장음표시 사용
21쪽
continuo ortionabilas geometricerpi Nortio pt Orupta/sexdecupla cete cupia vicec rasocruplao sic piiter:quoue reperiurur in his imis
Doc corretariu magis liquide patebit ex se*κtibus. 'roprietates puι' medietas in sequeticas musiua praeponetur Eldarmonica aussi musica medies medietastas ui Nortionalitasest quotienscum eqsponstis tribus termis Ipluribus inter ipsos nαsunt redea portiones: nec differe ritie:sediaeut se habet maxim 'termin'adminiminita se habet differetia maiccu ad differentia mino vi dispositis pistrihus terminis, in , inter eos non permne rede; portlbes: cerae differetie: sed sicut lammaxismus e ad minimst:ita differentae maximi ad me diu et medii ad minimusese dabent:ut conatiAliq3πὸ aetates regnantur duae darmonim medietati: ed illam postem ostenctene. svidit nic domac 'inachus. dis tribus antiquis et famatis medietatibus siuexportionalitatibus. . recentimes proportiona bitates: ut copleretur numerus denarrλ: qui apud
ptas. 3. antiquospluris ivabebatur: vipt,pplpilos Vunti: Ie decimaquila particula*blemat inseditas videre poreris apud Seuerinu boetium calce sue ariti meticeret apud alios retantes mathematicos. a Roeri huic operi sunt intersertae:qm philosophan σtes nequa*eis in suis pdisicis calculationib tumst talis turis Dicta ne aduertemuest duplexest opsuIsso me tionalitas queda covincta: quin vero disiuncta. metatu. Γι iuncta viportionalitas est illa in tribus vi αolucta pluribus termis instit coturue: viviortioabitas medietas repta indis tribus termis. . O.ii. Et huic medio talia priues esse duaraiportionu inter tres ter minos ad min Lynter tres terminos ut udi solum due Milones reperiruntur: e possunt reperiri plures mendo illis terminis et no abus: nisis pauretur petimus ad ultimu Sed tunc omnes termis ni bis capiuntur.Quare notandumes . quando vicimus*inter tres terminos reperiuntur dum ideat ouea portiones ur ad summu tres:st vltim' comparetur ad primu:itelligenduest dumodo noutamur nisi illis trib 'aeris:et non aliquib'aliis virtualiter intermediis. Inter. G. et ix. multe reperiurur a ortiones dumodo utamur termis
iter meduS: puta octonario novenarIO denario
et undenario. l Sed proportionalitas diuisa siue dii ucta est illaque cossi itin. , terminis aut pluP ribus discotinue: utinortionalitas querit in dis
quatuor termis. i. a. c. Laesta portloabitas disti
ct et huic: riu est inquatuor termis ad minus coiissere disco tinue ortionabilibus: ita in non eadem sti proportio primi adsecundum et secundi marinia ad tertium Docpatet in exemplo dato. Ust isn aetas tribus medietatibus addendaest quedammediestas Me ortionalitasque a matdematicis maxima etperistissima dicitiin de medietasperesfectissima est illa que inquatuor terminis et trib
interualliscosistit:inqua alie famatexportionalitates reperiri possunt: ut in istis quatuor termis S.' ii.Ibvem est maxima et peri ectissima pro portionalitas. mr interuallii intellige proporiatione queest inter du saerminos inaniatos. Et sic intelligendo reperies dumtaxat inter quatuora mates terminos tria interualla:bocentre a Morriones medieta di sereδtim se babentes ut metiaris ternus reperiestis perme ANOzilones. F.M.Satis.ad. .et.' .acitet. I uesta
ciuiune medieta3multas dabet proprietates. una
proprietas est in s Oparetur tertius ad primi Flertium 3 reperitur proportion is
ariti metica:quonia reperiurur dem differentie et noredem proportiones. η Secundaproprietas Sicomparetur quartus ad secudum,' tertius agyrmiiDreperietur proportionalitas geometrica: qm utrobi mei ibi sex Iterra1portlo:differentie vero novirobi rede: qifi una Duferetia innuersqualemari':aliavero ternari':rginiribtest geo
metrice medietas at et 'fia ex diffinitione cis metrica medietatis. Tertia proprietas. Sico paretur numerus quartus ad scon et secudus ad Primu reperies harmonicam Nportionalitatem C Quartaxprietas.In ista Hietate perfecti mima oescosonantie simplices comperiutur Qua stuo; em sunt musice cosonatae simplices:videlicet tonus diapente diatesseron et diapason Unde quattuor tonus est duaru cu quarumvnae leuatur super mulice coaltera ina Grione sexqui octauavnra ad altera sonatae.
Damonti a sonariaret iter duas votas quas alelpabet H.S.etali aut nouemel quam a sedaubetvni saetalla viais.s Sed diatessero est duaru Diatesse vocum:quarum ae leuatur super alteram uim ron. portiones quitertia musica consonantia: ut inuter duas vocessehabent muta elo. Diapente Ptapete uero in harmonica cosonalia tnaaru vocum:quas
vita eleuatur super altera in Nortione se ab altera, ut inter duas voces se discilles vlii Ia SULSAEAz.ζRaapason ver ei consonat radarmo diapasci. nica duarumvocum vel sonorum molin presenuitarum pro eodem capi quaru3unae leuaturiuspra alteram in optione duplaret consonantia illa damonica queest inter duas voces se habentes sicutit et.ω:σ.est musica consonantia: que diapason vocitatur. s.' quo sequitur in inter omes Cmrela parmonicas simplices cosonantias diapasonest riupi . maxima. 'probatur quia alie sunt partes eius: tgis sunt ea minores: Erguituram sir componis
diapason ex tono, diatesseron.et diapente igitur probatur antecedens qui. tr. Q. F.est diapason consonantia: t talis consonantia componitur ex Osonantia.S.ad. s. ecit diatesseron: et exconsonantia.' .ad S.que intonus: et ex consonantia iaad s. queest diapere:igitur diapasonex aliis triubus simplicibus concentibus construitur sive G, ponituri Quare sequitur diapason esse maxungmusica sonantia intersimplicerinico intersim copomplices em multe sunt cisiniecerisonantiae: vidis planiatet onus semidtton' tritonus..bis diatessero bistet ent bis mapason z tero quater diapason et lic consequenter. Sed cum difficultate maior sonantia bis diapason reperitur invoce bumananili stentor ab inferas rediret evi' mire uocis et do mento t rus et pipilosophus septimo politicora capite quarto meminit.Si tamen vox Vumana in ascenis dendo in infinitu a metaretur siue intenderetur vel aliquod instrumentu darmonicu:ininfinitum duplicarentur harmonice consonantieaei semper barmonicam*portionalitatem seruarent Sinde disipactenus. istanamem philosophie deseruumt: sed introducuntur omnia istotclare inspiseisipdisicus teramnaturalium indagator vel citatem motuu non penes barmonicas consonantias:aut Masequalitates siue propcutionali tates attendi debere: queuti conchasio nisi ter minos predictos intelligeretet perspicua no esset Coirems .atet secundo ex pictis hanc medietatem qua rivisco
22쪽
tertio adiecimus merito perfectumnamvocitari. . Cui 'probatio est qm indina medietate tres faematexportionaluares reperiuturi arithmetica geometricao barmonica aera istaeti a medietateo simplices armoni cos anne reperiuntur tertium omnibus demumsero cem scientia alia
correlari O in artema nilosophie inseruire ei ancillarium atm famula vi facitaex Dis que dicia ivnt diiu ci potest:et signanter inseruirent ista portos pie pythago 'Pythagore qui astrurit cetos corpora illa sempiras terna perpetuo harmonicis sonantiis circuu phus luites epbilosopho se doceli et mundi: et plinio ptinius. secundo naturalis disiccae. Capitulum cundum in quo Ῥbantur alique proprietates predii tarum 1 poputionalitatum siue medietatum.
co ordine aliquas rietates predinta - mmmedietatum ponende sunt alique suppositiones: quam aliqueerunt diis initiones: et alique petentura ter earumidente noticiam: alique vero probabuntur sit igitur.
