장음표시 사용
41쪽
ethrobatur mino; qr tripla est dii pia ad se mi lal tera: et dupla se quiquarta est minor tripla ergo nupta se ui quarta ei minor qua dupla ad secia
quialtera. Eo sequeritia est nota cum more:etubae maiorqm nomina trois triple ad denora troiae
sexqui a tere est proportio dupla Trin em advia sici dimidio est proportio duplangitur tripla es dupla ad sexquialtera. patet sequetra exoptaseo coo motae. ηαofirmatur seculoqrsi politio esset veran mi attri sequeretur si aliquid tinere tali pluribis: et tamenesset assequate duplu ad illud quod cotinet equalebis:et aIiquid cor meret altem minus quabis hoc est contineret ipsum semel et medietate et 'mise et esset duplu ad illud et no serituruit . istactaequentia sunt cbtra diffiniti s et prici plamat dematica igitur et positio Sutemtatra diffinitiones sex altere et duplevi costa Iaxbatur sequela qrtripla est dupla ad se aliena et tame tinet bis sexquialtera et aliquid ultra puta sexis
vero ad. .es tripla ex illis duabus sexquialteris et una sexquitertia taposita. Et sic p tequela quoad prima paria. Secuda pars patet de octupla et quadrupla: triplaemia minet bis quadrupla et tamen est dupla ad illam ut patet ex positione. multa similia possint in lamque manifeste sui
tradignitates petitione et diffinitiones masti matica qui debeat supponita in principia scientietnathematice Sed inanec argumenta facile quavis proterve rostpratione rescindit basanus negando illas petitiones et diffinitio es: eas outaxat ad numeros siue quantitates comi struas restringendo siue limitando. Sed a secto et diminute loquii et coua ratione:Diminute quide et insufficienter m no assignat diffinitionc. oriations dupi quadruple, aut alteritis sufficienterque cuilibet colento sub diffinito coueniatri traratione vin sicut ipse astruxit tuas diffinitiones duple, quadruple.et couentre quantitari dNtaxat et numeris:parta terula quilibet post et defensare atinasseuerare illas diffinitiones dumtaxat couenirenus neris copolitis ex unitatibus indiuitii sibilibus puta intelligentiau aut puncto :et mala lis aliis.Sicutem ipse negati anc cosequentiam
xportio dupla sexqui quartacotinet bis equa re sex quia temergo est dupla ad illa: parum rario aliis posset quilibet hanc eosequentia negare bi ala cotinet bis adequale pedale ergo esto tu ad pedale:et in dubio arces cotra eu no esset disputandust philosopho primop disico*credae qr ipse diceret seiadnegare pricipia math matica: sed ea coartare siue limitare: qin illa non arguis sunt intelligerida in propcctionibus.
piis tali mitatis ad ortiones et doctica portio exdecupla est dupla ad rupta:et octi latripla ad dupliaut deducia e ematbematicis pricipiis et secunduci proportio se upla est quadrupla ad quadruplam vi suadet prope ritonu Pen Oim natio. Itein secundu3 eum rupta est quadrupla ad duplam vi denominationes dupla et octis leostendunt: igitur sua positio principiis mali mancis ad prcsortiones limitatis co1itrariatur et se consequens falsa consequentia est nota cuminore et maior probatur primo quantum ad priorem partem quia capta proportione sexdecupla intericiae Mb Ireperium diremini continuo propin
tionabiles proportione qua di upla ut pote. G. :i igitur extremi ad trem a prid. is. ad. i. est duo
pia proportio ad proportione prinu ad secundu
it elementorum eiaclidis ex pretiae:et quinta diffinitione securidi elementorum loream. Secunda Sorda. x pars maioris probatur quo riua capta proportis e one octi la octo ad unum: ibi reporiuntur quatuor termini cotinuo proportionabiles proportio e plavldelicet S. a. s. ii extremi ad extremm puta. S. ad. i. est proportio tripla ad proportionc S. ad 4.que est dupla. 'patet coiisequentia ex ea.dem decima diffinitione quinti element et bucidis: et quinta secundi elemento* iordani:Nec bosanus posset hoc argumentu dissoluere nisi prino cipia arithmetica in eum adducta neget.
struario ' ad opinate argi qm ut i pe
x ales in sui operis exordio suarua portlon uir ictatus introductorius est ad sui set dicas calcula, tiones: sed ipse calculator sinistis longe aliter sentit:et plurimu ab eo discrepat in materia de prosportione proportionunt ex quamplurimis locis eius percipere possumus: igitur nec calculatoris mentem intellexit nec eius tractatus ad eum intelligendum introducit imo potius extra ducit. Vobae minor.Tu primo quonia calculator inquitaconclusiotae prime opinionis de a umentatione dicit in si aliquid augeatur in duplo velocius alutero et illud acquirat ana proportiones. in alta quo tepore necesse est meod tempore illusi quod in duplo velocius augetur proportionem compositam ex duplicis, acquirere: cum in casu calcula toris ibidem illud quod in duplo velocius augestur continuo in duplo velocius augetur : sed ula consequentia medii penuus vaIeret si basan ip sitio eiset vera, qm quando a. acquireret proporrationem quadruplam et tam eodem tempore in Plo uelocius augeretur ademate non esset necesse diin eodem tempore acquireret proportionem compositam ex duabus quadruplis : imo nece: ieesset ur non aequireret tantum: sed acquireret coia
possidet quadrupla et duplaque est octu pla quesecundu basanu est duplaea quadruplam. Tum misi secundo quia idem calculator in capitulo dedilfri
cultate actionis in pruno argumento quo impus gnat tertiam positi em assumit potentiam mouuentam a proportiones quialtera in aliquo mesdio: et dicit u si illa potetia augeatur ad sexqui alterum Meci se stante reps stentia medii in ipsa po teritia mouebitur in duplo velocius adequa te: ex quo immediate sequitur*proportio potentie auresistentia ruit effecta in duplo maior. astat et consequentia quonia secundu eum velocitas motuum a Milonii. Nortione insequii vi pinex incipio capituli de motu locatustac si potetia ibi trabes ortione sexquialtem ad sua rei laec tia acquirit supra se proportionem sex talteram tota prosportio componitur adequare ex duabus sexqui alteris et efficitur dupla se quiquarta qualis est.' ad .4 igitur dupla sexquiquarta secundum calculatorem est dupla sexqui alteram: et secundum basanum tripla est dupla ad sexquialteram: igiatur sua positi viuuste: suarum proportioni ue travictatus non ad intelligendam calculatoris senten gal detiam introducit sed ei aduersatur. Tum temo M incin5 reidem calculator inultimo capitulo de medio non siccapite resistente conclusione octava dicit expresse in pro se eo. Datione illius conclusionis in sexd upla est duo
pia ad quadruplsaetsi sic non esse conclusio esset
42쪽
mecunde partis. Capitulum sextum
falsa et probatio nulla.et secundu Basanumε quadrupla ad quadruplatn:igitur dicta basani et calculat uis nonconerenti l Docidem ex mutatis aliis locis calcia latoris euidenter et rebedeure potes feabii loci suffician Et sic relinquo possitionem eius confutatamet explosam: que tame proterve deIensari potest:sed no consequenter ad mathemat impricipia ut dictu e indis iste abunde apparet proportio proportionuno est sicut Moportio denominationum.
Capitu tu secisi in quo agitur de prosportionu proportione eo mensurabilitate eamdem' in mensurabilitate.
is; ima suppositio.Comen abstia
siue in cutione rationali se habentia sunt tua quoru idemest parct aliquotavia e 2.pedat et bipedale. nuasem est pars aliquota et Diioru et quatuor: et medietas pedalis est pars aliquota et pedalis et bipedalis.li reest diffinitio comensurabiliu in principio decimi elementozeuclidis.
res di tur comensurabiles quarum eadem pro portio est pars aliquota. 'date tex priori.
