장음표시 사용
181쪽
Confriariun o. Si i tur tres lineae proportionales fuerint: quanta es prima ad tertiam, tanta erit superficies quae super primam,ia supersciem quae super sectingam: quum
utraque fuerit similis Ee similiter descripta.
Quog ex iam a seiipta gedum ne manifestum euagit H v 1 c etiam Theoremati quidam aliud subfleiunt Confestarium de parallelo grammis similibus, quod in dupla sint ratione, quam ipsorum latera militer sum pta: Seg hoe patet vel ex Triangulorum smilitudine. Triangula enim, ut iam non emel monuimus, dimidia sunt Quadrilateiorum. Immo & Theorema si de Ree Lilaeis pronuntiasset, uniuersam peraeque habuisset probationem, atque de A lygonis.
Super gata linea datae supersesei resellineae similem superficiem similiter positam describere
sit gata linea An , data vero superficies in praesens Pentagona, Das . Volo super An conssiluere superficiem ipsi cDssc smilem & smiliter positam Restiuo datam Superficiem in Diangula, ductis lineis D s ω Do Tum super
puncto A, constituo angulum B AH, aequalem angulo c. Itidem super puncto A, consituo angulum A B ti , aequalem angulo CDC: ducta B H , quae concurrat cum LN ad punctum H Et erit, per trigesmamsecundam Primi, gulus ΑΗs aequalis angulo cD r ob id, per quartam huius, Iatera guorum Triangulorum Cc D & HAB, proportion ita. Pono etiam angulum Nax, aequalem angulo GDs : Ee angulum B HK, angm M. Io D G F : angulum vero xat, angulo sDst ac de mum angulum AKL , aequalem angulo D s s. Ac tum erit completum Pentagonum super linea A a , quale quaerimus. Est enim in Triangula aequalia numeroes dimiangula diuishm,ut Pentagranti cDAsc. Q
A V re eidem simile, Quod erat faciendum. V m autem hoc loco obiter explieemus quid similiter postum dicatur in Su perficiebus rid est, s occurrat Superficies, cuiusnodi est hoc loco, pentagonum cngsci, cui super linea A B sit constituenda Superscie; similis & similiter de scripta, ut attendamus an ipsa ΑΒ comparetur lateri Dc an lateri DA, an breuiter euipiam laterum Figurae oblatae: eamque lineam comparationi accommodemus. Posset enim seri angulus a n aqualis angulo C D Ε , atque eo instituto perfici Figular quae ut similis euatiret, non tamen similiter esset deseripta. Quod satis ma nifestum est, quum Figura quae proponitur, non est aequalium Iaterum.
THECREMA 13, PRO p OSITIO XXI.
Quae eidem Rectilineo sunt similia, Se inter se sunt
182쪽
rist Aa ad Le , di is ad DF, sicut B C & A s ad HK:&anguli utriusque pro portionalibus lateribus contenti, aequales sint angulis vianguli citi κ. Dico ambo esse similia. Nam,per undecimam Quinti,erit A B ad A c Er D sad D s ut A e ad g s : ob id , per quintam huius, erunt anguli sub quibu, latera proportionalia stabieri guntur, aequales. Ambo igitur aequiangula: Quare, a definitione similium super; cierum, inter se similia, Quod stit demonstrandum. Hoc Theorema per se suit manissum,uelut animi Notio. Nam,ut antea docui mus, similitudo superficietum est aequalitas quaedam.