33; ima suppositio que et dimitto.
mediu3 est quo a equali inter capidine distat ab
trom extremmum inumerus ternarius es eudium inter quaternarium et binarium qr equali
excella siue equali differentia ab utrocu illorse distat puta mitato
mecuda suppositio que et definitio
nstartes aliquote eiusdem deri ominationis sunt clen ab eodenumero denominatur ut meaietates
Tertia stippolitio que etiam delitates
tio est Eliqua quutitate continere aliqucuequasis in aliqua ortione plurima quate qua alia quantitas idem equale contineat: est illam manstitatem in eadem a portione se habere ad altera visi aliqua uuantitas contineat in ortione sexuuialtera adequare plura pedalia quavna altera inmortalis quantitas se adet ad minorcinita is portione sexuuial aera
fruarta silppositio mi aliqua quan
titas vel numerus contineat tot avice immiali I.us merum:quora vice tertius numel iis cotinet quarutum vel tota viceet aliqua vel aliquot partes abis quotas eiulac intenc minationis quo a te tetracotinet quartumet alicuam partem vel aliqiot partesialiquot aselus ademate: qualis repetoportio inter primu et secundum talis es inter tertiuet sirium Q at et hec suppositioex diffinitione num rorum haberinnm ad reliquos eundeo prcportio
rem Siceitales numeri debent definiri vicenat.
Cuium suppositio mi duo iri irreri
vel quantitates diuidamur In paries aliqvotas eiusdem deiicinina imis: quo partes illi 'venominationis sunt in uno tot sunt m altero. aret quia si sunt eiusdcintcnc minatic nis: ab ecce numero denominantur: ut patet ex secunda suppositione et per consequenssunt equales numei oest scenim alicue partes aliquote alicuius quatitatis tenemurantur ab aliquonumero: q ando tabis
qualitas diiudinion tot partes equalesquot sui vilitates in tali numero:
Capitulumsecundu. mixta suppositis Biduo numeri
vel quantitates diuidanrur in partes aliquot eiusdem denominationis: et perdit aliquam vel aliquot partes a inuolas ex illis uter in tuoru remanentibus aliquibus:residue emante uiue tenominationis ut si bipedale diuidatur uti S . Instas et pedale similiteriet perdit bipedale tuas m lasei eis et pedale similiter:residue partes erunt eiusde denominationis puta tertie ut patet τοῦ batur quia in principio decremeti ille partes Alis quote illarum quantitatum sunt equales numero et equales numero deperdentur ab utram tuam quantitatum ut ponitur remanentibus aliquibyex illis:ergo remanentes manebunt equale sim mertaqpatet consequentiaqrsi abequalibus ii meris equales demas etciet pconsequcus semperterso.. mabuntur ab equali numero: quare se erimi eiusdem denominationis ut patet ex diffini
meptima suppositio estualis est pIo
portio alicuius aia aliqua me ius partem aliquovitam: talis est cuiuslibet alteroad parte aliquota euasconstris denomitiationis.vt qualis est xporstio alicuius quatitatis ad suo medietate terriam quartam etcitatis est cuiuslibet alterius ad sua me cretam tertio maria.etci N ate threex qrta inpopositi hoc adito qties alim qualitas tinet at quam sui partem aliquotas: toties quelibet alia quantitas continet partem sui aliquotam colimilis denominationis:cum semper partes aliquore euasdem tenominationis sint equales numero ut patet ex quinta su positione:
Cctauasvppositicisi aliqui duo nu
melliataeqniani uiares diuiuantumn duas paries
equalesaeuiuslibet illorum ranmerorum au altera illarum suarum partium est eadem 3portio..elli
uter intuorumnumerorum diuiuatur in plures Πtes aliquotas eiusdem delac minationis qua5 sint due talis est xportio unius illorum numeroru ad aggregatu Gmnibus talibus partibus aliquotis tempta vita quatis est alterius ad aggregautum ex omnibus demptas militer a. vi diviso senario intres paries aliquoias: et similiter te narro:talis est xportio ipsius senarii ad aggreusatum ruabustertiis eius qualis etetna iri ad aggregatum ex duabus tertiis eius: ut constat. Neobatur suppositio sint tuo .Lmeri sueequales siue inequales primuLa.b.secundus. d. diuis inparies aliquoias eiusdcm tinc minationis et sit pruni numeri vita illarum partium. Ret reas ducib secundi vero numeri sit similis pars ali
igitur qualis es prcp oaticia diad.ditalis es propciat IO. d. ad. qu suu*bandv. N at et Vecco sequetia clare ex quarta suppositioneu auten .nt pars alui uota ipsius. v.eiusdem denominationis cuius a. es pars aliquota ipsius. b. probatur
residue paries manebimi partes euisem denom
23쪽
natio is puta partes aliquore: ipam aliquo te. ut patet et se et a sapponticvur et quelibet illarum in.b equalis erit ipliaa.quia antederat equalis : et quelibet m. in.equalis Ipst, ea se ratione igitur st pars aliquota. Iuras tenoin natio
uis catus.a.est pars aliquot diquod fuit proba da Et tu patet secutula pars suppositionis: et Irima patet de se: la uterint alium numerorum abet ad talem parte aliquotam sui avorti eouptam Meli sua meaietas.continet et enim eam bisagitaraa eam habet proportionem duplam. Ex ista suppositione sequitur:*a utram tuaru uuantitatum siue numerorum sic diuisorum in ostes aliquotas eiusdem denominationis arenata e parce aliquota adequate: eqse propNilonem medit i 3m equa ortionevaerae adeo ad aggregatu et oib 'dista vita ut pori S.supposito ec tuam deperdit ut constat igitur. l Sequitur secatao in amerinduorum numerorum sit diuisus
inutes alisvotas erunci denotationis: et acuatvaaue illaru paritum supra se miseeqI poetione acquirit uter v asta et ex priori correlari qὸ qineo uter villo um uiam partem deperdit equalost ortione deperdit:ergo quando acquirite auri acquirital gitur.
