장음표시 사용
281쪽
erit uams, e quo apparet, speciem v exprimere spatium quod tempore aequabiliter conficitur. Et si liberum est, per speciem h repraesentare quamcumque definitam temporis partem tamen commodum erit, eam aequare uni minuto secundo , in qua suppositione habenda est velocitas tamquam spatium uno minuto secundo aequabiliter confectum . His praemissis, in quocumque motu spatio lum Hs conficiatur tempusculo it valebit proportio i; ergo prima formula adhibenda ad proprietates motus detegenda S.
Le motus accelerati docet, potentiam in spatio lum proportionalem esse massae in velocitatem ejusque incrementum , hoc est vocata potentia , massa, , eritis do quemadmodum udu. Ut aequalitatem statuamus, multiplicenmus p dis per λ , ut fiat u , . Specie .permensuras certas est definienda. Pro u substituatur ejus valor
doquidem, constans sit oportet, quicumque sit valor quantitatum net, ponamus utramque constantem inte-gssemus p hu, ω iterum substituendo valorem ι, habebimus seu λ pid - ἐ'ds, iterum
integrando Si fiat eritis spatium illud, per quod potentia constans p tempore promovet massam , quod spatium deinceps vocabimus Igitur Statuamus p esse pondus corporis terrestris in data regione, cui massa est proportionalisci igitur scilicet . aequabit duplum spatii , quod te napore fi motu accelerato conficitur a corpore terrestri. Quod si si minutum secundum , spatium hoc aequabit proXime pedes rhenanos 13. 623 seu parisienses 3. o 95. Potentias vero quaslibet designabimus per pondera terrestrium corporum , Cum quibus directe aequilibrium faciunt massas vero per pondera terrestrium corporum , in quibus eadem est materiae quantitas. His omnibus constitutis formulae in quolibet motu usurpandae sunt hujusmodi pd mldu, Op s
282쪽
14 OpUSCULA. mu u. Elementum dis umendum est positive in motu accelerato, negative in retardato. In his formulis u est spatium quod tempore Laequabiliter conficeretur , si omnis acceleratio aut retardatio cessare , est pondus corporis terrestris aequantis potentiam pondus corporis terrestiis Continentis eamdem quantitatem materiae, quae in corpore moto ε spatium, per quod pondus p,aut quodlibet aliud suam massam transferret tempore h. Redactis ita quantitatibus omnibus ad mensuras cognitas , rem aggredior, ac primum ago de hypothesii, in qua potentiae attrahentes, aut repellentes sint in ratione simplici dii antiarum a centroci quae hypothesis utilitates, ni plicitate , atque elegantia ceteras antecellit. Uppon , potentiam attrahentem aut repellentem in data distanti aequare datum pondus Sit primum centrum in A Fig. a. quod versus S moveatur aequabiliter velocitate COrpus distet a centro A intervallo praeditum sit Velocitate i , quae conspiret cum centri velocitate . a χ- 1itur, quinam futurus sit motus corporis a Centro attracti Interim dum centrum A fertur ab A in corpus motu accelerato percurrat spatium ejus velocitasta u. Accipiantur elementa Ss, XX, quae eodem tempusculo a centro corpore conficiantur . Ocentur A Sta s, Distantia S corporis a centro erit Quoniam potentiae sunt ut distantiae, erit
corpus in puncto X. Itaque resultat sequatio ' l. e -- - . dx udu. Quando velocitates sunt ut pistiola eodem tempore peracta erit Q C: Hae dis ergo acceptis