Certia suppositio. Quando aliqua
. oetio coponiturex aliquot Nortionibus adesquale semp altera tuaru est ortioque est alicus ius termini intermedii ad minimu extrema: ut Portio quarum ad onocomponitur ex proportio Me.4.au. et trium actouoque est alicuius termis mantermedii ad minimum ee tremum 'stat et nee
satis e edis sunt in quarto capite in urs
Quarta suppositio Cluilibet nunt
rus es multiplex ad unitatem et latet ex hisque dicta sunt in quarto capite Et rius quia omis Numerus aut componitur ex duabus mattatibus: et saeest duplus ad unitate: mvel ex tribus et sic est triplus lex quatum et Mest quadruplus:et sic in infinitum. Exi ac sequitur
Quinta suppositio Cui institet pIoα
portionis multiplicis unitas est minὶmum tres
Eexta suppositio. 1 ullus numerus
est iuprapartius aut superparticularis: aut multiplex suprapartiens aut multiplex superpartiucularis ad unitatem. obatur quom uilibet numerus ademate est multiplex ad unitatem ut patet ex quartangitur nul est supraparties aut superparticularis:aut multiplex et ad unitatem
is suppositis sit lorima conclusio
Aulla proportio multiplex est pars aliquota alicuius Droportionis non multiplicis probatur quonia multiplex nullius pecvortionis superinticii aris aut suprapartientis inparsaeum qualibet talistimator: nec etiam aliculus non multiplicis alterius: quia si sic detur illa propcetioetsita. et multiplerpars aliquota et sit b. inter et citerminos primos et arguitur ac b*roportio multa laeest pars aliquota ipsius a igitur Mest prosportio multiplet modest oppositum dati Mur harurconsequentia ornasi ,est pars aliquota
sius a sequitur in ip a propitatio multiplex viis
quones sumpta reddit et componit ipsam a peto, portionem:coponat igitur vicibus sumpta ademate et luc capto prco cationem ruinter primos numeros eiustiue terminos videlicet maiorem et cimmotem: et manifestum estine. est clauas vi patet ex quinta suppositione capio igitur tucvnualium munerumque se habeat in proportione b. ad ipsum P. Quilli Letiterum uni alterum qui sed eat inproportione b.ad stet sic viaibus:et tuuimus numerus sic sumptus &et manifestum est*padeaerit proportio compostita b. tione vicibus ademate: z illa propcimio g.ade. est multiplex quia in inter Onumerum et e. It
rei Consequentia patet ex quarta suppositione et sexta:etu aesta proportio perte ergo ain mulmultiplex quod fuit probandum.Et sic patet consciust simqua sequitur nulla proportio non multiplex est duplaλ quadrupla.. aut aliqua alia de genere multiplici adaliquammultiplicem. taprobatur facile ex conclusione: a si sic:iamultiplex esset pars aliquota illius nomuli lucra ut constat quila est contra a clustonem.
tio arultiplexest comensurabilis alicui proportioni superparticulari aut supra partienti. ob stur quoniam ruuaslibet pzoportionis multiplicismitas est minimumextremum: igitur nulla ortio multiplex est comensurabilis alicui proportioni superparticulari aut supra partienti. Entecendens pateter quinta suppontione:et consequeniatia probatur quia detur oppos tuniconsequetis: et ut illa proportio stiperparticularis aut super parriens b. et multiplexet commensurabilis a aeti equitur ut aliqua proportio est pars aliquota iptius diei ipsius a.τοῦ patet secunda suppositi ne:sit igitur illa proportio que est pars aliquota
et argutesic e pars ali a ipsius a.lgi Meraliquotc.proportionibus adequare componitur. valet consequentia ex finitione partis aliquote: et vltra ex aliquot proportionibus ad quate componitu ergo altera illarum c. Proportionumen alicuius vermini iter medii ad minimueraremum ipsiuG proportionis a. apatet nec consequentiaex tertia suppositionciet c. non ea ortio multipleu vi constat: cum sit pars aliquota portionis qualibet multiplice minozin. ergo rur ur minimum extremum talis ortionis noest via itastet illud minimum extremum propori Ionasa est minimum extremum proportionis a.Igitur iuveminimum extremum proportionis λὶ oin unitas:et a. est multiplex per te ergo non cuiuslibet multiplicis unitas est minimum extremum quod est oppositum antecedentis consequentie Ibande et quinte suppositioiris.
multiplex est commensurabilis alicui multiplicisnperparticulari aut multiplici suprapartientu obatur: quia st aliqua proportio multiplexm commensurabilis alicui proporti multiplici superparticularua suprapartienti aliqua νportio esset pars aliquota viri uinx puta multiplicis o multiplicis supervini laris vel multiplicis suprapartientisque sit et arguo sic non est proportio multiplexutpatet ex prunaconclusi ne huius: cra superparticularis:ant suprapartiens ut patet ex secundaugitur erit multiplex superparti laris aut multiplexsuprapartiens: shoc est falsum igiturcinones pars aliquota Pτο
43쪽
portionis multiplicis uel multiplicis superparticularis vel multiplici stuprapartietuis. Salsitas consciauentis probatur:quoniam si est pars auquota militiplicis ortionis:capio talem sportionem multiplicem inter primos terminos eius: et arguo sic:ciproportio multiplex superparticu :laris aut multiplex s raptien si pars aliquota alicuius ortionis multiplicis:igiturex alis quotc illa proportio multipliscomponiturii glatur et conseqtienti sequutar alicuius termi in instermedii ad minimum extremutpssus proportio; nismmpliaisq; miminu extemue uasexpc ztio ipatetee tertia suppositione:et illa a poriatio est multiplex supparticulari aut multiplex suppea partiensngitur alicuuisnuineri ad unitas
rem est ortio multiplex suprapartiens aut multiplex superparticii laris quodest oppositum se este suppositionis: et percoli sequens falsumaet ex consequenti illud ex quo sequitur uidelicet et, caest: ortio multiplex superparticulari aut multio plex supra partiens et sic patet conclusio.
multiplerest commensurabilis alicut proporri iurationali non multiplici . 'probatum anulla xportio multiplex est commensurabilis alium superparticillari aut suprapamenti vi patet ex secunda mecaliciat multiplici supparticulari aut multiplici suprapartisitim pHez terti igis nubia: curio multiplex mensurabilis est alicui rami rationali non inultiplicLEtstic patet co
Quinta conclusio Hulla p*opoptio
superparticularis est commensurabilis a iam portioni superparticulaim probatur supponenaO inter cuiuslibet .pportionis superparticularis prunos numeros nullus numerus mediat vivisum ei in prima parte ubi agebatur de generatione a portionum superparticularim quo supposito arguitur sic: inter cui uni lxportionisiuperparticularis primos numeros nullusniediat numerusngitur nulla talis edaliquot iter diis mortionibus adequalecomponitur. Datet son equentia quianulla est culto intermedia inlisu numerus intermedius: et vltra eximuis porutrolii scomponitur.igitur nulla ortio e pars aliquotaein Met per consequens ipsa non est commensurabilis alicui proportioni superparticularia consequentia quia alias aliquiaeset pars aliquotavimus vini neparet conclusio. Glaeuo. dices Q ζα νbatio est inefficaximonia concedit*aliqua proportio ex nullis . ortionibus componiturqirodest contraeaque dicta sui capite quarto huius partis. imo xbatib nihil altiadprobatnisi in ex nullis ortionibus ualib' rationalibus componiturque lint partes aliquo te illius:ctim doctamen statu, aliqua Nortio iris rationalis vir pars aliquota duarum mortionareiicitur superparticularimne etsscerunt commensurabis obiectio. Sedibocnon obstat quia nulla ortio supis particularis componitur ex alia superparti lari et una irrationalusicut nec aliq rationalis cooponitur exuna rationali et altera irrationali M quare vi probat mathematbici igitur nulla supparticularis continet alteram suppamcubarem semel aut aliquotieset ampartem aliquotam erus que sit mortio irrationalis: quia tunc comes poneretur ex rationali et irrationali ad uate:
nec aliqua surparticularis continet alteram ses
mel vel aliquoties et alIquot partes erus aliquo tasque lint proportiones irrati Jales quia tui iam illeproportiones irratΙonaim componerent unam rationalium:quia aliase componere narula superparticulari se et rationali Tirrationali et a ille partes aliquore faciant vitam rationalem iri inter terminos illius ortionissurparticulario reperientur aliquot portiones rationales equales ut patet intuenti: quod tamen est falluin curition reperi tur inter primos numeros elicuius Milonis surparticularis,
mexta conclusio Inter rationales.
