장음표시 사용
171쪽
Q v v M autem hoc Theorema sit ustatissimum,neque fere vllum in Dimen- sonibus occurrat frequentius triplicem Triangulorum usquiangulorum conssit tionem exponengam esse duximus: quarum primam iam tradidimus, ex vetetum praescripto: scilicet, quum Triangula super eandem lineam rectam construuntur: qualia hoc loco Ens &s Aci, super lineam E c : nisi quod compostionem alti quantum variauimus: schemate tamen eodem retento. Altera igitur ostensionis ratio erit ex Triangulis PEquiangulis,quae aliud in aliud inseruntur. Sint duo Triangula Ap c 3e ops, aequiangulat ut angulus A sit aequalis angula De & angulus B unius,aequalis angulo B alterius: angulusq; c, angulo g. Dic ese a D ad B A & B s ad A c, ut D s ad A c.
Quoniam enim angulus D aequalis est angula Α: erunt, per vigesmamoctauam primi, Ac & Ds paralleli. protraho Cp ad punctum s: & pono EF aequalem c 24 Itidem protraho E D ad punctum : & pono a C aequalem c A: & conne L ctos . Et quia angulus css aequalis est angulo ct & duo latera As & Ε ci , sunt aequalia duobus c a & c Α 1 erit Diam gulum GEF, Triangulo A B C aequale 8e aequilaterum, per quartam Primit & per vigesimamoctauam eiusdem, F G ipsi s A parallelus. Sic itaque argumentationem in lituemus. Qyoniam D s ipsi A c est parallelus: erit per secun3am huius, A Dad D s vi cs ag Ε B QDapropter coniunctim, pet decim octauam Quinti, vias ad Dab sc CR ad sp. simili ratione, quia a D ipsi sc est parallelus, erit, perseeundam huius, s s ad n a ut C D ad ns: Ergo coniunctim, F Ε ac propterea, a e ) ad n s , scut vi s ac propterea,ticut A c ad D s. At probatum est ut ΑΗ ad DB, sic cB ad EB. Quare,per undecimam Quinti, ut As ad DB & c B ad Ε Ε, ita Α c ad D s , Quod erat demonstrandum. Atque ea est altera Triangulorum AEquiangulorum composito. Tertia vero est ad decusationem inter duas parallelosi qualia iunt in subiecta Figura Gnomonica duo Triangula A B c Ze BD s: quorum duae baies Α c & D Esunt parallelit atque inter has, duae lineae A A & e D , se ricusantes in puncto A, tic duo ipsa Triangula A p c & pDs cum ipss parallelis constituentes. Figuram autem Gnomonicam complevimus, ut se un3itatem ipsius ubique obuiam osten deremus Habes enim uno intuitu triplicem positionem Triangulorum AEquiangm Ioram. scilicet in dimidio Parallelogrammo,duorum Triangulorum A B C & Ε Ε C,
super A s Di metienter ac tantundem in altera medietate
Parallelogrammi. Quae positio ad primam demonstrationem pertinet. Alteram duorum Triangulorum Α Ε κ & a g C, etiam aequiangulorum: quorum minus intra maius insitum . est: scut 8e B A D in As H. Quod in iecunda formula exhi
Tertiam habes postione duorum A B c & s D Ε, itidemi A B 3 & B Ε Quorum probatio satis manifesta est,ex iis quae iam ante tradidimus. A et Qua lila etiam si diligentes animaduerteris, comperies ex Triangulorum probatione, Parallelogrammorum probationem consequi: quum constiterit scuthe ad ea, itanti ad c s. Sed haec iam pluribus verbis non indigent.
Quarta erat Triangulorum AEquiangulotu positio cirea eaDdem Dimetientem: qualia sunt A A C & A n s r item Asci&AED. Quae quia sunt aequalia,demonstrationem non requirunt, sed ad aliorum probationem accommodantur.
gulos sub quibus latera proportionalia subtenduntur.
