장음표시 사용
31쪽
dratus:inter tales mimeros reperitur nollum Portionabile a portione rationavita pruni actipsum ut ea proportio rationalis que est ipsi'ad tertinruet illius numeri quadrantale medium est parum latus. probatiar prima pars huius correotarii quia ilia pars est a coditionalis ex ciat' potito consequentis sequitur oppositum anteco emtis vipatet exsecundo correlario:igitur illa pars era. unda probature e correlario imes diate precedenti. Eequatur quilo *inter fimos numeros xportionis dupla: tripla: mple: induauere et Trion inuenitur med uim Mortionabile pportione rationat 'Probatur primo de dupla qest inter istos terminos. r. quoniam numerus et fit ductu unius extremi in alterum puta.4. n.I. no est quadratus igitur interaua extrema noni uenitur mediuma,portionabi Ie proportione rautionaliHiis pater intelligenti diffinitionem mismeri quadratu et consequentia patet ex secundo correctari et eodemodo amabis reliquas pres.
Elex dochabes pulchrsi documentu, ad cognoscendu quado aliqua a)portio testulat dabet subduplam proportionem ad eam rationalemQuado enim numerus resultans ex ductu unius extres
mi in alterum nonest quadratus tunc talis Grio non habet ortionemrationale subdupla ad illam cum non habeat medium a portionabilexportione rationali et M tale medium inter terraminos illius ortionis nonia habet vi numera respeetu alicuius extremi illius ortionis Siei sedaberet ut numerus: maioris extremi ad ipsum
esset aliqua ortio rationalis:et ipsius adminimum tremum esset eadem ortio rationalis: τse iam ibi essent tres numeri continuo xportionabiles in hac medietate geometrica et faenumerus qui fit ex ductu edtremi in extremuesset quadra irronalis vi pMet primo correlario modest oppositu da,vomo riinter hoc facile elicitur*pectionem irratronas alio iam lem necessari ponen Uesie:quod nota
pontiva a Gratia opditus obseruandi medieta
ondituri tis harmoniae aliquas proprietates ponR quas noli intendo demonstrare:quia huic operipam pmam conducunt. Imrima proprietas medietas aristἀsia: i monica in maioribus terminis maiorem seruat; et at Par portione quam in minoribus.li: est dicere cataonita, ptis tribus terminis dac medietat exportionaollibus:maiores proportio maximi ad mediu qua medii adminin .ut constitutis I sistet Inis. t z.Sc maior estproportio. ir .ad.S.que est sexqui altescoa- raqua.&a16.queest sexquitertiris foecunda tas med prietas. tribus remmis in hac medietate constitueratὐ ar tis medius terminus incollectas extremitatesdum icta crus duplu3 numeroqui fit extremo in extremurducit. et constitutis predictis terminis. collectis extremis puta. σαωr.qucis.constimul numerus qui fit ex ductu medii puta octonarii in collectas extremitates putaLi S. est duplus adnumerum qui fit ex ductueri remorum. iet.scilicet LGQuod patet quia illeest. 14 hic vero. 72 Oconstat illuesie duplu3 ad buraci stertia proprietas in hac medietate determinaris extremismedius in terminus reperitur si per extremorum coniunctos mψμ rum numeremmumerus qua ex differentia tres morum in minima consurgit diuiditur. is qui ex diuisioerelinquie accipiat:at minimo exire
mo aggregeturivi determutatis dis terminis. eti, si vis inuenire meditam harm.nicum interilatos addas extremuextreo puta. IpIRGetersit'.
et quia illa differentia est..ue.' tu crueius in .3. Munt.' .dluidas Igltrur.' .Per.' .et reticis ex diuissone erit viritas:adda sigillarunitatem ternario et
aggregatum et tua unitate et ternario ei medim harmonicum inter sex.et tria:es enim aggregata illud quaternarius numerus modo. G. M Ozrionantur harmonice. gEt dic aduerte*qetubusα cum duobus numeris inequalibus costitutas haedoctrina mediante reperio medium te mu in ter eos: et Voccum fractione aut sine interi enim
eti3.medium ham onaesiest3aem tribus septimis Quomodo autem inueniatur tum geometriiacum pἀrrim ex his que dicta sunt patet et coi lete in posterum dicetur.
Capitulum tertium in quo agitur de quibusdam proportionalitatibus et modis arguendi meis,
ptationabiliter siue in talionalitatis diis quibus nonunduet philosophiet calcu tores philici visitur ponit Euclides sextoeles mentorum et recentiores mathematicipos eunti Istarum autem argumentationum prima dicis tur conuersa:secund a permutata: tertia conm cta.quarta disiuncta. quinta eversaret sexta equa. i Dro intelligentia primi modi arguendi aduertendum est in inpropossio antecedens abicuius vpectionis diciturterminus qui ad alterum comis paraturer consequens termin scul aliquis comparatur et cum dicitur quatuor ad duo iure termimis quatuor est antecedens et duo consequens et si dicamus duo ad quatuor duo dicuntur antecescenset quatuor consequens Isso supposito mo se est hiportionalitas conuersa est quando antecedens tibias fiunt consequeriaret e contra. Hel aliter est uersa proportionalis illario in qua ex proportionibus maioris inequalitatis concaeduntur proportios nes minoris ita eqlitaris eis correspondentes. Icarguendosicut se habet octo ad quatuor ita duo ad unum igitur sIcut se habet unum ad duo ita quatuor ad octo. Et eria econuerso cocludedoex proportionibli' nainoris in ualitatis Iportiones maioris laqlitati eiscorrespo detes, i Nemrutas taxporridalitas dicacuexatecedetes coexportionis fit fis prime et ex nii prime fit ans Ree.EeIaliter est dispositis quatuor terminis geometrisce proportionalibus primi ad tertimin .et secundi ad quartum proportionalis illatio sic arguendo licui sedabet .s,adia ita. r. .l.isitur sicut sedabentis.M.2.Ita. ad unuint isto modo arguensendivnnir philosophus inplerasia locis vi in fisne mundi peridermenias:m tertio topia et in primo oeli et mundi intractant de infinito. sic uincta proportionalitas est a disiunctisterminisgeometeice proportionabilibus ad continacios pro portionalis illatio.tali modo arguendo: sicut sedabmus.ad.4.tta.et,ad. s. igitur iicut se habent. octo et quatuor ad quatuor ita duo et unitae si Disiuncta proportionalitas est a iunctistero miningeometrice proportionabilibus ad disiun d Recta.ctos proportionalis illatio.tali modo arguendo sicut se habent S.et. .ad. ita duoetvnsi ad unuigitur simit se habent octo ad quatuor ita duoad unumAEEuersa ortionalitas est admisistem minis geometr e proportionabilibus adeonrun Eueria. cios ame converso ad conuinciam op*tι -
32쪽
rialis illatio. isto modo arguendo sicut se bent octo ad quatuor ita duo ad misi. igitur sicut se habetunsi et duo ad duo ita quatuor et octo da octo Et differetire modus arguendi a tertio quia in consequente ter tu inserun ur xportiones maiatoris inequalitatis in isto autem inferuntur xportiones minoris in ualitatis. I Equa aut xpors - tionalitas est duabus multitudinabus ruantitas - , --, tum aut numerMudatis numero equalibusaei r :ά portionabilibus continuo eadem proportioneaeectulis mediis edtremorum oportionalis illatio. Isto modo arguendo sicut se habent. l. I. ita
'poteris etia ex uuare in alias generibus proviportionu addendo in qualibet illam duaru mulis ritudinu quotcunm terminos volveris dum5 sint continuo xportionabilas:et tot in una multitudiequot in altera. IEt aduerte in illa particula sicut sedabentque ponitur m oibus his modis argues Denotas ot: notatsimilitudine specilVJxportionum. Ettio illius intelligitur sic licui sedabe i.r. Ita. s. r. ly calicule est quacunae ortione a portionantur sereat immises. Q. ealea portione specificexportionant d. F. ii. Sedem di sex modi argumetandi in*por,tionalitatibus sunt plurimu usitati: et apud platalosopdantescalculatores et apua primores mavit demati iam celebres habentur quibus magnam
me doctrine parte demo strant: eo no abs re eos arguendi midos in presentiac duri demonstranctos:qindo modoc arguendide nostrationes precedenti capite et Muturis ile. Sit igitur.
c uersa xportioalitate est necelsariu argumenta. Dee concludo sua demonstratione extremo coἰγα lario quarte coclusionis precedentis capitis sortitur: um illud correlartu principaliter Audit dilemoduam di ortloabitate ceversa esse valida
mecunda conclusio modus ratiocre
nandi a xportionabitate permutata siue comula, ta infallibiti semet robatur dec coclusio manifecite ex quarta me aentis capitis . Idem enim hee et illa intendunt.