tantum ortio multiplei commensuratura portioni multiplici. probatur quia proportio multiplex est commensurabilis ortioni multipIiciri patet de quadrupla res ta duple: v inter rationnales nulla non multiplex est comensurabilis alicui xportarei multiplici ut patet ex quarta coclusione igitur propositum. gonsequentia patet ex
tiones multiplices quarum denommgno Iessunt , denumero numeroeum sunt inter se comensurabiles Dancconclustonem ponit TRUDolaus horrensub fornis dicta sed pono eam sub alta forma clarioruGmnes ortiones multiplices ali edentes 1emper secundum dendmmationem prime illarumlitcoenensurabiles:uam si prima illarumsit dupla. secunda immediate sequens sit etiam duplatet sic consequenter tales sunt comensurabiles. Et vipaucis absoluam omnes xportiones quarum quelibet i mediate sequetes sunt eiusdem denominationis cum prima sunt commensurabiles pastet hec conclaristo quoniam omnes talesua se haudentu=aliquid est pars aliquota musae Igitur. Et ad docuidendum dispenatur una series nile rociam incipiendo ab unitatesemper duplancto et una alia semper triplando et alia quadruplam eo et alia quintuplando et sic in infinitum.et tunc dico in omnes a portlon primi ordinis sunt umensurabilas inter sciet quelibet cuilibet alteri illius ordinis:Et sic etiam dicendum est de ortio
Et sicetiam consitues ordines multarum supervi particularium et suprapartientium et&Quct autem iste sunt commensurabiles probatur quoniaque libet illius ordinis est equalis prime aut codiponitur ex aliquotequalibus illi: si ruta conclusi es dempta prima et sexta suntNudois Iaii mencum suis probationibus saltem virtustes probationi et mnamenta sunt ex ipso. uidentur mi ilue probationes ine Faces edtra nis matureni inmincipaliterprobatio secude ter edolaustre et quartem hac suppositione cuiuslibet a por horemtionis multiplicis unitas est minimum extremimmodo illa suppontio falsa est quoniam octo ad quarum estproportio multiplex: tamen neutram extremorum eius est unitas: Sed diceret Ain os laus boren et benein illa suppositio et 1ino sit vectra distribuendo pro singulis generum. est tamcumradistribue do pro seneribus Bargulorumn i
44쪽
tali sensu capiturvi patet intuenti.
m3 contra qr in tali selisu capiendo
ea non cocluditur propositum se asotiam concluditur inde qualibet specie proportionis multipli αcis aliquod intimiduum eiusdem speciei non e cos mensurabile alicui superparticular:- aut supraptientiet et bu pix id potest baberi contra proteruum. FSed diceretnicipolaus * satis ei e das Bere una proportio dupla non es commensurabilis alicui proportioni non multiplici rationali quoniam cus omnes duple sint equales quicquid nonin commensurabile uni certe non est commeo surabile alteri. Et certo credo Q innoc fundatur principaliter deductio illanum conclusiouu aurum fundamenta sumuntur exeuclide septimo et octauo elementortim. Rotumenidest in si aliquid est icominensurabile uni equalium etiam cuilibet erit incommenlarabile: quoniam omni aequalia et equalibus adequare componuntur.
med contra diceret p*oteruus quia
dabiles sunt due proportiones equales et tamen aliquaproportio est pars unitas:et nec illa nec aliquaequalis ei et pars alterius: igitur non est in conueniens aliquas duas proportiones esse equales et aliquissesse partem citius et nee illud nec tatum esse partem alterius: et per consequens pari ratione posset dictu quamuis omnes duplesint equales: aliquid tamen est pars aliquota unius quod non est pars aliquota alterius nec tantum: quemadmodum aliqua proportio es pars alicuuiuspropcutionis dupla:et tamen nec illamec ei eqIrsei pars alterius duple. obatur assumptus de his duabus duplis quarum unaest S.M. q.et altera et assiti Ram illa queest S.ad. componis
tur ex ortione sexqui altera et sex qui tertia que mediant inter sua extrema:illa vero queest duovad virum ex nulla serquialtera aut sexquitertia coponitur: quoniam nullus numerus mellat inter extrema illius. Rec valet dioere et quamuisno mediat numerus mediat tamen unitas cum fractiosne aliqua:et illud sufficit:quoniam unitatis cum dimidio ad unitatem est proportio sexqui alterariQuonia3 Iam tunc haberem. alarum portioranis ferquialtere unitas est alterum extremum ipse negare videtur.Et etiam habito illo:iam des
struitur totusmodus procedenssi et Ibant illas conclussones et etiam minia. ndatur enim probatio illius quinte conclusionis inhoc: * iter nullius proportionis superparticularis primos nudi meros reperitur aliqua νportio rationalis quest pars eius. modo illud est falsum utendo fra
dioeytemesto et interprimos numeros Milounts stiperparticularis non mediat aliquis numerus mediat tamen inter nonprimos:et diceretistemus ui proportio superparticularis inter non primos numeros componitur ex aliquot rationalibus quibus est commensurabilis: et tamen ipsa propcctio inter primos numeros constituta non componiture e talibus.7ssecvalet dicere Q, non est imaginabile*aliqua duo sint equalia: et tamen aliquid sit pars aliquota uniuset nullum tantus sit pars aliquota alterius quoniam diceret.pteruus illud nonesse imaginabilem quantitatibus continuis:sed bene esse imaginabilem ortionibus quoniam impossibilaeudare Das quantitates cotinuas equales:et in aliquid sit pars unius
siue aliquota siuen aet* nullum tantu3 sit pars
alterius:et tamen illaudatur in proportionibus Muammenim intelligentiariam ad unam intelli gentiam est proportio dupla que non componis turex sexquialtera et sex qui tertianec cum fractione nec sincet tamen proportio dupla ei equalis in ad duo componitur ex sexquialtera et sexqui tea tiavi patet. Istrictamen tu aduertem nee conctu Aduertesiones cum demonstrationibus suis dependet ex octa propositione octaui et cmentorum euclidis hue dependete uel septimi dii et i S. e Tl.septimi et tertia octaut Et ideo difficilis est monstratio darum conclusionum quia ex multis depcdet Dicit tamen clides in propositione allegata* Ca. S. ele. si inter aliquos numeros non primos alicuius νportioni frepertuntur aliqui numeri tinuo proportionabiles:totide inter primos numeros eiusdem proportionisreperiuntur.Et ideo tu ipse es,
ficatiores demonstrationes Inquire.
Cctaua conclusio. Sa fuerint tres
termin continuo proportionabiles geometrisce erit proportio eviremi ad extremum dupla actvtram intermediam etsi fuerint . tripla L,qο erupta:et sic in infinitum. sempervito minus.nocensi fuerint derem terminino erita ortio decupla extremi ad extremum:sed noncupla. 4moba tur: oniam si sunt tres termini continuo Orationabiles:reperientur ibi due Nortiones equales ex quibus adequale componitiar a portio e tremi adextremum: et si quatuor tres etli quia squatuor et ne consequenter modo omne cor os situm ex duobus equalibus adequareest duplumaa quodlibet illorim te tribus tripluvet sicco sequenter ut patet ex quinta suppositione quarti capitis in tu artis:igitur coclusio vera: Ethee est decima diminitio quinti elementorum inclidis ela. I.ele et quinta diffinitio secundi elementorum icinam iotaetale. Et aduerte quotienscunae allego euclide:scin Re hoc pervio noua traductione. Earipol ei 3amu ptereas.