172쪽
Nie est Conuersa antecedentis. Sint duo Triangula AB c& dxs: siqi Ap ad D s , & A c ad D s , ut B c ad A p. Dico angulum A ese aequalem angulo D i heangulum B , a guto p 1 he angulum C, angulo F Super lineam Es, ex aduersa parte Trianguli Das, constituam,per vigesm tertiam Primi, angulum s sc aequalem angulo a & an gulum E 3 C aequalem angula c. Etunt ὰuo constituti, minores duobus rectis, quia aequales minoribus duobus rectis, per decim septimam Primi. Concurrent igitur Ε N s Q , ut ad punctum C. Eritq; angulus ti , per trigesmamseeundam primi,aequalis angulo A. Itaque,per an recedentem , A p ad a C Ee A C ad s , ut B c ad a Fr, A A ad D s seut ad sol & Ae ad D s sicut ad s c , per undecimam in . igitur, per alteram partem nonae eiusdem, erit D Ε aequalis Ε e 3c D saequalis pC. Quapropter ex octaua primi, duo Triangula Dps 8e cas sunt aqui angula. Quum igitur Triangulum cas sta iangulum Triangulo Aser erit & DΕs eidem Anc aequiangulum, Quod erat demonstrandum. San δε hete probatio ex Figura Cnomoni ea elicitur. sint enim duo Tria gula As c & D A g siqi Am ad A C, vi a D ad n Ε : N Ap aa 2 c, ut a D ad x D. Dico angulos proportionalibus lateribus contentos, esse aequales. Ponam latus A n unius, in directum lateris A D alterius 1 vi snt A pC Ee s D ATriangula, uperlineamvnam A D. Elduram n s parallelum Us c A, quae concurrit cum c a protracto ad punctum p. Quia ergo,per decim quintaPrimi,angulus D A s ςqu lis est angulo As ei & per vigesimam nam eiusdem,angulus B D F, angulo v ce erunt per triges msecundam eiusdem, duo Triangula Αnc Ee s s D, aequiangula. Itaque, per antecegentem, ut AB a A c, se s D ad D s. Sed ut Α B ad A c, se positum est A D ad 3 Ε. Est igitur, per nonam Quinti, D p ipsi E B aequalis. Rursus per antecedentem, ut A A ad A C, scm D ad A s. Sed ut A B ad A c , se A D ad D s. sunt igitur,per eandem Quinti, s s& aD latera aequassa.Itaque per octauam primi,guo BD s 3E BED Triangula sunt aequiangula. Quare is pC M ADA aequiangula, Quod erat demonstrandum.
Duo Triangula, unum angulum uni angulo aequalem habentia, Ec quae circum aequales angulos latera proportionalia r inter se sunt aequiangula.
sint duo Triangula Α ne ει Das: si angulus p aequalis angulo gr& AB ad ΣΕ Vt s c ag Ε F. Dico duo Triangula ese aequiangula. Maneat ut in priori siguratione ante gentis, Triangulum a C s ex assueta Dianguli mas, aequiangulum ipsi AB c. Et erit, per quartam huius, A B ad A G ut B c ad a s : ob idque, exf ipsa hypothes Ee undecima Quinti, Ap ad D s ut AB aflf Ε o. itaque, per secundam partem nonae Quinti, D E est aequalis Ε o. Quia ergo duo latera is de ps, Trianguli U DAs, sunt zqualia duobus E e & Ε s , Trianguli E c prς & angulus Ε unius aequalis angulo a alterius,quum uter se aequalis angula B etunt per quartam primi, DEF & Εs aequiangula. Quum igitur a vi s si ipsi AB aequiangulum, erit 3e D E s eidem ABC aequiangulum,
173쪽
THEO REM A m, P RCp OsITIO VII. Si duo Triangula unum angulum uni angulo aequalem habuerint, Ec quae circa Auos ex reliquis angulis lat
xa , proportionalia: reliquorum vero duorum utemque aut neuter fuerit recto minor sequiangula erunt
Triangula & anguli proportionalibus lateribus con