differentiis in suppositione d constantis, erAo
Corpori a centro, differentiando di, is in eadem suppositione dis conitansis driferentiando iterum s dae,m d dab. Quare factis substitutionibus prodibit aequatio, s-
283쪽
Op Us CUI P. I I ddet. Hanc aequationem per duplicem methodum ad integrationem perducam Sed claritatis causa praestat dividere hypotheses, facilioribus progredi ad dissiciliores. Prirna hypothesis supponit tam e - , quam Prior methodus praebet inventae aequationis Completam integrationem hoc modo et, M. Cc.s- B. SC. s. Duae quantitates sunt determinandae. Si Unde C. imo, Cc. - , debet tama , quam o, quia in hoc casu in eodem puncto reperiuntur initio corpus centrum ergo et ergo A i igitur formula integrationis erit ira Ut determinata A determinetur item sumptis minimis evanescentibus , quum velocitas corporis sit nuda , seu potius nascens velocitas centri finita erit x sin mino
aequalitatis ergo sed etiam ergo aequatio fiet B ergo Igitur aequatio in hoc casu rite integrata suffciet et, s. Ad methodum alteram multiplicetur inventa aequatio per det, ut evadat d zds' - - d Eddi. Fiat integratio adjecta constante, 'ds i Ads' ,' dZR atqui posita et retri, debet esse et ijds ergo A mis' ergo vera formula integrationis ' do', 'ds et , sive dis Pars prima hujus aequationis exhibet arcum circularem, cujus radius - , sinus igitur et ira Est autem arcus constans additus in integratione , qui definiendus est per hoc , quod facta debeat esse et, ergo Sc. α , igitur integratio habebitur, HS c. ,
prorsus ut antea. E inventa aequatione obtinemus SC .s ergo xα - Sc .s, g dx - H d Sc. 22 ds Hinc facile est determinare corporis velocitatem l . Etenim quum sit m C: dx: H, erit , -- α C Ex tribus formulis inventis et ira C. s, Sc.ss
u quarum prima Xhibet distantiam corporis a centro, secunda spatium peractum a corpore, tertia ejus.
284쪽
1 et OPUSCULA.ejusdem velocitatem, praestat determinare sngularum quantitatuna valores , si , hoc est spatium peractum a centro sequet multiplum quadrantis circuli, cujus radius quem quadrantem vocabo , Hoste valores oculis subjiciet tabella sequens
e qua tabella apparet, valores post quatuor terminos eosdem redire . alores x cognoscentur, si e valoribus demantur respondentes valores et . Quoniam ver SC .s debet esse media inter--r, constat magianum Ual O- Iem et esse, minimum , seu maximum negati Vum Et quoniam c. a medius ei inter H r, ac proinde velocitas corporis est media inter , QC manifestum est, maΣimum valorem velocitatis esse a C minimum ero . Haec a constructione lucem accipient, quae ob oculos ponet ea omnia , quae detecta sunt ab analysi. Sumpto radio circuli , seu sinu toto i , describatur curva sinuum circularium LN ut Assi diis Fig. r. SE s, . Agatur recta a faciens cum Aci angulum semirectum , quae proinde tanget curvam nauum in puncto . Produc SQ in T; erit TZII s--z I x. Itaque dum centrum motu aequabili fertur per A S, corpus motu accelerat percurret aequalem L. Ut inveniatur