tionalis dabet sub pram rationalem.nin dabeat numerumedida portionabilem inter sua extrema:ein non abet talem numerumnon abet Ribquadruplam proportionem rationalem nec sub
ruplammec Ribsevdecuplam: et sic in infinitum procedendo per numeros pariter pares. 'probatur primapars huius conclusionis:quia lino deo tur oppositum uidelicet in aliqua proportio haobeat subduplamrationale3 que non habet numerum medium a portiona bilem inter sua extrema: et sit illa a.et arguo sic a proportio habeta porcltionem subduplam rationalemque sit f. gratia exempli:igitur a proportio componitur ex duplici stadequale et per conseques una illaru3 Lerit maioris tremi ipsius Malaliquem numerum inter medium: et altera eiusdemnumeri termedii actaliud extremum mulus eiusdem a. a portionis: et per consequens ille numerus intermedius erit medio loco proportionabilis vi patet ex diffiniti numeri medio loco proportionabilis quodest oppostrum daturam probatur secunda pars: os niamst inter terminos date Nortionis rationalis non fuerit numerus qui fit medium proportionale:iam ibi non reperiuntur quin numeri cotidinuo proportionabiles geometrice: et si non sunt ibi quia numericotinuo proportionabiles geometrice:iamextremad extremiamnonerit amoretio quadrupla adyliquam propationem rarios
45쪽
nalem interinediam:et per consequens iam uobet subquadruplam rationalenti Patetl eccon sequentia quia ex Nposito sequitur oppositim vi
Patet et decima distinxtione quinta elementorum evelidis. Iamprobo P.lorem consequentia inviueeliret innuater terminosoate propectionis iion
tu numerus qui sit medium propo tionabile: non reperiuntur bubi uineri cotinuo proportionabiles Que probatur sic: grex opposito conse quentis sequitur oppositum a recedentis: qa si sui ibi quinae numeri continuo Nortionabibes iam ibi tertius numerus est medio loco ortionabi sitsiqui a prim ad ipsum est ea proportioque e Psius ad quintum ut constat:quia exequalibus cos ponuntur ille ortiones a quate.Et iuprobavis alias partes.ς Ex Vacco iusso sequitur. eorram. si inter mimos alicuius prc portionis merit numerus qui stimedium proportionabile ipsa Mbet subduplam rationalem et si ipsius numeri me stuproportio ad alitiae tremu3mulus date prooportionis haberit numeram quant medium prosportionabile:tunc tota proportio habet subqua amplam rationalem: et si item iurus numeri medii proportio ad minus extremum date Horti manabuerit numeram quissi medium isortio,
nabileuam data proportio habebit subocruptas rationalem et sic in infitiarum' a tet doccorrelariumex coinclusione et eius ibatione: auvillantis bus corre aras sex te conclunonis secudi capitis
metima conclusio notanda. Propo
sita quavis proportione rationali andabeat subduplam rationalem investigare ut proposita dupla aut tripla volo inestigare et seire ex predictis an dabeat sit lupla rationalem. Sit proposita proportio rationalis Linter numeru maiorem et dinumerum minore .etuoἰo uiuestigare virum Lisortio habeat subdupla rationalem:tunc duo cam maiorem numerum in minorem Voc est multiplicabo αper baet si numerus index niens streurit quadratusidico et dabet subduplam rationalem minusnon abet subduplam rationalem obatur pruna parsuidelicet linumerusqui lex ductu ipssus a .in b. sit quadratus: tunc da bet subduplam rationalem.quia ii talis rivmer' est quadratus:tunc inter a.et bast medius nume rus proportionabius ut patet ex quarto correlario sextae e cIusionis secundi capitis durus paro
tisaeis sit numerus misit medium ortionabila inter a et b.sequitur* illa proportio habet subduplam rationalem staret consequentia coria retario precedentis. Sam probRtur secunda pars quia si numerus quint ex ductu rum tan sit quadratus:iam inter a.etb.nonest numerus qui emedio locoproportionabilis ut patet ex secundo correlario sextaeconclusionis secundi capitis huius: etsi non est numerus qui inmedio loco proportionabilis inter λει b.iam illa non dabeti ubdupla 3 rati, malamutpatet conclussone nona hutas. c. min. 'Patet igiturconclusio. Ex hac sequitur dus Hanon a di subduplam rationalem nec tripla nec octaplasenec aliqua superparticularis, prosbatur quoniam ducendo quatuor per truo resul tat numerus octonarras ut non est quadrati ut constat: et ducendo.c. per duo: resultatnumerus duodenarius qui etiam nonin quadratusaei ducendini s. perduo consurgit numerus. z. qui non
est quadratus ut apparet intelligent tem duce
dcii: rduomoducuntur. 7. qui non fiant numeraras quadrarus:etncp;obabis de qualibet ait
portione superparticulari. Sequitur secundo et .cciris, propolita qua volueris Mortione ratiotialui uel ligare poterimus utrum habeat subquadimoplam rationale sub lupi sub sexdecuplani et lic ui infitiuum procedendo per numeros pariter pares. ut propoilua propocttolle sexdecupis: vovio iiive Iugare: utrum babeat subquadruplam rationa lana sub inpias subsexdecuplam et licui inlunium.Ad quod inuestigandum iliae sciendum sntf. ortio inter a malevem numerum et dimisnorem tunc aut inter a.et b.est numerus qui sit mearum Nortionabile aut notia sino: iam sequunt Q non pabet subquadruplam rationale nec subia tu plam etc. vi patet ex nona concluusione: si sic
signetur ille et illi .et tunc videndum est an mi erus qui filex ductu tam b. sit quadratusaei sinc iatalis iportio Lque est uiter Met ditabet subquauer Iam: si vero talis numerus non sit quadra dico ιν talis proportio non dabet iubquadrupla rationalem. imum Istorum probatur. quia iitalis numerus qui fit ex ouctud in disti quadractus:iam inter et dici numerus medio loco pro αportionabilisquisitiunt patet quarto correlario paeallegato laxae conclusionisi undi capitis huius et ex consequenti iam mortio h. ad dique
eit subdupla ad Hortionem f.habet subduplam
proportionem rationalemvt patet ex correlatio none conclusionis:et si dabet subduplam iam proportio Lhabet subquadruplam: quia omne subscuplum in Guest subquadruplum dupli vi patet ex secundocorrectario quarte conclusionis qroti capitis uisqvoderat ostendendum. Iamproharur secundum: tali numeras qui fit ex Ducitan. in b.non sit quadratus iam proportioque est i ter haet binondabet numersi medio loco .pportionabilem ut patet secundo correlario sex teco clusionis mea Maw:etist non ζ et medui numersipportionabilem in non habet subdupia rationalem:et siceius medietas non est proportio Davilis eteius medietas est subquadrisbum a portion Lqueesta.mb.vt costat:lgitur pariγortio subquadrupla ad cnon est rationalis quod fuit oste dendum.Elie particulecorrelarii similem demonstrationem fortunatur. Si en 3 non inueniatur rationalis subquadrupla: nec suboempla ronalem inuentes Stuero subquadrepta reperta fuerit rationalis:considera an ex ductu unius extremita4
is subquad pii in alterum resultat numeraquadratusaei si sic concludas datam Mortionem habere subocmplam rationale:quia sua quarta habet subduplam rationalenti minus concludas eam non daberetalem sub ruptam rationalem. 3. corre . Et sic in aliis operaberis. k-uitur tertio*ssmata quavis Mortione rationali:inuestigare et stire poterimus an habeat se qui alteram ratio, nai sese quiquartavloquioctauam=sexquisexdecima sexqu trigesima secundam sexqui trigesima quarta sicut infiniimet edendo per species a portionis superpanicularis denominatas apribus aliquotis que partes aliquoreanueris p rite paribus tominantu ut osita a ortione quadrupla: volo uiuestigareet scire an ipa habeat sexquialteram rationalem:tuc videbo an babeat medietatem rational perdoctrinam decime conclusionis duiusaei tunc si dabeat medieta. tem rationalem:manifestumestet, habet sex qui alteram rationalem: quia non oportet ad Pandam sexquialteram ipsius quadrupla a tua quam adsuere ipsi quadristes medieta puta duplae
46쪽
