio sim quo sequis morbus specieb' ortiois multiplicis turparticularis aut multiplicis suprapartiens:et etiam riu oibus aliisretauua prima parte ortionali hue se ad prima partea porti5alem ea proportee qua sedabet num superiores in figuris sua*generaestionu ad nueros o quosi fertores exced sit superioresnot in proportioe dupla sexuuialtera qr nuerasuperior est binari' et nsierusi serior quinams:et quinam ercedit binaria o ternarissirenduli a prima parte Mortionali in tali proporti e sedabet ad Mima parte proportionale simi duo at triaτur in proporti5e dupla suprabipartiente tertias uerus superior est ternari': et inlarior octonarem et ortonari' excedit te marisi d qui artu ideo in talis prpportionisdiuisione residuu a prima parte
proportio ise d3 ad prima sicut marsae ternarissi oroba I-correlarisi ex secada coctussonet
15쪽
qili luxta illam coclusione resilausi a prima parte
Psotionaliquauis omone rationali debetisi abere vi numera minor laus yportionis:z u coseques manebit ν prima parte a portloati numerus ille quo numer' maior talis ortionis excesciit minord Datet eccosequetra qrs p corpus debet diuidi ita tot parres quotus est numera mas or et primus sportiora qua debet iuridulissoni patet ex secuda coclusione: et pro residuo a prima debentcapi tot partes ex illis quotus est numer minor ut dictum est: Iturretur partis remanetes erunt prima pars. Mater cosequeria ex prun suppositione:et ille partes remanentes sunt numerus quo numerus maior excedit minore t patet igirur prima pars ortionalisest numerus quo
maior numera et prim' proportionis malit diuisio excedit minore.li abet se igitur totu residua a prima parte proportionali adprima parte prooportionale in ea proportione qua numera minor et p*imus talis proportionis ne dabet ad numeruquo malor et primus eiusdem proportiois excedit minorei quod ruit probandum I d habendam aute praxim huius correlarii in copositis proportionibus constituetur alique figure: diis facile luditabitur in qua proporti is dabet relictu a prima parte xportionali ad prima parte .pporutionale.Ud quod facile inspiciendum .ppomonibus duplis superparticularibus constituatur naturalis series numero p incipirio a binario in iis non linearet insuperiori linea constituatur naturalis orgo numerora incipiento a ternario:tunc referendo primum interioris ordinis. primo su peridis:habebis inqua xportione se habet ressaeusta prima parte proportioauaoprima druidedo corpus prima specie*portionis dupla superparticularis:et referendo secunda inferioris ordinis secundo superioris debebis illud idem in seucunda specie proportionis duple superparticularisin: suconsequenterut paret in figura.
onis triplem articulari scomtuatur in inferiori serie naturalis ordo mimerorsi incipiendo a binario:et in superiori constituatur oes numerii pares incipiendo a quinario: et tunc refer opaim. inferioris ordinis primo superioris:et secunda imferioris seculo superioris: et tertia inferioris ter stio superioris:et lic consequenter,cospicies in qua
opportione se habet residumma palma parte proportionali ad prima divisione corporis factaproponione tripla superparticulari: si pta infigura
Ed praticandsi aute ita in speciebus quadruples particularisquintupla supparticularis. cconmaatur naturalis seriesnumerord incipiendo ahinario inlinea inferiori:τ in superori GEnumeros excedentes se continuo ter Rarlomiplendo a septenarioret sic dabebis q- queris in specie I portionis quadrupla supparticularisAd quod inuenitau in speciebus Mortionis qintuple supparucular costituas In superiori ordine oes numeros medentes se quaternario incipiendo a numero novenario: et in specie sequeuticinituas insuperiorio duae olanumerose edentes sequi
nario incipiendo a numeroundenario:et sic consequenter in aliis speciebus operaberis apatet hoc in figuris sequentibus. I lo lF i' et τ
Sed ad exercitisi dui'ultimi correlarii in specie hus multiplicius rapartientist quedaetia consilituentur figuere. Unde ac racile ruenienda Nortione residui a prima parte a portionali ad ipsa primst in speciebus xportionis diapte suprapari entis costituatur naturalis series incipaedo a ternario inferiori linea: in superiori vero eos ima tur oes numeri xpares incipiodo a quinariostiae referedo prima inferioris ordinis primo super ris:et scaeni scdolet tertiu tertio id quod queris faucile reperies ut patet in figura sequenti.