velocitas, sitis Crini, Mnormalis AS, eidemque parallela CO Ad abscissam C describatur non curva cosmuum circularium , sed ejusmodi, cujus ordinatae sint ad C CPr, atque haec erit curva ipsa cosinuum seu sim in se. Perspicuum est, C esse ordinatam curvae describendae, quia qUUm C. O r Ordinata C. Si haec curva V erit O b, sed SD et C ergo S V αα - c. , quae proinde denotat velocitatem corporis in puncto X. Abscindantur Am , MN, P, Q aequales quadranti circuli radii Dum centrum percurrit AN, spatium confectum a corpore est minus eo , quod conficitur a centro,
285쪽
OPUSCULA. 43 sed continue augetur mul cum corporis velocitate ita, ut in puncto N aequalia sint spatia a Corpore, .centro peracta, corporis velocitas aeque duplicem C. Dum centrum percurrit NKL, corporis velocitas retardatur in corpus praecurrit centrum , qui majus est spatium confectum a corpore , quam a Centro. In puncto Utem in Ilaec duo spatia aequalia sunt, corporis velocitas nuda est. Quare sicut in initio corpus quiescens , centrum reperiebantur ii A , ita nunc reperiuntur in Q . Renovatur itaque motus, et Ut antea factus est. Caeteras determinationes figura clarissime ob oculos ponit. Hypothesis altera ponit quidem non autem G hoc est ponit, initio corpus esse in eo puncto ibi est centrum , sed data in eo puncto velocitate donari. Si corpus positum in puncto, ubi est centrum , praeditum esset velocitate aequante duplam Velocitatem centri, res esset in hypothesi superiore penitus absoluta intenim corpus centrum sint in puncto M. Agatur a parallela AT quae proinde faciet angulum semi- rectum cum N S'. Dum centrum sertransit ri', corpus percUrrit lineam aequalem praeditum est velocitate S 'U'. Quare in puncto inaequalia erunt spatia confecta a corpore, centro ergo in uno eodemque puncto reperientur. Quum autem nulla sit in hoc puncto velocitas corporis, hypothesis prima jam absoluta redibit. Verumtamen si velocitas corporis sit major , aut minor quam C, Ondum constat, quinam corporis motus ut Uru sit. Prima methodus integrandi aequationem differentialem
Secunda methodus rite tractata eamdem aequationem
sussiciet. Nam facta multiplicatione per z nascitur dzds'
286쪽
- s. Tacile esset redigere primam aequatio-m partem ad multiplum arcus circularis, cujus radius L TI simus verum ut eumdem retineamus num uotum qui antea , cita formulam distribuamus
di Atqui prima pars aequationis exhibet
elementum arcus circularis, cujus radius zir, sinus .E
ergo integrando Emm s, quia quum et, s debeant simul evanescere, superflua est additio constantisci igitur Determinatio velocitatis eruitur ex formula,
287쪽
Superflutim est adnotare , distantias corporis, centri, ac velocitates corporis Oit quatuor terminos redire easdem Velocitates centrio Corporis stat conspirantes Sit primum distantia et Corporis a centro in secundo termino est positiva, indicans centrum praeire , subsequi corpus in termino quarto est negativa, hoc ei corpus antecedit, sequitur centrum . Distantiae autem semper media erunt inter . - Velocitates, quae se in per inveniuntur positivae mediae sunt inter maximam 2 C is, minimam Q, illantiae corporis a centro ubique nullae sunt, spatia peracta a centro, Corpore aequalia , velocitas corporis semper eadem ii, Quod etiam sine calculo facile Cgnosci potuisset. Si r C, distantiae in secundo ternam e Siligunt negativae , positi Vae
in quarto velocitates autem media erunt inter magin)am minimam a C quae semper sunt positivae C, velocitas i quae est in tertio termino, evadit O.