quia aggregatum ex abiquo et medietatae e sexquialterum ad illud vi constat ex et affinitio est quialterint isto modo Inuenitur ocruplam re sexquialteram ad quadria pini Si rero inuectigare et scire velis an qdrupla Dabeat sexquiquartam Riasprimo se doctrinam secundi correlaru:anipsa proportio quadrepta babeat subquadrupla3
rationalent:et si sic concludas in habe. sexqui Q tam rationalem:quoniam reperta quarta ipsius
quadruple ad dandam sexqui quartam ad ipsam quadriapi amni dii aliud oportet qua3 addere ipsi quadrupla suam quartam et timc aggregatus ipsa quadruplaet sua quarta rationali se habet ast ipsa3 quadruplam in proportire se ui quarta. Continet enim illud aggregatum ipsam quas struplamet unam quartam eius a quate.Et isto modo inuenimr trigecuplam secudam esse sexquiquartam ad sexdecuplani Et isto modo in qualiubet proportione rationali luestigare poteris: anna at se equi lauam sevquiser decimam et sic consequererrationalesint sic patet correlarium quo sequitur quarto in si aliqua *portiora. eo, hi tron/iis noli habet subduplam rationalem:ipsa non abellaequialteram rationale ecfemulqria:nec sexqui lauam:nec aemul sexdecimam:et Reconsequenter 'Probatur quiali talis xportl non dabeat subduplam rationale3:sequitur K Iodabet numerum qui sit meauam ortionale iter sua extrema:et si Glm numerume diu et sequie uinon nabet subquadruplaminec suboetupla nec subiraecupiam rationalem et ac in infinitu ascendendo per numero' pariter pares vi pateteenona conclusione duius:etsi non habet subu plai nec subquaamplam: nec suboci tam raditionalesret sic consequenter: iam manifestum estu non babet setquialteram rationalem: nec sexvi quiquartamrnec sexquioctauam:et sic sine fine vi patet ed probatione precedentiscorrelarii. Et sic si data proportio rationalis no habet subdupla rationat emtipsa non habet sexquialteram rationalem: nec sexquiquarta3sita sexquIoctaua et stis fuit probandui Et sic patet coerelarium. Seo e qui iur quinto in si aliqua proportioa posita non' ' habuerit subduplam rationalem: ipsa non habebit duplam sexquialteram rationalem nec o Iaser quiquartam nec suprapartiente quartas nec aliquam suprapartientem denominatam ab unitate et partibus aliquotis denominatis a Numesro pariterpari nec aliquam multipliω superparticularem aut multiplice suprapartientem denominata numero et a parte vel partibus aliquostisque nominantur a mimeris pariter par ' patet doc correlarium facite: quia si data. ortio non babuerit subduplam rationalem:iam ubdiabet illas partes aliquotas rationales Pen minatas a numeris pariterparibus: vipatet ex quarto correlario: et sinon habetinas partes aliquotas que simia portiones rationales: iamnon habet illas proportiones rationales denominaα, lasabinis panibus ut constat. Ex quo sequio
σή tu sexto in nec tripla nec pinia it; portione sexquialtera: v quiquartam: sexqui lauam: dupla luprampartiente quartas rationalem: et sic de multis aliis. Patet quia neutra illarum babet subduplam rationalem ut patet exprimo correlario:iginar neutra inartim babet sexquialtera seequiquartam etc ut patet ex imediate precedenuru Fnferas nitimida cor maria particularia ex
Undecima conclusio. Tulla p*opopi
tio ronalis sedabeti aliqua proporti multiplici ad aliquam rationalem nisi inter prini oz nue roselus reperiantur tot numeri coimuo ortionabiles computatis etiam extremis unopi' ades quate: quotias estnumerus a quo denomiatur data xportio multiple Exemplum.visivella IIJue snigare et scire virum*portio quadrup a se babeat m propcctione dupla ad aliquam xporribiles rationalem considera primum a quo numero denominatur proportio dupin:etiuentes in abinario iuxta doctrinam primicorrelarii secunde suppositionis quam capitis nutus: tunc capras primos numeros eius qui sunt. 4.etii: et videli inuesntas ibi tres numeros continuo Nortionabiles eadem ortione copulatis extremis:etsi sic dicos xportio quadrupla se habet in xportione duupta ad aliqua3 rationalem. Eteni inibi sunt tres numeri continuoa portionabales computatis extremis iam illa bortio quadrupla qtaeest extreumi ad extremum est dupla adetrj v interdiarum: ut patet ex octaua conclusione: et si velis scire an quadrupla sit tripla ad aliquam*pcctionem rationalem:quia tripla denominatura numero rernaminvideas utriam inter primos numeros mortionis quadruple reperiantur tres nuerivnop pura quamor continuo ortionabiles aliqua portione: et si sic:tunc quadrupla se dabetur prosportione tripla ad a tquam Aortione rationale puta ad dualibet i Ilarum constitutarum inter aliquos ex illis numeris continuo Hortionabiti et i mediatis:et quia ranon inuenies inter primos numerosvpoptionis quadruple quatuor num
ros continuo ortionabiles computatis extreuinis:concludas cy quadrupla no habet subtripla rationalem. aprobatur' conclusio.qrsidata. pportio rationalis quesita. se abeat in aliqua, portione multiplici ad aliquam proportioney rationalem questib.sequinar a.aliquoties comisnetb.ad quate et sic dierit pars abiquota ipsius a de Hominata an mero a quo denominaturproportio multiplex in qua λsed et ad b t puta Ra.se babet ad B:in proportionequadrupla erit divna quarta ipstus Met sic erit tapars aliquota denominata a numero quatemario a quo denomia natur Ppoetio illa multiplex puta quadruplam qua αse habet ad b:et si sic iam ne eestu, dire pertatur inter aliquos numeros ipsius inloties quoties innumerus a quo denominatur tal Is να portio multiplec in qua λχ habet ad baet si sic iainter terminos ipsius a.computatis extremis res Perrentur totitueri quotus est ille numerus aquo nominatur data Dortio multiplex in qua a.sedabet ad D.uno plus:quoniam ser er termini ni numeri continuo ortionabiles sunt uno plures proportionibus inter ipsos ad limentisvi prier octaua conclusione duius:et ex conseque tisi nSfiterint reperti tot numeri continuo Mortionabiles inter aliquosnumeros ipsiuspropcationis a. quotus est numerus a quo denominatur proportio multiplet in qua ponitur inse habere adb diu eo in tuc b.nonesta ortio rationalis neca, se habet in tali ortione multiplici ad aliquam prosportionem rationalem obatur necconsequeutra quia si se haberet ad b.proportiorari rationalem in tali ortione multiplici: iam aliquoties componeretur ex ipsadi ortione rationali et pconsequens aliquoties reperiretur b.internum roseius puta totae quom cnumerus a quo Pa
47쪽
ter terminos eius computatis extr&nis reperiretitur tot numeri continuo νportionabilas quotiis est mimerus a quo denominatur dicta proportio multiplec:puta quoties a. cotlnetbreno plus. gitur et opposito:si non reperiantur tot immericos
putatis extremis lam a.non se l)abet in tali ornota multiplici ἀdb Pportionem rationalem. citrum aute inter aliquos numeros Dat expo*tionis a. periantur tM numeri contimio Noriationabiles computatis eviremis o plus quot' est numerus a quo denominatur proportio inviti pilae in qua ponitur ruis dabere ad b. uidendu est utrum inter primos numeros eius inuentans tot immeri continuo proportionabiles :et si sic concludas in internumeros ostiis a. reperiuntur tot numeri continuo Homonabiles: et si non inmentantur tot uire primos numeros date Nortionis: tucas et inter nullos numeros eius riberiunt tot numera cominuo Nortinoabiles computatis extremis. patet hecconsequentia et deductio totaee octauaxpositione octaui elementorum ructio dis in qua nabetur si inter duos numeros cecio clerint aliqui numeri continuo Nortionabiles:
inter quoscump duos ii eadem ortione se a bentes cadent tot numeri continuo xportionabiles eadem Nortione qua yportionatatur a III. ecqua immediate infertur u il inter duos numeros se habentes in Nortio a.cecidς rint aliqui numeαri continuo ortionabiles ortio e que est una