Si quatuor lineae fuerint proportionales: erunt & ab ei Rhctilinea similia similiterq; posita, proportion
lici Et si ab eis Rectilinea similia similiterq; posita,
fuerint proportionalia: erunt Ec ipsae proportio
sint quatuor lineae proportionales, Ap, c D, sp & Cti: ut AB ad CD, si a r ad GH snR: ab ipsis AB Ec c D , smilia similitem, deseripta Reetilinea, qDaetat Triangula. Α Α & c tr Ab ipsis vero Es & H, smilia smiliter deseriapta, Parallelogramma MI & NH. Dico esse ut Triangulum Anx ad Triangulum c D L, ita Parallelogrammum us ad Parallelogrammum N H. Ponatur ad ipsas Aa & CD, per gecimam huius, tertia proportionalis ci : ad ipsas quoque E s N M, tertia proportionalis P. Et quoniam vi A A ad c D , scps ad otii sed divi cD ad O, se o D ad s i ex aequali igitur,per vigesmanis eundam Quinti, ut AB ad O, se as ad s. sed vi As ad o se Triangultim 2κ ad Triangulum c D L, per Coniecturium decimaenonae huius: Et per idem ipsum, ut As ad ν, ita Parallelogrammum M s ad , Parallelogrammum N H. Vt igitur, per undecimam ὐ-- ου G Quinti, Lax Triangulum ad c DL Triangulum, ita M s Parallelograminum ad N B Parallelogram inum, Quod est prius. Sint vero duo Triangula A 3κ EZ c D L milia similites posita: duoqi parallelogramma M s Ee N H, elusinodi.Dico esse A B ad c D ut A s ad G H. ponatur,per duod imam huius, ut As linea ad c D lineam, ita g s ad us: dc per vigesimam huiusce, describatui super ira, Parallelogrammum s, utriquoipatum M s & NH Gil smiliterq: positum. Et erit , per priorem partem huius,ut AB L Triangulum, ad c DL Triangulum,sic M s Parallelogrammiam, adsκ Parallelogrammum sed sc suit M s ad NH. Igitur per secundam partem n Dae Quinti, parallelogrammum s 3 aequale est Parallelogrammo N H. Et quia sunt smilia ge similiter posta, aequalis erit linea C M , lineae Q, per secundam partemdecimaenonae huius. Nam quum si ratio N Η Parallelogrammi ad s R parallelm graminum, dupla quam C H lineae ad ua lineam, eaq; aequalis: ipsa non nisi exaequali produci potest. Quare ut ΑΕ ad CD, ita Es ad oti, Quod fuit demon mandum.
183쪽
In omni Parallelogrammo, quae circa Dimetientem P rallelogramma, similia sunt toti, & inter se
In Parallelogrammo ABCD, snt duo Complementa H N p x, circa Dime centem A c. Haec dico esse toti a D Et inter se similia. Est enim per se dam huius, BG ag G c, & D M ad Hc, ut AE ad a ce cibia,coniunctim a d ad c C α Dc ad c H, H AC ad C E. Quapropter,ex unde cima Quinti, E c ad c ci ut D C ad c H , igitur & ut As ad sti: quum A B sitaequesis DC,& s C aequalis 11 c Eadem argumentatione erit AD ad A ti , ut 1 p ad Ε c , & ut D c ad 1 c. Quia ergo parallelogramma sunt aequiangula, erit per degnitionem similium Superscierum, GH simile t ii s D. Haud dissimili ratione probabitur s κ eidem B Droti simile: quum sta A ia ΑΕ & D A ag A p , ut C A ad As, set secundum huius & Coniunctam proportionalitatem. Quapropter ex vigesima huius, erit & s κα simile vi H. sicqj constat propositio. San & hoe constabat ex Triangulis, ex iis stilicet quae prohauimus ad quartam huius. Quum enim duo Triangula A B C & Ε o C sint aequiangula, es laterum ad aequos angulos proportionalium: erit Aa aA B c ut A c ad Ε c. Rursis quum Α D e 8c E M c sint similia: erit AD ad D c ut E H ad D c. Quod & eodem argumento probabitur de duobus Triangulis Α Ε Ε & A Ε κ , ipsum s x parallelogian mum complentibus. sunt igitur 3 κ & H parallelogramma, toti s D Parallelo
grammo & inter se similia, Quod erat demonstran3um. hoc Theoremate non incommode locum sibi inueniethoc problema, quam ius idipsum iam ante proponi potuisset.
li a Volo ipse Aac D resteti e pestionem similem ips cΕs c. Sit ergo angulus C unius, aequalis angulo C alterius 1 sicq statuantur duo Paratilelogramma,vt s sit linea una,& D s altera. Tum ducatur transuersa scH, secans AD in puncto Ni Et ducatur M κ parallelus ipsi C D. Dico C D H x Paralle logrammum, ex Ae parallelogrammo resectum, esse simile ipsi a ci parallelogrammo. Id vero fatis constat ex hac vigesmatertiae quum ambo sint circa eangem Dim tientem. Atque ad clariorem notionem, perfeci A B a L parallelogrammum. Hic
etiam sibi laeum inueniet hoc Problema, δει, δε- preficias rictiliastin me iam Stilos te' opistionissem iasenoe.