Bona suppositio Biduo numeri in
equales liue quantitates se i=abeant in aliqua . PortIone: τ malor illorum deperdat aliqu/m proportionem stante minori uiuariato: tunc ortio inter maioruet minoreo uilla oritone qua demit maior adestre.dlinio minor est maneat minor. vr il ortionis qest inter. Re 4 .maior rideus puta octonari' pdat proportione sexquitertiaque est octo ad sex illam ortionem deperdita sportioque est inter octo et quatuor. Drobatur et
a etinia suppositio mi duo nitineri
sue quantitates mequales se t abeant in aliqua proportioneret minor deperdat aliquampri portionem stante maiore illam proportionem huirit proportio queest inter malorem quantitatem et minore metu tantam proportionem perdat
quantitas maior sicut inmor: tunc proportIo Inster maior et minorem necaugeturnec diminiri sturised semper manet equalis extremis manentibus quatitatis.vist proportionisque est interiMe quatuor. mintra numerus perdat proportio snem duplam stante maioreprcsortio Inter mio Temet minorem acquirit ortione duplari siqnnumerus minor dito laetia maior perdat dupianili numeri in ebul in eadem a portione in qua antea se habebant. Erunt enim ut fine g. N. z. obaturprima pars suppolitionis. etum a numerus maior e B. uumerus minor iter quos a proportio petulariat . a. perdat numes
stum esto in me proportio iter illos numeros Ga
perdit quantitas minor dicii gutar Wolitu. Seiacanda pars facile deducitur ex prima et penultia supponit ne:quoniam quantam .ppozt Onem deperdit quantitas minor tantam acquiri portio inter maiorem et minorem stante maioreret patet
exprimi parte illius suppositionis: et quantamν portionem deperda quantitas maior tanta3 d perdit proportio inter ipsam et mutore quantitatem stante inmoreret paret ex penultuna: igitur a tantam ortionem pdat mavor quantitas sis cui deperdit minor quantaeas: proportio illa inater maioreet minorem nultu ortione3 acquirit nec deperdit:et sic interulas quantitates manet eadem proportio. go quo sequitur in litantam proportione; a quate acquirat sititas minor quantam acquirit quialitas maior: semper manebit eadem proportio. obatur quia st ille quantitates illas proportiones eqvales quas acquisiue u deperdant manebunt in eadem Meyortione in quamodo se dabent: et illa est proportio in qua sedabebam ante acquisitionem tuarum proportionum uallu:igitur quando qualitates acquirunt ori ones equales ipse manent in ea proportione in qua sedabebant antea
Undecima suppositio. Suectiq3Ro
portio est Inter aliquos numeros suae qualitatea talis est inter partes aliquotas consimilis denos minationis. ςt quatis est proportio inter.F. et talisiniter medietate. s. et medietatem et quaνtZmRet quaream. obatur sint duo numeri petimus a, b. secundus. e. f. druili in partes alis quotas eiusdem nominationis p ta primus usa diciet secundusin. cet Lime dico in qualis eptoporti λtu assiditas. talis inae. .LQuodvbatur si et sit inter illos numeros me quantitasteris. portio: et deperdat numerus malotia. partem aliquotamet minotadipartem aliquot uno limilis denominationisin manifestium estu, quaa tam proportionem teperdit numerus malo: tautam deperdit numerus minor ut patete prio correlario ocia suppositionis: ergoresidui numer adhuc manentin eademproportione puta.g. D. tet consequentiaex secunda parte decime suppositionisin relinI numeri puta.dic et.αLaud manent diuisi in partes a imotas erum denomis nationis vi patet ex sexta suppositioe: perdat igitur numerus malo*.dipartem aliquotam numems mum dipartem aliquotamaet sequitur
Nortione deperdit naer maior is miramiaar inest:ergo rindui numer manent incadem proportione inqua antea se dabebant putagrat pater exsecunda parte de te suppositionis
et retam ni meri sunt.cietifer a.et L se dabent imoproportione eta et Liunt ptes aliquore eiusdem denominationis datorum numerornm sed hentium in g.proportione:rginar in qu moris porrione sedabent alique quantitates in eadem 1edabent sue paries aliquote eiusdem nolim
24쪽
None sequitur*siduo numeri se habentes in aliqua proportione acquirat crinuo partes aliquot clusdem denominationis: semper manebunt In eadem proportione. Patet Muter luozu eqstam proportionem acquirita et atet qrsi utero illorum numerorum stlas parpes aliquotas eius sdem denoeninationis deperceret eqle Iportione Perdereret patet ex suppositioneIgitur quando
rataedecima stippositio. mi aliquid
componitur ev duobus suae equalibus siue tequalibus:et antum deperdit unum illo um tantum acquirit reliquum:compositum ex illis nicbila
quirit vel deperdit sed semper manet equale. Et Vanc peto quia nota est ex se
ea dein Ppuna concinio. Omne compositu
duci sir' ee duobus uaequalibus inter que est mearu est diis et de plum ad medium interii Iaut compositiame et ret Q ιλ et.est duplum adtemarium numerum qui meaiat inter illos. obatur sint a. duo aequalia. ama
Quot sic probo quia crudisit medium: equali differentia distat ab extremis exprima suppositi capro igitur illam differentia siue excessum qua aerceditidiet addo illam c. et man sessum est .a.etb.mancte alia et similiter in b.quia ipsi .aaclitus cercinus quo eccedebatur a. b. igitur ag grcgatum e cia e .componItur ec duobus equautibus.b.ade quate.igitur tale aggregatumen duo lum assib et tale aggregatum est .d.igitur. d. st duplum assib.e diem tantum quantum erat an variatione ma. ut patete e vltima suppositione igitur. ante variationem a. est duplum a d.b.
pinu cops quodluit probandum. Ex hac conclusione sequire artu, mr: in medium iter duo uaequalia est medietas ag gregari eis Patet quia est subduplu3 ergo me incudu clietas. Sequitur secundo ut medietas aggrega correlata ii ex duobus inequalibus interque est medium:equim liter ab utrom illorum distat. inrobaturm medietas illorum est equalis medio interilla vi patet ex precedenti correlario:ergo sequitur u equatio te distat ab utromaeum mediim sit in equaliter distat ab extremis vi patet exprima suppositione. Tertium Sequitur tertio ς omnis numerus circu seposicorrelari torum numerorum et ualiter ab eo distantiumum est medietas. Quod Reoru fuerit medietas illos ab eo eque distare conueniet. Mrobatur sint. λαDuo numeri inter quos mediatib.sitae aggregatuti a. d.tuncidi est medietas ipsius. ut patet expmo correlario et n. est medietas aggregatu equaliter distat adiriet. vi patet ex secundoccuia Eluartu retario ergo a. qualiter distant in Semia correlari riir quarto * couincte arat erire medietatis meum dius teri ius extremorum simul iunctorume me prima.dietasNt captis his terminis. ba continuo proprietas portionabili arithmetice. baneatus terminus medieta est medietasaggregati La. 'patet exprimo cegiis arith relari Et ec sit prima orietas ariti metice memetice dietatis.Et intellis hanc proprietatem quam eo tales termini cotinuo xpo:tionabiles portionalitate fuerant impares: vel quantitates Quinta continue.Elias pleruet non inuenires meduamineorrelari ter talesterminos sicut interiet. 4.,3 Sequitiarum quinto indispositis Atermini contimio a portio
nabilib'arithmetice: aggregatu ex mauo termio Secaeda
et mimo e due tertie aggregati illistri termi Maietas nis: et dispositis , continuo proportionalibus medietaoam metice aggregatum ex maximo et minimo e ris arit me uite: et etiam aggregatumee secudo termI meticeno et quarto est due quinte: et positis. aEFesatum maximo et minimo est due septime similis ter aggregatum ex secundo et se to et ex tertio et quinto.etvniuersaliter ubicum plures termini innumero impariant dimetice concinno proporri nantur semper aggregatum ex quibuscii v duoia busequaliter distantibus a medio est due partes aliquot aggregata ex omnibus illis quaru pars tu aliquotaetum utram denominatur a nuti ero imparia quo denominanturilli terminu vi si termini sintvndech denominabuntur ove decurre etsi, i due tradecimo probatur doc cor retarium et signo tres terminos. b. et arguo sic agmina tumetia. est duplum ad. qui diest termiam medius interia.tasea aggregatum ex R.ba. c Ponitur ade te diei aggregato ma a.duplo ad.D. ut patet ex conclustone:ergob.est una tertia toti aggregari cum ter in illo contineatur adequute et per consequens aggregatum λα due tertie
'iit probandum,tem positis quinae terminis.ah. d.e aggregatum a.et . est duplum ad te minum medium et similiter aggregatum B L ut patet ex conclusioneet totum aggregat Meyillis qui in pterminis componitur a quate ex. et ex aggregatαλτ.riet aggregat indietio.zutrui Biliorum aggregatoriunesto lum assicivtprobatum est:erso. est ma quinta totius aggregasti ex illis Mur terminis:cum qui quies in illo assi malo contineaturiet per consequens aggregarum enaa ciest due quinteret similiter aggrega tume di cumsit duplum assic. Et isto modo probabis capiendo quotcum alios terminos ipares continuo arti lice oppor tionabiles. Et istant secunda proprietas medietatis arithmetice.