tertia: aut aquarta: tuna quinta: Osa inter primos numeros ipsius rutot numeri eadetpportionabiles ea 3xportione que sit terna aut quarta:autquinta ipsius Ragitur ex opposito G sequentis stinter primos numeros a proportionnis non reperiantur aliqui numeri continuo proportionabiles Mortioneque est una tertia: una quarta quinta:ipsius a et nec inter aliquosnsteros iplius reperientur: quod fuit ostendendum: u correl. Et sic patetconclusso. Ex quo sequitur priminil mortio dupla ad nubtiam Aortionem rationantem sedabet in Hortione dupla: aut tripla. aut quadrii piaraut in aliqua alia mittiplicis equintuplaλnec sextupla etc. v Nobatur quia interp*lomos numeros Hortionis dupla nullus numerus
reperitur computamus enim unitatem pro numero, Item inter primos numeros proportionis quintuple qui sunt. 3.et. i. non reperuantur aliqui numeri continuo ortionabilia adequare comet eo hae putaria extremis utconstat. Et sic patet etiam de ' Rxtupta. patet igitur correlarium. Sequitur Rondoc nulla Nortio superparticularisse habet in aliqua νportione multiplici ad aliqua portionem rationalenti 'Patet quia inter ciri unii bet superparticularis primos terminos null'res perinirnumerus:igitur. Sequitur tertioq)propolita quavis proportione rationaliamrestigare possumus an dabeat aliquam ortionem rationalemque sedabeat ad ipsam in xportione sex altera:Iexquitertia: sex quiquarta etc. utpposita xpomone dupla:videre an sit aliqua ortiora tionalisque se habeat ad ipsam duplam in prosportione se equialtera se ultertia aut inali qua alta superparticulari. Ad quod inuestigandu3et sciendum videndum est an interprimos numeros ortiouis duole aut cuiusuis alteruis rationastis sint tres mimeri continuo Ortionabiles cos putatis extremis:et ii sic:talis Morrio habet medietatem rationalam:et pG consequens se equini
teram rationalem ad ipsam. Udcleii doenie inin scietatem sui coiis itaretur sexqiualtera rationalis ad ipsa Et si inter primos numeros eius cotia putatis ectremis inuenianturqtiatum numeri continuo ortionabiles:ipsa habebit tertiam rationalem et per conseqtiei s sexquitertiam rationa olem ad seipsam:et lx reperiuntur. S.I umeri contια nuo Ortionabilescomputaris extremi sipa habebit quartam rationalem:et per consequens sex quiquartam rationalem et sicconsequenter
sic patet co retarium FSequitur quartour Osita quavis Nortione rationalianquirere ri scis si cor re poteriimis an habeat aliquam suprapartienstei multiplicem superparticula 3λ vel multiplicem suprapartienteni rationales vlxposIta proportione oci latuestigare poterimus et scire ex dictis an dabeat suprabipartientem tertias pra partientem quartas rationales etc. Ea quod sciendum et in iligandum: considerandum e andata proportio rationalis dabeat illam partem aliquotam rationalem: γα est an aliqua propo tro rationalis sti tota pars aliquota euis quota est illa a qua denominaturdictaproportio lupastpartiens, ant multiplex superparticularis aut multiplex suprapartiens:quod inuestigari et sciri debet ex decima conclusione: et sis repperias inuabet proportionem aliquam rationalem que laxtalis pars aliquota eius:tunc manifestuin e inhabet proportionem rationalem que denominatura tali parte aliquot ave talibus partibus aliquotis quod dicoxpter suprapartientes si vero no: tunc manifestum est illam propontonem rationalem propolitam non habere proportionem rationalem denominatam a tali parte aliquota vel talibus partibus. - Mobatur hoc demonstratione particularique equiralebit uniuersali.nata xportione sex cista volo inuestigareet scire an habeat proportionem supratripartientem quam ras ad quod inuestigandum consideraboex doc trina undecime conclusionis an talis Nortio lex decupla habeat subquadruplam rationalin quesit aquarta eiusaei inuento u sic co in interrerminos eius computatis extremis iiiveniuntur imp numeri continuo vortionabiles xportione dupla:ali mea abo constanter illam preportionem habere proportionem rationalem supertris partaentem quartas .et multiplicem se quiquarutam et multiplicem supratri partientem quartas rationales.Huod sic nonstratumam si supra illam proportionem sex cupiam que est. lG. assis. addantur tresproportiones dupla: tunc aggre, Gaium ex sexdecupla et illis tribus duplis viradditis qualis inproportio. izS. ad.s.sedabebit ad proportionem sexdecuplam in proportice si rastri partiente quartas. Continet euim sexdecia aptam et tres quartas eius.Item triplando iliani proportionem sexdecuplam et addendo unam sui quartam dabebis ortionem triplam sexquiqrtam ad seMecuplam:et addendoeiduasquartas babebis triplam se qui alteram: et addendo sua illam triplatam. quartas habebis triplam iuia pratripartientem quartas rationalem ad sex de cupianti nia ista patet ex diffinitionibus suis
prapartietis ultiplicis superparticularis aut mutiplicis suprapartientis.hoc addito u cunisbet proportioni rationali addi potestqueuis alia rationalis aggregato ex ipsis manente rationali proportion quibuscnrus enim rationalib'
48쪽
nuci. Is reperirent irratroales Norti,s:ut satis collatitelligeti. Et seu pl3 curetariu vis Piscinto FPosita quis xporri rarioalimo orπMilae iuestigare et scire an nabeat xpNtione ronale submultiplicetan aliqua alia rationale minoris ineqι tat C:vipposita .pporri dupla luestigare et scitire poteri in 'an diabeat subdiam: subtripla: sub si
erupta rationale. etc.necne: cos fuerando primu ex doctrina undecim lusiois an abeat inedicta tem:tertia:quarta quinia rationales: et coperiens tesu no: dic Sipsam nona re subtriptam: subquadrupia .etc. rat Ionales. Eleadem ratione
dicem 'ipsam no habere subseritertia rationalcam nodab et ortione copostia ex tribus quartis eius rationalibus nec subseequialtera rarionale: mno babet ortione compositaex duabus terstiis eius rationalibus. Et sicut omnibus aliis dices.mmonstratio uuis correlari tinnititur huic basiet fundamento in nun* aliqua Nortio rationaliscoponitur adequale ex una rationali et mairrationalLEpplica tu demonstratione. Isto moedo inquirere debes an habet subsuprapartiente rationale aut submultiplice subsuprapartientem rationale: aut submultiplice subsupparticulare: i ligando et inquirensto ex inclusione decima an latis xportio rationalis xposita i abeat partem aliquota rationale I partes a qua vel a quibus denominatur tacta ortio minoris inequaeritatis:et si sic ascribenda est ei talis a portionalia noris inequalitatis rationalis:sin minus:asserendum est ipsam no habere ta avortione minoris inequalitatis rationale. 'patet gilcoretarium Proseindius em velle illud demonstrare est ipsus tenebris ivoluere. si Sequitur sexto per modum epilopi oimeor que presenticapite digesta sunt: in quavis ortione rationali MitR:scire podi terimus an dabeat aliqua a portione rationalem maioris inequalitatissa seipsam et minoris in qualitatis:et quas dabeat: et quasno . Et hoc cauput diligenterconsidera quonia ex eo pendet se me uniuersalis dui' materiei quisitio: et suprema eius difficultas. Dis addec, doctrina huiuSca pilis habita: xposita aliqua certa velocitate ueniente ab aliqua .pportione rationali notan lex clicare poter te quacii aliavelocitate aqua uis alia ip*tioe meniente mensurabiles lant necne Item Nosita quavP velocitate eniente ab aliquamcutione ratioali nota scire de qua eum alia velocitate date velocitati comensurabili a d*pMiloe .puemdirratioa iurivrirrationalist ex bis scito et sequeti ':particulari'scire poteris ex qua rationaliuel irrationalia ueniat specificcis Capitum septimuin quo agitur de medieret inuentione et propcutione proportiolam
cia de orti a portio inrationalis et irrationalis et duam irrationalita sit
33; ima suppositio Cis numerus ha
bet numeru ad se dupluλ tripla quadrupluse et sic inui finiturascedento per specie siportionis multiplicis. Ista suppositio patet ex sem dato viro numero et imabusunitatibus adequare coponto dabitur unus alter componius quatuor: et ille erit duplus:et alter ex sex: et erit triplus: v alter ex octodiet erit quadrupus: et sic e termino.