Si duae superficies rectilineae , & s, inter quas si colloean si media superficies proportionalis. Red o ipsas ad duo Parallelogramma similia , secundum doctrinam deeimae octauae huius: vel si plaeet, utranque ad Quadratum, ex ultima secundi). Et sint duo Parallelogramma eos s& sos κ, similia inter se, & duabus Supersciebus A L mutuo equalia.Tum pono angulos qui ad p sunt aequale alterum ex adue
184쪽
o alterius: vi tat duo parallelogramma pD&Η circa eandem Diametrum ex Et perficio parallelogrammum Lx M. Dico alter trum supplementorum s L, N F M , esse medium proportionale inter e s & p κ: hoc est, inter A es Bresse scilicet ut M o supe etes ad p x superficiem, sic eandem p L ad 3 n Superficiem. Est enim, ex hac vigematertia Propositione, linea ti s ad litineam p D , ut linea G s ad lineam p E 1 At, per primam huius,ut H s ad p n, se ti ci Superficies ad s L supersciem: sed & ut p ad τ s , ita ut superficies
ad s D supersciem. Quare, per undecimam Quinti, ut sc superscies ad rL supersciem, se eadem sL Supersicies ad et o superseciem, Quod fuit iaciendum.
Atii TER expeditius. Inter duas parallelos interminatas e D Ee s p , eonstumo parallelograminum C G su, verbi gratia, Rectangulum t& insuper, aequale R ctilineo A , per ea quae Aocuimus ad quadragesmam artam primi, ac eodem praecepto, inter ipsas parallelos constituo alterum parallelogrammum κDLs,
aequiangulum Us e M Parallelogrammo, & aequale Us a Rectilineo. Iam in linea
a s, inter ipsas cΗ & LD bases,pono linea M N megia ratio ne proportionalem,per nonam huius.Ductisq; Mo&Np p raselis ipsis cN & Ds, constituo Superseiemcquidistantium laterum, M p. Hanc dico esse media ratione proportionalem inter fluo cH&κ se ac propterea inter A & 3 Rectilinea.
Est enim, per primam huius, ut e vi basis ad M N basin, se e H parallelogrammum ad M si Et per eandem, ut M N hsis ad x D hasn, se N p aA κ p. Quare, per undecimam Quinti, ut e Mad M p, sc My ad x s , Quod fuit probandum. Sed nos priorem demonstrationem astruximus, ad illustrandam ubique Figuram
THEO REMA , 8. PROPOSITIO XXIIII
si Atio Paeallelogramma similia Se similiter posta, communem angulum habuerint, aut angulum aequalem
angulo aequali contra positum habuerint: ambo cirica eandem Dimetientem consistunt
Sint duo Parallelogramma milia & smiliter posta, AB co & xarci, com munem habentia angulum qui ad s. Haee dico esse circa unam Dimetientem. Sint& duo Parallelogramma E s & N κ smilia militer positassimi angulus vi unius, aequalis angulo C alterius & vietque alteri contraptistus. Dico etiamnum duo A p & ν κ parallelm gramma circa unam Dimetientem consstere. prius se probatur. Connectam BG & c D r quaesunt linea fuerit,patet Propositio.sin minus,st ALDDimetiens:& ducatur MLO, parallelus ipsi E B , quae secti s c & A D in punctis M & O. Et erit,per antecegentem,parallelogrammum E Msmile toti quapropter erit c B ad M a ut A nat s a. At, ex hypothes, aὰ s a vi A a ad Ε v. igitur, per undecimam Quinti, c a ad s p ut e s ad M s. Quare, per secundam partem nonae eiusdem, v B aequalis M a , pars toti, Quod minime conuenit. o 1 Secun
185쪽
Seeundum sic. Educta, vi mogo, Dimetiente per L punctum, erit per antec dentem , MI ag a B ut xx ad Lo hoc est, ut KL ad G H). At ex postes, saad A A vi K ad G H. Quare per ipsun undecimam Quinti, erit p p aequalis M B Ee praeterea x L ipsi κ r contra commune sensum Ahi TER compendiosius. Parallelogrammum a M smile est toti A C , per antecedentem: quapropter 8 minori a s, per vigesina rimam huius Ee hyiapothesin sicqj lateraproportionalia Eritq: LM ad Maut G p ad 1 p. Quum igitur s sit ipsi x M aequalis est per septimam Quinti, a p ad M a vi C s ad s s. Quale sp ips M a xqualis,pars toti, od est absurdu.H V 1 v s Propostionis sententiam ideo ampliaui, ut etiam de Paraselonammis conexis intelligeretur: alia in constructione apparent AC&p Dimetiens enim infinite proJuci potest re parallelogramma similia circunscribi. Breuite ut haec omni ex parte Conue se esset antecedentis.