via duobus numeris circumsepolitis equali colitentatuis coniunctis erunt equales. Quodsi eis equales fuerantiab eis equidis lare necessee est ut capris his terminis et: . ue numerus quiliartus et binarius circunstantes quaternarium et te amaequaliter simul iuncti equantur quaternario etternario simul iunctiset quia quinarius et binarius simul uincti equales sunt qua temario et binario simul iunctis:Meo Minario ab illis equaliter distanti astrobaturconclusio etsin a. c. a.dvir curastantes reliqui vero intermeditiet distana.abb.Roma ita *.a. sit marcu numerus et eae .s. onpiaexcedat. ipsum. runc dico* aggregatue a.d. tremis numeris es equale aggregato ex .di intermedias a quibus alite aliter distanta
Quodprobatur sicet volo*a. percla . piam ita in stat equale B etidi acquirat illam ita et fiat equalci et arguo sic in tallvariario m. a.d. aggregatu P.Md. ponti adeqte ex duob'eqli aliisduobus ex quibus adequalecomponitur aggregatum ex di igitur a tali variatione una aggregatam a. essequale aggregato indicet illud aggregatum ena.d facta tali variati ne est equale aggregato. a.diante talem variarionem ut patet ultima suppositione:igitur aggresatum Ria ante talem variῆtionem est equa
25쪽
. Sarmatoez.b. quod fuit Mbartillam. Sed ininprobo*facta tali variatimur gregatu ne r. a. d. componitur duobus equalibus adequaletle tis duobus ea quibud adequale componitur agia armarum eiabGquia facta tau variatione.a,ei, Mib edaeipssb.et efficileqbe i. ut stat: igiffacta tali variat, ne aggregatu exa.d.ppOmfade Mee duobus equalibus illis duobus puta.b. c. quibus componitur adequate aggregarum e T. d.
αγω-ostendendum. t sic patet pruna pars SMnda pars probatur: et sint a.dic. d.quatuor
. si aggregatue e. est equale aggregῆto ex. d. b qualiter distant adia. d. auini uc probastur Ruta a.distat a.b Roifferentiarit. a. distat eade differeritia. igituri u intermedii equalis dis stantabilivs extremis. probatur minor quia iucnon eadem differentia distat. P.Mutia. ab.dicapio igitur unus termina quintas a quo, distet eadem differentia qua. Putarab.bat tunceyp Ioiari parta aggregaramee tifestemala aggrega
equaὶe aggregato ex a.d.patet consequentia piis 3 dignitateque ei de tertio equantur inter se sui equaria et ultra aggregatum e rutaste ala αfreto es a.dargo sequitur . eodem conismin devio puta rea a maneount equalia videlice Le data. distat,&dhi retia qua audistat ab. b ab αfergo distatis differentia ab ipso. etsi di qualiter distant adia. o munims circunflanstibus quoa ivit probandum valet tamen conse siuestistat queat quiaque sunt equali aequaliter distant anitia se quouistertio, Dec conclusio in propeia formai cude eon irantiampatitur: sed sic posita est quia ita ponis
clusionis tura coadano primo elementecum. Nam istinuuIordan trier S. qualiter distant ab dis duobus.4. i. tale. serie S.S :et tam extrema conisicia noequantur naedus.Item vi duo numer .i quQ liter distant ab his duobus extremis.S. ,in ista serie s. l. F.et tamen medii iunai non equantur extremis coniunctis ut constat. Item isti numeri. eia conuinctaequanrar dis numeris stimiliunctis. et Aertamen duo inter medii non eqdari ter distant a duobus extremis: qiua non distant.
Gustis yynte Lige igitur conclusione in sensu in quo masininde, x at ici eam Intelligunt puta . st duo numes elusi,nici equaliter disset a duobus immeria tremis ita' inprimus ex at secima eadem differentia qtertius quartum vel primus excedatura secundo ea differentia qua tertius e editur a quarto illi intermedii ssmul vincti extremiscopulatis equantur.* si intermedii ab extremismstantes simul iueti extremisequentur ab eur in eos equid istas - , re necesseessis Ex acconclusione sequitur arithis h- metice medietatis disicite quattuor terminis ab co solui xtrema simul iuncta collectismedus equa riint necest tertia pprietas mediedatis ariti taee. Dateti occorrelaruam facile ex precedetico
Ulai, , clusione Ram si quattuo termini proportionem 2 iuri , turariu=metice et disiuncte differentiaque eruta iti linterpὸlmum et secundum.erit inter tertium et qrtum actuare medii equaliter distabunt ab extreis conuinctis igitur mediis equabuntur : trea colaiecta iuxta docta mana conclusionis et v xinora,
teriai corre amo.quatitor te ruitis quia st Ona' tur plures termitu non opecte illi iuverificari. Quare iricoth iderate ut qui Iliam proprietatem absolute ponunti apatet enim uastat illaint raterminis. z. 1. io. H. t .mali festum est elit in aggregatum exertremis inmiis est agglegato es ter, illesiis. Imo implicat aggregatunic de tremis
equari omnibus intermediis limul sumptas cum sunt putres terni tm quatuor:quoniai xsen; peraggregam ece tremis puta ex primo et vitiino adequaturaggregato ex secundo.et penultuno.ergo non aggregato ex omnibus inter neutis stilia ita luderit mau'. Si autem velis dicere Hetaetalcyitalam intelligi* aggregatum ex primo et ultio assequatur aggregato exsecundo et petui amo:et etiaequatur aggreg to ex tertio et antepenultio et patet hoc elle falsum indaris terminis. Ram i itatis duoetii constituuntii Atermis inet antepes nultimus puta metalo.constituunt.1 igitur.
Sequitur sectando Q positis quatuor terminis a retara proportionabilibus ariti mencestue coniuncte si I, relan dis uncte aggregatume prunoetvltimo e me 'dielga aggregati ex omnibus simulet etiam ago
gregatume e secimdciet tertio vii medietas totius
aggregati ex omnibus simul, 'patet qiua illa aggregata laut ria excoclunone et ad equa te componunt aggregatu3 ex omnibus tuis quatuor terminifregitur viruitis illoru aggregato uue est medietas Ugregati omnibus tuis terminis si mr sumptis quod fuit probaeum. i Sequitur tertiosi, positis sex terminis siue octo. nue.seat in quos Terium cuncpnulnero pari conluvio proportionabilibus correlari arithmetice: gregatum exprimo et vltimoetas umgregatum exsecundo et penultimo et aggregatu ga Io. ex tertio et antepentilliinoet sic consequenter en ele. pars aliquota aggregati ex omnibus illis ter minis denominata a numero subduplo ad numerum parem in quo e stitutantur tales terminuvi si lint sex termini aGregatum ex primo et sexi et etiam aggregatum exsecundo et quinto et et tertio et quarto clima tertia aggregati ex omnibus illis sex termini saetsi fuerint octo talia aggregata erunt quarte: F quarta denominatura nume ro subluplo ad numerum octonarium. τοῦ obantur hoc et lini sex terminia.b. d.e.f. tinuo aritdmetice propcutio bile et arguitur sic aggregatum ex Lest equale aggregato ex. b.e.vipatet conclusione quia illa extremaequaliter distat ab illis mediiset eadem ratione aggregatum . dest equale aggregato ex die.igitur ibi sunt tria aggregata omnino equalia:et illa componunt ago gregatu3 omnibus illis. s. adequatengitur libet illorum aggregatorum est a tertia tot uis et isto modo probadis quando fuerint octo teriamini quia inuenies ibi quatuor aggregataequalia:et quando decem inuenies quin Et sic deme: ceps inuentes talia aggregata equalia in subduplo numero ad numerum terminorum: quoniam semper pro quolibet tali aggregato capis tuos terminosaei per consequens dualitatem illorum terminorum. 2Dodo in quolibet numero pari in duplo pauciores dualitates reperiuntur quam vilitatesint si patet cccretarum. Sequit quar Quartato in ii sint quatuor termini non continuo mu correlarationabiles arithmetice continuo tamen minores umet mmmea contumo se ced tes minori et mino
26쪽
ealcu. N ridifferentia:aggregaramex extremis est maius truele .cir aggregZto et mediis:et est maius qua medietas caprin. aggregat ecluisquamor terminis. ut capi dis
est maius aggregato Atimet est malus quam medietas illorum quatuor terminorum coniuctoriam probatursint quatum terminua. b. d. continuo minores et minores continuom minori et minori differentia seseexcedentesaei dico Q aggressatumet ruet d.est maius aggregato ex. M.