Tertia coclusio Deductio illa et mo
dus arguendi qui Nortionalitati coluncte initie omnim eptione est maior. Natet hec coclusio de monstratione euidenti ex primo correlario eiusde quarte conclusionis.
Eritaria conclusioso;ina ratiocina
ci a disi iacta morti oabitate ocinet erat insanutiam Semp prauu eccipio intellectu. nec conciussio patrocinante quarto correlario quarte coctussionis predicte manifesta etiadet
Quinta conclusio Consequentiatio
raque ortionalitas euersa nucupae omne duubietatis teisseuertit facile et inconcussa permanet Mec etia coctusto ouiti correlaru auxilio mostras.
m exta conclusio Gqua argumenta
tio ita equitatis mediu sumat: ut nullo infantie victo ines adducto ab equitat et rectitudinis tramite declinet. Mui' conclusionis inconcussa enuiolas alesiuiolata veritas clipeis et armis sexti correlam eiusde conclusionis munitur et defensatur
Et dec ad demo strandos predictos arguendi modos dixisse sufficiat qm ill correlariou demon, stratio sparum coclusionum esteuidens probati
Capitulum quartum III quo agitur de ex GTu copolitione et PImsione FPorrioitu.
quibus xportionibus adiportio aliqua coponitiir: iIi quas resoluitur:et quam quibus minore excinit pono aliquas suppositio nes quarum alique sunt diffinitiones : et periti nes:alle vero demonstrabutitur.
P;ima suppositio. P; imi termini adi
licitius ortionis sunt lui qui in sua a ortione sunt minimi 14 inimi aut e termima imi' orituonis et loquor tam in quantitate continua quam n inimoiseret sunt quorumino: denominatur ab unis term nutate:malor vero a numer et numero eu fractare
vel valitate cu fractione.Deci xbatur m diffutitio est sede pio explicatur binarius emet unitas suntprimi termini A1 portionis dupla: te arrus et lias triple:quaternarius et visitas quadrupleret siccosequenter. Unitas et unitas cumedietate:etvnitas ei unitate et tartia. Itevnitas cu quarta et unitas et siccosequenter sunt primi termini super particulariu proportionum. Mitatis. mcum nec dietate actunitatem est sexquialteraret unitatis cum tertia ad unitatem sexquitertiar itatis cum quarta se equiquarta: v sicconsequeteriEt isto modo ereptilicabis in aliis generibus proportioni
mecunda suppositio.raenominatio
alicuius6ortionis est illaque sumitur amato lprimo* termino; talis apportionisAEt denominatio duple sumitura binario qui es maior termis noru prim proportionis dupla:et denominatios quia tere ab unitatem dimidio. quo seo . quitur in species ortionis multiplicis denomi 1 correlansitur cosequenter a naturali serie numeros.-r imueta maior terminus prim terminocoorti orsis duple est binari rapte ternari' quadrupla quaternarius:et sic consequerer edendoper naturale serie numero referendo numeros ad unitatem igitur et Reuda suppositione tales species teli minantur a naturali serie. Sequitur secundo Q species Noatimis superparticularis denomina tur ab uate eualiqua parte aliquot a. probat
qa mator terminus primo. numero xportionissetquialtere est unitas csi dimidiora sexquirertae unitas cutertia:et sexqviquarta in quarta et inuquiquintam quinta:et sic consequenter descende, do perpartes aliquotas denominatas continuo a naturali serie numer agitur species orti nis superparticu aris denominantur ab Uttatecta parte aliquota. Sequitur tertio re oes specis oea ortionis suprapartientis denominat rab γ' - - unitate cu aliquot partibus aliquotis no sacie tibus a. mobatur m malor primm termin cetionis suprab artientis tertias est unitas cu duabus tenuari suprabipartietis quitas nistas cu duabus quintis:et iupaabipartientis septimas unitas cu duabus septimis:etsi consequens ter discurredoper duas partes aliquotas numes ri imparis. Item discituendo per tres partes aliquotas no facientes viast. per quatum per qummet sic consequenter: igitur species a portionas suo prapartietis denominaturabunitare cu aliquot partibus aliquoris no facientibus una. Sequa victam quarto in octiones coposite nominatura numerore fractionepariis aliquoreuelpamsi aliis quotarsino facientiu λα stendas doceo rela, sicutprecedentia.
33쪽
suteqlas quam denotationes sunt et iles et ilia ma NGu' denotatio e maior et illa mi G:cia Lydenotatio motaylla autem denotatio dicitur maior quesumitur a mai cui numero cu fractione vel Rite' vel ab unitate cu inaiori fractione .lDecno demini auturm diffinitio est et a Iordano petitur in princla pio secudi elemeto*. Exeinpluvia portioque est ele. S. ad.4 est equalis Nortionique est.2 ad. . quia utram illaru denominatur dupla. Texqui altera aure maior est sexquitertia: qa delici miliatio eius maior est: nominaturem ab unitate cumedietate:altera vero ab unitate cum tertia. V odo plus est unitas cumedietate quacu tertia.
Quarta suppositio. Cinne totum ex
quantolibet minori eo coponituri et distribuat lyquato libet progeneribus sitan I . et robas nee iuppositio M quaist bibet minus aliquo maiori eotii pars illur saergo ex qua tolibet tali coponitur. I robatur antecede iis qrcapto uno pedali: quae talibet mio; qualitas pellati est ps et 'ut pn ex se.
Quinta suppositio . Cinne copositu
e e Mobus equalibus a quaterest precite dupluaa virum ill et et omne copositu ex tribus equalis Busa quate est triplum ad quodlibet illo*: et ex quattuor quadruplu:et exquira quintuplum. et LetFateti' suppositio e e diffinitione dupli tripuuadrupὶια lic sine termino.
Morta suppositio. Cinne inpositu3
ex duobus inequalibus est maius qua duplum ad inui' illo*:et minus qua duplae ad maius illo*: et Icoponatur ex tribus inequalibus:es maiusquat rapui admini si illo*: et miti' qua triplu ad mas intu: et si quattuo: est mauis qua quadruplum Ra minimu tuo . et minus quA quadruplu admax litet sic conseque terrii coponatur e quim eese etc. Probatur pruna pars:Nillud copositum continet minus tuoru duoru bis: et aliquid ultra: ergo est nauis qua duplu ad illud. go sequetia est
notaret antecedens νbatur:m si timeret niti' bis adequale iam illud esset sua medietas: et per cO sequens rendusi et tu esset medietas: et scilla duo
inent equalia quod ei contra thypothesim. Elia pars partissimiliter ibatur m si esset duo plu ad maius illuu ia illud ellet sua medietas est nodo elii pugnatu. Secta a pars probatur quiruillud copositu continet minimu in tr in teret liquid ultra:ergo est plusqua tripIn ad illud Consequetia pateret ante EemasIbatur M si cotineret eu ter adequa te vi illud esset a temR eius ut plue se etycoseques alienue partes essent due tertiegnc aggregatuo eis esset duplus ad illud minitaniu:sea doc est falsum: qr alterii illo; dum est mavis isto miniino: et aliud equale vel malus vico nat: lsuur aggresia tu exulis duob' est mai' qua nuptu ad itina miminu. Elia pars duius partis ibatur m maximu illo* triueit maius qua tertia ergo copositu ex illis innuit' qua tripae ast illud. αosequentia patet et antecedens νbaturqr lictetia die tertia tu alie direptes ellent due tertie: et sic aggregatu ex eis et id tu ad illud qs est falsi qr aggregatu ex aliis duobus componitur ex omitiori illo: et alio equali vel muro: igitur aggregatu ex eis no est duplu ad illud. Et sic;babis alisis partes. 'Patet igitur suppositio.
