Commentarii de Bononiensi Scientiarum et Artium Instituto Atque Academia

301쪽

ergo quo valore substituto, ea formum lae prodibunt, quae inventae sunt in prima hypothesi Constructio reducitur ad primam hypothesim , quemadmodum fecimus in potentiis attrahentibus: determinatur enim abscissa , ubi distantia corporis a centro nulla est. Erit itaque ergo o, s

Abscinde itaque Fig. s. puncto describe curvam a cujus ordinata di sint ad simus hyperbolicos 4 ut h in . In puncto A invenietur ordinata e. Duel ad angulum semirectum linea Ff, dum centrum concipitur progredi ex F in corpus conficiet spatium dum centrum percurrit S corpus conficit Zt ergo ducta Bia parallela Ff dum centrum iter facit per A S, corpus feretur per L. Velocitas autem corporis in F invenietur , si in valore velocitatis ponatur unde velocitas in F C . Quare scala velocitatum , ut in prima hypothesi invenietur faciendo In proportione 4 Ci si servata conditione, ut utraque quantitas b,

302쪽

PUSCULA

fuerit aut positiva aut negativa, logarithmus analogusa positive accipiendus est , quia inum in Osinum habet positivum , cui hypothesi stiperiorem constructionem accommodavimus. Verum si e duabus quantitatibus una positiva fuerit, negativa altera , logarithmus analogus negative sumendus est , quia sinus est negativus, existente costa positivo. Constructio autem ita instituenda . Ad partes spatiorum positivorum abscinde Fig. 6. ex vertice describe curvam distantiarum FZ, quae descripto ramo conjugat Fb producta transibit per puncium , existente ordinata Per punctum B duc Bb T quae essiciet cum AS angulum semirectum . Dum centrum A venit in S, corpus per rret spatia aequalia TZ vel ad unam, vel ad alteram partem, prout Z fuerint vel positivae, vel negativae . Spectata autem negativa, scala velocitatum nullo negotio determinatur. 1

AEquationes, quae valent in secundo casu , ubi , sunt hujusmodi α --e u - 12 ρα C. Si fuerit e

festum est ex proportione C h Si inci: -- . fore i adeoque etiam Δ o, Ch. Δαr ergo formulae prodibunt α - SL I, s ς C, quae prorsus conveniunt cum illis , quas in secunda hypothesi invenimus Casum hunc deducemus ad secundam hypothesin, inqua Itaque determinandum est punctum , in quo velocitas corporis C. Erit itaque δEῆ

303쪽

Op UsCULA. 61 quae indicabit distantiam corporis a centro Quare abscinde dum centrum exit in corpus reperietur in movebitur velocitate C. Res itaque ad

secundam hypothesim redacta est. Consti uctio haec nascitur. Ieca FG i, cui pone aequalem, perpendicularem Fg Deinde describe curvam ita, cujus ordinatae sim ad colimus hyperbolicos FS , ut Ch. Δ, quae curva in puncto A habet

ordinatam Ab - . Duc rectas gi, bd , quae angulos semirectos effcient cum Dum centrum e F venit in , corpus conficiet spatium negativum i dum ex F venit in corpus percurret V ergo dum centrum ei venit in S, corpus percurret rectam Scala autem velocitatis invenietur in Iormulis secundae hypothesis, si pro Si ambae quantitates sint positivae, aut ambae negativae, togarithmus analogus Δ, h. positivus est, cui hypothesi accommodata est superior construetio. Verum si altera sit positiva , altera negativa, tam , quam Sh. ut negativus spectandus est. Quare sumenda est Fra Fig. 18. ad partes spatiorum positiVorum , tum factis FG, describatur curva distantiarum