Quod sic probatur quia si xcederet d. ruta difflarentia quanta a xcedluditum aggregatume c
conclussone: sed modo excidit d.mmori exalsurgitur est maius quam esset tunc et a.est equalm igitur aggregatum ex a.d.est maius qua citet tacquia componiturex uno tanto ex quanto tunc coponeretur et ex o altero maiore qua tunc et ocad uate:igitur modo est maius quam tunc: sed tu esset equale aggregato ex bat caergo modo e maius aggregato diei quod fuit Nobandum Et ex hoc patet secunda pars correlarii quoniam aggregatum ex omnibus illis terminis componiturex duobus inequalibus adequale puta ex as gregato ex a.et et aggregato ex batia et aggregatum inet d.est maius aggregato ex diet HItur aggregatumo a et dimn ius quam mediestas totius aggrettextuis quatuor terminis aret idec consequetia qr qmmm aliquid componio tur ex duobus i qualibus adequare maius illo rum est magis quam medietas totius ut facile demonstrabitur. Sequitur quinto et si Biat sex ter .cNrcta mini continuo minores minori excessu seseconurtu, tinuo excedentes aut. s. aunio. aut in qu Is nusmero pari:aggresam3 primo et ultimo est maiusquam pars aliquota venominata a numero subduplo adnumerum illorum terminorumet aggregatum ex duobus terminis mediis et it 1iaotis est minus quam talis pars aliquota totius asgregati ex omnibus luis terminis. t. l' . q.lo. q.captis aggregatum l .et .est maius qua a tertia aggregati ex omnibus illis sex temus et aggregatum ex io. et . est minus ut patet cataculanti Uzobatur correlarium sint sex termini a
se excedenteriet dico et aggregatus ex a et Lemaius quam tertia aggregatio: omnibus illis ter minis et aggregatum excit terminis mediis et is mediatisest minusquam tertia totius aggregauti ex omnibus sex. Probatur quia totum illud aggregatum ex omnibus illis sex componi rex tribus inequalibus adequare quorum primum emia ius secundo et secundum natus tertio igitur peti naum est maius quam tertia totius:et tertiummionus quam tertia: Patet necconsequentia quoni αam si primimesset una tertia oportere tu, alia duo essent due tertie et faenon Glutrum alio ducetum minus primoret si primvmesset nusqna3 tertia oporteret et aliquod alioru esset maius primo: qtalias illa tria non facerent tres tertias illius to trus:et sic no adequare componeret totu .Et eodemodo patet et, tertium est minus quam tertiat lius quia nesset tertia mi maius tertia oporteret* vel reliquaauo essent due tertie vel aliquod illorum inmuseo quod tam est falsumini consesquenti arguitur:primum illorumcil maius quam
restia toti et tertium minus quam tertiasta primum illor nam est aggregatum ex a. et Let tertium est aggregatum exta igitur aggregatum ex rufa est maius quam tertia illius totius et aggregata ex diminus.Q usequentia patet ex se Sed restat simul probare aggregatum ex omnibus utis sexterminiscoponi ex tribus inequalibus cui primum est maius secundo I secundu maius tertio etu primum illorum est aggregatu ex Met fet secundit aggregatu b.et e. c.qui aggregatum illissexterminiscopon tura quate aggregato ex a. et Let aggregato ex ruet ciet aggregato exarao que sunt tria aggregata partialia vi constat:et aggregatum ex Ret fici malus aggregatoge rueteri igi mr propositoinrguitur mino quia ii pertinoe diis 'me tantu excessu die cederet f. sicut a. excedit ditum aggregatum ex Ret Leet equale aggregato ex diei civi patet ex secunda conclusione: sed modo aggregatum a. et Lin maius qua incquia una pars eius 3 Lest maior quam tunc et reo Ii aequalis puta rima per minus ceditur Lob uno tertio quam tunc beodem igitur .ggreis satum a. et Lin maius aggregato diei Leteadem rati me probabitur in aggregatum ruet eestinatus aggregato c. d. od fuit mandum. Etequali ratio probabis em dantur octo termini continuo per minus et minus se cegentes: et continuo minores et minores: in tunc aggres tum primo et ultimo est maius in quarta aggregati omnibus:et aggregatum ex quarto et quito est minus quam quarta.Et finiat decem aggregatum primoetvltimo in malus qua3 una quita totius: et aggregatum quinto et si,ocii mimis quam quinta tot uis' et sicconsequenter: quia tale grinatum ex octo talibus rei inmiscopoumtur ex quatuor quorum quodlibet est cuilibria, teri mequale. puta primu maius secundo et secuneumatustertioet sic sequenter. et Minisi ut est aggregatu ex primo et vltimo et secundu secundoet septim et tertis ex tertim sexto et quartum quarto et quinto.igitur maximo illorum puta
aggregatu primoletultimo est marus quaqriatae inimii puta aggregatu es quarto et quinto est minusqua quartaint sic in omnibus aliis Naderis. ipatet ergo coὸ latae. Sextosequituro G. corrassiniit Hures termini innumero pari constitutico rariutinuo maiores et maiores continuo maio*l et maiori excessulae cedentes:aggregatum Primo et vltimo est maius qua pars aliquota tenotata a numero subcluplo ad numersi in quo tui termini constituuntur et aggregare ex duobus mediis mediatis equaliter dinantibus ab extremis nisnusquam pars alui uota denotata abeodem numero subduploretii . Ni .l lθ,captimassire satum ex tremis puta . et i0.est malain qua tertia totius regati ex omnibus illisnaggregatum e metite, in minus qua tertia toruas si occorrelarim medentis sortiturdemonstratione et quidemidenter quoniam ei sci terminis ne
monstratur meme prinostero se dabentibus:pusta misso incipiendo a minoribus in precedenti vero a maioribus. Sequitur septimo*si sint pium eorres res termini numeropari consitati continuo inlatariunores et minores maiori et maiori excessus eide: tinuo excedenter: aggregatu, P Imo et vltimo eri immor pars aliquota totius aggregati
27쪽
squIssi pars aliquota denotata a nun uro subduplo ad numerii inparem in quo sunt constitiit dari termitu:et aggregatum ex duobus medus immediatis equaliter distantibus abextremis est maius qua3 tali ars aliqriota. ut captis
termirus. aggregatum erit et. et sex est
minus quam medietas aggregati Oim illorumedietas denomiatur a numero binario qui est subcuplus ad numeru qtraternariu in quo illi termi
ni sunt constituit:et aggregatum ex ii.etis .est maius quia medietas. probatur: Isint a b. d. f. s. termillI continuo minores et minores maiori continuo dn ia χχ en edentes: et qr illi sunt constituti innumero senario dico ν aggregatu ex primo et ultimo est minor pars tot uis si pars aliouota eiusdem totius denotata a numero subduplo ad senarium que est una tertia.et aggregatu ex duo Iras intern iis Mediaris equaliter distantibus ab eviremisputa c. in maiusqust talis parsaliquota totiusputa qua tertia. Mobaz qr tale aggregavi coponituree tribus partialibus aggresatis adequale puta ex aggregatoe e stat fiet et aggregato ex b.etiriet aggregato et c.et d.et a gregatue eruet fest minus secundo aggregato et Iecundu minus temo.igitur aggregatu ex R. et Lest minusqua3tematotrus et aggregatu ex dimauis qua tertia totius. Patet ecconsequentia