Septima suppositio Cuado aliqua
latitudo siue excelsus aditur aliauit naitaexpo*
tion P acquirit quia q doeide addi iiir miram ex cessus si uelut uti do vi quando quaturnario additur quaternarius malcue orti olac acquirit quaquarido ei additur binarius: Et ex consequeriti nec
quitur * quado aliud deperdit aliqua ratit iiduae siue quantitare maiore Hortionc deperdit qua3 quando deperdit minore latitudine. il ec stri potiti ocu suo correlario propter sui euideratisino probaturi sed liinpliciter petitur,
Cctaua suppositua . Cuadocussi ide
excessus iit iniuiado additur maiori et mi Ozi: maior exportione acquirum iamqus malus. Et cum maius et minus tepereur eande lati duic siue excessum maiore a portione deperdit minus qua maius:vili quaternarius et octonarius pergant bis nariu maloἰc ortione ecperdit quaternaruisqva octonarius. Quaternarius em perdita: poristio dupla: octonaruis vero sexquitertia: ut cons a LEt si binarius et senarius binariu acquirant binari' eade ratione maiorexportione acquirit quam senarius:vices an robatur sint a.didue quantitates sine numeri siue et vis abie latui isnes a. nator et dimino; que se dabeant in Nertisone Let acquirat tam a. qua b. d.ei resum siue Iatis tudine: tunc dico* b. maior exportionc acquirit qua a. Muod sic I ruriet votos qua do a. acquis rit d. antea ab acquirat ipsum O. acquirat vita
quantitate ad qua P.se habet ui Nortione Let situla quantitasta et arguitur sic Met b. se dabent in opportione Let quantitas acquisita ipsi a se habetetra in eade cetione ad quantitate acquisitam ipsi haergo contimio ari bananent in ea de Norstio fui qua se habebant ante tale acquisitionia valetheecosequentia exquito correlario quire conclusion insecudi capitis hui': et percosequens tanti Nortione acquisiuit supra se quantam a
supras Stem b. acquisiuiset mino. ela a portl inter a et b.fuisset augmentata: et timatorem tam suis et et, muta: qni quanta a portione acquirit numerus minccultra num maiore tanta mit ortio inter illos numeros : et quania numerus maior acquirit ultra minore tam amrita portioinc illos nueros siue quis alia latitue ervi stat ex maiorin' ex fili quanta*portione acdimu b. sacquisitione e. latitudinis tanta ademate acqui fiuit a. per additione v. latitudinis et eo tra. igis quando b. acquirit d.maiore latitudine qua sire. maiore a portione acquirit: et perc5 sequens maior cxportione Rcquimb: acquirendo quam a. acquirendo d. odiiut νοῦ obandu.'patet tamen consequentia septima suppositi inediai capi tis Et sic patet prima pars:et secunda facilexbais tur mili si quando a .et diacquir ut dilatitudine matore. Milone acquirit b. quaa. sequitur.cu de pereunt eanded. latitudine maior ei portionem deperditu. quaa.Nam ad equale perdit illa qua acquisivit et maiore ac livum go maiorem de perdi Et sic patet suppositio.
Dis iactis fundanientis sit p; ima co
clusio. Gisii portio multiple multiplex surparuticularis vel multiplex supraparticito est maloe. Ortione superparticulari vel sup a partiente. probaturim curianiret O. t Ionis mς riplicis multiplicis surparticularisλ vel nauuiplaeis suis
mapartientis denominatio est maior qua alic ius superparticularae vel suprapartientis agitur quelibet .mtio multiple aut multiplex super.
34쪽
sor pportione supparticulari aut suprapamentegoriseciuetia est notaetrema suppositione et a tecedes Γbatur: qr denominatior res iliacmporutionum multipliar multiplicis surparticularis et multiplicis suprapartienti sumutur a nuero vel numero cum Dactione: denominationes vero supparticia laris aut suprapartientis/sum rurnbunitatec si fractione:ut patet ex correlarus seu
de suppositionis irai' capitis: igitur nomIs nationes illo puta multiplicis: mul licis.et sunt maiores ques supparticularis aut supra parsi. correta trentis. Et sic patet coclusio. Ex qua sequitur primi ι mo: sortiones multiplices suis articulares:et multiplicis suprapartientes sunt maiores Orstionib' multipliptictb': ita ον quelibet m altiplex supparti craris aut supra parties/qualibetmul utiplici ab eodenumero denominata est maior rutdupla sexquialtera est maim dupla:mpla sexquiquarta maior tripla: trip Iaem et tripla serquidrea ab eodenumero denominantur vino adequalem atet hoc correlar eo modo quo concluno. ti corren ς quitur secredo: ex dictis faciliter est inuenire moducognoscendi Nositis a portioe surparuticulari et supraparilete:que illavsit maior. probaturiet onanmr dueis ortiones a stirpartia cularis et h. supraparties:et cu quelibet suprapartiens denominetur ab unitate cu fratione partifialiquota: no facientiu una: et quelibet suis arti cularis ab unitate cu fracti de partis aliquote: ut dicisiest et omne aggregatu ex partibus aliquot alicui ' no facientibus una est qualibet parte alta quota eiusde maius vel miti': vel igi mr illud aps grega upamualiquota*a quo denotatur ortio b suprapartiens est maius parte aliquoia aqua denomiatur τportio a.Hirparticularis: aut minus:ss maius tu ortio suprapames est ma tru pata ortione surparticulari a. Sin minus tunc a portio suppari laris est maior data portioeb.supra partiente:qm denomiatur ab unitate cu maiori fractione.
mecunda conclusio. Cis p*opovio
ettremi ad extremu coponitur ex oualibet minori morti illa vi orti odi Ia coponitur ex qualibet νpωtione suprapartiente:et qualibet superpamcular Et distribuat lν qualibet pro generiuraus singulo. Petobatur dec coclusio ostensiue quarta suppositione:qih n omne repositu ex quato ibet minorieo coponitum Oisa portio est conposita ex aliquibus cutionibus vi supponiturcosequens est inois Hortio ex qualibet mi ori eat ces . c ponatur quod furta bandv. Ex haec clusi e
sequitur primo:*quelibet*portio coponitur eddualibet mortione mediox ad sui ceret mediorum ad edtrema ut sportio dupla que est mi RSAE.
coponitur et g portione. ad 5.et G ad. questit opportiones medioz:et et .pportione. s. ad. .et. .
.η que sunt extremi a necletu et medii ad extremsi. probatur cmrelai tu: or quelibet talis proα portio est mars illius a portMiseriremi ad erire niu cu coponat ei: et est minor illa ut patet ex fm acoetvstonericitur coponitiar ex qualibet a portice xadtrita medi ramisi a ectrema. Eeouitur sereuo Ois portio erinfinitis xportionibus coponit 'probaturqmee qualibet mmore ea coponituravi pixercoclusione sed qualibet data in nate sunt minores ergo quelibet ex infinitis coponis. er hanar minor qr rmaginor ouslibet preportioneste ualitaris esse latinidine in infiniis diuisibileqo alias no posset augeri nec ad no gradu a voe
tionis inequalitatis successi diminutiζSequi tertio:ς, ois ortio potest in infinitas xporti corra, tres diuidi: ea ortiones in Dabebut vi partes opportionalesill :et boc qua volueris A PNitori', ' at et:qr csi quelibet portio sit latitudo queda:
Iorai abet nudietare ter , quarto sextam et sic
deinceps: et peosequens quavis ortione diuinhilis est in infinitasa portiones que sunt partes a portionales eius. Sequis quarto: cν si aliquaxportio marcuis iraequalitatis diminuisturust ada ortione equalitatis necesse est ipsam contiomo succesiue transtreperi finitas ortiones minores ea:vt li Norti .S.ud.4. deueniat adip tione equalitatis per diminutionem forum S. vsipassi mecesseestia transire per oesyportires ex quibus coponitur talis orti S.ad si et Ille
sunt infinite ut dicit secundu ccuret arturivite. N alor patet qrcu cotinuo aliquid diminuitu sin alcerta quantitate per infimitas minores quantitates transit:ut notu est.Et sic similiterest qualis bellatitudineque continuo successive diminuitur sed orticis M. est latinadoque continuo sue cessitae diminuitur vi pono igitur,et sic patet cororeta risi: qmeo modo babis de quavis alla.