Demum si velocitas eiusdem termini fit negativa Windicat corpus regredi per spatium aliquod . Velocitates
autem mediae sunt inter maXimam minimam, seu maximam negativam a C - . Si Velocitas corporis 1 contraria velocitati centri , mutat signo speciei , ut e negativa fat positiva , apparebit, di itantiam Corporis .centri in secundo termino esse positi Vana , in quarto negativam , inter quas mediae erunt reliquae Omnes velocitates esse medias inter maXimam a CH minimam , seu maximam ne gativam is Consectaria haec fient per constructionem cla
Constructio ita peragitur . Ad rectam Ara Ap . . de
scribatur non curva sinuum circularium, sed Curva , Cujus ordinatae SV habeant ad sinus circulares ab scili rationem C. I rit di itantia Corporis a centro. Ducatur Ad faciens cum S angulum semirectum erit ergo hoc est spatio A peracto a corpore . Ad Velocitates inveniendas normalis AS agaturis in qua abscindatur unctis , c ducantur duae parallelae rectae S. Ad abscit sana CO describatur curva, cujus ordinatae sint ad os nus abscissae in ratione data C - cor, cujus cir- Tom. I. T vae
288쪽
u. Dum Centrum venit in velocitas corporis in designatur a recta V. Ad ii terni illationes faciendas intelligantur sectae AM, M , Ni aequales quadranti circuli radii On-ssidero primum , velocitatem corpori negativam esse ita ut corpus tendat ad plagam Oppositam illi , ad quam graditur centrum . Quare linea eam repraesentans , nempe
Ac si debet statui in C producta . Ad absci Tam A describenda est curva L, cujus ordinatae S sint ad sinus circulares AS ut C A C. Patet angulum , in quo curva incidit in lineam AS in A, esse lajorem semirecto Igitur curvam Ara ingreditur , eamque secat in alios Uncto curva autem velocitatum secat abscissam AS in puncto H. Initio , consciente centro spatium AS, velocitas spatium TZ, per Uod OVetur OrpUS , negativum est quod ostendit, corpus velocitate Contraria Velocitati centri ab eo recedere . Dum centrum venit in velocitas corporis nulla est, ibique spatium confectum a corpore est omnium negativorum aYimum . Progrediente centro ultra , velocitas corporis evadit positiva, spatia negativa corporis minuuntur ita , ut dum centrum Xistit in V, nullum sit spatium, corpus redierit in ΡΟ- se corpus velocitate positiva movetur ad eam partem , ad
quam movetur centrum perveniente ad S centro , Orpus confecit spatium 'E', ejusque velocitas est S C. npUncto N corpus cum centro conjungitur , ejusque velocitas fit maxima . Reliqua figura satis ostendit . Si celeritas non sit satis magna , sola pars curvae AZ secabitura linea AT verum 1 fuerit maxima , aliae quoque partes sit ad eamdem plagam pariter secabuntur: quod ubi accidat, corpus non solum movebitur velocitate contraria velocitati centri, sed etiam ultra A per aliquod spatium fe-
Si velocitas Ac si nulla , quinam sit motus corporis, satis in prima Vpothesi est X plicatum ostenditur a fig. a sit positiva sed minor C ponenda est A c ut in
289쪽
nor semirecto curva velocitatum incipit in puncto c. Si o C , hoc est si punctum c cadat in curva Ara cadet super lineam abscissarum curva super lineam O unde colligitur, corpus centrum imul juncta procedere velocitate i C. Si si Fig. . motum Orporis manifestat Curva A cadit ad alteram Virtem AS, docet, spatium peraetum a corpore majus esse spatio centri in duobus primis quadrantibus AN in duobus sequentibus Nin praeibit centrum , sequetur Orpus Scala Velocitatum praebet velocitates omnes positivas, a X imam ad puncta minimam ad punctum a C Sic, C, eadem remanent cum hoc tantum discrimine, quod curva velocitatum es venit ad contactum lineae Ari in puncto velocitas minima sit nulla Fig. 6. fuerit maior duplici curva Ara faciet cum Ara angulum majorem semirecto curva velocitatum V secabit lineam S ita Ut Velocitates evadant negativae, .corpus in suo itinere regrediatur. Si velocita AC multum XCederct duplicem AC, contingeret, ut in ea T secaret partem Curvae respondentem duplici quadranti imo, aucta Ac, etiana partes subsequentes sitas ad eamdem plagam : quare corpus in suo regressu procederet ultra punctum A. Plures determinationes omisi, lectorum industriae reliqui, ne nimiae proli gitatis accusationem subirem Res poscit, ut tertiam quoque hypothesim Volvamus, ubi corpus distat a centro A intervallo A B, e Fie. I.)In aequatione integrationis, quam exhibet prima methodus,
290쪽
i 8 I UsCULA. AEquatio spectare ad curvam sinu una facile videbitur, si duo termini ad unum redigantur. Hac methodo utor determino ejusmodi arcum , cujus sinus ad cosinum sit ut