simhaenienda aut Eproportione residui a prima partevportionali ad ipsam prima diuissonecorporis facta Nortione tripla prapartiente connituatur supra naturale seranumeron incipieto a ternario una series omnium numerorum contio auo emedentium se ternario incipiendo ab octo nario numeror ut patet in figura.
tionis quadruple suppapartirus supra natura e serie numer incipiendo a ternario constituatur series numero 'tinuo excedentist sequaternario incipiendo abundenario:et sic cosequenter supra eande naturale serie numer m incipiendo a ternario costituatur series numer cotinuo exedentia se numero cuinario iciplino a numero quartodecimo:et siccosequenter operaberis in aliis. Et des
de digilione corpo*a portione rationali. piis diuidi potest opportiorierationali
infinitisin speciebus eius ut c. put preeedens ostendituta eti apportione irrationali infiis nitisin speciebus ei quodlibet corp'diuidi potes 'pro cuius diuisionis noticia lit
i Iima tonclusio Cuodlibet tonus
diuiso aliqua νportione irrationali se debet mbere ast aggregatu cibus partibus ortiona Bilibus tali mortione sequetibus primam in ea proportione qua totum diuidatur. Dec conclusso claram et euidentem exprima precedentis capitis demonstrationem sortitur.
mecunda coclusiuald diuidendum
corpus infinitis Nortionib' irrationabilib' minoribus pla:m puta ortione diametriadeonam:aggregati ex medietate e cessus quo diametere Meducosta et Usacosta ad ipsamnieicesiam:
16쪽
et sice sequenter ut capite quarto oransumest:
Bet*prirna parte capi excessu quo malo qualiutitas eccedit minorem ita * residuum a prima iit minorqtiantitas et torum corpus sitniator quania tuas talis proportionis. probatur nec coclusioee precedenti quoniam totu corpusdurisum prosportiae abiqua irrationali se bet habere ad aggregatum ex omnibus sequentibus prImam tauouillioris in ea proportione qua Ipsum corpus diuiditur igitur oporint a totum corpus se hadeat ut maior quantitas talis proportionis: et aggressiarumer omnibuS sequentibus primamut minor quantitQS: et per consequens ex us quo totum corpusemit aggregatumex omnibus sequens risus prIma erit prima pars proportionalis tali proportione valet conrequentia quia resti duum inaggrinatu ex omnibus aliis a prima: ille Hien limin er i prima quod fuit probanda. 'ldae reii conclusi e sequitur primo in act diuidendum corpus proportione irrationali diametri ad costam ' oportet pro prima parte proportionali capere ex reisum quo diameter excedit costam: et pro secuda pere etiam retium quo illa costa cum ein dias meterquadrati excedit costam iuius quadrati et sic consequenter:et ad dandam pruna partem proportionale proportionis irrationalisque est agusregati ex costa et medietate e essus diametri ad planicostam capiaturpro Primaparte proportationalistra medietas cessus: et prosecuda parte proportioali capiatur tanta pars residi ii ad qua pruna dabeat illam proportionem que est totius co ἔν oris ad aggregatum e c omnibus sequens tibus primam: et iteruinui residuo a prima arte et secundaλ pro tertia parte capiatur tanta pars
ad quam secunda habeat illam proportione qua ima l=abet ad ipsam:et siccosequenterint simili
modo operandumesset si diuideretur corpus proportione irrationali que est aggregati ex costa et dria pari vel octauase rei tecimase aexcelsus 4 diameter exceducostdad ipsa costa. correlas rist exco Iunone addita suppostri fecunda procederis capitisuueenim partes iniunte continueseidabent in proportione Duillionis et torum a soluti Al Sequitur secuncto mulsoccupc permissim partes proportionales proportione irrationalι correctan et est diainetri ad costam: omnes partes Impas
res contriuio se trabem in propo tione dupla : et omnes pares similiter: et oes due inter quas 1 sdiant due se habent continuo in proportione se qui altera ad dupiamri omnes inter quas meduit tres se habent in proportione quadrupla: et sicco sequenteri Deobatur aproportioque est pristiae partis pi oportioliasis ad tertiam compotiio tur ex ductbus propOzrionibus equalibus quaruvtra est medietas duple ergo sequitur riua est dupla et aterconsequentia: et probatur anicus dens:q ita conlponitur uapzopoetio propor stione palme partis ad in undam queest Acilietas dupla:et ex proportione secunde aclterna que etiaest medietas duple:quoniam pzoportio diametri ad costa es medietas duple ut patet exterara supia positione tertii capit .Et sicprobabis quibusα cunae duabus partibus paribus Meviatis:et etiai paribus. Sed iam probo partes inter quas meuciant due se habere inproportione sexquiarura