Sint duo Triangula hac he D s p siqi angulus A aequalis angulo D , fle ratio Ac ad D sutch ad F Ε ire uterque duorum angulorum s & Ε, aut neuter sit minor recto Dico Triangula esse aequiangula de angulos proportionalibus lateribus contentos esse aequeses. Iam enim si angulus c fuerit aqualis angulo p , constat ipsa esse aequiangula, ex ante gente.Si vero inaequales fuerint, si maior c: 8eponatur angulus Acci aequa iis angulo s, pervige a1ntertiam Primi. Eritqι, per trigesim secundam eiuLdem, Triangulum Acc, Triangulo D p p aequiangulum. Itaque, per quartam huius, A C ad DF ut C c aa s s. sed sic fuit sc ag s s. Igitur, per nonam Quinti vi e M A C sunt aequalese ob iὰ , per quintam Primi,umgulus B , aequalis angulo B ci c Si ergo Deuter duorum Adg Ε fuerit minor recto, erunt duo anguli a & , Triam guli BC c, non minores duobus rectis, repugnante decumaseptima primi. sin uterque fuerit minor recto,erir sng ius AC c maior recto, per decimamrertiam eiusdem,ac propterea angulus a maior recto,contra hypothesin Non ergo inaequalis est angulus A c B ips s angulo Qua re A s c Τriangulum, ipsi D E s Triangueo aequia gulam, he anguli proportionalitibua lateribus comprehens aequales, Quod erat demonstrandum. Ρ Ο Μ 1 T v κ autem uterque C & A , aut Deuter minor recto: vi deducamus ad absiliam. scilicet quum reperiantur dux lineae cc & sc aequales, erunt duo anguli a N c B aequales, per quintam Primi. Si ergo uterque Ε Ω B sit minor recto, erit & A c minor recto, utpote ips E aequalis. Qzare, per decimanater
tiam primi, erit c C s maior re ergo Ee s maior eogem: qui postus fuerat mi Dor. si vero neuter A s si minor recto,etit uterque minimum rectus: Quapropter C C B rectus, per quintam Primit repugnante Acimaseptima eiusdem.
Ab angulo recto Trianguli perpendicularis ad hasti de missa, Triangulum in duo Triangula secat, similia
sit Triangulum AB c, cuius angulus A rectus: si Α D perpendiculatis ad B ebasin. Dico duo Triangula A AD 3e ΑD c, toti hac Triangulo & inter te esse ilia. Nam quum utrunque sit rectangulum, de uterque hac
beat unum angulorum toti Triangulo communem: erunt
per trigesimam cundam Prim toti aequiangula: quapropter se inter se. Scilicet, angulus p aequalis angulo C A D tde angulus C, angulo s A D : 8e guo anguli qui ad D , recti sicut Ee angulus f A c Quod de nos septa ad quadragesm septimam nimi domonstrauimus. Itaque, per quartam huius, latera aequos angulos continentia, Pr portionalia. Quare Triangula, toti de inter se similia, Quod fuit ostendendum.
174쪽
ut A D perpendicularis, media proportionalis est inter a D&Dc segmenta. Et, s latus inter Ac basin & an segmentum itiam Ac latus, inter ipsam se b siti & n e segmentum, proportionale est.
Inter duas lineas recta media proportionalem inuenire
sint duae lineae rectae As & ac, inter quas stinuenienga media proportionalis. Ponam B c in eontinuum ipsus A B : ut si Ac linea una. Super quam de libam semicirculum A D c. Et a puncto B, erigam B D perpendicularem. Hanc dico esse mediam inter
Connectantur D A & D c. Et erit, per trige amretiij, angulus AD c rectos. Quate, per Consectatium antecedentis, Ap ad B D ut m Dad se, Quod erat faciendum. ALITER. sint duae lineae AB & c, quarum maior A p Nam inter 'aequales, media est aequali;). Volo inter ipsas constituere proportionalem. super As deseribo Semicirculum L D s i 8e pono Ea aequalem s c. Tum ab
A puncto, excito perpendicularem An : Eteonnecto A D Ee BD. Dico a D esse mediam proportionalem inter AB & aB: hoe est, inter An & C. Constat quippe ex trigesima Terti j, angulum A D A esseae tectum & ex antecedente , duo Triangula A E D & Η Ε D ' esse inter se & toti A D s similia. Quare per quartam huius, An ad n D ut A D ad 3 B ob idi, ut A D ad C, Quod erat saetendum. IN HAC igitur constructione, uno intuitu triplex conspicitur proportionalitas. Ea enim p n media inter A B & s s , ut iam probauimus seg Ed Α D media i ter Α a de A g r Ae tertio a D media inter ΑΕ δί ΕΒ segmenta.