Tertia conclusio. Qualibetppopo
tione in duas equales Wor troes secare: ut capta Milone que est.S.gd. ipsa In duas inequales diuidetur limento numero sine termino equaliter distante ab utro extrem :puta luento numero senario.S.eiit ad. 6.en Hortio sexuuitertia: I. o. ad ἔ .propo tio sexquialtera: nec imaioresti Ia.' robatur c conclusso:qr aut talis xportio datur inter duasqnantitates cotinuas: t inter duos numeros:st inter duas quantitates colimror ille erunt uaequales:qindetportione maioris me qualitatis loquimur capiaturigitur quantitas
media inter illas que equaliter distat ab utra in illaru et tunc manifestu iste maioris illa; quantistatu ad quatitate media est una a portio: et mediequantitatis ad minimi illauere una alia xportio et illa xportioque est inter illas quantitates dis
uiuitur in illas duas xportiones iter medias mex illis ceponitur ut patet ex primo correlarios cuinee coinclusionis: et prima illa* que videlicet est maioris quantitatis ad media minor est illa quere meclie ad auerti extr ii inui': lsitur talis .in portio diuiditur in duas proportices inequale.
quod sim xhavds.α mori harumqr illaetustistas media p tantu excedit minus extremn: p quant si adequale mauis extremu excedit illae iste masiorestrioatio illius quantitatis medie ad minus extremia:*ia altei Uertremi puta maioris ad me ely. pateth eccosequentia et octaua suppositie enui' capitis. Ein au:e talis xpertio est intern
merci puta inter a. et cistum a.es mater et c. mira
vel igis illinuem sunt pares: vr ne pareos pares manifestsi est in aggregat si ex eis es ncerus parret p cosequens in medietate': et illa medietas es me clisi inter illos duos numeros a. ut patetras noctaretario prim retullonia secedi capitis hui'isit igitur illud mediu b. et sequi fς, a. adb. est una a porrio: I b. Rec est una altera: et ex illis cereontea portio a.ad b.utpt3 primo coiretario te dec delusionis hui': et prima illau que uideli et est a. ad b.est minor qua illa que in b. ad ci quod pt3m supra:igitur xponio a se tam duas mortiones nequales secatur.Einno pares crescat uteret tiator; duoet numerou ad fusi implfi: et sequitiirci ed
35쪽
uupta: mamit igitur in eadea portione ut pl3 ex correlario decime suppositiois secucti capit lueniatur igitur mediii inter illoo duos numeros et luenietur due viportiones ritequales in quas diuinitur ortho inter illos duos liumeros ut pres eniat est. Patet igitumni uersa uter conclusio mi ut qua sequItur νοῦ mo quelibet proportio iii ccc retari infinitas Milones seca rivalet ui numeris sineum unitatis fracti OΠe: capto ly intinuas syncathe gooeumatice. Wrobaturqni capta xporrione a. innumeris manifestuestu=illi numera salte punistate mi ab ut hoc est salte maior excedit uiuio cumitateque minas est pars aliquota minoris: dupletur si itur uter . tuos numero*: et sequitur. adhuc inter tuos numeros duplatos manet Oztio a.vi P divi te deductu est: igitur iam excreus eru in duplo maior: qrerit pars aliquota eiusdeden Omisitionis numeri in duplo maioris: igitur tam ibi inter tuos duos numeros reperietur m numerus meduis ut superi' ostensum cit Pet ucos quens due ortiones inequa aes in quas diuidis talis a portio. It dupleni illi numeri iter quos est Hortio et iam ualereos iu rentur tres nusmeri intermedia et sic erui quatuor xportices in termediciEt si tertio duplentur illi numerii nisentur is tenuiner L intermediuet sic eruti Sia Porstionaesri sic in infiniist duplando semo numeros. nata igis qua volueris Hortione ipsavel sibi e qualis quod Meode reputo miniin IIasa Utatio nes secari valet:quod fuit o stendendu.et liciat batur innumeris Ita et facilius obabitur inquastitatibus.Et sicut*batur capte o prunos num roseicedentes semitateata per locu a maiori babirer capiendo numerose cederesse numero: Sec du ut satis comat. patet iste correlarm. Eequieco; re est, secudo Q capitis tridi 'terminisco tutuo orti αnabilibus arat metueri captis aliis tribus f Ic se babenti by*qualis est ortio inter duos maloores primi ternarii talis iit inter duos maiores se
dite martiri qualis inter duos numeros permiremariti talis etia sit inter duos minores secundit emari utuc termini secudi ternarii sunt ortice nabiles arithmetice: sicut et termini pmi ternam: ut captis histribus terminis.q. .i. sunt pro portio abiles arithmetice:dico*isttisterminus. q. sunt etia ariti metice proportionabiles: qui
qualis est avortio interig. r. . talis est Interis r .et qualis inter. .et. 2.talis inter. G. eLq.utpE 'probatur sint tres termin I a.dica optio abiles arithmetice:et sint alii tris d. f. et ut intero. et talis xportio qualis inter a. et b.et inter stet Lqlis inter diei ci Et tunc dico * d f. sunt tres termini
opportionabiles a ritu metiamd quod probandsi volo Q excessus quoa excedit b.sits .et quo b. excedit c. sit h. ualis s. ut cutet:et cessus 4 d. edit stlitvet quoce vidus sit ruet manifes sinu se est tota pars aliquota ipsuλ di vel tote partes sita vel quote Lest iu 'e. et eiusde denominationis: et est tota pars vel tote partes aliquore et cinaeo denomationis ne spectu cficiit h. respectu Lut pii ex probatione quarte suppositionis secudi capi tis hui'. Eauo supposito arguit sc ι quod est exucessus inter P. I e est ualea illa quod in excessus inter eri Ligis itit tres termi ut d. e. f. sunt ποῖ tioonabiles arithmetiae.go sequenti apt3 manifeste:
et arguis antecedens: M sicut se habet b. ad u. e. ad Liviis sicut se trabet b ade ita cadi. π aterco sequentia exsecuda coclusione tertii capitis hui':
cpsequenti sicut se habet b.ade. ita ad s. puta
in igitur Gla Vabet ad Lin I. portisone et d. ad Letis in t a prurione. Fatet co seque Illa exundeclina suppolitiones ecuaicapitis duc et ive em sunt partes aliquo te eiusde denotationi. nutneroo se Vabentiu iii Loorti onera vlara g. sedabet ad uiri l.proportioe: et n. aa iactia in L prosportione: igis licui se dabet sede V. ita l. aa x N per locu a. utata proportione: sed si .et d. sebent in proportione equalitatis: igil i.et λ.qbruit proband n. Probatur aliter coarctariu tam innumeris quam quatitatibus coturuis: et relera eadei pol esu:manifestu est Φ ipli' a ad P. et ipsi' b. ad et ipsuis c. ad Lest ea iportio: que sic I. qui
ex Vrpothesi sicut se da beta. ad b. ita se dabet d.
ade ergo per locu a. Periniuata proportice sic se haberis. ad d.ita b. ade.et vltra licui se lλabet bad itae. ULex Vppothesi ergo pinutatim: sic se habet b. ade Ita ad .eta. add,es etia a portio illaque est b. ad civite erae proportio ei Madmetb. adeat ad spura L Quo supposito: pzobatur correlariu:qr Let sui equales:tsi .dicis sunt te Priarm cotinuo proportionabiles arithmetice. Frucosequentia ex dis otheti: iucra diffinitione a portionalitatis arithmetice. obas antecedenti: Osicut se habet g. ad mita se bet uad x. sed seti; se habent in proportice equalitatis ut pi3 ex hyopothesi: isti uet se dabent in propoetione equastitatis: et iiciunt equalia igit. robat antinaede sq: sicut se dabet g.ad Qta V.aa ergo Linuratim
sicut se habet s. ad h. ita Lad Itiq6 fuit probandii 'probatur antecedens:qr g.sehahet ad Linportione:et se habet inluvie ade proportionergitur intentae, robarmator M s. se due ad usicuta. se triadd.isitur se d3 in Lan ortioilevat3pna
ex hypothest. Probalantecedes:etvolo ς a.d inuatur ad equalitate dimendos. differentia percita excedit ipsum b. bypothem: et v. diminuatur ad equalitate cikdendo differentiar quae ceu
αex hypothesi: et manifestu es Q restaut ex ipso a. qd est b, ad residuli ex ipso d.qo est e. adduc est l. Pportio v pnex pypot,si: duis dereus abiso a et doeditu ab ipo d est etialia portiorit ei tu ab o aesis et induit ab ipso d. est ust g. se hue adu
igitur inter h. teperat tu a b. terminomat L. et
riv Ethece suppositio qua calaula imponitica is id grapitulo de inductione gradus summi circa princi, eus sunt pisi sub ista forma. Hi sint tria cotinuo. pcοῦ Iosnabilia .pportione arithmetica:et sint alia triaco similiter: oztionabilia proportice Eec emca sicut prima tria: illa etias imitatinuo; portis abilia proportio arithmetica Sequit ex hoc ter tio * si sint tres termini arithmetice proporticas Tertulmbiles: et quilibet illo. t latu aut tripletur aut c re crusexquialteretur. etc. semPRpcctio exti cini ad ex tremumanet equalis:et cotinuo manebuturi tres termini arithmeticexportloabiles:et in ea a fO
36쪽
rii robatur prima pars: ta sempervieriverere smorum acquirite ale proportione: igitur conuit ouaterea manete aciem p*oportio. Secina, pars probatur:civia continuo manet eademproxportlo inter mearum et tertium continuo etiam manet eadem roportioque ante aerat riueri manc lettertii eadem ratione qua maer extrema manet eadem proportio rigitur continuo illiter, mini manent proportionabiles arithmetice.