ponatur ex proportione prime adstam dam: et se, cunde ad tertiam: et terrie ad quartam: sed prospccrio prime asstemam est nuptaNipatet ex obatione precedentis partis:et proportio tertie ad quartam est proportioque remeareta. tupletate sat et ergo proportio prime ad quartam con tinet duplam et medictatri duple equa te: et per consecuis talis proportioque es petime ad quar tamm sexqui altera ad duplam. patet hec consequentia ex diffinirione sexqui altere..etia probat
bis de aliis uuiuscemodi partibus.zel lain aboremam part quia proportio partiu inter quas manent tres cuiusmodi est proportio primepariatis ad quini coponitur duabus duplis: putia et proportioneque est prune ad tertia et tertae aciquintam que sunt duple: ut patet ex prima partenuius correlari uet per consequens talis propor tio prime ad quintamest dupla ad duplam cilcontineat ipsam duplam bis: et per conseque drupla. 'patet consequetia diffinitione dupleet secunda parte id modo probabis tecninibus similibus. Natet doc correlarium sensui in fisura sequeti in qua poma pars est diameter qua
rati maioris ibidem positi resecunda est costa eiusdem quadrata: et tertia est costa quadrati seisquentis:et terita est costa tertii quadratuet diameter quarti : et quarta est costa quam quadrati: et diametri quinti: et quinta vicosta ipsius quinti quadrari:et sic in infrinitum poteris procedea e ibi n.conspicies prime ad tertia est proportio duia pia et se deas quartam etiam duplar et prime
ad quantam in quadrupla, Ex quo sequitur tertio . in tali diuiside aggreo Ternum
garu3 ex ostius inaribus a primat pari essequale coψres . e:et aggregatu cet cibus parib'a feci; nda des prima par euequale secunde: et riggregatum exoibiis imparibus se habet act aggregatum ex omnibus paribus in proportione que est medietas dupla. 'probatnr prima pars dimuS correlaris quia parem impares continuo sedabent in prouportione dupla vi patet ex proximo correlarior igitur residuum ex omnibus iparibus sequeribvapat imparem inequale prime impari. 'patre consequentia ex sti meo correlario tertiae conclusonis quinti capitis. Et eodem modo probabis secundam partem. Sed iam probatur tertia quoniam medietas aggregati ec omnibus imparishus se dabet ad medietatem aggregati ex omnis sparibus inpropri lonequeest medietaso pletergo totum aggregatum imparui se babet ad totum aggregat' parum in proportione d pla. v at et consequentia per danc regulam in quacunm proportione se habent partes aliquote aliquarum quantitatum eiusdem denominati nis in eadem se habentet ille quantitates totales et perconsequens in proportione qua se habent due medietates aliqum in eade se Irat tota illain medietatiLSed afans m prima pars: orta
cuia usi par se habet ad pare: eest
17쪽
in proportioneque est medietas duplevi constat: quia illa est proportio diuisionis: z prima pars
Proportionalis imparest medietas totius aggregatiee onialibus imparibus:et prima par que vis arda est medietas aggregati ee omnibus pλα ribus ut patet duabus primis partibus correularlI ergo medietas omnium imparium se habet ad medietatem omnium parium in proportione queest medietas duplarquod fuitprobandum. Sequitur quartou, diviso corpme per partes proportionales proportione irrationali que est medietas triple:omnes partes impares talis dis uisionis se habent ui proportione tripla: et et Iam cs Pares: et omnes inter quo mediant tres in proportione nonocuplaret aggregatum ex omnis Dus imparibus sedabet ad aggregatumex omni hus paribus in proportione queest metietas ple.Docemrelaruim cumpreadenti similem deumonstrationem admittit.
Tertia conclusio: ad diuidendu cop
pus in partes proportionalas infinitis speciebus pzoportionis irrationabis maioris dupla:mpuuta proportione que est totius diametri ade cessu quo ipsa diametere ecedit costain et totius diametri inminealetate excessus quo ex dit costam λ .