sit darem Aium ΑΕ, data vero linea se. Volo in BC duo extrema propor tionalia reperire, inter quae sit An medium proportionale. Modo tamen Aa non sit maius dimidia parte ipsus a c. Nam se medium esse non posset Iungo Αρ & B c, ut Ac sit linea una. Tum super se deseribo se ei reulum s s c. Et a puncto A , erigo perpendiculare AD : quam pono ipsi As aequalem Et per punctum D duco DA, parallelum ips A c 1 quae omnino serabit, aut continiaget semicirculum,ut in puncto 3 1 quum A D non si maior semidiametro. Tum a puncto E, demitto E Fperpendicularem ips A C. Dico a e sie diuitam in puncto s , ut A A sit media pi portionalis inter B s&FC.
175쪽
Hoc autem satis manifestum est ex ipsa trige a Tettii & Consectario antecedentis. Nam quum FEst equalis AD, per trigesimamquartam mi ob id , ipsi Ag i Auctis lineis ΑΕ & c a , set Diangulum BECRectangulum. Ob id ex ipse Consectatio, erit Br ad FE ob id , αδ ipsam As ut sa ad sc, Quog suit saetendum
Duabus lineis propositis tertiam continue proportion,
sint duae lineae As & AC, quibus si adsenὰa tertia continue proportionalis. Coniungo ipsas A C & A s ad angulum arbitrarium a A c. Tum protracta AB, facio m D aequalem ipsi A c. Et connexas c, duco D s , pararallelum ipsi A c & protraho A c : d nec Concurrat cum D s ad a punctum.Dico lineam cs esse tertiam ad duas & continue proportionalem. Est enim, per secundam huius, A a ad a D scut A c ad C s Sed ΑΕ aa ad seue ad Ac, per alteram partem septimae Quinti. Qiu te A A ad Α c sicut A c ad c Ε, Quod erat iaciendum iri A Liae ast. Constituo A n & B c datas , in directum. Tum seper punctum Aerigo AD lineam,ad angulum arbitrarium:quam facio ae rem ipsi s c. Et a puncto D , per punctum B , duco transue iam D E 1 ad quam demitto concurrentem c a , parallelum ipsi AD. Dico es esse tertiam proportionalem ad Ap & s . Quum enim per decimamquintam primi, angulus a, Tria aequalis angulo B, Trianguli CAE:&per viges mnonam eiusdem 1 lis angulo c, & sngulus D angulo Ε : erit, per quartam huius, 3 ad D A sicut D c c g. Quare,per undecimam Quinti, As ad s c sicut a Cad e Ε, Quod erat facien/um. Attrast rursus. Consituo ipsas Ap & sc ad angulum rectum A B c Et connexa L c , Auco a ptincto C, perpendi larem c D quam produco donec concurrat cum An protracta ad punctum D. Dico BD esse tertiam propo tionalem ad An N ac Id vero fatis constat ex Consectario octaua huius.
Theoni Problema 4, proposito I 1.