Datet consequentia et precedenti correlatario. Tema autem sicprobatur: quia semper illi ex cesius cotinuo manent partes aliquore coiimilis nominationis morsi numeroru:igitur in ea pia portione qua numeri frunt maiores et illi excelsus enata ut maiores: ia sunt partes aliquore tu corres numerozueui me denominationisint sic patet cor calcu.in retari s Sequitur quarto: ιν simi tres termini praeipio arithmeticea portionabilesnstante maximo ita Mit ele. Iozuiuariato descrescat minimustum si accessi ii ta*comue illi tres maneant arithmetice Ppor ;tionabiles:neresse est medium pio tarduis cootinuo decrescere minimo: cessequom est a portis' one Trem ad tremueontinuo augerimi datis his tribus ternalms.12.8 et stantibus. la decrestantia perdendo binarium illi tres termuri deo beant coturuo manere arat metice Nortionabis Iesmecesseestilumera mediu perdere metitate:et liemanebniat arithmeti Horrisabile manebiat . Guia. 2.et manebit malm ortio quaerat antea inter extrema. Drobatur et sint a. b. tres te mini arit metues ortionabiles a. maximus civero minimus:et perdat una parte sui que sit d. et medietas d. site.et tunc dico cum eralto.
Perditriademate. Quod Mibatur: quonia illi tres termini cotinuo maneta portio abites arith metuerigitvrminium inter trema est medietas aggregati et extremis ut ex stiperioribus constat: sed facta tali dimi mittoe aggregatu ex extremis est mimus per d.latitudine qua antea: quia illam perdit ademate:igitur medietas iurus aggregati effecta est minor per medietate illius quodperes.cit totu puta per medietate ipsUd: sed medietas
ipsius d.est .igitur medietastiuus aggregati facta est minor per stad teri illa medietas est me, diu inter illa extrema: igitur medietas inter illa
extrema perdidite. eo sint probandu. cudavero pars patet exprimi parte decimes possitisonis secundi capitis muris: quonia nuta eruamis c orirer noὸ crescit stante maiore.Etlpec est queda suppo , ς. quaponitri aliterprobat calculatoa inpavicipio capituli intensi meelementi. quitur quinto incis ortiocoponitur ex duabus prootionibus puta maximi termini ad meditaret medii ad minimu:et proportio maximi adine diu minor est quasubdupla ad ipsamque est extremi ad ex stremuri proportio mediuermini ad minimu maior est quam subduptaret proportios quialtera
eti a L et proportio. G.ad. J.minor est qua subis dupla: et. . ad maior est qua subdupla ad sexo qui altera. Dima pars thuius patet ex conclusioe et secti probatur:quia omne copositu adequate duobus inequalibusis mauisquam duplum ad minus tuoru et minus quam duplum admarus illorum vi patet ex sexta suppositione huius sed omnis proportio componitur et duabus proportionibus me qualibus quarum mino; estina:
oris extremi ad medium:et maior medii adminionum et premum:st patet ex eadem coclusioneigis tur omnis proportio est maior quadupla ad prooportionemque est maiorinextremi ad mediii et muror quam dupla ad proportionemque est me seu termini ad minimum extremum. 'patet consequentia in Primo prime: et sic patet correlarium. Sequitur sexto: . omnis proportio superpars vicularis componitur ex duabus quarum una est maxinii terminias medium et alia est medii ad minusextremumri utracpillarumest superparticuo aris:et proportio medi a minimum denominastur aparte aliquotῆ denominata a numero diu plo ad numerua quo denominatur pars aliquosta aqua denotatur ortio maximi ad minimur et xportio maximi termini admedium denotatura parte aliquota denominata a numero inedia, te sequent enumerum illum duplum:vt proportio sex taltera que o.ad .coponiture uuab'mematibus ut victum sin utram illarumin s perparticularis. Mam proportio. G.ad. . in s perpartaculatis r. . ad. similiter: et Pἶπmri quein. .ad. denomiarura quartἀqueest par. aliquota denominata anumero ui duplo maiore quam sit numerus a quo denominatur medietas aqua medietate denominatur sexquialtera. EG Immaturem medietas abinari et quarta aquaternario et quinta denominatura quinario quies numerus sequens immediate quaterilarisit robaturpalmapars rus ex correlario immearate precedenti: et securicla probatur et quia omnis proportio supe articultaris reperitur uiter duos numeros ini latos:vipatet ex eius generatione posita in prima parte capio Ultumnam proportio insuperparticularemque sit f. et duo os terminoseius innumeris immediatos: puta
rio superparticularis inter illos duos numeros immediatos coponitur adequale ex duabus proia portionibus superparticularibus rex una vine uocetque est maximi ad medium: et alteraque in medii ad extremum. obatur quoniam cum a et c. sunt tamen immeaiati:et a maior: sequitur m excedit taper unitatem dupletur igitur tam quaa.etmantissum est inter illos duos numeros
duplatos manete adc3 proportio que erat antea puta f. vi patet ex correlario decime suppositi rus secundi capitis huiusngitur excessus maioris terminusse duplati ad minorem etiam ut dupla,
tum erit in duplo maior ut patet ex tertio corre lario huius conclusionisaei antea eratvnitas e so modo est dualitas:et per consequens inter numeri an maiorem ipssus proportionis Let num mam minorem medi illumerus excedens minimuit Iorum permitateviret qui exceditura maximo illorum per unitatem .stat et nec consequentia quia omnis numerus excedens alterumper duas
litatem distat ab eo per unum numerum tantum in naturali serie numerorum ut satis constat: sit igitur talis numerus medius b.et sequitur . ni ximi termini illius proportionis L superparticuo Iaris date ad ipsum b. est proportio superpartis cularis: et ipsius b. ad minimum extremum eius dem proportionis fest etiam proportlo super particularis: quia illi tres numeri sunt immeo
dian igitur illa proportio f. superparticularis L
37쪽
copolutiirex duabus proportionibus superparuricularibus quarumvira est maximi ad medium:et altera medit ad minimii extremum quod fuit probandum. Patet tamenconsequentia quia omnis proportioque reperitur inter duos numeros imumediatos est superparticularis ut patet ex senes ratione superparticulariis. Sed tertia pars proclbatur quia duplato sica et numero ut supra: ina numerus sic Duplatus excessit c. sic duplatv per dualitatem: et illa dualitas erit pars aliquota iusdem denominationis ipsius sicut antea erat unitas quia adduc manet proportio C inter illos remmos:tgitur assise maior illorum terminorum cedit minorem mediante eademparte aliquota mincetis: diuisa igitur illa parte aliquota minoiaris que est dualitas in duas partes equales puta induas unitates nimisellum est inquelibet tuaru partium in quas dimiditur est Pars aliquota misnoris denominata a numero in duplo maiori viconi atagitur numerus continens numerum
norem et tal parte aliquot ama quate sedaubebit ad minorem numerum In p*dportionem, perpartvulari denominata a parte aliquota que. Denominatur a numero duplo a quo denomina tur tota illa pars aliquota continens illas duas unitates:et talis numerus qui videlicet cotinet numerum minorem et medietatem illius partis alis more sic dimile est numerus medius inter extrema date proportionas superparticularis rigitur proportio medii termini inter terminos propoztiolS superparticularis ad minimum tremum oen minatura parte aliquota denomulata a numero in duplo maiore qua3 sit numerus a quo denomi natur pars aliquota a qua denominatur totalia illa proportio data superparticularis. Conseviquetia patet:et minor probatur:quia sempermes duas numerus inter duos excedit .mmmc permes elatat metallas quo maior excedit mino e quia alias noemet medius.Et sic patet tertia pars correlari.Et quarta probatur quia adimento medio inter rerminos proportionis superparticularis quod per solamunitatem cedit numerum minorea et per sola munitate exceditura inaiore ut est in propositoabi reperiuntur tres numeri mediati in naturali serie numerorum igitur proportio maximi eorum ad medium denomutatur a parte aliquota denominata a numero imediate sequeiate numeria a quo denominatur pars aliquota de nominans proportionemmedii mimeri ad minoremuῖ patetexprima parte aspicienti generati