ad quarta in vel ad quinta vel ad sexta ut superi
dictumest:prinima parte proportionali capiu iduses excellus quo quatiugs maior excedit minorem in tali Moportione: et quantas minor pro readuo ut fluetis partiri coap' in partes proportionales propoptione queest totius diametri alexcessum quo diameter e evit costam: capienda est cbsta quacuati cuius illud corpus diuideno mes diameter proprima parte propcetionali: Ne pro readuis maneat e cerasque est quatitas misnor talis proportionis: et pro secunda capiens daesteosta quadraticuuis totum aggregatum ex omnibus sequentibus primam est diameteriet ad dandam tertiam capiatvr costa quadrati cuius est diameter aggregatum ex omnibus sequentis bus primam et secundam. Et ad duridendum altuquω corpus proportioneque est totius diametri ad medietate ex sus quo euedit eost proprisma parte Nortionali capiendusest excelsus quo maior quantitas excedit mirimem tali proporti sone.Constituendum. Res torumcorpus diameter alicuius quadrati et timcpro prima parte proportionali capienda est tanta parct illius coaporis Q pro omnibus sequentibus non maneat nisi medietas ex assus quo tale corpus existens diameter excedit costam eiusdem quadratiri ad dandam se, cundampartem proportior Ialam constituatur totum quod sequitur priam diameter alicuius quaserati: et prostiusta parte captatur tantum Q peto sequentibus non maneat nisi medietas excelsus quota is diameter cedit suam costam et sic consequenter, patet dee conclusio eo modo quo sescuda duius capitis ae poteris multa corre arta inferre sed iam adeo inferenda ex predictis faciolam haberes aditum. Et hec de proportione iurastionali: et de diuisione corporum eadem irrati nati proportione. qua num est facile cum roriosne loqui. 'apimium septimum in quo agitar deppoportione οἰ dinum pars
tium proportionatrum intersca a riter se hahentium.
teria de motu localI quo ad effectit et ino, tu augmentationis comparatio alicuius ordinis aliquarum partium proportionalium inter scalariter sedabentiu au altum ordinem parctium proportionalium:utcumvolumus comparare totum ordinem partium impar vim tori or lini partium parium: ut iam ex parre tangebatur in precincti capite: ideo non ab3 repkonoticia imi pono aliquas conclusiones.
. partes propo rionales aut SPἶoportione:et capris certis ordinibus partium proportionalium interscalariter sedabentium:totumae coapus a soluentibus: tunc illi ordines se habent continuo u proportione diuisionis: et si corpus diuidatur propo tione dupla:et capiantur oes partes inter quas mediant Pueprop*imo ordime puta p ima
quartia istum decima tradecima. pG et inde
pro secundo ordine secura quinta- octaua vi decima deciniaquarta et siccosequenter et dema pro tertio ordine capiantur tertia sexta non duodecima uuindecima et sic inreps. Dico
primus orto se ad secundu inNortide spla: et etiam secundus ad tertium in proportione Dupla. testo in centum ordines caperes illi etias inproportione dupla continuo sehaberenti Dastet d quoniam uimbet illorum oremunconstinuo partes corre inbuentes se abistin eadem proportione: situr in quacum propoptione sedabent contInuo prime partes tuo umor ditium in ea inproportione continuo se a mille ordis nes:sed palme partes se dabent in proportione diuitionis ut constat: igitur et illi otalines. probastur tamen cdsequetia perdanc regula Quados cu* aliqua diuidunturequali Milone inqua cumproportione se habent prime partes m Gilonales ut eadem proportione sedabent et ipsa tota:quoniam sunt partes aliquoreeiusde den mutationis. modo ut quacum proportione sedabent partes aliquoreeuisdem nominationis in eadem se habent et ipsa tota quorum sunt partes aliquore ut postea demonstrabitur igituri
mecunda conclusso per modum dom
cumenti polita Ed scienda quota pars vel quote
partes aliquore est quilibet ulceum ordinumvis aeneum est quot 1Inrordines: et tunc costimantur innumeris tot propo tioes diuisionis quot sunt illi ordinis dempta a. et coadunetur omnes termini illarum proportionum: et diuidatur totu imimpartes aliquotas quot' est mimerus resultas et denturprimo ordini tote illis partibas mora est maximus numerus in illis pzoportionibus: et secundo ordini tot molnses, secundus numerus: et sic consequenter et Muidebis quot partes alis quotas et cui' denominationiscontinet patin' ordo:et secundus et tertuis et M consequenter. Ex plum ut si pedale iuerit diuisum in partes proportionales proportione d inconstimantur tres ordines vlpaulo ate ex to expressim'Mibi tres sunt ordinesconstituti: et proportio diuissonis in Dupraxonstituas m umeri. duas proportione.