Tribus lineis propositis quartam proportionalem ag-
Sint tres lineς Α Β , a C, & A D. Volo his tribus quarta proportionalem adiungere pY Α Β & s c facio lineam unam A c : ει statuo I D cum A c, ad angulum se tuitum C A D : Ee connecto D B t cui duco parallelum C Ε. Tum protraho An d nec concurrat cum c A ad ipsum s punctum. Dico D sese quartam proportionalem ad A s , B c , M A D. Erit enim, per secundam huius, sicut AB ag a c, ita AD ad D s , Quod erat faciendum. Sed & hoc patebat ex antecedente, Modo tamen animaduertas tam Continuam quam Incontinuam proportionalitatem lac probarit quas Euclides separatim non tractat, ut in Defini conibus Quinti monuimus.
176쪽
AL)Y Εκ sint tres lineae . proportionalem. Coniungo I
. B, BC ,εί BD. volo ad ipsas addere quartam a primam cum B D tertia r visi AD linea una. Ae super hanc erita
go a e secundam, ad angulum sertuitum A s C : Et co necto Ac. Tum per punctum D dueo DΕ ipsi Ac pars letum equam produco donec concurrat cum c a itidem protracha ad punctum s. Dico AE ese quartam propo tionalem ad ipsas Aa, ac, & pD: esse stilicet ut A B ads c, ita a D ad B Ε Quum enim ex gecima inta de vigesimanona Primi, guo Triangula A B c & D Ε Ε sint aequiangula, erit, per quartam huius, An ad A CH BD ad ΒΕ, Quod erat faciendum. Hanc Campanus antecegenti Propositioni annexuit, ut Appendicem.
Theoni Pioblema et, Propositio s.
A data linea constitutam partem abscingere.
sit gata linea AB, a qua sit resecanda, verbi gratia, pars tertia. Duco lineam Ac, quae cum A a faciat angulum sertuitum c A s. Et in directum L AC, continuo c D & Da, ipsi A c aequales: vi sit A Lin tres aequales partes diuisa, in punctis e & D. Et conne eho Ep. Tum a puncto e duco es parallelum ipsi BE, secantem AB in puncto I. Dico Ap esse tertiam partem, lineae AB. Quoniam enim, per secundam huius, s c ad c A vias ad p Α: erit coniunctim, E A ad c A xt s A ad sh. Sed Α Ε ad c A tripla igitur & ΒΑ ad F Α tripla. Quare As ipsus Aa tertia pars,Quod erat faciendum Ss D quoniam minutae denominationes, quales sunt superpartientes & Supe particulares, non ita sunt expeditae: id negotii obiter explicabimus. Sit linea AB, a qua resecanda st pars si1bsupertripartie s quintas. Quum octonarius ad Quinarium si supertripartiens quintas: ex octo lineolis aequalibus, faciam lineam unam: cuiusnodi hoe loco est linea Ac: quam coniungam ad angulum fortuia tum cum ipsa Λ a diuidenti. Et connexa a C , per punctum quintae sectionis, quod st D , ducam ti a parali tum ipsi a C. Erit A A ipsa pars quam quaerimus lineae; As, silicet iussupertripartiens quintas. Quod desine tio ipsa satis ossengit. Nam quum ΛD si ad A c subsupertripartiens quintas: semex postrema probatione ut AD ad A c , sic a E ad A a : erit de Α Ε ad A a suta pertripartiens quintas, Quoa fuit ostendendum.
Theoni problema 1, proposito Io.
Datam linea non sectam,datae lineae sectar similiter secare
sit gata linea non secta, secta vero si Α C , verbi gratia,in tres partes quanta unque, AD , D E , & E C. v lo lineam Α Η in tot smiles partes diuidere. Iungo Aa & Ac ad angulum pro arbitrio, BAc. Et connecto 2 c Cui per puncta D de E duco parallelos D sn 4 de I .
