Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

291쪽

Op UsCULA IA cum , ut ejus sinus ad cosinum sit in ratione data P. Velocitatis valorem definiemus e formula so

ejusdem corporis velocitas C 1C Cς distant corporis a centro et e fiat uti

Ut Orpus, Centrum in eodem puncto reperiantUr , O Asiatim apparet, quomodo ex his formulis illae oriantur, quas supra tradidimus. Verum advertendum i , Ore adeoque C. Az O, si e . . Quare in omnibus Ormillis habetur fractio cuius valorem nece Liri Um est

quo valore substituto in tribus formulis eae

oriuntur, quas supra posuimus Non erit supervacaneum, exhibere valores, quum aequa multiplum quadrantis . Quinam sint, tabula docet

292쪽

Quandoquidem facile est, superiores se

ries ad quantitates primitus datas revocare hoc modo

Harum serierum termini nulli praebent generatim distantias velocitates uia X imas aut min; ma , quae proinde habentur in terminis intermediis. Ut constructio expedite perficiatur, juvabit hanc hypothesim in qua initio motus illa corpus a centro , reducere ad superiorem , in qua in eodem puncto primum reperiuntur . Hanc ob rem inveniamus punctum illud, in quo nuda est distantia corporis a centro, hoc est et,

seu si Ad partem spatiorum negativorum abscinde Fig. . D describe curvam cujus ordinatae a sint ad sinus unde deducitur in puncto A ordinatam Dum centruni concipitur progredi e F in ducta F faciente cum in angulum 1emi rectum , corpus per Urret lineam D . Dum centrume F venit in corpus percurrit lineam V ergo , ducta a parallela i , quae producta transibit per punctum B, dum centrum X A veniet in S, corpus conficiet spatium 1 L . Velocitas autem corporis in puntio F in Venietur si in valore velocitatis CV Δ r

nullo negotio per ea, quae in casu superiore dicta sunt, deline abitur scala velocitatum Aliquot de terna inationes non omnino omittendae videntur, sed breviter indicandae. In proportione Sc. Δ Cc. Δ si utraque quantitas fuerit positiva , aut

293쪽

positivus 'ergo arcui accipiendus est minor quadrante,cui hypothesi tam tabula , quam constructio est accommodata. Verunas e duabus quantitatibus ' - una fuerit positiva altera negativa, spectari potest simus ut positivus , o sinus

ut negativus ergo accipiendus est arcus Δ major quadrant , qui quum habeat Cosmum negativum, in tubula Cc. Δ negative est accipiendus. Onitructi vero ita peragitur

Ad partes spatiorum negativorum abscinde AF Fig. 8.)majorem quadrante ad angulum semirectum duc ci, describe de more curvam distantiarum L. Iunei Bb,

eaque producta , donec concurrat in cum ordinata L, Corpus percurret lineam TZ, dum Centrum pertransit S. Formula velocitatis nihil mutatur. Potuit se in spectare cosinum ut positivum , sinum ut negativum , sed res in idem recideret Arcus enim Δ accipiendus et se negati v sieret Quare abscindenda AI et a complens cum is emicircumferentiam , curva distantiarum describenda 'u', quae ad partes oppositas cadit, producenda esset usque ad ordinatam A b. Velocitas autem corporis in puncto F , mutato signo arcui , proveniret, CH Haec satis sint de potentiis attrahentibus: quae brevitatis causa de industria omittimus, sponte sua industrius lector facile supplebit. Ad potentia repellentes veniens specto centrum in Fig. 9. , corpus in M, eorum distantia i m e velocitas centri in A, C , corporis in B, c, quam contrariana suppono centri velocitat . Interim dum centrum venit in S, corpus percurrat X, sit A S, B X et A. Accipiantur elementa sids, XX dx, quae eodem rein-pusculo percurrantur. Distantia AE corporis a centro

294쪽

' Si . s. Nulla addita in integratione est con stans, oui a s , Si debent 1 mul Vanescere