Aequiangula parallelogramma, rationem habent con positam ex alternorum laterum ratione.
sint duo parallelogramma, Anc D&c Esci aequiangula,& si angulus c unius aequalis angulo c alterius. Dico rationem unius ad alterum,compositam ex ratione quae est B c ad c u , es quae Dc ad c s. α - Ponam ambo Parallelogramma ex aduersi,vt s o si. linea una,& ns itidem una 8e periatam parallelogrammum Α A G N. Ponam insuper ut sit linea κ ad lineam L, Hac ad Ccit & eadem L ad M lineam, ut D c ad c Ε, ex praecepto duodecimae huius. Erimi, per primam huiusce de undecimam Quinti,s D Parallelogrammum ad c H Parallelogrammum, vix ad L & D ci parallelogrammum ad c s Parallelo grammum, ut x M M. Ex aequali igitur erit BD ad os vi K ad M. Atqui 1atio κώ M , producitur ex x ad x Ee ex L ad M ut patet ex quinta Degnitione huius Communi igitur iudicio, producetur ratio A D ad c s , ex 1atione B c ad c C Mn e ad OA , Quod erat demonstrandum.
PROBLEMA ν, PRO pC SITIO XXVI.
Dato Rectilineo, Rectilineum simile Se alii dato aequa
Sint duo Rectilinea A N B . Volo Rectilineum construere, mile A , 8t quale a Reseluto vitoque in sua Triangula, seper uno laterum ipsus A , quod si e D , constituo Parallelogrammum CDΕ s Rectangulum, aequale eidem A Rectilineo per quadragesimamquatiam Primi toties repetitam, quot fuerint Triangula. Tum per eandem, super linea D s , ad angulum datum K c D , constituo Parallelogram-mum D s C H , aequale ipsi a Rectilineo. Etit , per vigesimamnonam primi, Eequartamdecimam eiusdem,tota C H una Superficies aequidistantium latet .Pon postmod
186쪽
postmodum, per nonam huius, lineam x x mediam proportionalem inter c D & D lineas: Ae super x x , per decimamnonam huius, consti
tuo ips A Reetilineo mile Reetilineum M. Quod dico esse aequale ipsi a Rectilineo. Nam quum
C D , X L, & D G sint continue proportionales erit,per Consectarium decimmnonae huius, Recti lineum constitutum super primam c D , ad ipsum M , constitutum super κ I secun3am,ut C D lineapi ima ad D ci tertiam: ob id, per primam huius, ut o s ad s G : Ob idq:, per priorem partem septimae Qtilati, ut A ad F G : ac propterea,per iecundam partem eiusdem,ut A ad s. Quare, per secundam partem n nae ei dem, erit M aequale a , Quod erat faciendum sed erit promptius ex permutata proportionalitate. Quum enim sit A ad Mut c s ad I G erit permutatim, A ad c F ut M ad s c. Quum igitur si A aequalec p, erit M aequale s C r Quare & aequale s , Quod erat constitutum.
Super dimidio lineae Parallelogrammiam descriptum, maius est Parallelogrammo, quod super eandem lineam proiectum, alteri quod priori sit simile sim, terq; positum, specie deficit.
sit linea As, super cuius dimidio es, deseriptum si parallelogrammiam epis, cuius Di metiens B Ε & super eandem A s si proiectum A p parallelogrammum, cuius unum laterum secet latus c E in punisto desciatq; specie, parallelogra mo ps simili similiterqiposto ipsi egDE. Dieo Patarallelogrammum c D esse maius Parallelogrammo Ap. Est enim per primam huius, AG aequale CB:&perquadragesim tertiam primi, cs aequale FD. Itaque per communem Notionem,totus Cnomo c a D s , ipsi s parallelogrammo aequaris. sed cla maius est ipso Cnomone Quare 3e ipse A p Parallelogrammo, Quod fuit demonstridum. Tam to autem est maius, quantum est E p parallelogrammiam. - ὰ Iam vero si A s altius erigatur,quam C D , ut in secumsa Figura maius etiamnum erit c D ipse A s. Est enim , per primam huiuste, A C aequale G A. Ablatis ergo utrinque duobus Supplementis Parallelogrammi g sinterie aequalibus: erit c D tanto maius Ap, quantum est a s ParallelogrammUm.