177쪽
Ee s cl. Has Alco diuidere lineam ha in partes similes partibus lineae Ac. Ducam D H parallelum ipsi as, serantem p c in puncto H: & s in pum. Eho κ. Et sumptis guobus Triangulis Anc es DNc, erit per secundam huius, E D ad D A ut G s ad sΑ similiter C s M E D ut es κ ad K De ob ig*, ut a C ag ci s , per trigesimamquartam Primi, & seeundam partem septimae Quinti, Quod erat faeiengum. Toties vero repetitur secunda huius, quot erunt paralleli ipsi s e , sed toties triges ina quarta Primi & septima Quinti quot erunt ipsi A a paralleli Ex MAc habetur facilis ratio diuidendae linear in quascunque partes nominatas. ut si tripartito steanda st: fiet Dy aequalis ADt & s c aequalis eidem, per tertiam primi. tum eodem constructionis modo quo iam usi sumus,secabitur A Bin tres partes aequales. Idem de euiuscunque generis partibus erit iudicium.
Aequalium Parallelogrammorum, Ec unum uni aequalem angulum habentium, reciproca sunt latera qua circum aequales sunt angulos: Et quorum Parallelogrammorum unum uni aequalem angulum habentium, reciproca sunt latera quae circum aequales angulos, ea sunt aequalia.
sint duo parallelogramma Asen & cssc, aequalia: sint angulus c unius, aequalis angulo C alterius. Dieo esse B c ad C c vi s c ad e D. Et s suetit A c ad c ci vi a C ad C suerintq; si duo comprehensi anguli aequalest Dieo duo Parallelogramma esse aequalia. Ponam duo latera a c & c ci in Airectum, ut iit linea una. Eritq; a D iti dem linea una, per ea quae demonstrauimus ad decimam latam Primi. pro/uco itaque AD N F ci latera donec concurrant ad punctum H. Et erit, per priorem partem septimae Quinti, utriusque Parallelo grammi A c N C s a3 Parallelogrammum c H , ratio eadem. Et quia per primam holus, parallelogrammum A c ad Parallelograminum ci est ut sc basis ad c o basin t & Parallelogra mum c s ad idem e A, ut a c basis ad C D bata: erit per unde cimam Quinti, n e ad c c ut A C ad C D , Quod est prius. Esto iam a C ad c c vi s c ad c D. Et erit, per primam huius, B c basis ad c basin, ut A c parallelogrammum ag c n Parallelogrammiam: Et E c basis ad cn hasti. vi os Parallelogrammum ad idem CH parallelogrammum. Itaque, per undecimam Quinti, A c ad c Η ut e s ad idem C H. Quare, per priorem par tem nonae eiusdem, parallelogramnium AC, Parallelogrammo es est aequale, Quod fuit demonstrandum
THEO REM A io, PROPOSITIO XV.Campano 14.
Aequalium Triangulorum,& unum uni squalem angulum habentium, reciproca sunt latera quae circum
178쪽
aequales angulos: Et quorum Triangulorum unum vni aequalem angulum habentium reciproca sunt latera quae circum squales sunt angulos,ea sunt squalia.
sint duo Triangula aequalia Ahe S aD s : si argutus B unius, aequalis angulo I alterius. Dico As ad B Ε esse ut D p ad s c Ft s fuerit AB ad A A ut D aad a c, fuerintqi duo anguli qui ad p , aequales, Triangula esse aequalia. Iungam duo latera ha & ss,vist Aa linea una. Et erit De linea una, eadem ratione qua in antecedenter scilicet, per Conuersam Decimaequintae Primi. Et connectam c g. Eritq, per prior partem septimae Quinti,utriusque Triam guli Aac & sDs, ad Triagulum CB g ratio eadem,re quia,per primam huius,ess,ac ad B sc ut A B ad Η Ε : pDs ad idem a sc ut D A assa ce erit, per umdecimam Quinti A s ad 3 Ε ut D B ad s c, Quod est prius lato iam A s ad B Ε xt D s ad a c, sintqj duo anguli qui ad n , aequales. Et erit, per primam huius, Ap ad a B vi Ag C ad B Ε cr& D B ad A E H D s s ad idem AE c. Est igitur, petundecimam Quinti,viritisque Asc & Dss ad fg c, ratio eadem. Quate, per priorem partem nonae eiusdem, ipsa Aac di D E s sunt aequalia, Quod fuit θει monstrandum. HAEc figuratio , si intelligatur connexa A D , erit Quadrilatera cum duabus Dimetientibus. sed non oportuit esse aequissistantium laterum , quum ge solis Triangulis ageretur neque hs aequi gulis. Nam scessent AC SI DE paralleli. Caeterum haec mutuorum laterum in Triangulis comparatio , se colligitur: vest A A superior,ad suam directam n s , sicut D s itidem superior ad suam directam A c. Nam si diceretur A s superior, ad a Ε , ut c 3 inferior, ia n D: non responderent singula singulis: Deque esset mutua comparatio. Idem intelligo de permutatio
Atque hoc notabile est afl reciprocationis cognitionem. Hoc igitur totum ex duabus Dimetientibus Quadrilateri se decussantibus pendet.
