장음표시 사용
151쪽
Prior pars se probatur. Si enim non sunt aequales: erit altera ipsarum, ut A, maior. Et erit, per priorem partem anteeedentis, maior ratio . η-- A ad c, quam A ad C, cotta hypothesin. secunda vero se. si A est maior a r erit, per secundam partem antec gentis, maior ratio e ad B,quam C ad A, contra hypothesin.
THEO REMA ,o. PRC POSITIO X. Quae duarum Magnituginum ad eandem maiorem rationem habet, haec maior est. Ad quam autem duarin eadem maiorem rationem habet, haec minor est.
si suetit ratio maior A ad c quum s ag D : dico A ese maiorem s. Si vero fuerit ratio maior C ad B, quam C ad k : dico econtrario a maiorem esse quam A. Conuersa octauae. - ' Prior pars e stat ex priori parte septimae te priori octauae. mper priorem septimae,non erit A aequalis s Et per priorem octauae,non erit minor. secuta vero patet ex secundis partibus earundem.
Quae eidem sunt aequales rationes, Ec inter se sunt
aequales.sit ratio A ad 3 Et ratio e ad D,utraque aequalis rationi quae est E ad s. Di eo duritationes A ad 3 Ee c ad D esse aequales, esse scilicet scut A ad a, ita c ad D. G κ M sumantur G ad Α, & N ad e, & κ ag κ aequemultiplices: itemq; I ad a, & M ad D, k k -- - Ee N ad p.alim utcunque aequemultiplices. . . . - - - - Et quia ponitur Ε ad s scut A ad , a descut c ad D erit, per conuersam sextae Definitionis bis sumptam, si x excegat N, ut excedat L , & H excedat M 4 8c si diquare, aequale & si minus, minus. Si igitur c excedat N, excedet Η ipsum M 1 εί s aequale, aequalet fit si minus,minus. Quare per sextam Definitionem, erit ut A ad n ita e ad D, Quod erat probandum.1N hac demonstratur idem, ut gicitur, per idem. Tam enim confessa est smplicium comparatio, quam excessus Et aequalitas AEquemultiplicium: quanuis aliter probari pose non negem. Sed quorsum quum sit animi senium, ac sub eo Princi pio audiatur Quae eidem sunt aequalia, inter se sunt aqualiMQuod certe ita gener te est & uniuersum vi in omni arte, in omni specie , in omni denique ingenii me citatione, Aeni nem fle probationem prae se serat. Sed tamen huiuste rei desens nem iam ante occupauimus in prima huius.
Si singulae Magnitudines ad singulas eangem habeant ra
tionem: erunt,sicut una antecedentium a s unam consequentium, sic omnes antecedentes ad omnes cons quentes. Quod prima proposuit de Multiplicibus, haec in uniuersum de quibuscunt M
gnitudinibus. Sint Magnitudines singulae A, c, g, ad singulas B, D, s, eandem rationem habem
152쪽
test nempe scut A ag s,ita e ad D & a ad p . Dico esse scut A ad a, ita omnium mulA c ε, ad omnes smul An p. sumantur ipsarum A, c, Ε, aequemultipli
tum ex L, M, N, ita multiplex totius ex I, D, s , ut L est multiplex B. Et per conue sonem sextae Degnitionis bis sumptam, si e excedit L, & D excedet M, & κ excetit Ni & si aequale, aequale S s minus, minus. Itaque, per communem Notionem,si ci excedit L : excedit he totum ex G, M, K, totum ex L, M , N & s aquale, aequale: ges minus, minus. Quare, per eandem Degnitionem , erit sicut A ad A , ita totum ex Α, c, Ε, ad totum ex B, D, F, Quod erat probandum.
Si primar ad secundam eadem fuerit ratio quae tertiae ad
quartam: tertiae vero ad quartam maior fuerit ratio, quam quintae ad sextam: primae quoque ad secumdam maior erit ratio,quam quintae ad sextam.
Sit eadem ratio A ad B quae c ad D : maior autem c ad D, quam E ad s. Dico maiorem quoque esse rationem A ad a,quam E ad p. sumam G ad Α, & N ad c aequemultiplicia: Item L ad v, de M ad D, & N ad si alia aequemultiplicia Et quia eadem est ratio ad D quae est A ag s, sed maior quams ad F erit, per conuersonem sextae Degnitionis,s H exce3it M, ut si necessario excedat L. At, per conuersonem octauae Definia. tionis, si A excedit M, non necessario x excerit N. si igitur u e cedit L , non necessario X excedet N. Q Lare maior est ratio Aad 3, quam E ad τό QCod fuit probandum. Hoc autem totum nil aliud est, quam si fuerint duo inter se aequalia, unum vero illorum tertio quopiam maius : erit & teli
Ex cΑMs ΑΗ . Quodsiit eadem ratio A ad n quae e ad D, d c ad D maior quam s ad s mit he A ad a maior quam E ad p. Nam si si e ad n minor quam s ad x : erit a ad s maior quam e ad D. Per conuersonem igitur maioris Improportionalitatis, s x excedit N , non necessario ra taeedet M . sed si V non excidit M, neque C excedet L . Per Definitionem igitur maioris Improportionalistatis, maior erit proportio B ad F quam A ad B. Itaque econuerso, minor erit A ad a, quam Ε s, Quog etat ostendendum. Sed hoc non admodum ex ista probationis. Quod autem sequitur maioris est momenti,
I fureis primae quature uuantitatum, da si nilum missis ratis, quam teritis is vanum alisua erant aequemultiplis a primae G tretiis, quae quum rem rassi ν Λά aliqua aequemultiplici spe L quar iis, inuenietur multiplex primae multis esse multiplici secundae: non rem multiphae fretiae, triplici Danae. Quod sic probatur.