Z, quae ad partes A producta habebit ordinatam

AB . Ducantur,in producantur quae cum A Sessicient angulos semirectos. Dum centrum fertur ex F in A, corpus perficit spatium aequale b, dum centrum venit ex F in corpus conficiet spatium Z dum venite A in percurret spatium a. Ulteriores determinationes omittendas censui, ne in vitium proli gitatis incurrerem. Postquam docui, qua methodo ultima universalis hypothesis ad duas priores reducatur, haud dissicile erit omnia Xacte determinare, nisi in lectoribus desideretur industria. Diligentius casum medium tractabo , qui ad hypotheses superiores reduci non potest. In casu medio valent aequationes dis

304쪽

I62OpusCULA Σ - - , u zz- C, Xistente . que quantitas , fuerit aut positiva aut negativa, signum superius accipiendum est inferius, si una fuerit positiva altera negativa. Onamus primum utra rnque positivam Sit Fig. 19. distantia corporis B a centro ei aequalis erigatur perpendicularis A , tum ad symptotum A B describatur togarithmica praedita sub tangen te transiens per punctum , ita ut crescentibus abscissis S, crescant etiam ordinatae S . Si o ei possitiva , manifestum est , esse H c C ergo ergo tangens in puncto faciet cum AS, adeoque cum ejus parallela ducta expuncto b , angulum semirecto majorem ergo tota ca

spatium , per quod iter facit corpus , quod quum sit positivum , indicat corpus recedere in infinitum per directionem contrariam directioni centri . Scala velocitatum habetur per eamdem logarithmicam , quae hoc modo Construitur. Secta AC i , Ac - , duc O parallelam S ad asymptotum O C describe logisticam sub tangentis transeuntem per punctum C. Dum centrum ei in S, corpus praeditum est velocitate S V, qua continue aucta corpus recedit in infinitum S c est positiva , quae facta est constructio me ulla mutatione locum habet. Sic-o, si te b Test tangens logisticae curva autem velocitatum transit per punctum sit negativa, sed minori, ponenda est Ac Fig. 2 o. ad partem alteram . Quoniam tangen logisticae in puncto b facit cum x angulum semirecto minorem ergo b d faciens angulum semirectum intra curvam ingreditur , eamque secat in alio puncto posito ad plagam motU Centri curva vero velocitatum V secabit Xem Sin puncto H. Initio quum ' Ζ', sint negativae, velocitas, spatium peractum a corpore negativa erunt, corpus B habebit directionem conspirantem directioni centrix, donec centrum veniat in H, ubi nuda est velocitas, spatium negativum omnium maximum . Post punctum Hvelocitas corporis fit posti; a , adeoque contraria velocitati centris quare spatium negativum peractum a corpore mi

305쪽

nuitur. Quum autem centrum venit in , hoc spatium nullum est, adeoque corpus reperietur in B. Ost velocitate positiva iter facito in inlinitum recedet. Si e negativa sit major , assumenda sunt signa inferiora, describenda logistica L Fig. 21. ita , ut accedat ad asymptotum ad partem , tum ducenda BbT, ut interceptae a quae semper negati Vae sunt, Xhibeant spatia peracta a corpore ad plagam, ad quam graditur Centrum qUO tamen numquam corpus assequetur . Sectis A C, C describatur logistica accedens ad asymptotum D Velocitates V semper negativae sunt, .continue minuuntur ita, ut in puncto infinite remoto corpori centri velocitas sit eadem.

Quum e negativa est corpus B initio situm est ad plagam , ad quam fertur centrum, si fuerit positiva , adhibenda sunt signa inferiora, logisticae ita describendae

sunt, ut, res Cente sci earum ordinatae ad symptotum decrescant. Centrum initio sit in Fig. 2.), Corpus in B: si quae ad opposii tam partem constituitur, quia ponitur negativa Describatur itaque logistica Z, quae erit curva distantiarum. Quoniam tangens ad punctum faciet cum Aci angulum semirecto majorem, B T intra curvam ingreditur quare initio spatia ' erunt positiva , tum evadent a negativa . Facta C, A cta e , ad asymptotum C describatur logistica V velocitates 'V initio erunt positivi tum fient nulla existente centro in H , ubi L si spatiorum positivorum aYimum , demum sient negativa crescent ita, ut in puncto

infinite remoto velocitas corporis aequalis evada Centri Uelocitati. Ubique autem corpus anteibit Centrum S c

est punctum c cadit in linea B tanget lo-garithmicam in puncto . Quare spatia, velocitates ubi-qUe erunt negati Vae .