18쪽
duplas: puta quatuor ad duo: et duo ad unum: tunc coacerua illos numeros puta quaternarium
tur corpus ui septem septimasri pro pruno orat, ne capras quatuor septimas: et pro secundo Pusas septimas: et provirimo unam septunam: et sic comperies quot partes aliquotas continet quiliubet illor uni ordine Et isto modo in qualibet pro portione operaberia faciis Rutenis demonia stratur et prima conclusione quonia sicut illi tres ordines corinuo sedabent in proportione duplaret sunt partes illitas corpo is: ita oportet capere partes cotinuo se habentes tu proportione d Ialotu torp' absoluetes eo quo ollati sum' artificio
Tettia conclusio statuus continui
parte aliquot proportionem aliquam rationes lem ac Irente. proportione acquisitam toti inuenire. Ndmisso corpore inmurm parres aliquostas putas itu . quiritas una tuarum quintarum acquirente proportionem duplam: inuenire qtiatam propomonem totum illust corpus proportione acquirat.Inmoena casu illud corpus proporutionem sexquiquintam ac tririctim acquirat napra sema vitam: hocest tantus quanta est una eius quinta. a probatur dec conclusio et tumidatura pedale in aliquot partes aliquotas gratia exepli in. et acquirat na illarum aliquam proporstionem rationalem: tunc ur illa Moportio acquis sita a leui illarum pamum est multiplex vel non multiplex: si multiplex tunc aliquoties vel semel
acquirit supra se tantum quanta ipsa pars est:et tot partes e files sibi quot acquirit supza se:tot ararit supra ces illas. artes aliquor si quascemus erat diuisum:et quelibet talis pars acquis sita illi parti est equalis cuilibet illarum partium aliquotam in quas coepus est et uisunnigitur ille partes acquisite ur pars acquisita est vel mi eiu
dem tenominationis cupartemtac renturvel acquiritur:et ita si illepartes ut quas corpus diuteehatur sunt septime: et ille partes acquisite sunt evel tres vel quatuor: et ne consequenteritotum illud corpus acquisiuit duas vel tresve quatuor septimas vel nest una totum illincoeptis acquiosuit Uiam septimam: quo adimento: iam patet
uua tam proportione illud corpus acquisiui. Siem acquisiuit tres tales partes et ille siti septime tam acquisiuit totum proportionem suprat ripartium n septimas et ste habetur propositum ubi pars aliquota proportionem multipli amiaim
Si autem acquirit rationalam no multiplicem
nisestum es in illa denominatur ab aliqua parte aliquota vel ab aliquiis partib' aliquotis adeo
quat euelmadequale non est modo cura sicut dupla sexquitertia denominatura numero binario cum tertia:et supra bipartiens tertias ab unitate cum duabus tertiis.Tato igitur in aliquam talo proportionem rationalem nonmultiplice aliqua talium partium aliquotarum acquisiverit:admuueniendum quam propoetrionem acquirit totum diuidaturquelibet pars aliquota in partes aliis quotas a quibus tenominatur talis proportio:et tunc coaceruentur omnes ille partes aliquote: et numerus resultans indicabit quota pars aliquota totius in aliquaumo quelibet illarum deinde illis omnibus addantur illa partes aliquote ac
quante uales eura sic inuenaeo quot partes aliis
quotas acquisiuit totum: ct per consequens qua: Improportionem ut si in exemplo ponto a italarum listimarum acquirat p oportione supzas bipa mentem tertias :er quoniam illam orti.
dera minatur ab uno cum duabus teritis diuidatur quclidet septima in tres teritas:et multiplIcciatur. . per tria et resultabuntari etiam ille numes rus indicat tibi quamlibet illarum partium ema Em vicesimamprimam:et partes ac uite sunt
equales illis quia sunt tertie nius i timeret set due: ergo acquistitit duas uicesimas primas et sae ortiorae suprabrpartiente eicesimaspmastoruamsiuit. Si aute una illarum sepcimaru acquirat duplam sexquitertiam: dividas quamlibet teptis mam etiam in tema saet multiplica scpta peraria et reperies ut dictum est viginta una et quin odseptima acquisiuit tantum quanta ipsa est pura unam septimam totius cum una tertia illius septime:diuidas etiam illam septimam acquisitam uitres partes:et ille tres partes erunt tres vicesimes prime totius ut constat: et totum acqui Ruit illas tres et cum hocvnam. Ecquisitiit igitur quattuor vicesimas primas: z per consequens proportione Rapzaquadripartiente vicesimas primas. Et isto modo in omni alia specie proportionis operabe
ris Et ex oe oleris inuenire proporti ricin ΘΚ acquirit totum duabus partibus euis aliquotis inequalibus siue abusiicii facientibus una masaiae pluribus acquirentibus e alam propcῖticia 1 em vel etiam inequali Et cons militer cogNovsces quam proportionem Peperdit totum aliqua parte erus HI aliquitus partibus aliquoris aliis
qua nuci aliqua D Pῖ mi Iones teperdente vel pepercentibus.