quia quando aliquid coponituret tribus quor Mibodlibet cuiliin alteriti in vale:maius ilioueumatusqust tertia:et sic dives quando coponitur ex quatuor adequare quorsi quodlibet cuilibet alteriest laqualeret ex. .eteri et sic detriceps vi postia ostendetur. Iam probo minoremvidelicet. aggregatu ex inest minus secundo aggregaoto pittaeeb. et cim si tanto excestu et ultra Rexces rei diquanta ciexcedit Liunc aggregatu ex x et Lesset equale aggregato exb.ete .ut patetex mussa conclustone sed inodo aggregatu exa. .est minus et tunc: quia a.est ratum sicut tunc et festininus qua tunc quia maiori pia exceditur modo vj tunc ab eode puta dii tur aggregat uer a. et est minus qua aggregatu ex bat ciet eade ratione .pbabis in aggregarea ex dicte.estininus aggregato et ciet d et sic patet minor et totu correlariuduonidet si ista sit particularis demonstratio in dat forma uniuersaliter adibandi quibuscum te minis paribus conssitatis, si milia eorrelaria poteris inferre dbusculam termisi paranstero commiis Deconremio ranatoribus et maioribus maior icontinuo dicta se ercedentibus:siue e contra
4. Tertia conclusui in hac nimietate
tactarim ariti metica quod suberiremis continetur cum qmerita erato differentae. equaleest quadrato medii. e re medieta conclusio est tertiadecimi elementorum torriani et iis, breuitatis causa die non demonstratur quia erus v 5stratio prolixa est eo in dependet et decima quarta et decimanona primi elementorum eius
demi ordanu ζHduerte tamen pro intelligentia contectus ipsius conclusimis . illud dultureolitineri. sub extremis ariti metice avorriounalitatis quod resinitater ductu rarus extremi in alteraim ut numerus octonarius continetur subereremis disius morti allt 3tt q. 2.quia duct
uerte vlterius ς quadratii medii ternum cili liiid quod resuuat ex ductu inedri term Mἰistippu3:vr ddraim numerus novenaruis est quadratum medix in dac onficiarit metica proportiona illat M. .a .quid resul, tales ductu numeri ternarii in seipsu n. Nam ter
tria sunt nove ' Quadratu aute differesilie est illud quod restillat ex ductu different in seipsiam:
ut in tracarithmetica medietat S. G. numerus
quaternarius est quadratu diate. qua differentia est immerus binarius vi constati marius enim ductus in seipsum quit armine ducit ut costata Dio dictis sensus conclusionis est talis, Flumes rus resultans ex ductu unius extremi in alteru ui medietate arit et i coninauacum numero ressultante ex ductu drirentre in seipsam est equalis numero qui fit ex ductu medii in seipsu: vim hac medietate.S.que fiunt ex duciti ius extremi in alterum iuncto quatentario numero qui fit ex dicta differentiae in seipsa3suntequalia. dicioque fiunt ductu senarii medii termini in se iunia
fruarta conclusio in medietate gedu
metrica qtuor tel minis constitutaui primus ad sep- acundu sicut tertius ad quartum: ta primus ad ter . tiui sciit ter tuis adnuarin se habeat necesse cst: ut quia sicut se abent octo ad quatuor ita se abct geo; se assima. consequens in * sicut se habent. octo
ad. sex ita quatuοδ ad tria. 'probatur si ta.d. c. quarum termur Immedietate geometrica: et
dabeat seruau b.sicut addit dico ν sicut sed 3R.adae trab.add.Q6M ae et moti er musicut se beta.ad uaa assid.b.est Pars vespartes aliquore respectu meiusdem denotationis sis cui d. stus ciet ultra dicit pars aliquota vel partes abistre eiusde denotationis respecturis, d. respectu ciergo sicut sedaret Madialta b ad P. ruit probandu.Secunda consequetia patet uno decima suppositione' uuas capvis: et prima pisex doc quod inferius probabitur. Si aliqui duo numeri maiores habesit 'similes proportiones ad duos minores:i luminores mamen surparies aliquote maioru consimilis denotationis. Et sit nec prima pri prietas geometrice medietatis. robatur raue uniuersaliter sint λb. d. atu e termini m-medietate geometrica constituti si
ue proportione rarionali lue irrationalist ipsisus Mad disti f. proportio: et stiliter ipsius ci ad ipsum sit f.proportior et sit Ralc. g. . Milo. et tunc dico*etiam,vid. est s. proportio. Quod probatur sic et capto xportionem si queen Raa et volo. a deperdat Mortionos.quam habet ad ruita in in fine maneat equale ipsi divi opo tetetc.perdat eandem proportionem siquam ex hyiapothest ad ipsum d.uainin fine maneat essae ipsi d.et arguem.' ius. ortionis Sque in acutaequalem omnino a portloue deperdit termionus maior sicut inuior: tauteris Maroportior ut patet ex bypothenagitur facia tali diminutione adhuc manet inter reliduum maIorio termini et minoris.eadem petoportios ut patet ex secunda parte decime suppositionis secundi capitis secundepartis sed rendust maioris terminiiab. et resi umor a P NP3 hi pol in:isir .addae. P
28쪽
i correl. vel lystc conclus o sequitur primo. cons iniusto a .pΜ tia quatuor terminis in i)ac medietate sicut ag tas medi gregatum expὸ mo et secundo ad secundu ita agetatIgro gregatu ex temo et quarto ad quartu ut constitutrica, τ s liis quatuor terminis. S. G.3 sicut sedabent
tum te uir in aemedietate geometrica Ppor itonabiles a. d.dico et qualis est yp cur, O. ab. adb talis ei Ad. aad. Quod probatur sic et volo Q b.addatur ipi a et dapsi et arguo sic sicut se habet Maddi ita ad. d. ergob. est tausparsaliquota vel partes aliquo te et euasdem denommautiouis respectu a.quabis est i .respectuti et procedas a maioribus versus minores et addirur si a.et d. lM.Igitur equalem Wbrtionem acquirit a supra se sicut supra se a tet consequentia eo amario undecime suppoditionis: et eande3ν porri equa acquisitiit a. supra se acquisiuit proportio ipsius Raab et similiter eam quam aciam saucis ra se aequissuu .pportio imius ad mut patet exprobatione no suppositionis igitur racta tali acquisitione qua is est proportio .ab. adb talis est a d. ad d.quod fuit xbandum castet consequentia quia ortio a. adb. est equa, Ira proportioni ciaudate qualem ortionem acquirunt ille e proportiones igituri fine mancte les mssequalibus eqlia addas etcis3 in sui na
Sede edypotiress retetagna luer probat correi artu iuri volo in a.dimimias ad vi, alti ruet tactaequalitate et ne Medius ortiones ex*ppoti,in: in resaeuu ipsius ruacorat supra seipsa d. et re adusici rat ipsit daei manifestum est aras gregati ex re aduo Metipso diadipsub et aggres an ex residuo ipsi' et ipso ad ipsud: et equa a portio puta dupla:volo igi aggregatum ex renduo visius a.et ipso b. acetrat illa et tua tem
ademiavi Mitaui maneat gregat uexa. et et aggregat uer residuo ipsius ciet ipso d. a iratqualitate qua dendidit Ipluc ita. maneat in ne aggregata exciti dat tunc sediur* aggregarie e Metri ad ipm b.et aggregati ex ecd. - fusudaee exportio qS fui bucist. x roba pna. Muli termini vii amsitioiu: quatitae a Dei clua*ab
ipso a Ll ipso et baut mem a pororone puta dupla vi maue: et M siuerunt eqles a portiones termini maiores illa*.ppom urigit iter datos terminos manet lis Aortio: qr ii e issi' eqlia audas et Orobatur minor:m medietates tuoruterminη si malorueqles a porti des aciis uest: si turet a termini maiores e les proportio es arisinei ut vi pis ex tertia cocinii e septimi capit omeptis:et p*ns proporri s quas Vrit ad miores reminosedles proportiones ac si uerumpneci .corret. suppoatione huσ-ersae pri correlariuqosit medi a petas eratis geometrices a proμtas , S tur seoo medieta indaenicilietate cossituris. termisqb e MGtςge me liopmi adfm tali se oario aggregari expino L
ris et volo in a. ararat sta et diacirat d. et avido a maiorib et arguis sic sicut sema ad , ita ad ois L mutati A croe sicut se due a. ad tarta b. ad v
tu ex a. et c. ad ipsu c. Ita sem aggregatu ex b. 2 d.