Hoc pariter continget, si e negativa sit, sed minor C. Nam tangens in puncto Fig. 3. faciet cum S angulum semirecto ninorem, quia est ergo Bb T tota

cadet ad partem ConveXam curvae Punctum C cadit intra

puncta unde togarithmica transiens per punctum jacet inter rectas Itaque tum spatia a corpore

coniecta, tum velocitates erunt semiper negativae . Corpus X et ita-

306쪽

itaque anteibit centrum, eorum distantia semper minuetur, sed non fiet nulla nisi in puncto infinite remoto, ubi eadem est corporis .centri Uelocitas. Si e negativa fuerit major , quoniam ambae quantitates sunt negativae superiora signa accipiantur . His acceptis facillima oritur constructio . Transeat per pune tu mi Fig. 4. logistica Z, quae ita describatur, ut crescentibus abscissis AS crescant item ordinatae L. Iungatur B T rectaer negativae exprimunt spatia peracta a mobile M Quum punctum c cadat post puncta logarithmica es cadet post AS, O quare velocitates V erant negatiVae ,

semper augebuntur. Itaque corpus anteibit centrum, eorumque distantia continue augebitur. Haec satis sinat de potentiis vel attrahentibus, vel repellentibus , quae servant rationem distantiarum a Centro . Nunc accedo ad problema universale, in quo ponuntur potentiae, ut quaecumque functiones distantiarum a Centro, qua eX- primam litera F. Incipio ab attrahentibus . Centrum A Fig. i. praeditum sit initio velocitate in C, Corpus B Velocitate secundum eamdem directi onem , eorumque distantia 1 Conficiente centro spatium ', corpus percurrat erit nova distantia it e s- , quam OCab Quoniam in data distantia et

307쪽

OpUSCULA. 6sPrima methodus, quam adhibuimus in potentiis servantibus simplicem distantiarum rationem, hic nos deserit . sed secunda formulam hanc quoque universalem eliciter absolvit. Multiplicetur itaque aequatio per det, ut fiat s .det,. F. z- C'dzddet facta integratione d. de .F. et 'MAds' 8 I S, sive ges diata

s, In qua , quum eparatae sint inde terminatae, constructio perfici potest. Ita autem facienda est , ut quum sit , mi Per aequationem Onstructam dabituro per et atqui e --s-Σ ergo inVenietur, per t. Ad determinandam velocitatem , scimus est sed , - , det ergo C - π: pro s substituto ejus valore

Similis methodus valet in potentiis repellentibus. Initio distantia corporis B a centro Fig. v. sit Ara is,

velocitas centri versus xii corporis versus B X sit spatium peractum a Corpore, dum Centrum percurrit M s velocitas corporis in X litantia Corporis in X a centro in Sme -- -s--xta T. Igitur Xurgat aequat: --, midi, Vel dis . F.

308쪽

Per hanc daturo per sedis ergo dabitur ae per . Velocitas demum corpori B, nempe u et

Numquam loquutus sum de tempore , quia quum centrum iter faciat aequabiliter velocitate et , erunt temporae ut spatia peracta a centro . Quare vocato quolibet spatio erit C s: ad tempus, quo motus factus est a centro per spatium et s. Quae iactenus X posui de motu corporis attracti aut repulsi a centro aequabiliter lato video mustis perquisitionibus physicis non mediocrem utilitatem allatura. Sed in praesentia satis milii sit plenam tradidi se problematis propositi solutionem VIN-