Secunda stippositio.Cmnis mime
rus rerum diuisibiliu siue quantitas daret cuius
clim denominationis aliquam partem aliquotauecum fra tione vel sine fractione.Aolo zucere ς' i sua to quocunm numero reru diuisibiliu talis numerus dabeis aetate tertiam quartam quin tam sextam septimam sic In innariis. I robautur: la capto numero duodenario ille habet medietate puta numerum senariu: lpabet numeruquaternariu pro tertia ternariti pro quarta pro quinta vero habet numeria fractione, ad quam fractione inuenienda oportet duodecim per quicudividereri exibit binari cutiua brantis iuriat,
ctrina superinpolita octauo capite e pari, Et ne operu est in cura vis altermino ali ei taee.
Tertia suppositio . Bup; a quecum
numersi rerum diuisibiliu contingit dare immo continente ipsum et medietate: et alium continente Ipsum et unam tertiamet duas tertias: aut stea quartas: et sic deqnibus i altis partibus alis quotis. Datetmii ad dandu numera conturmae ipsumet medietate sufficit addere illi medietatem sui: et ad dandum numerucommente ipsum Pusas tertias sufficit ei addere illas duas tertias: ut patet ex se aspicienti in mimeris. Quomod6 autetates partesi ueniani μα suppostlio declarat
Quarta suppositio. Cuodlibet conta
ti nusi est duplu ad sua medietate' triplu ad tertili: quadruplu ast quarta: sexqui altera ad duas te tias: r sic de qualibet alia specie ortionis.'patet hec suppositio diffinitionibus terminorum.
Quinta suppositio. Omnis ypo; tio
habet medietate: ertiam:quarta:et sic in infimis --obatur dec suppontio M ois quantitas coli. nua: et quodlibet cotinuo sudis iue diminuibile est
huiusmodi et ois portio est quantitas continua aut cotinuo partibiliter diminui bilis et distribuuat ly omnis pro generibus singulorummore masti emat dicorum i igitur p*opositum.
exta suppositio . Mi alie due quao
titates cotinue se nabeant in aliqua proportioneratioali uel irratidaludabilis est una tertia a. libet illaru maior que se habeat in ea de orti
ad maiore illac. t αμ. a. Rhabeat in.auqua sportione dabilis est alter numerus puta. S.qui meadem ortione se babeat acta. IR diametera.
se habeat in alma Mortione ad costa didabilia est una alia qualitas putata que set abet in ead
a portione Addi Patet nec suppositioex se.
ad illu sicut ipse selm ad minoreut pnex ma suppositioe et tue illi ad minimuerit,portio plaad Hortione medii adminimu: qm illacopome ex dua eqlib'illi: et si addas qrt'nsier' sei s in
eadea portione ad tertium qua tertius se habet ad securasi: sicut potestrari exprima supposurde: a a portio illitis ad mini si erat tripla actis o tione stat ad minum: et eupossint Maddi mnnatii mini tinuo orrigabisses illa . oetioe mrtiplici vipnexpinas poe:sequit Q ad illaxporri. edabis xportio dupla tripla AEdrupla, et sic iiiiiii in 'prima ex octaua scrine det capit Si to
49쪽
tur aliquis nutauriscu fractione vel sine babens se meadein proportione ad illud inatus e ciremu: vipatet et tertia suppositione:z tuc illius nume ri ad minimu nitineruerit ortio dupla ad illa3
superpaniculare:qr ibi erudires termini cotinuo opportionabiles. et tis Omodo poteris cδstiue ure. .terminos. I. continuo*portioriabiles:illa
xportione superparticulari data:et sic ut infinituigii dabitur ad eam quastrupla uituplaseserius pla rationatis: et sic in infinit Eteode modo probabis De quocum generexportiona rationalui3 Et sic patet conclusi
Becuda coclusio. Suavis quelibet
: ortio rationalis in qualibet. omone multisplici ab aliqua Iportione rarioati excedaturata quelibet νportio rationalis habeat pixtra planxquadrupla rationales et licini atau: m, chilominus no quelibet ortio ratioalis habet subdupla subtripla subquadrup γ rλtionales. c. runa pars dui'conclusionis paret primi concinone:et secunda satur u a Nortio duo
pia non babet stiba larationat nec subtripi nec subquadruplaeetta vipatet ex doctrina vi eo cime concinnotus premientis coitis:igiturnon quelibet et ortio rationalis dabet subaupia subtripi subqdrupla ratioales. et Pt3igis pclinio
Tertia coclusio. aliqua yyonio raα
rionalis est duplaset ipla et drupla et ite in infinitu alicui opportioni irratio at Lirobatur quia .pportio dupla est igitur Pntecedens ybatur quia Nportio dupla dabet medietate tertiana, arist Aquinta culpatet ex quinta suppontione:et ad tetate suteli pla, et ad tertia3 tripla asscin infinitumpatet quartδ suppou sitione: et necems medietas nec eius tertia et licin infinitu sunt Morriones rationalesulparetex: aliisne precedentis cristonis: igie sunt ortires irratioalesagii ipsa xportio dupla est O , pla tripi quadrupta n Min infinitu alicut proportioni irrationaliquod fuit probandum.
Quarta coclusio .Quelibet Ipo;tio
rationalis est comensurabilis alicui proportioni irrationat probatur ecconclutio viri nulla portio ratioalis dabetq libet sui parte aliquo tam rationale Nortione: igiturque libet est commensurabilis alicui rationali. patetcosequerta suppostia costantia:qm quelibet qualibet aliquotam habe9ut ly qualibet distribuat progenerib singulore et no qualibet habet rationale Nportiuo agitur aliquam dabetque est irrationalis portio: et illi est comensurabilisut patet ex quarta suppo&l erigitur Nontu. 'probas antecedes qm Intern ulli' ectionis terminos inueni utur tot numeri connuopportionabiles quot possunt signariparaeaaliquore: igitur aliqua pars alis quota erit a portio irratio*bis: Et licpt, clusio:
irrationalis est subdupla/aut subtriplari sic consequerer ad aliqua irrationalesino multe irratisonales sunt subduple aut subtriple. Gadrariosnales. Probatur Oc clusio facite: qm medietas duplae qui iamplis triple ocrupte.etiano est subdu pla ad aliqua irrationale: et inest irrationalis ut satis patet ex decima 'clust ecu suo primo coraretario precedentis capitis igitur conclusio vera.
Bexta conclusio. gruelibet spo*tio
in qiualibet proportione ratiotiali ab aliqua proportione rationali vel irraticiali ecceditur. pilos baturi ecconclusio quonia data quacium proportione ad illam potest dari dupla tripla quadruplin' siccosequeruei procede iidoper oes speciesyportionis multiplicis quonia possunt dari tres termini continuo ortionabileo tali ortione Pata:et quatuor et quinino se et sic consequetervi docet sexta supposuio: et etiam data quacuat dabitur una que contineat ipsam et medietate cinet alia quecontinet ipsam et una tertia eiusγ et vim quartanυet Rc in xnfinitu3. Item dabitur una que cotinet ipsam et ouas tertias eum vel tres quartatas: et licui infinitum secundu omne speciem pὶ poptionis rationalis tam simplicis quam coposita: et quebibet talis proportio erit rationalis vel irrationalis vi patet expcimo capite prime paroris:igitur quelibet proportio inquaudet proportione rationali ab aliqua proportione rationali vel irrationalie editur. atet igitur conclusio.