ad igrex occlusione sicut te ζ3 aggregatu ex
ad terti iurastitutis. hi r termis. S. . G. . ullis e
i tu facileqni sua portiore nitoris lac litatis suntesilas iter secua ortices maior tequiatis uacora rident iter se inrequa es: et eos. Sicut ei a duplessit equales Ita ocss duple sute quales: et lico subtriplare eules:ua oestripleissure sitalis moerio tuerita. addimatoris teqlitat qlise
29쪽
ιla demas et c. sed modo manet proportio a. ad b. et c. ad. d. ergo ille sunt equales qlioel filii a diadi 13 S iuersaliterprobatur si sicut se in a. d. ad b. ua.c dialo. tuc sic selys a. ad ruit ac ad. o. 26M probatiirqr liciat sese a.di ad b. ita c. ad P. ergo sicut se habet a. b. adc. d. ita dia d. d. vi patet excoctussone. Volo igit in a.b. atidiet D. at d. Itas manent Retc. t tuc arguo sic a. b. etc. d. in habet mea proportione in qua se habent, et O. et sit f. a argumentiret a.b. terminus maior deperdit
perditum amatori termino et demitu a minori eam ullo sputa iter b.et d.et talis ortio puta Lestiter a. b.et diuta baistestagis facta tali deo ditione vel diminutione inter residuiter a.direr siduue ad.manet a portio Lutpt3 ex septio cororet arto arte coctussonis octaut capitis Upartis:et residuuere a.d.e aret rest uexcita est c. Igiti ter a. et est La, portla sicut inter. b.et d.eto 'fis sicut sema. ad ita b. ad d.puta in L ortione: eter cosequeti se ture e coclusione. sicut se habet aadb ita c. ad dique fuit probanduint eode nio probare sua.eet termin' minoretb maior. et et mis, coem. nor et d.mat M. t Tratur quilo et, dispositis i Daemedietate qtuor terminis:sicut aggregatu ex qriato et tertio ad tertiae ita aggregatum exsecudo et
prio ad primunt dispositisq)intermis. S. G. sicut se nnt Aeti ad. F. ita. .et. s. ad. g. obae sint. .iminii hac medietate ostitutia. b. d. tuc
sicut se habet dita ad ita b. a. a. Q 6 sic probasqr bia statur Mut sedabet a. ad , ita c. ad αlgitur sicut se dabet rub. adb. ita se dabet C ad o ut piseeβmo correlario dui' conclusionis et vltra sicut
sed et rudi ad bata diae igie sicut sev d addae ita diad b.a.quod fulta bandv..tynec colaequetia ex arione tertii correlaru huius raelusio Q.caret. nisEt ne patet correlariti. si Sequitur sexto et dis Ponti . terminisco tinuo mortionabilibus dacmedietate:et aliis tribus et iacestinuo a mi ma αbrlib'eade medietate:et eade Hortione qua tres primes c Stinuo proportionans: Mut sedabet exutrema pini ternaritata se habet extrema secundi.
: ortionetur tres primi termini mortione g. et ea Mortione cotinuo adiportionent alii tresputa d.e. .et sita ortuo coposita adequale ex duplicis, taecdico u eade est orno a. ad qest ad s. Quod sic onstitur. chra portio a. . emi .et ea deest d. ad Liga eadeci proportio a. ad Qest ru
batur maior: quia proportio a. ad cico ponitur ex duplici si roportione adeqte Puta ex proportioune quest a. adb. et est Oet diacia. q et isting. Igitur illa pr oportio a. adcest consequetia qr proportio mutponis coponitur et duplici g. adedi quate.Et istonio probabisminore:qm proportio
ad s.componitur ex duplicIg.puta ex proportione Set est d. ade et ex proportione g. que est e. ad La quateae isse patet ccc retariu Et pari demonostratione ostendes:* constitutis tribus qualemariis continuo proportionabilibus eadem proportione: et quin qurnarus' et in quo uolueris nuero: in qua curam proportione se habent extrema uni meade in Dabent extrema cummis alterius.
Quinta conclusio Suotlibet inlias
medietate geometrica terminis constitutis continuo propoettionabilibus::qualis estium termime Πῆς cotinuo a portio: talis est inpereo; u differen
et excentio quo. q. cedit iam . ad ercessum qito duoerceduruuiitim ut patet.Est enim uter tuos eroeso susproportio dupla qtieadi nodu iter teri os probat sint. rminico tutuo Mportionabiles. f. oristione Puta. ab.co. ciet excessius quo p/imus excedit
securaui 3 sit a:et excessus quo secundus excedit tertium litatuc dico*sicuti portio est inter illos terminos: iter primum et secundum et inter se. cundum et tertuinuita et tu est f proportio inter a. et excessus ita in a. ad est proportios. Eruod sic ostendit qrdiadd.est ortio Leta. ad. c. est ead proportio gitur a. ad est proportio quod fuita banclu. Probatur maior quia di est equalec. d. qra.b excedebat precise per a. ipsum .cd.et lic res moto excessu b.manebit equalec.d.et d. est equale
uitur:ergo inter b:et d.est eadem f.proportio staret consequentiaqroinaequatin est eadem orditominor ibamret capio und terminu ad quema.habeat*portionenquisit g.et arguo sic sicut se habet diae d. ita se habet a. ad Sputam sprop tione:ergo sicut sedabet diad da,uta in saportione ita sed a beta.b. adg. d.Putam cproportione. patet' consequentia secundo correlario qrte conclusionis: et, adietiam ad .cd. est proportio
consequentia quia idem tertium eande portiooh3 ad utrummulori: et vltra .gdat d.lut ebla: eo coi pio puta disidua manebsite ras, residua sunt gaetc.δg. et cisunt equa et a. ad pest L proportiout positu est ergo a ad in f proportio quod fuit aibandum patet lis consequetia quia eiusde tertii ad virum duoru equaliuest ea in oportio. illepi conclusio inmeo modo quo probatu est in illis tribus terminis probabitur quotcnaam dispolitis cotinuo proportionabilibus hac medietate.Et dec sit quinta proprietas medietaotis geo netrice. Ex hac conclutione sequitur priis L mmo u si duo numeri mequales continuo diminuatur continuo in eadem ortione manentes:conis tinno deperditu maior numero se habet in eades ortione ad deperdituminori numero inqua cotinuo se habent illi numeri qui diminuuntur.ut nnumerus octonarius et qua temariuscontinuotimumanis continuo manetes in xporti&dnpla: continuo deperditum ab octonario se habebit in ortione dupla ad deperditum a qua temario. Doc correlarium facile ex demonstratione conclusionis probatur. Sequis secundo in lino conti, Marmnuo deperditum maiori numero se habeat ad deperditum a minori numero in eadem proporti rin qua continuo se habent illi numen d diminuunturiiuiduo numeritne quales 4 coturuo diminuuturnon sedabent in eadem Nortione etc. staret doceorrectarium ex priori qmpcedens coerclarium una conduionalisiangitur ex opposito latis eius sequis oppontum at cedentis:eis consequcsconditionalis in qua arguitur ex opposito consequentis illius ad oppost tum antis est vera:et ta