THEO REM A ii. PROPOSITIC XVI.
si quatuor lineae proportionales fuerint, quoil sub evir mis continetur Reseangulum, sequale est ei quod sub mediis: Et si sub extremis comprehensum Rectangulum aequale fuerit ei quod sub mediis, quatuor li
Sint quatuor lineae AB, ac, AD,& 3Ε proportionales,ut A I ad 3 e , sta s DA A v ad 3 E. Dico Rectangulum comprehensum sub La & as, A esse aequale Rectangulo comprehenso sub a C & sol&- s Rectangulum eomprehensum sub AB & Ε B, si aequale Rectangulo quod sub A c & s D i dico de ese Ap ad B evt B D ad B A. Fiat Rectangulum As ex Ap & As: Rectangulum quoque eo, ex se & a D. Et statuantur ad angulos eo tra se positos qui ad p ut clarius si totum ex Figula Gno monica pendere. Quum itaque si Aa ad se ut BD ad n 2 1 etit permutatim, AB ad BD ut scia
179쪽
ag a r. Quapropter, in quocunque sint situ Rectangula, quum sint anguli uod1
. a vi quaque aequales, erunt latera reciproce proportionalia. Quare, per secunsam partem Aec aquartae huius, Paratilelogramma aequalia, Qtod est prius. Secundum patet ex priori parte eiusdem. Si enim sint parallelogramma aequaliat quum omnes anguli sint aequa les , latera erunt reciproca. Quare in hoc situ AD lineae nius, erit As ad pD ut B c ad age hoc est, perdiu tatim, Aa ad se ut m D ad 3Ε, QDod erat demon standum.
Si tres lineae proportionales fuerint: quod sub extremis continetur Reseangulum aequale est ei quod i media fit Quadrato: Et si sub estremis comprehensum Rectangulum,aequale fuerit ei quod a media fit Quadra
to : ipsae tres lineae proportionales erunt.
. A sit linea AB ad lineam a c, ut eadem B c ad ter tiam A D. Dico Rectangulum comprehensum sub Asa D esse aequale Q grato quod ex B c. Et s Rechanguialum eo rehensum sub As 5 A D sit aequale Quadi m B C r ese A I ad B c vi s c a3 s D. me autem satis manifestum est ex antecedente.Nam sinea s c , hoc loco est pro se n9a es tertiar B D autem quarta. Hoc igitur Theorema superiori connecti poterat, ut Consectarium.
THEO RENA 13. PROPOSITIO XVIII.