nem superparticularium in naturali serie nunt rorum.Et sic patet eorrelarium quadripartitum quod difficile apparet propter longitudinem terminorum quibus utitur in probation iideo vemocumc cetero cum uoluero dicere ui aliquapari Milo suis tui ope e perparticularis denomiatur ab aliquapanea ter neu liquota denominata ab aliquo certo numero: disca * talis proportio superparticularis denomiis natura taum ero gratia breuitatis:quia nulla
superparticularis delicini natur a numero: sed a parte aliquota et unitate: et cu dicosi denominatura parte aliquota intelligo in a quate quod G corren ad propositum sufficit f Sequbtur septimo ut in omni proporti desuperparticulari capta pzoportione eest medii termini ad infimum:Maeliam componitur et duabus superparticularibus quarium una similater est medii termini ad infimum: et illa denominatur a numero quaamplo adnus merum a quo denominatur illa superparticulas
ris proportio datarot in proportione seo quiquartaque est.2αad. G. capta proportlotae qiae iniim ter. i S.et. lci puta medullumeri ad itinistrilla etiacoponitur ex proportione medii termitii eius p ta. I. ad. ici.zilla proportio Penominatura imis mero quadruplo adnumerua quo denominatur proportio set quiquarta:quia xportioque est. Gad. ici. nominatus a numero sexdecimo: et p/o P prio.2o assis G.a numero quaternario Voc est a
parte aliquota denominata ab illo puta quaternario semper sic intelligob 1l odo se declinuo numerus est quadriiplus adqria ternarium. prohaturriet capio unam proportionem superpamcura renas quesita.ad diet medius numerus inter illa extrema sit b.time dico *proportio dial com poniturex duabus proportionibus superpartis cularibus arim una elimedii termini ad infimu
i mediiis terminus inter b et D.sit et illa puta add.den matura numero quadruplo ad n merita quo nominatur Proportio a.ad.onfra
mapars videlicet* xporrioque est diae d. comis ponitur ex duabus superparticularib L etc. patet ex is diate precedemti: et secunda probatur quis proportiob ad denominatura numero di villa ad numerum a quo denomutatur L Nortio a. ago.vr patet precedentico*relariori proportio c. in die aderatione nominatur anuinei'o duplo Ad numeru a quo denominatur proportio b.addui patetex eodem correlario: igitur proportio Gauo denomtatura numero quadruplo ad numemerita quo denominatur ortio La.ad quod filii proba u. patet hecconsequentia: ramis merus duplus ad duplualicui'cem datrest quasdruplias ad illum certum datum ut constat:sed numerus a quo denomiatur proportio ad .est duplus ad numerum a quo denominatur propoprio diad P. et ille iterum est duplus ad numeru3 a quo denominatur proportio La.addagitur numerus a quo denominaturmoportio cadd.est quadriis plus ad numerum a quo denomina nar proportio Leti est a. ad o quod fuit probandu. V inquitur octauo quacuum propo rione superparticulas A re finiet data denomiata ab aliquo certo numero rois proportio superparticularis denominata amas tori numero us v ad duplu inclusiuae est maior qua medietas illius proportionis superparticularis nate:ut data proportione se quiquarta Ois prosportio superparticularis denominata ab oliquo numero a quaternδrIovs . ad octonarium incluisti qui est numerus duplus ad quaternaruam est maior qua subdupla ad sexqui quarta et lic sex quiquarta, sexquisexta lex quis rima e Mocta.
uais maior quam subdupla ad sexquiquartanu
Deobaturquon qua iam tali superparticulas m data ab aliquo numero te nominata: propor no superparticularis tenominata a numero ii
duplo maiore est maior quam subdupla ad illam quia talis inmedii termini ad infimu ut pstete equinto et sexto correlario iunctis: igitur omnis Hortio superparticularis denominata anum romin qua dupload numeru a quo nomulatur data 1ortio sirpanicularis est maior qua subdupla ad illam data superparticialam Mai et nec cosequentia per hoc incis superparticulariaque denomiatur a minori numero est maior quia talis denomianiramaiori parte aliquota:τ hcc auxiliante loco amaroai: et per consequos p. portione superparticulari data denominata ab aliquo certo nucro:ois*portio si particul ris
38쪽
denomina a maimi numero usu ad duplu3 inui lusiue est maior quam subdupla acl illam super
particularem datam. .atet igitur coὶ larium. .coerg. il Sequitur nono in in omni proportione supere: particulari proportio maximie xtremi et' aci mesurum est maior quam subdupla ad propoztio
medii ad minimu extremum:ut data proportione sexquirertiaque est.S.-.c4 zOPOMIO.S.RU.T estinator quam subdupla adpropo*tionem. .acl.6.nprobatur quia mi O maximi extremi ad me cuinam proportione superparticulari quecimae fuerit illa nominatura numero superpartu riimediate sequenti numerum a quo ceno arma tur proportio medii ad minimu extremmul P ne equartap arte sexti cecretarii: et sic denomiatura numero minoridu Ioaa numeri a quo deno minatur proportio medii ad miminu extremum:
situr talis proportio maxum ad mediumest maior quam subdupla adproportione medii ad nil nimMextremum. Nwtet consequmtia ex octauo 1 coirer Sequitur decimo in ua omni pzopo tione superparticulari octio maxim extremi ad meditam est maior quam subtripla ad illames portionem superparticularem. robatur quia dato opposuoputas sit subtripia auimior sub tripta:sequeretur ut ipsa esset iuuaupla adequale ad propo*tionem medii ad minimu extremit, et mutor quam subdupha:sea consequens est i a sum ut patere nono correlarionsitur illulex quo seia quitur:et per consequens co*retarium verti quoaruit probanduim Sequela tamen inobatur quia quando aliquid componi rur ex duobus inequa ivus adequare: v mmus iliomni est iubtriptu eius
puta una tertia illud minus est subduplum adre, idnsi puta ad duas tertias: t si illuuntiniam qua tertia uiuis totius illud in minus qua subdupli ad tot uresi ursed sic est inpzopolito per te istatur intentum.q Qequitur undecimo in Dat aquasn correri cun proportione superparticulari denominata ab aliquo numero:omnis propoario superparric cularis denominata a numero excea teli vper enitdtema quare in maior qua medietas illius proportionis dat valet docco relaa tu ex octauo correlar Ozquia omnis talis oenoiatur ἀ nus
mero minori quam duplo ad numeru a quo Penominatur dara superparticularis. Sequis ou 3IANN decimo . data naturali serie pac portlonum s perticular puta sexquialtera sexqui tertia sex quiquarta sic deinceps: elibet proportiolus perpanicularis que venomiatur ab altero duos innumerorum i mediate sequentur in numerua quo denominatur sexquialtera est maior quam aietas sexquiauereri quelibet denominata ab actIiquo trium numer umimediate sequentuim numeri a quo denominatur sex qui terna est malo; qua medietas sex uertae: et quelibet nominasta ab aliquqquatuor numeroru i mediate sequeorium numerua quo denomiatur sex uiuaria est maior quam medietasenis: et sic in infinitu sempaedendo inu malet Voccorrelar quonia queslibet talis denominatur a numero duplo vel misnori duplo adnumeru a quo denominatur data propmtio supparticularisvrpatet intuentu igi turquelibet talis est maior quam medietas date proportionis superparticularis. Mater consenquentia ex octauo coare lἀrio.