Beptima coclusio. Suelibet opoτα
tio in qualibet proportione rationali aliqua raurionalemvel irratroalem excedita aprobatur qm quelibetproporti potest diuidi in duas equales
et sic in infimis ut patet ex quinta suppositione tibi medietate in proportione duplaei itiet teristiam tripla:et quartia in rupta: et sic in infinituvi patet exprima suppositione:et duas tertias in sexquialtera: v tres quarta si sexquitertia: et tres quintas in suprabipartiente tertias:et sic in uirinitum discurrendo per singulas spectes propor non' rationalium: igiturque lubet proportio in qualibet proportione rationali aliquam ratio inalem vel irrationalem adit.
ad generandas aute p*opo;tiones
irrationales inter terminos proportionis rationalis mediantes sit.
Sciaua coclusio que vocas coclusio
medieret inuentionis.Sidatis duabus rectis Ituneis proportionabilibus proportione rationali vel irrationabim directum protractis conluctisatae ligatis: scribatur semicirculus et a comunt
medio siue puncto in quo iuntureleuetur linea directe ori Nonaliter ad per Veriamuscpsemicirculi ta Iis linea scom connua portionalitate inter datas lineas mediabi inui coclusionis sensus talis est.Sivelis inter duas lineas orti odobiles .pportione dupla aut qua iam atra tuenire unaque se habeat in eademportione ad minore ui qua se habet maior ad ipsam: iuge illas duas lineas et sup illas describas semicirculu: et a puctoinquo iugulifille duelli emas dimie et ortho sonaliter a alia lineasse ad circularentiaciusculi:et illa est lineaqqueris: et a portio maioris lis nee ad illa naediaest medietas amornoisqestiter illa linea maiore et minima scouincias. E mptu
huius conclusionis patet in dac fisura.
50쪽
33r ar Ista conclusio ut dicit thonios branardin' in suae uvis. geoineti Iam cap nilo de proportionalitate conuclusione quarta liniga et proum e erit Demostra tioiaem.,deo sufficiat aa eammollinis auctoritas Eu. c.eae serio elementis propositione decimatertia
portione subdupljduple aut aliaui ' alterius counituantur diae linee se pabentes ina portione i lacui' medietas querituriet inueniatur media linea inter eas per artem precedentis coclusionis:et tecmaioris unce ad illam mediaet etiam illius medie ad minima erit proportioque est media siue me dietas talis propcutionis.Et si velis iuenire sub squadrupla proportion uenias linea meaia inter secunda et una aliam inter secunda et terurian et tunc quelibet illam intermediar u erit subquadrupla:qr erutibu3. termini contiuuo ozrationabile Igitur proportioeetremi ad mar iaest quadrupla ad qualibet intermediam. Et si vis iuenire suboctupta postquai uenisti subqdruplam inter quaslibet duas luteast mediate se dabentes eleua vivi.Et si vis iue iure subsexdecupla postquai uenisti sub tupla iter quaslibet duas et a vita artificio precedentis coclusionis et sic in infinitum duplicando. st ecconclutio patet ex priori patro cinio octa conclusionis precedentis capitis.
Decima coclusio. Quauis facile sit
cuilibet Dporti otii iuenire subdiflald subquadrus plani sub tupta subseddecuplia, et sic in innitituas iacendo per numeros paruer pares: difficile tamen est subtrudit subquintupla sub sextuplam et sic in infinitu per numeros impares vel impariter pares ascendendo tuenire. palma pars patet priori conclusione:et secuda est lch i experimeto coperta: quavis nicbola'horen in suo tractatuxportionu capite quarto velit dare modum per artem medie rei inuentionis adiu intendam pro portionem et subduplam/ subtriplam,et subsex cui alteram.' Sed saluo meliori indicio et aucto Montra ritate tam circvaspecti viri stananter in mathes poten: mathicis scietus, videtur mic tu per arte medieret tuentionis no possunt i ueniri quatuor linere cotinuo proportionabiliter se habentes. Quod sic ostencto: Quia captis duabus lineis se Vabentib' m*portione dupla adi venienda quatuor lineas c5tinuo a ppationabiles oportet inter tuas duas iuenire alias duas cotinuo a portionabiles inter se et cu eviremis ut ipsemet fatetur sed hoc no pdisseri per medie rei tuentione igitur. Er illor pa obatur qr vel prima illaru tuaru linearu que inuenie interillas duas a uenitur per illa artu ino. si non
habeo xpositu in oportet dare allia arte:si sic rucinani su est * illa erit medio loco a portionabilis inter lineas se habentes in xportione dupla: et percosequens maicuis linee ad ipsam et etiam ipsius adminii aderit proportio quees medietas
duple: z tuc euero de tuentione secude linee inter medie:qr vel ille ruenietur per iartem medie rei mouentionis vel no:si no habeo. ositusi sic quero vel illa debet rueniri per illam artem inter illam mediam lineam et vltimam:vel inter prima et illa mediam: sed neutru istorum est dicendum igitur. Probatur minor:quomasi inueniatur inter meuciam et vltimam: iam ille quatuor linee no erunt continuo proportionabiles quonrippinae ad seocundam erit medietas duple: et secunde ad tertia
et etiam terne ad quartanierit subquadrupla du
ple:quia erit medietas medietatis duple:ut patetetnosia conclusione huius:si vero ii luatur inter primam et mediam i sequitur. Ex quo sequis Comettur horen non tradidisse doctrinam aut irae menseani proportione compositam ex duabus tertiis pἰ oportiois ple puta subsequialternae duplli probatur quia ut sonant verba eius videtur in nuere illas lineas iue mendas et e per arte melle rei tuentionis quost stare no potest ut probatu est Et si beeno fuit intentio et mens venerabilis ma gistri.ΤRicholaii oren detur imbecillitati et paria uitati ingenioli mel venta. Eligaragitur unusci
q3 quod vult es me magis studiosum qua maliu lum probet. Capitulum octauu in quo agitur decres
te se offert diminutio proportionis exaugmento restistentie: t virtutis decremento et etiam auginentatio pro mens ex decremento rei iste tie aut virtutis augmento.Ideo oper rectum est indui' secunde pal tisca ce aliqui Ide augmento et decremento .pportloam adiicere.
ue Zugmentare abi aproportionccdtingit mutatapliciter:autem maiori numero aliquid additur
minore mariato:atit decrescente: aut minor Ialis quid demitur maiore no variato aut crescete. aut utro crescente velocius tamen*poarieabiliter crescente maiore nu minore.Eut vir caediminusto velocius tame *portionabiliter diminuto mistiore qua malore. zobarm capta proportione dupla que est.S.ad. coringit ea augeri u crementu ipso S.ipsis. 4.luariatis vel decrescctibus .vin. s:acquirat unitate ipsi s . ruariaris: manebit .pportio maior dupla:noue ad.q.q est dupla se
quiquarta:llo do. S.ac rutvmtat g. Peperautumiate:etia manebitproportio matoe dupla puta tripla.yte ii quiesceti . s. derdant binariu augmentabit a portio ut costariet stetia lucis aliquid acquirat:eria avgmetabitur.pportio.Si vero. S acquirat quaternartu num puta. oristione sex alterviet qternam' numer' a ratunitate puta a portione sexquiquaris: Mortio efflucietur maior:Efficietem dupla supra bipartiens quitas Si aut. S:derdant duo et . sita duo augiameiabis etia A portio: qr maiore vortione de clit numen' mior quamator.Et sic p suppositio.
portione est adaere ornonia portione reteris Parist': ut augere duplaes ei addere aliqua a Moptioncreteris abus manentibus paribus.
re quo sequis tertia suppositio opoα
sita una ortione qua uis et duab' aliis minori bus: iuestigare vim illa maior ex illis duab' mi dinori adeqte ponis:vixposita a portice dupla et sera altera et seratertia minorim videre virum dupla ex sev qaltera et sexdtertia adeute coponata probarsit a.xpcetrio maior brac:miores: 2 volo videre utris adeqte ponas a. b. et cTd sto videsdu:adduc ipsi b. et sit Hortio posita ex b. etc. ade te est e lis ipsi a.ex tuis adeute coponitur a. sin minus:no ex his ademate componitur: sed duabus maioribus aut duabus mino Ibus.