sit maior proportio AB ad e, quam D ad s. Ponaturque proportio As ad escut D ad Ε . Et erit, per hane At deeimam, As minor A B . Et si minor inquantitate 3 2. Hane P a multiplie o,donec proueniat quantitas maior C: quae siti vi He
153쪽
a H : hae lege, ut D toties multiplicata producat qualitatem n n minorem E e quaest K. Tunc faciam ut L c si tam multiplex A s, quam C N est multiplex ipsius p s, . aut K ipsius D. Eritqi, per primam huius , LM ita vi H multiplex ipsus An ut X ipsus D. Ponam postra dum M primum quantitatem multiplicem Ε, quae sit maior κ: & ponam N ita multiplicem c , ut M in multiplex E. Eritqi ex positionibus,ti ex conueisonti extae Degnitionis, quantitas N prima multiplicium
- - c, quae erit maior L C : nec erit L c minor c. sumam
itaque sub N , maximam multiplicium c aut ipsi aequalem, i sorte N sit prima multitiplicium illius, quae si o Constabimi N, ex o & c Quia ergo LC non est mi nor o, & N est maior c d erit tu maior N. Quare quum X sit minor M, patet propositio. H AE c Campanus. Cuius breuitatem fere ibique laudaui Hla vero ob compen dium, manca apparet Demonstratio. Non enim satis explicat, quartitatem v esse primam multiplicium quae sit maior L C . Hoc igitur probandum fuit ex quarta huius. Quum enim sit scut D ad a , ita A s ad c siqi x ipsus D aequemultiplex ut C et ipsius A s i itemq. M ipsius a vi N ipsus c erit, per quartam huius, sicut x ad M , ita st L ag N. sed κ ad M ploxime minor est φῶ M. Et c L igitur proxime minor est ipsa N. Quod autem dici ex postionibus, hoe innuit: quod quum G L st eodem modo multiplex ipsius A s , quo & x ipsus D : sit D ad A scut L ad A r : erit et o maior c, quum x maior quam Ε posita sti Ru sus Campanus. Conuersam quoque huius demonstrare poterimos videlicet, si reperiantur aliqua aequemultiplicia primae de tertiae: itemqi alia secundae &quartae aequemultiplicias & multiplex primat superet multiplex secundae, neque multiplex tertiae superet multiplex quartae maior erit proportio prima ad secundam, quam tertiae ad quartam. Quod se demonstratur. Sint quatuor QOantitates, A ptima. s secunda D tertia,& s quarta 1 sntq s ad A he C ad c D aequemultiplicidiar similiter D ad 3 Ω κ ad s , aequemultiplicia:&ae H F superet H, neque o super et x. Dico maiorem esse . . a rationem A ad B , quam e D ad g. . . Si enim stetit aequalis: set ut C superet κ , per con uersionem sextae Desnitionis: quod est eontra hyps . thesin. si autem minor 1 ponatur c L ad a scut A . . . ad a. Eritq- per huius decimam, c L minor c D. Et st --- - minor in quantitate L D. ponam igitur vi Mes sit ita
multiplex CL,& Np ita multiplex L D, sicut s est multiplex A. Erit , per primam huius, M p ita multiplex c D vis est multiplex Vtra igitur duarum Quantitatu M p & C, est aequemultiplex Quantitatis c D quapropter ipsae inter te aequales, per ea quae demonstrata sunt in septima huius. Et quia o non est maior κ non erit M p maior eadem. Seg per conuersionem sextae Definitionis, M N est maior x equum s si maior M. Maior igitur M N ipsa M s. Qi od fieri non potest. Qi are constat propositio. Haee ille. sed ne haec quidem Demonstratio quicquam h bet egregium. probat enim quos probatione non inὰiget, immo quod iam sepe inprobationem asumpsimus superiorum Theorematum. Prior tamen non contemnenda , quod offendat rationem sic consituendorum AEquemultiplicium,ut multiplex prsmae superet multiplex secundae , sed multiplex tertiae non superet multiplex
Si primae ad secundam eadem fuerit ratio quae tertiar ad
154쪽
L I B E R V. I quartam prima vero maior sueri quam tertia erit de secunda maior quam quarta: Et si aequali aequali, & si minor, minor.