Eduarta conclusio. Custuscum Ga
iuarsi minorem per proportione queest inter te nominationes earum excedItret captis quadrii, pla et tripla:quadrupla que est mἀlor excecit triopi am perpropo tionem que est Inter. q.erisque est sex itertia. Et doc uleo quia tripla denomis natura ternario quadrupla vero a quaternario
Et dic aduerte* aliud est dicere propcatio quias M Π erupta excedit triplam per proportionem sexquι tertiam:t se habet ad triplam in proportione sex qui tertia.mam sexdecoepta excedit octuplam per proportionem duplam: τ se habet ad illa in pa portione se quitertiaut pculea patebuint v documentum debes memori eccmenclare si vis calcutato; intelli re in capitulo sceo de medio noresistete q6 ego voco de medio unifoemi ter distormiter resistente. mobatur eonclusio suppotudo palmuvnumani renum quoa probatione non in diget: videlicet* quacunιν quantitate continua
signata ad ea potest dari cinnis proportio possis bilis capiendo maiore quantitatem: quo suppo cito capio duas prcportiones Lmaloe m et Om 4 Hozem: Imriusque illarum proportionum malumuextremum sit quantitas continua : et aliud e tremus proportionis sit Met aliud s. proportio is sit ruita Φ proportio fuit Raa et pacportios.sith ad c et lint illi primi termini illarum proportivionu gratia argiunerari: et tunc dico et proportio Lmaior excedit proportionems. perpzoporticΠ queest inter denominationes luari hoc est inter terminosa quibus a Ie pzoportiones denomimiatur Puta inter a. I b.-uod sic probatur m f.pa portio Madianisi componitiar equare ex portione a.addi expὸ poztroneb.ἀdiaque ensui patet ex secundaconclusione duius:igitur prosportio a. ad continet ademate propo; non ad ciet vltra propoetionc me est a.ad b. Igitur portio f. querit Rcdc.excedit proportione s. que est diad cpera portioneque in a.ad h. quod fuit probandum.Istaeni vi proportio inter primos terminos illarum proportionu a quibus ille proportiones Let g encmmantur. Ex haccorycli, eo, κnoΠe sequitur primos capto viro termino ab 'te duas proportiones maioris inequalitatis ad duos terminos minores inequales vi oportet spmio interillos duos minoemiterminos est ista perquam maloe proptatio excedit minore:m caupto octonario numero dabente proportion ue ad ternarisi et quaternariu: dico*xportio octonas rii ad temaris que est maior excedit proportaone octonarii ad quaremari u minore Wrxportioneque est inter quateretiarin et remartu. gobatur sint due a portiones puta f. Nortio quesita. alsi portio muto: que ta.addi et tuc ego daeo. orti ob.aa est illa per qua ortio Leueis diuisortionessi probatur m ortlOLGponio. tur ademate Hortione a. b. texxportione Hinc ut patet exsecuda conclusiot igiturxpoetro f. erit a.ad caedit adequale supra mortiotae Sque est Mad di ortione d.ad et per conse quens f. ortio excedit ortiones. yxportioune h. ad cadequat ecli illas adequale addat ultra altera3 et illa uidelicet b.adcies proportio queest
inter terminos minores illarum tuarum proportionum in uallum.igitur correlaruam verum.
Sequitur secundo in si duo numer siue quantietates se habent in proportione tripla subquadria risorret, plum maioris est subsexquitertium minoris: ress
ominieri se habetina mortire dupla subceruupita maioris est subduplunamoris:que admiami
39쪽
duob' numeris seda tibus in proportiolle sex squialtera subduplum maioris est subsexquitertiuum inmoris. 'Probatur priina pars quia ituam illius ide numerus dabet duas proportiones maioris inequalitatis ad duos numeros minoresi equales puta triplam ad suu subtr*νlum et qua didruplam ad suum subquadruplum ut constatagitur Proportio perquab quadrupla excedit tripta est proportio inter illos numeros minores puta subtriplum et subquadruplum ut patet ex p ecescenti:et proportio per qua quadrupla excedit triuplam est sexquitertiaque est inter numeros denominantes illas ut patet ex conclusione: igitur Instar illos duos numeros minores puta subtripluet subquadruplu3ei phoportio sol uitertia quod fuit probandum. Et eodemmodo probabis relis quas partes et infinita talia correlaria. l Sequi Tertium tur tertio inniuersaliter talis es propΘrtio inter copretari duas partes aliquotas in equales aliculus quantitatis: alis est inter numeros a quibus denos minantur tales parres aliquote: vi capta quarta alicuuis et etiam tertia eiusdem: dico in inter ter tiam et quartam talis est proportio qualis est inster. eia puta sexquitertiarid quod probandu peto primo ς quelibet pars aliquota alicuius denominatur a rio numerout medietas a binario tertia a ternario: quarta a quaternario: quita a quinario.etc. 'peto secundo cuiuslibet quantistatis ad quamlibet sui partem aliquo tam estproportio intiplex denominata a numero a quo P nominatur tabis pars aliquotant coelumbet qualitatis ad suam quartames propcutio quadrus pia denominata a numero quaternario a quo nominatur quarta et ad suam tertiaest tripla denominata a numero ternario a quo denominatur tertia:eti lac sequenter. st uibus basibus suppositis ostenditur coaetarium:etiit a. una quaastitas:et sit diuisa pars eius aliquot aaetcialia misnor pars aliquota eiusdem a.et sit a.ad c f. Nutio:z Madb. g.proportio minorvi oportet et sit d. Numerus a quo denominatur b.pars aliquota' et e a quo denominarur pars aliquota:et ita dico uitales est proportio inter baetc. qualis inter P.
et e .Quod sic ostenditur quia proportio f. que esta ad ce cedit proportioΠemg.que est Madb per proportion b.ad taut patet ex primo correlario et proportio per qua propectio Lexcedit proportitionem;estillaque est inter denominati des siue inter terminos a. quibus denominstur Let Spa portiones ut patet ex conclusione:igitur ἐποδα trob. ad est propeatioque est niter te mos a quibus denominatur Let g proportio es: et et g
proportiones denominantur a d. et numeris aquIbus denominantur dic. partes aliquore ipsi' a vi patet ex secunda petitione igitur: talis est ps portio inter b.et c. qualis est inter d.et e. quod muprobandum Et sicpatet correlamu Sequitur coprer, quartou, constituta naturali serie proporri u multiplicvi:et constituta etiam naturali serreproportionum superparticularium: secunda species proportionis multiplicis excedit primam specioper primam speciem propFtionis superpartic laris puta per sex altera: et tertia species mutatiplicis Hedit secunda: rseamdam speciem portionis superparticularis: et quarta multipliucis excedit tertiam:per tertia, superparticularis et sic in infinitum. et robatur quia captis primis duabus speciebus a portionis multipIicis puta
dupla et tripla illedenominantur a mimero bina
rio et ternario ut constat:et tripla excedit duplam per proportione3 que est inter illos numeros ter naruim uidelicet et binariumvi patet in coiactust, one: et inter illos est prima species proportioliis superparticularis vi patet ex secundo capite priumepartis ubi generantur infinite species proportioliis superparticularis sereatim in naturiviserle numerorum igitur . quasdrupla multiplicibus ille eradunt se: per propor
ter illos numeros est secunda species proporti nis superparii laris puta sex stertia ut patet ex locoprea Ilegato:igii correctariuverum quon eodem modo probabis de aliis. Sequitur quin corrct. to * per tot proportiones superparticulares cos sequenter et sereatim assumptas exceditque ibet species multiplicis proportio is distans a. prima prima speciem multiplicis: per quot unitates nusmerus a quo denominatur illa species distat a
numero a quo denomiatur prima species proportionis multiplicis puta dupla.Et licet iam di nucumest de qualibet alia speciemniplicia qua diu stat per aIiquot species ut proportio quintupla excedit proportione duplam per tres species proportionis superparticulares s eatim sumptas videbi t per proportionem sexquialteram queest
.ad.2 et sexquiremamque est . ad. et sexquisquartam queest. .R g. Matet hoc correlarium
racile ex anteriori .n quitur sexto uerra; Z.eo, finiis series proportionum superparticulammin,
finitam latitudineproportionis constituitabatur quia constituit infinite magnam proportisonem multiplice cum proportione dupla:igitur talis series in infinitrum magnalatitudo est prooportionis.Item talis series proportionum stipei particulamimes naturalis series numerorum incipiendo a binario:sed in infinitum magna pro portio est alicuius numeria binariu igitur iussonarum magna latitudo proportioni seu natur iis series proportionum superparticularium. Et doc nota ad capitulum de augmentatione. Igapitulum quintum in quo reci Paturpaucis et impugnatur opimo balani politi de proportione siue comensurabilitrare proportionum.