tur de inuentione proportionis mi noris inequalitatis et etiam mai ris respectiuuius que numeri ex recbus uiuisibilibus compositu
teria intensionis distoemis quam p. os portionis motuum querere proportioranem subsexquialteram vel subduplamuel aliqua aliam minoris inequalitatis vel etiam maicuisi nequalitatis respectu numerinon thabentis tua sine fractione id est diuisione uatis vel unitam talis numer visi ponaι aliquod mobile per transeat tripedale inac uim in horatunc mouens subdupla velocitate transit subduplum spacium ad tripedalem eodem te poetamodo non est posu bile dare subduplumaa tripedale sine fractice mutatis: omam bipedale cum dimidio est sub cuplum tripedalis.Stem centingit nonnunquas quereres qui alterum respectu numeri quinarii; et illud non potest dari sine fractioAemitatis ..enim cum tumidio ad. .est proportiosisquialteura. Quare Ozo inuentione talis proportionis maioris aut minoris inequalitatis cum hactione.
Buppono pἶlmo sp duplex est minae
rusvlaa proponitum sufficit quida3es compostatus unitatibus diuisibilibri uius queliberentias est res dimisibilis:nt numerus trium pedali quavim δlitata, et alius sona merus est coo
19쪽
post is Gunitatibus indivisibilibu :ut numerus
tionalium Dec suppositio ex se patet.
sic consequenter. probatur quonia aliquis nulneriisputa rerum Indi uilibiliucuiusmodi:est nueraternarius angelorui potest diruidi in duo equas ia: gitur habet subduplu:nec inquatuN parstes equales:et sic non habet subquadruplum: et sieprobabitur aliis igitur suppositiover
Tertia stippositio. Cis nummis re
rum divisibiliu dabet subduplffsubtripluri misuerinliter proportione minoris inequalita etia3 maioris aut nubere potest. Drobatio huius suppositionis: quia talis numerus potest omini in duo equaliacusit numerus reru diuisis biliu et inmaequalia et in Aetin. . et sic in infiniis tui Quare dabitur quilibet numerada sproportione minoris inequalitatis ad ipsum:etelio maioris Ram ad sui meaietate habebit propor stionem dupla:ad tertiam tripla:ad duas tertiasse qui alteram:et sic in infinitum.
Eruarea suppositio. ad diuidendum
numera aliquem per alteruliue maior siue mi, norm ueequalem siue oporteatvri fractione liue no duit ima est quel unitas numeri diuidendi in totpartes aliquotas quotus est numera per quem fit diuisso:et Pande sunt tot partes illas ru cuilibet unitῖtinueri per quesit diuino quos tus est numerus diruidendus: et sic quelibet unitas habebit equaliter Ompluvisivilis diuidere numeria quinariu per numea temaritimi puta quimgradus in tres partes equales:vel quines denarios per tres domines: duridas qualibet mitatem numeri quinarum tres partes aliquotas: puta itres tertias quia numerus per quem fit diuisio est ternarius: inde da imp tertiascuui tunitari ternariumla numerus diuidendus es quinari' Irems lis imit retria per quiliae:qr numerus per que fit diuino est quinarius:dividas qualibet unitate numeri ternam tauroedi inquit B partes equales. putam mim quitas et qr numerus diuiscendus est remarius:da cuilibet tres quintas :et
quilibet illo st quis habebit equaliteri Wrobael, nappositioqihila vim docuilibet equaliter
datur ut patet ex se et nicni manet ergo illatumno est copleta: et modus dividendi sufficius: et per sequens suppontio vera. probatur minorum quando tria diuiditur per qui ingratia exempli: oportet iuxta tene re suppositionis dimidere quais liberenitate numerite mari inqui in parte sequales:et sic eruntpartes ili tersequiram:et per consesquis qui est respartes adequat Gipatet:erut igitur ibi qui in ternam illarupamu ademate:et datur cuiliberenitari quinam numerimus te artusagitur nullus ternarius manet qm illi ternarii et unitates numeri quinam sunt numero equales:igiturtunc medii manet diuidenduint M probabis te quibuscu alius numeris quorum unus per alterum diuidit sequitur igitur suppositio
Dis suppositig pono tale re illam.