Similia Teiangula clupla inter se habent rationem, quam
Sint duo Triangula, hae & D s F, similia: hoc est per primam Desinitionem huius, aequiangula, & laterum proportionalium: Et si angulus A aequalis angulon e angulus s , angulo Ε : & angulus c, angulo s si Aa ad DE & Ac ad os xt s c ad Ε s. Dico duplam ese rationem Trianguli As c ad Triangulum Das, L quam B c ad A s Duabus enim lineis s e & Ε s addo tertiam C C, per decimam huius, continue proportionalem : resecta B C, aut eadem protracta, ut maior aut minor fuerit quam Ε p euiusmodi l la dupliciter figurauimus). Et connecto G A. Eriti, per alteram partem decim. quintae huius, Triangulum A C c , aequale Triangulo I ossi quum si A c postum ad D s ut a p ad c c , de sit angulus c, angulo s aequalis. Itaque, per secun h odam partem septimae Quinti,erit Trianguli A B c ad utrunque ipsorum A vi e & Das, ratio eatim. Atqui Triangulum B A c , per primam huius, ad Triangulum A c C , est ut a C ad G c : sed B c ad c c ratio, est ut a c ad E s duplicata, per decimam Degnitionem Quinti. Quare Trianguli
180쪽
ane ad Nangulum D E p ratio, est ut a C ad DF dupli ta, Quod erat demonstrandum. Iam vetos CC st aequalis A C, erit, per alteram partem decimaequintae huius, Triangulum hac aequale Triangulo DΕs AEqualis autem proportio, quocunque modo multiplicetur, manet eadem e quum ab unitate denominationem simat, quae ipsa sat est Quadrum, Cubus: ae in uniuersum in se dueta, si ei sibi
similia Polygona, in similia totidemq; numero Triam ' gula diuiduntue. Et Polygonum ad simile Polygonum duplam habet rationem, quam latus ad similis
sint Polygona similia, ae in praesens pentagona , ABCDE Ze vcHκL. Hae iueo diuidi in Triangula inter se similia, & numero aequalia: Atque insuper, esse virumque illorum ad alterum, ut proportio lateris Ap ad FG latus smile duplicata. Connectantur ΛC N AD itidem pH N p x. Eritqj, propter militudinem Polygonorum 8c per sextam huius, Triangulum Ap c, Triangulo Fus aequiam gulum & Triangulum A s D , Triangulo p x K. Ob id, quum Pentagona sint expostu quiangula & lateru proportionalium: erit de Triangulum Α c D , Triangulo s N κ sequiangulum. sic utrumque alteri s le,per quartam huius ti definiti nem Similium superscierum. Quare quum aequalia snt numero, paret prior pars. Altera autem sic. Dueatur a D , quae secet A c in puncto M N GK, quae secet 3 Η in puncto N. Frimi, propter militudinem polygonorum 8d per sextam huius,
Tria gulum B c D, Triangulo CHκ aequiangulae unde & Triangulum AB M Tria gula s C N aequiangulum: AEquales enim sent anguli IAM & pN, & ab aequalibus auseruntur AsM dc p c u 1 ob id, per trigesimamsecundam Primi, aequian gula pagem ratione AMD ipsi pNK aequiangulum: Quapropter ex quarta huius, B M ad G N vi A Mad s υ itidem LM ad F N vi N D ad N κ . Igitur, per undecimam Quinti, a M ad C N ut M D ad N Er& permutatim, B M ad M D ut C N ad N x. sed, per primam huius, As M ad AMD, & scia ad c MD, ut AM M M Di &, pet eandem, sci N ad sNκ, S GNH ad H N K, ut G N ad N X. Itaque ex decimatertia Quinti, Asc aΗ CD ut sciti ad x H κ N permutatim, ABC ad FGH vi Ac D ia sHx. Eadem ratione s in tellexerimus ductas L C re L H, probabitur se esse Ac D ad s 1. K. Quare per decima ertiam Quinti, erit totius pentagoni ratio ad totum Pentagonum, ut Aac aA FGH: ob id , per antecedentem, ut Aa ad FG duplicata, Quod erat demonstrandum Ss D hoc posterius caput in communi notione est. Nam quum Triangula in quae restauuntur pentagona,snt aequalia numero, dc inter se milia: erit per antec dentem, ratio Asc ad F G H ut a C ad G M duplicata : N Ago ad sLκ it Daad x L duplicata. Atqui eae omnes duplicatae rationes sint aequales, quum earum smplices sint aequales, erit igitur, per decimamrertiam Quinti, ratio totius Pent goni ad torum Pentagonum, ut unius laterum ad suum simile, duplicata, Quod erat probandum.