Super gata recta linea, dato Rectilineo aequale Parali logrammum aptare desciens specie Parallelogrammo quod simile sit dato. Modo tamen Rectilineum datum maius non sit Parallelogrammo, quod super
187쪽
ELEMENT. EUCLIDIs dimidio lineae datae, simile Parallelogrammo dato
Sit data linea , a , satum Rectilineum ce gatum vero parallelogrammum D. Volo super linea As sedes are parallelograminum aequale Rectilineo C, ut d seiat speeie parallelogrammo, quod sit sinite parallelogrammo D. Oportet autem c non esse maius parallelogrammo, super dimidium datae lineae L A colloeam , samiti eidem D Parallelogrammo. Alioqui niteremur in praeceptum antecedentis prepositionis. Diuido AB per aequalia in puncto p , & perdecimamnonam huius, super dimitadium B E , constituo parallelogrammum Es, smile ipsi D. Tum super tota As, compleo parallelogrammum Aps C. Quum ergo C Rectilineum, non sit maiuς Ε s parallerogrammo si sit eidem aequale, erit Parallelogrammum E a quale volutimus,per vigesina huius Est enim simile ips s s quum si ei flem aequale & aequilat rum. sin erit c minus, auferatur excessus ab ipso A p , per ea quae demonstrauimus ad quagragesima uintam primi: cui excessui ponatur,per vigesimamsextam huius aequale paralle logrammum H κIM, & ips D simile Duram igitur
in s s parallelogrammo, Dimetientem A N : Etr secabo ex pN, patrem NO, aequalem lateri Mκ Et ex E N , partem N p , aequalem lateri A L : Et ducamo Q. & np, quae se stindant in puncto s: quae limutuo aequidistent lateribus totius Parallelogrammi A s. Frit intersectio ipsarum in Dimetiente a N , per vigesmamquartam huius: quia N s aequale & si rege Us M M. producta gemum a s in Ac ad punctu T , dico parallelogrammum A s esse quale proponitur. Deficit enim specie, parallelogrammo QR , quod est smile tis Parallelogrammo, per vigesinamtertiam huius atque ob id, ipsi MM: quapropter Ad ipsi D. sed ge aequale ips C Rectilineo.Nam quum 4 p, per primam huius,st aequale Εκ: & per quadragesmanitertiam primi, Ap aequale spe erit per animi Notionem, ipsum As, Gnomoni aequalet At Gnomon ips c aequalis est enim N s excessus totius A p supra C Rectilineum. Quare & Αs ips e Rectilineo aequale Et idipsum super sinea A a constitutum,deficit specie Parallelogrammod quod est simile ipsi ti dat , Quod faciendum fuit.
Hoc autem Theorema cum iudicio tractandisio est: vi etiam hoc ipso loco annotauit Ni laus Tartalea Brixellensis,vir in re Geometrica serio versatus
Sit enim, ut ipse in exemplum proponit, area e Rectilinei viginti3uorum p pedum:& As lineae longitudo, duodecim sed D Parallelogrammi longitudo sit sua latitudine duplo maior. Tum s ponatur si longitudo: quum ipsa sit s, erit
a F 3. Ac tum A s constitui non poterit in patallelograminum quale quaerimus: nempe, in si maius ipso Es. Nam g s erit 8 pedum. At si ponatur B E latitudo, erit 3 s longitudo res &ss parallelogrammum, erit τ 1. Ac tum demum stabit Problema.Quamobrem ea cautio eiit, ne longitudo in a s dimidio lineae ponatur. Noe igitur Problema vi nihil Aissimulemus, eo minus Geometricum est, quo minus uniuersale. Quinetiam in errorem inducere possit bene exercitatos. Quod ego longiori sermone non explicabo. satis fuerit admonuisse de errore vitando.