Ed diuide dum numerum sedabent in Odvo
lueris proportione minoris inequalitatis ad quecuin numerum volareris:capras innumeris ducanumeros se habentes in tἀlt petoportione:et diuis eas numerum respectu cuin*aeris numeru seipa Dciuem in proportione inmoris inequalitatis in tot partes equales quotus est numerus maioria.
Iis proportionis: et cinis captas tot illaru par trum quotus est numerus minor dicte proporta mS.Etticinuaties propositum. Doctacili nostratur exemplo :ut livis inuenire numerula habente in proportione subsexquitertia respectu numeri quinarii in rebus diuisibilibus quonia in incurio
sibilibus no estpossibile vi paget exprimis tua suppositionibus capias in nueris .et. qui sui numeri se dabentes in proportione sexquiremat et mnumera maior est quatemar :dmissas numerum quinariu respectumvis queris subse qui tertium numerum inquatuor partes equales: et haeduritionem facies per quarte suppositionis documentu: et qdnuerus mior est ternari' capias tres quartas quinariri et illarum trium quartarii ad illum numerum quinarium qui componitur adeo quate ex quatum talibus est proportios sexquiterti Et isto modo in omnibus aliis operaberis Naret decregulam tunc talis numerus se hasbebit ad illas suas panes aliquotas sicut se ha bent numeri proportionis quesite ut constat: igie illo modo oportet operari adiueniendus id quod
docet regulari percosequens regula vera.
immeruite habentem in proptatione maicetis in qualitatis ad quem uolueris numeria: et in quaculibuerit proportione: captas innumeris duos numeros se habentes in talippoportionere duns das numeru respectu cuius queris numera se Washentem illa patior tione maioris inequalitatis In tot pδrtes equales quotus est numerus mitior talis proportionis: et tunc illi numero minoriscuiuiso addas tot eqles parteseani diuistonis quot sunt unitates per quas nuerus maior talis proportionis excedit murope: et tunc numerus res ultans ex numero minoriet illa additione est nuis merus se dabis adnumerussc diuisum iri pa orstione data maioris inequalitatis. Loc facile des clarabit exemptu. Siem velis iuem nume*se quialtem ad numeru quinarisi in rebus diuisibiis libus in idimisibilibus id nequit fierivi dicissest captas in numeris duos numeros se habetes in proportione sexqviavera:v uta.rati ri quia numerus minor est binarius diuidas num quis narium respectu cuius queris numerum sexquialis rerum in duas partes equales quod fiet sminus documentum quarte suppositionis. Eportet enitum Pulldere. S.Penr.et quia ternarius numerus maior ratis proportionisexcedit numerumbinsorium inmmem numenim talis proportionis per ammitatem adequat madeas si ianumerum quinariumam de illis partibus duabus inquas iam diuisus inquinaris puta medietat ipsius
quinari tunc aggregatumex quinario et illa parte se habet ad quinarium in proportione data puta sexquialtera. qpatet nec regula sicut superior. Epplica bationem. Et ecbreuiter de prima parte huius ope a introductionisaratia dicis sufficiant,
20쪽
Portiona uatibus et De quibusciam PropoGionum et propcrationalita rum preppietatibus et accinenti
FCapitulam primum in quo assiciar Dummone et diuisione Fzoportionalitatam
ta nKdomachi sententiam plurunum ad ores iam musica veterum lectio. .nes intelligendas consertitSed prosecto asi piniustam Q Dbllicais calculatoes no mi
a portio. aduerten est dicterent inesse inter a portione et Oarionalitate. oportio enavi dictumes Uropor habitudo est duaru quantitatu aduruice copiar tidalitas ta Eequa superius dictu Sed a1portio litas est duaru Hortionsi vel pluriumius ad alta teram certa dabitudo. Ita ut xportio dabitudo
sit numerbruit quantitatura portl talitas Uro proportionu couatio existat Sicut em Iiumeri admuicecopariatur in maioritateet in minoritate ita a portiones atruicem minat uate et nivnoristate refertitur. η Nascituri incocina portionalitatem ortione esse:qucum nScinis Aportio portionaὶitas existat. Natet doc corret aristo se Nam xporrio aut genus.. aut loco generis se habet cin huic termino oortionalitascomparatur. Et aduerte. inlisosito ut est medietas em luas et xportionalitas: zeode modo dissimul ur
medietas emesiduarumvel plurisi xvortionum maius ad altera certa dabitudo: ut habitudo queen inter a portione dupta et quadrupla Nolita diffinitione ortionalitatis pol da est diuisio.