Ad velocitatem corporis in Veniendam , quum sit et

Ex formulis inventis constructio clare descendit. Ad absci Tam Fig. c. describatur non curva sinuum y perbolicorum , sed ea, cuius ordinatae sint ad sinia laype bolico AS:: CH c: C. Ea sit A L. Agatur recta AT a-

295쪽

ciens cum AS angulum semirectum erit Z Σ, S s

ergo di x. Ad obtinendam elocitatem , quae

exprimitur a formula ah C, pone AG C ductaque a parallela Ari , describatur ejus modi curva V, cuius ordinatae V sint ad cosmus hyperbolicos s ut C -c r, quae curva habebit verticem in puncto Erunt h ergo dempta OG iC, remanebit SV, Ch .s- - u. Determinationes sunt omnino indicandae. Si e veloc1tas initialis corporis sit positiva, curva A secabit Assi in angulo majore quam semirectus ergo A semper media remanebit inter curvam AZ, rectam A SQ ergo ZT αΑX positiva est, .corpus in infinitum recedit per directionem contrariam directioni centri. Ejus autem velocitas SV continuo augetur , ut indicat scala velocitatum . Idem contingit, in quo casu curva Aa est curva sinuum hyperbolicorum , tangitur in Ais linea AT curva autem velocitatum es habet verticem in A. S c negativa sit, minor quam , curva AZ Fig. II. facit cum S angulum minorem semirecto: ergo AI eam

secabit in alio puncto i ergo intra puncta A, recta TZ exprimentes spatia peracta a corpore negativae sunt, Ostendunt, corpus per aliquod spatium iter facere ad partes, in qua progreditur corpus. Quoniam autem Ac zzz ad partem oppositam statuenda est , curva velocitatum habebit verticem in situm inter puncta A, C velocitas, negativa erit, hoc est conspirabit cum velocitate centri. Haec curva secat Xem in , cui respondet maximum spatium negativum post hoc punctum velocitates fiunt positivae, ferunt corpus ad A quo perveniet, quum censtrum venerit in , cui respondet punctum intersectionis l. Deinceps per directionem oppositam directioni centri ab Arecedet in infinitum, majorem semper velocitatem acqui ret. Si o negativa sit et C curva A L coincidit cum recta AS, punctum c cadit in curva velocitatum coincidit cum O. Haec omnia indicant, corpus, centrum

296쪽

is OPUSCULA.mul juncta procedere cum velocitate et C quod etiam inecalculo cuique certiam apparet.

Si e negativa sit majori curva AZ Fig. 2 ad plagam oppositam sita est TZ erit patium, quod in centri

directione peragit corpus , dum centrum venit in , quod spatium majus est spatio A peracto a centro. Itaque Orpus antecedit centrum . Quoniam punctum C cadit post puncta curva velocitatum jacet post A velocitates corporis, quae negativae inveniuntur , augentur in infinitum. In potentiis attrahentibus omnes hypotheses, quae X- cogitari possunt, reduximus ad illam , ubi corpus centrum primum in eodem loco existunt. Sed hoc fieri non poteli in repellentibus, quod, ex dictis constat, deinceps magis magisque constabit. Quapropter necessarium duco considerare hypothessim secundam , ad quam reducantur illae, quae ad primam reduci nequeunt Hypothesis illa pertinet ad corpus , quod distet a centro di itantia i e , praeditum sit ea ipsa velocitate, qua graditur centrum , se cundum eamdem directionem , ut habeatur In sequatione integrali, quam sussicit prima methodus, Ch .s B Sh .s, definiendae sunt constantes Si tam

perbolicus, facta s minima , non differat a sinu toto , nisi per sinum versum , qui est infinities infinite simus 'erit C h. s

B zzz ἰ ergo vera aequatio erit Ch Multiplicata , ut poscit secunda methodus , aequatione differentiali per di, habebimus dids' itryd Eddε, integrando Σφ-- . 4 α HUR. In principio motus , ubi

ergo di, sue H. Prima aequationis

pars

297쪽

pars dat togarithmum analogum , cujus co sinus igitur integrando h . , seu ah Nulla adiecta est constans, quia facta debet quod praestat aequatio. Nunc determinanda est corporis velocitas per formulam uit -- . Quandoquidem e -- - et Ch. scierit, Ch. - in differentiando dis Ch s