gnanter parmati elici philosophanistes amputare aim resecare contra Mopinariones:et deinde veras interserere.Ideo basani politi opinioncm in materia proporti nalitatum ateris mathematicis aduersam paeo senti duximus expugnandam
mit ius capitalis suppositio. Cuod
libet thabens subduplum est duplum ad suam inescietatem etsi ipsumest duplum ipsum continet suammedietatem bis ademate Dec petitioest nec iuuat eam demonstrare.
metunda stippolitio siue petitio.
Gmne duplum ad aliquod continet ipsum vel eo qualeel bis tantum:etsi contineat ipsum plus ahisest plusquam duplum ad illud.
Tertia stippositio.mi aliquid effici
tur in duplo minus ipsum perdita quate mella etatem sui.
40쪽
Bet de partis suppositio siue petitio. Oe
quod sucidue diminuitur usae ad non gradu est latitudo diuisibilis: et viduas incilietates: et i trestem o in quatuor quartas sicconsequenter
viminuiturenim ad subduplum ad subtriplui, ad subquadruplum: et sic dein B.
Quita suppositio. Latitudo p*opo x
tionis maioris irrequalitaris est successure dimis ibilis us 3 ad no gradum Probaturmo quia maius eitremum proportionis maioris tequalitatis successi ualet dimininus vadequalitateminoris extremiuet in tali inminutione pro portio maioris inequalitatis successive diminutatur ad non gradum vi constaingitur in tali dis minutione quelibet proportio minor tuasignata dabitu Tum secundo gruibasanus conredit velocitasmotus correspondet magnitudini a PO.σtionis quo assequalitate:sed ipsa velocitas mo,
tus est diminuibilis continuo su sita sin anno adfingitur et latitudo proportionis sibi corre spondens in equalitate. Ex hac sequitur in queo
libet latitudo proportionis maioris inequalitastis diuidi potest in imas messietates, in tres teriatia in quanior quartaS et sic deinceps Natet doceorre ariu priore auxiliante quarta.
mexta suppositio. Ed mire quod eme
citur subduplu ad id quoderat antea perdit me dietatem lauet id quod remanetest tantu quanti est id quod perutilit visi perdictit alia medietatem et cuiuilibet quanti medietares sunt equales.
Dis suppositis aduertendu est* bau
sanusvolens de sare qualibetproportioneravitionale cuilibet alteri esse mensurabile:astrinit proportionu comensurabilitate siue m et non assumendatae ex denominationii Nortionibus ponens talem conclusione. Netopomonsi proportioest eam denominalitatu proportio:vt quadrupla est dupla ad dupla:qr inter earum denominationes siue numeros a quibus denominantur est proportio dupla abinario enim dupla: et a mauternario quadrupla denomiatur.Item dupla in sexqui tertia ad se equialteiram: qrd Iaabina, rio sexqui altera vero abvnuate cu dimidio denominaturigonstat aurein binam ad unitatem mmontra proportionem sexquitertiam esse
balanu med contra thanc opinationein irata
primo. sententia mathemaidicis principiis deroganta et contraria a itur primo sic. Ex bac opinione sequitur Oct inmesse dupla ad quadruplam: sed consequens ei manifeste falsu:ititur illud ex quo sequitur. Tequela probatur m tuam proportisonu ocmple ridelicet et quadrupla denominatiosnes siue numeros a quibus denominatur duplexportiois ratione habereconstat Mem ad . dupla ortio en:isitur ex politice impla dupla vi ad quadrupla. Ia falsitate sequentisomodamus supinimnsirempta est dupla ad quadrilis pla: secuitur in quadrupla estmmutas ipsi' tu plerutpt3 exprima suppositione: scit cosequesti falsum:igitur illud ex quo sequitur:qr tuc semia retur octi la cotineret quadrupla dis adequat essed hoc est falsus qreotinet quadrupla et dupla
aret hec constet tia ex secunda parte eiusdeeptima positionis. Et confirmaturor omne duplustio pma. Gai quodcontinet ipsum eisqualae ibis tantu
sed octupla in dupla ad quad la per te igitur
continet ipsum bis tantu:sed cosequensere falsiiuem set decupla coimet quadruplabis tantu.gos quentlapo ex se:et minor est prima pars secunde suppositionis Confirmatur secundo qrsi post, C firmatio esset vera sequereturu, dupla esset medietas tio scop lupae:sed nocesi falsum: igitur illud ex quos quitur :m secundu ista opinione octapla est quas empla ad duplavtpnex portione denotationuo te et ocmple:et si rupta in quadrupla ast dupla iam sequitur* ipsa dupla est quarta octi sale et no medietas. Guodlibet em est quadriiptu actsui quarta: cum incontineat quater a quate. ya probatur sequela: etcapio Milone ruptam:et volos, diminuatur quousq; fiat quadrupla ade quateret posito ut ocio diminuatur usin ad quam MN arguitur ipsa propcccio Ocrupla efficitur in duplo minorvrcocedit positio. Efficitur enim ri laque est subdupla ad oct aer igitur ipsa proportio rupta perdit RGquate medietatem .im ut poex tertia suppositione: et non perduni si pia ademate ut constat igitur dupla est medietas oci ae fuit inferendu fEt firmas terito Dionfiroqisi mapositio clutvera se es duplae etem malis iis quadruple. coseo aes est falsum et cotra opis nantem igitur illussa quo sequitur.Sequela arugmtur et volo ς potentiari octo moueat resistentiam ut unum velocitate ut quatuor ex pu grastia deinde volo potetia stante restilentia: dimisnuatumstu ad subduplsire arsuosic ille motystue velocitas ut quamor diminuetur ad subduplum: igitur perdit medietaae sutimaret cosequentia ex suppositione tertia: et percosequens no manebit
ma velocitas viduo:et deperdet velocitas ut duo igitur tanta a ortio deperdita est quanta manet Baret lyeccosequetia qι ab equalib' mortioni udus equales latitudines motuumemuti scit ma net quadrupla ergo deperdita est et equalis: sed deperdita est osita eat ortio dupla: ergo D IRest equalis quadrupla:quod fuit inserendum.
mecundo arguinit sic si illa positio
esset vera sequeretur et, quarta alicui'et sua medietas essent equales sed cosequens est falsum:igitur
illiso quo sequitur, inque a. atur ur dupla est quarta pars octi te et medietas octupleppo suoneagitur prπositsi Wator probaturqrdupla est quarta pars ipsius ocruptincti Grupta ad duplam sit propcctio quadrupla ut patet ex poα - minor probatur: et volo QOctupla perdat. ortione dupla adequateret manifesta est ineffascitur quadrupla:et perosequens subdupla ad id quod erat anteam patet expositior agitur peti medietate suu Daret cosequentia ex tertiaet sexta suppositionibus: et non peratimst duplam: ergo dupla est medietas octupla quodiuit probandu. Et confirmatur qui an positio esset vera sequearetur. aliquid contineret alterum bis a quate Morima et tamen non esset duplum adillud:sed min' qua3 tio pina. plumaeonsequens est manifeste falsim et contra diffinitionem proportionis dupla igitur. Sequela probatur: la proportio dupla sexqui quartata bis adequare continet sexqui alteram: patet
indis terminin s.ctis NovcmenImal quatuor inproportio dupla xquiquarta: et componitur adequare exprπεια α' .ad saties ad 4. Quarumutra pelisexquialtera: et tamen ipsa propoetio dupla semul quana est minor quam dupla ad sesquialteram: igitur propositum.