Tpud recentiores mathemathicos 'redecim sunt giportionalitates siue medietates: quaruvltima persectissima est: qui ui ea em consonatiemus ules simplices reperisitur. Sed apua striquos tres Hortionalitates famate reperiurumvidelicet auruhmeticaaeometrica et musica siue harmonica
L Unde ortionalitas arithmetica est quando dispositis tribus quatuor vel pluribus terminis
inter eos recim di erctae: scit iis redem. orti nes reperiumnExempla vi dispontis his tribus terminis sine numeris. i. J. incer quos nd eadem opportio reperitumsed bene eade differetia-En esti ad 3 ecta portio subtriplaret trist assise prouportio subsurbipartae Stemas. V odo illa prooportiones no sunt similes. ifferentia tamen i excessus quo secsidus nume excessumtmsi est equas iis differelatae qua tertius e ceu secundum:quia utramdpa est binarius. Xnxposito cili docestindata diffinitione per ter nos intelligas numes ros sereatim positos vel ea cue sedabet vinum risereatam positu et pdissentias itelligas memiquo mus numerus cedit suersi. 'peries aute banc x portionalitatem naturali serie numeroesi
cupiendo S. s. comperies interulos terminos
diuersas Nortiones: quoni runt ad secundum est ortio subserquitertia et s-ndi ad tertiues
a portio subs 4septima et esse in pissentia ino
medietas Diuisio. Ortionalitate. En cim medietau
ter illos aer nos.Quare uiciis terminis repeia ritur ecti alvo wria metic Sunt enim Illi in nimitermini conruiuo prcpciationabilM QIu metice. pq determini continuo propo ii dbiles P hesti ea. portic luare arulamerica sunt illi inter quos cotimo essequalis excessus:uau sicut pr .usere uit secundum aliquo cessu:ua secundus excedat remumcquali excessura tenvis quartum et sic cinae sequeliter: Iecontra stuKipias a minoribus, ni elaς x quo elicitur om numeros uinaturias, serie TEstain. numerorum este terminos continuo proportionabiles proportionaIuate arithmetica: enla continuo se e cedunt equalveircei u Puta Vnitare, in relat
ruptan ciuplam se temptan trige pias cunda et sicconseq ter alaefidendo per numeros paruer pares e terminos continuo propo3tionabiles arui metice quema continuo ille peto Portiones seexcedui per equalem propo alexam Puta duplammam quadrupla eucautupia per duplam : et ocrupta excedit quadrirpia etiam per duplam: et similiter sexde pia exceduc cruplam per duplangitur ille pzo pectiones continuo sunt Proportionabiles arithmeticea.ntecedens patet quia addendo duplam supradupla efficitur quas cti l a. et aadendo duplam supra quadrupla efficcitur octuplari licconsequenteria: tille propertis es continuo per illa auditamenta se cecini: ex illa additamenta cotinuo sunt proportione. du ple: igitur cotinuo Rexcedunt per prcportionem
duplam: od fuit probandi mus medietatis proprietates in sequenti capite patebunt.' Eeoo Tecmsemetrica autem medietas si a portionalitas est trica me quocienscunch tribus disposuis terminis:aut plueietas ribus uirere cedem proptationes reperuantur Me vero tifferet aene au . Et per easde: oastiones impropositoitelligas proportion equasius. Elpere quales prR Oericii interus aspρ- portiones eiusdem teneminationis. stumini cc
pia vi constat exprimi parte.Ence omnes cupis sunt equales: E sexqui altercet cis suprat maristientes tertias i emptu huius medietatis in disterminis. a. S.reperitur: quonin qualis sim porrioprimi adsectandum talis est proportio scindi ad rertium:utrobi enim subdupla proportio in nituriseu non sunt cedem vi ferentie: Onias tertius terminus secundum numero quaternario
excedit: cund vero primum hinario dumtaxat
ς Educiturex dictis omne onumer pariter pRures tinuosec metri proportionam In tere i enim cetinuo propoetio duplaesi: ut patet in his te minis. 2 4 S ict Sequitur secundo omno numeros imparesc5 . tinuo se triplantes uulpurato a ternario centies tauopreportionari geometrice.Nam sic tinuo sempiam: continuo se habent ui proportione πιpla: ex quo quilibet sequens immediate prececinia
Elimur tertio emnes proporii es t cmi natas a meris pariter paribus relinquendo post secundum numerum pariter partam unum numerum: post quartum mos post septimum quatuor: et sic cresequenter duplendo centianua numeros inummos: ese terminos