Constructio per inventas formulas in hunc modum peragitur. Sit initio centrum in A Fig. 3 corpus in B. Normalis aequalis Ai sit A b iis . Ad abscissam Ara describatur curva L, cujus ordinatae S sim ad colimus hyperbolicos quae curva habebit verticem in b. Parallela ' sit O , cum qua faciat angulum semirec Umb T quae , si produceretur, transiret per punctum B eritSLzz T OZiz ergo quum erit a m et - - m. x , quae Xhibet spatium confectum a corpore , dum centrum venit in .

Ad inveniendam scalam velocitatum , sume A C, p, ad lineam o parallelam S describe curvam CV Cujus ordinatae sint ad simus hyperbolicos A S ut e C r' ergo Sh netis. Descripta est itaque scala velocitatum S positiva sit,' corpus initio jaceat respectu ad plagam oppossitam illi , ad quam iter facit centrum patet rectam T secare curvam Z in alio puncto , Curvam velocitatum secare S in H. Perspicuum est, initio spatia 'L peracta a mobile Te negativa, velocitates 'U' pariter negativas. Ex hoc disc1mus, corpus B incedere versus S. Quum centrum venit ni velocitas Orporis nulla est spatium negativum L est ominium maximum . Deinceps corpus regreditur ad M, quum centrum attingit , quod respondet puncto intersectionis inde deserit , atque ab eo in infinitum recedit, ejusque velocitas in infinitum augetur. Facilior evadit constructio , si e sit negativa initio

298쪽

1s OpUSCULA.corpus B aceat ad eam partem , ad quam iiicedit centrum. Ad oppositam partem Constituatur Fig. 14. , ad , parallelam Ara describatur curva et cujus ordinatae a sint ad Ch Erunt SQ ora negativae primae dant distantia corporis a Centro, secundae patia a corpore peracta . Sit AG im is ad abscissam C o describatur curva, cujus ordinatae sint ad h. s: e C r' erunt S V velocitates negativae. Quare corpus semper praeibit centrum, novas semper velocitates accipiens in infinitum

recedet.

Reliquum est, ut generatim spectemus corpus, quod initio motus distet a centro A Fig. p. distantia Brare, praeditum sit velocitate qualibet i e . In formula et A Ch .s--BSh .s, quam prima praebet integrationis methodum, determinandae sunt B. Si , rati est

s e--Bo ergo B Itaque aequatio rite integrata dabit, α ah SAE . . In hac aequatione duplex distinguendus est casus Vel enim. sumptis quantitatibus semper positive quaecumque sint earum signa, est minor in vel est major, inter quos adest casus medius, ubi --. In primo casu

299쪽

diu nos ducit ad logarithmicam est enim s logarithmus numeri r , quod ita demonstro AEquatio ita se habet mi h ergo differentiando

. 4 . HS i et, ergo sive latim is, quae aequatio posita subtangente, ostendi s esse se togarithmum numeri et Ita autem accipiendus est, ut s

Ad methodum secundam multiplicata aequatione per

Pon ' M'. Signum superius valebit si si major ' inferius, si sit minori; si autem aequa lis sit, qui est casu medius erit , o AEquationem ita

distribuo

Si valeat gnum superius integratio dabit h. Δ -- s. Determinandus est logarithmus analogus . Quoniam facta sit, est irae set h. Δ, - α

300쪽

esse togarithmus analogus ut ejus sinus ad cosinum sit in data ratione AEquatio inventa in ea valeat signum inferius, ita erit integranda h. Δ-. s. Eadem ut ante methodo determinabitur togarithmus analogus x. Nam facta ori provenit . . - h QQergo es C h h Igitur ' in yli In casu medio , in quo ut Vitentur quantitates infinitae, portet confugere ad aequationem ergo erit togarithmus numeri

et, posita subtangente zz In casibus singulis determinanda est corporis velocitas.

In casu medio, ubi , - erit dis iis L L ,