Ad datam lineam dato Rectilineo aequale Parallelo
188쪽
grammum praetendere, excedens specie Paralleloia
sit data linea A a , datumqi Rectilineum c , & datum parallelogrammum D. volo ad A s lineam, applicare Parallelograminum aequale Rectilineo C, excedens speeie parallelograminum D. Divido A s bipartito in puncto s per decimamnonam huius, super dimidiam pyc constituo a s v C Parallelogrammum simile D. parallelogramino. Tum, per vigesimam tam huiusce , saeto tix L parallelogrammum , ambobus e &E E s aequale, & ipsi D similet ac proinde ipsi a s p e Et quia HκL maius est ipso Β Ε s e , & eidem stamite : maiora quoque sunt latera ΑΗ & x L, lateribus p Ε 8e s c. producantur ergo s s 8a s C ad aequalit rem ipserum x H ει κ L Sc persciatur Parallelogra mum s M N o , smile & ςquale ips N κ I , ac proinde aequale utrisque C Ee g & inseper, simile ipsi a d, per vigesimam huius i ob id ,circa eandem Dimetiemtientem per vigesimam artam eiusdem quae Dime tiens si s N , educta per punctum s. Et producaturA A , donec secet o N in puncto p perficiaturq; paratilelogrammum A N. Quod dico esse quale voluimus stilicet excedere parallelogrammum D , parallelogrammo Q p , quod est smile ipsi h Id vero constabit, protracta c s , donec secet M N in puncto Q. Est enim, per primam huius, Α M aequale Ma & per quadragemamtertiam primi, communemque Notionem, aequale ipsi ci p. Si ergo virique addatur g 9 : erit de per animi Notionem, AN et ale Gnomoni Ευ . Atqui Gnomo est requalis ipsi e Reatilineo : quum totum p M N o parallelogrammum, postum si aequale virisque e Ees c. Quare AN est aequale ipsi c. Sed de mile ips s c , per vigesin tertiam huius: ae proinde Us D , per vigesimam eiusdem, Quod facere oportuit.
PROBLEMA io, PRO PC SITIO XXX.
Datam rectam lineam secutiqum extremam de mediam rationem diuidere.
Quid se lineam secundum mediam fle extremam rationem Avidi, ostendit te tia Definitio huius sexti. Sit data linea A s diuiden3a secundum megiam 8e extremam rationem. Ex ipsa 1 a deseribo Quadratum A s e D : 8e per antecedentem, applico ad latus B c, Parallelograminum c E s , aequale Quadrato A c , excedens specie parallelogram-mum eidem 1 e smile: δί latus s M aequi distans C Ε , secet lineam Ap in punino G. Dico lineam Ap esse glutiam iscundum mediam de extremam rationem, in ipso G punctor esse stilicit L s ad p G ut B G ad G A. Quum enim a s st Quadratum, nempe simile ips A et , dux se δε es sunt aequales. sed & CH ipsi AB aequalis ut pote aequalis ipsi h D , per triges m artam Primi Et quia A c & M a sunt qu lia , dempto ab utroque e ci , supererunt & C E aequalia. Quumqtangulus
Q vnius, si aequalis angulo alterius: erunt ipsorum latera reciprocae rationis,
per decimamquatiam huius. Quapropter ti ci ad si s ut A c ad ci A. Et quia A Bo 4 est
189쪽
est aequalis Μc, es vis ipsi sci: erit Ap ad ac vi sci ad L, Quod erat constitutum. ALITER probatur ex secunda parte Aecim septimae huius. Constat enim DC esse id quod fit ex AB in A Geitem p s esse Quagratum ex a C. Quare tres lineae A B , A G& c A simi proportionales, Quod erat faciendum.
THECREMA dii, pRC POSITIO XXXI.
Si guo Triangula ad unum angulum sic constituantur, ut duo latera duobus lateribus mutuo sint aequi distantia,& eadem inter se proportionalia: duo reliqua ipsorum latera in directum erunt,& linea una.
sint duo Triangula Asc 3c CDE, a3 angulum A c D se constituta, ut latus AB aequidisset lateri Dc,&AC ipsi DE. sthi Αs ad D c ut Ac ad Da. Dico
duas bases s e & e A esse in lineam unam . Est enim propter aequissistantiam laterum, uterque angi torum A & D , angulo A c D aequalis: per priorem partem uige aenonae Primit ob id, inter se aequales. Quum igitur latera ipsos angulos continentia, sint proportionalia: erunt angula, per sextam huius, aequiangula: & angulus B , aequalis angulo D c s e angulusq; A C s , aequalis angulo A.