lis est correlarium igitur cor retarium Verum. Sequitur tertiou si continuo deperdita aduo 3. ωπα bus numeris inequalibus manent in eadem prois portione in qua se habent illi numeram principio deperditionis mumeri remanetes cotinuo manet in eadem sportione.ut si numerus duod arma et sena ruta duniam tur et continuo deperdito
30쪽
a duo uenario se habeat vi proportione dupla a senario:continuo illud quod remanet er duodes nario sedabet in proportione dupla adiuuaq6 remanet a munero senario.Et sub tenorenuive pii ego intelligo correlariumInonen in istis evacry sensus dialecticus ester vetendus sed ipsa mathematica sententia est e Magitanda.Doc corret arui perinde atin primum demonstrationem conclusionis exqturit Epplica vivales. cozr Sequitur quarto quana Anm monumeri iequales continuo cremini: et continuo te habentinoadem proportione:oportetae continuo acquisitu maiori numero se habeat in eades proportione ad acquisirum minori in qua se balaent illi nueri crescentes ut si numerus qua temarius erinna,ms continuo crescantet continuo manent uippo portione sex quiaItera:oportet continuo acquilitum senario se babeat in proportione sexquiata tera ad acquistrum quatemario.Doc correlar Iuleadem cum precedentibus demonstratione ostenoctituri si quitur quinto datis quibuscunque duobus numeris inequalibus se dabentibus i aliet orti et te portioei qmior ex dit a maiore i eade cotinuo tardi crescat maiore:cotinuo tales numeri manent meadem proportione. vi dastis et. s. se habentibus in proportione semul altera:n quando sex acquisiverint aliquod cremetui quatuor acquirant in sexquialtero minus: pacontinuo manent in proportione sexquialtera. Probatur hoc correlarium quoniam si in eadem proportione in qua numer' maior se dabet at minorem velocius crescat quay mlnN:sequitur si cotinuo inter acquisitum minori numero est ea mproportio queeit inter illos numeros. vi patet exprobatio conclusionis: etperconsequens condit inuo talesnumeri manent in eademproportione Et Rc patet correlarium
Gena conclusio malis tribus nuti
meris inpac medietate constitutis: od fit ex ducru extremi inextremum equale est quadrato messiu:doc est illi numero qui resultat ex ductu meoii termi uiuiseipsum.ut constitutis his tribustermim s.cl. 2.numerusse' denarius resultans ex duoctii octonarii in binarium est equalis numero quisit ex unctu quaternarii in se invi constar probatur c conclusio sint tres numeri a.b tam dacmedietat econstituti continuo a portionabiles g opportione et sit d.nuna erus remitas ex ductu a in b.etris,unumerus resultaSex ductu b.in ide b.et f. numerus resultans ex ductu inc tunc dico eo
Liunt equales ins sic atur: una adciest ortio g.et ad Lest eade oerio Sergo taet f. sunt equalia quod fuit andiu paret consequetia et mator ostenditur,quia sicut feb3 diad a. ita sed hete. ad dim toties ad te a linei in diquoties
est unitas indiet toties continetiar b in αquoti est unitas indicum nat ductua in die te . ductu tam b.Gasicut se abet d.ad ita eLaab.consequetia claretexternas politione duius capti tisaei ex consequeti sicut sed D.ad Mitae.adb:ergo sicut sedabet d.adriit a se babet xvi, sed Madb.est yroportio ergo.α- civisi. ortio q6stari andis. ωatet igitur maior probae minΠM.qr tu g. ortione pluries cotinet a. quo Lcontineatide ad te: ergo, se habet ad Lin g. .pportione patet consequentia ex tertia supposicli epallegata. probatur anteve dens qr d. toties continet quoties est unitas indicu in b du
sic patet coc mi od .pfecto puaedraestet industria et sit huius medietatis. sexta pzopplet s. Ex ac iamre conclusione scit turpino et i da medietate id quousit ex ductu inius extremi ad irru terihioru alteruextremu est alume quadrat': probatur vialis numerus estequalis quadrato medii termini vi est numerus qua aratus cosequcti apata Pe se et Q r.eo rari cedens et conclusione.s Eequitur secundo in si costitiuis duobus numeris se habentibus maιiqua ortione maioris ineqnalitaris rationa Miue, rusti fit ex ductu unius extremi in a tem non est qarat':inter tabes termios no est medium ortionabilexportione rationali:it ac pari ad ulli, me diu fitea de ortio rationalis que est iuvis meis dilaci tertius Probatur hoc correlarium rasi inter tales numeros reperiatur diu esti5a bris ortione rationali: puta aliquis numerus medio loco proportionabilis:iam sequitur Obi ac reperiuntur tres muneri cotinuo Mortionabiles ac meaietate et pcoseques nutrien' d fit ex ductu expremi in extremum est equalis quadrato mediivi patet co clusione:igitur talis numerus equadra ut patet ex pruno correlario quod est inpositu aucedetiscorrelari adui fertisueor retarii opposuuconsequentis oppositu ance tis et pconseques correlariumuerum. Sequitur 3 eo re tertio Q n medium proportionabile iter duos numerosle habetes in propo: tione malo is inequalitatis no ni iat numericontenti sub extremis: tunc numerus qui fit ey ductu unius tremi m ais terano in quadradus. robatur sint a. duo numeri se l a tes in proportione maloris mequali allia Mm IO. tamInor: et numerus qiniit ex v ctu a. niant dat cisit minium ortionale inter aet ruiKdKo. 1 cinon sit latus Niluso: no est numerus quadratus.*uod sic onditur:M sid: sit numerus quadratus sequiturineius latus est e. igitur ex oppolito sequitur oppositum:et perconsequens cor retariumueranti 'mobatur anteceadens quia ad est numerus quadratus cum nolit quadratus a nec quadratus ipsius vi constat: qm quando duo numeri inequales in seipsos ducuntur quod inde fit neutrius illo*est quadratu3: sed est alicuius mimeri minoris mawre illorum et maioris minore:sit igitur talis numerus b. cuius o.est quadratum et sequitur. αad diestatim Porcior colistimo igitur tres terminos continuo portionabiles illa proportione ad D.que Ot D. .et sequitur et coelusione in numerus qui fit ex ductu Min haestequalis ipsi dat per te numer qui fit et ductu Minc est equalis Nad Iano est ipsum ditsituri .etc:smit numeraequales. patet cccti uentiam ex ductu vulus tertii in utro viliora resultat idem numerus.et sic tot unitates continet sicuti .et per consequens sunt equales. sed interaret remediu A Portionale quod est latus quas arati quod fit ex ductu rum b.quod latus est ruigitur inter Ret est mediu apportionale quod est lautus quadrati quod fit ex ductu a. in ima per consequens mellume intermet est latus numeri dliter Pucru in quod fuit probandum. Et sic patet correlarium. Sequitur quarto et, constitutis duobus terminis sed claribuam aliqua μιtione maioris inequabitatis rati ali si numerus