Itaque, per trigesimam ecundam primi, tres anguli qui ad e, duobus rectis iunt aequales. Quare,perdecimamquartam Primi, duet lineae Ac & es sunt in directum, di in lineam unam, Quod erat demonstrandum.
THEO REM A G, PROPOSITIO XXXII.
In Triangulis Rectangulis quae a maximo laterum producitur Species, aequalis est iis quae a duobus reliquis lateribus similes similiter possis producuntur, Spe
Sit Triangulum Asc, cuius angulus A rectus.Dico speciem quae a maximo i tere ac producitur, ese aequalem ijs quae a duobus lateribus As 3e Ae Us specieis e smiles 3c similiter positae producuntur. Ab angulo Α demittam AD perpengicularem ad latus a c. Et erunt duo Triangula As D & ADc, similia toti hac Triangulo & inter se, per octauam
huius: Quapropter, ex Consectario eiusdem, exu gunt Auae proportionalitates ternarum linearum scili Oisc ad ea, ut CA ad CD : item cs ad BA, ut BAad n D Itaque ex Coniectario decimaenonae huius, species quae ex B C prima,ad eam quae ex c A seeuda, similiter deseribitur, est ut ac prima ad c D tertiam: item Species quae ex e s prima,ad eam quae ex A A secunda, smiliter deteribitur, est ut cB prima ad BD tertiam. species igitur quae ex BC, ad eas quae ex CA MI A simul, est ut a C linea ad vi 2 & D e smul. Atqui a c aqualis est Uss BD M
190쪽
D e. AEqualis est igitur Species quae ex B c, duabus quae ex e Α & a A smiliter de ieribuntur, Quod erat demonstrandum. Hv 1 v s Demonstrationis concluso simplex test enim citra autoritatis testimo nium) apertior est, & obscuritatem tollit. si quis vero rationem a se exigere velit, sic expendat.Species quae ex A C, ad Speciem quae ex e a similiter describitur,est ut D c ad c B, per ipsum Consectarium decimmnonae&Conuersam proportionalitaterilemq; species quae ex A a , ad eam quae ex ipsa B c smiliter describitur,est ut a tiad eandem B e. Iam vero ponatur Species A C prima, & species A c secunda:linea vero De tertia,& sc quarta. Et insuper, species as quinta,linea vero AD sexta. Ac tum,ex vigesima quarta Quinti,erut Species A c prima & species A A quinta simul, ut linea D c tertia & s D sexta, ad B C quartam. Atqui a c linea est aequalis guabus a D & D c. Igitur es species quae ex Ac, aequalis est duabus quae ex A C& , p, Quod fuit demonstrandum. AL 11s R. similes Figurae duplam inter se habent rationem quam similis rationis latera, per vigesimam huius. Species igitur quae ex B c, ad speciem quae ex C Asmiliter descriptam, erit ut Quadratum quod ex ipsa BC, ad Q adratum quod exc quum utrinq, si dupla ratio quam laterum. Eodem modo quae ex a e species, ad eam quae ex ΕΛ smiliter deseribitur, erit ut Quadratum ipsus se ad Quadii tum ipsus p Α. Quapropter & scut Species quae ex s c ad duas quq ex c Α & s Α, se Quadratum quod ex eadem v c ad duo quae ex CASAL Quadrata. At Qua dratum quod e s c, aequum est Quadratis quae ex CA & B per quadragesimam- septimam Primi. Quare species quae ex a c, aequalis est duabus quae ex cA&a Asmilites deseripti; speeiebus. Quod fuit demonstrandum. Haec igitur generatim complectitur pythagoricam, stilicet quadragesmainseptimam primi: & per ipsam quodam tamen veluti praepostero modo) probatur. Illa enim ex hac innote te debuit. Geometria quippe generatim & in uniuersum, quantum potest, proponit. Sed tamen Quadrati dignitas separatam ac peculiaremsbi demonstrationem assumere potuit. Conuersa autem huius , ex Campani Demonstratione erit eiusmodi.
sit Titangulum Asc : sim Species quae ex n C, aequalis duabus quae ex Ap &A c similiter deseribuntur. Dico angulum L ese rectum.
In Circulis aequalibus, anguli 3c qui ad Centra, de qui ad Peripherias consistunt, inter se sic habent, vi Areus illos angulos suscipientes. Sed Sc se Sectores inter se.