sit ratio A primae, ad A secundam: ut e tertia , ad n quartam: & si maior A, quam c. Dico & a maiorem esse quam D : &s aequalis, aequalem & si minor,
, e Quum enim A sit maior quam et erit, per 1 ptiorem partem octauae huius maior ratio Α ad' D , quam c ad D 1 ob id*, maior A ad D, quam L ia n. Quare,persecundam partem decimae huius,erit a maior quam D. si vero A sit aequalis ci erit,per priorem partem septimae, A ad D scut cad D. Quare,persecundam partem nonae, erit B aequalis D. Quods L sit minor quam o, erit per priorem partem octa minor ratio A ad D, quam C ad D : ob id , maior A ad a, quam ad D. Quare, per secundam partemescimae, erit a minor quam D. Ac sic patet Proposito.
Magnitudines inter se,eandem habent rationem quam earum Aequemultiplicia inter se
sint e ad A, & n ad n aequemultiplicia. Dico eandem esse rationem e M o quae est A ad B. Diuidatur e mundum quantitatem ipsus odi
t----.-α -- & D secundum quantitatem ipsus p . Erunti
tot partes in C, aequales ipsi At quot in D, ipsi a. Et quia quaelibet pars ipsus e , ad quant et partem ipsus D, es sicut A ad 3 : erit, per duodecimam huius, C ag D sicut A ad n , Quod erat ostendendum.
THEOREM A is, PROPOSITIO XVI Si quatuor Magnitudines proportionales suerint,permutatim quoque proportionales erunt.
sit proportio A ad B sicut e ad D . Dico permutatim,ese A ad c sicut sad D. ponam E ad A, & s ad n aequemultiplices itemq. G ad c , ερ N ad D aeque- multiplices. Et erit,per antecedentem, A ad s scut G ad M. Itaque,per decimam is quartam, si E in maior ci ierit & s maior n & s. et aequalisb aqualis: & si minor, minor. Quare, per se A tam Desinitionem huius, erit A ad c scut A ad D, 3 Quod erat ostendendum. -- --. Ex hoc manisestum est,ut ex Continua proporti nalitate fiat permutata, oportere quatuor Magnitudines esse eiusdem genetis.
THEO REM A i , PROPOSITIO XVII. Si fuerint Magnitudines coniunctim proportionales, disiunctim quoque proportionales erunt.
155쪽
----- --ν rem CB FE, alias utcunque aequemusti
plices K p & NQ. Et erit, per primam hu- ius, C κ ita multiplex ΑΒ ut o M est multiplexa α AC r& L N ita multiplex Davi L M est multatiplex D s. sed quam multiplex est n ipsius A c, tam multiplex posta est L M ipsus D p & continue, quam multiplex LM ipsius D s , tam multiplex est, per primam huius, L N ipsus D s. Quam multiplex igitur C κ ipsius As, tam multiplex est,per undecimam huius, x N ipsus D s. Et quoniam ti x S M N sunt ipsarum c a & s E et emultipliees, item κs 8e Nuci ratis earundem aequemultiplices t erunt,per secundam huius, x p & M et , earundem c a & F Ε aequemultiplices. Per conuersionem igitur sextae Degnitionis, si G κ mul tiplex A s , excedat E s multiplicem c s : excedet I N multiplex D s , ipsam Mmultiplicem s Ε &s aequalis, aequalis: & si minor, minor. Ablatis itaque commmnibus ΗΚ & MN, si viti excedit XI, excedet & IM, per animi Notionem, Muci& si aequalis, squalis: & si minor, not. Quare, per sextam Definitionem,erit sicut Ac ad ea, ita D s ad F Ε, Quod erat gemonstrandum
THEO REM A is, s ROPOsITIO XVIII. Si fue int Magnitudines disiunctim proportionales,con iunctim quoque proportionales erunt.
Manente eodem Magnitudinum postu,sit hc ad es scut is ad ys. Dieo esseas ad ne scut DE ad as. Conuetia antecedentis. Singulis enim usquemultiplicibus ad singi
ct . - las Magnitudines accommoritis:erit, per com
in f A versone leti Desinitionis,s c N excedit L p, - ut L M excedat v s aequalis, aequalis: de A ri s minor, minor. Q apropter postis commmnibus ΗΕ N M N : erit, per communem Notionem, si ο κ excessit H s , ut LN encedat M quJe s aequalis, aequalis: &s minor, minor. Quare, per sextam Definitionem, erit Aa ad ac sicut DA ad Ε s, Quod erat demonstrandum. A ri r s x , si placet, ab impossibili. Quum sit A e ass e a scut D s ad F Ε : ted non Aa ad B c sicut DE sd a s st D p ag aliquam aliam, ut ad E c, Magnitudinem, sicut est cis ad Ic. Atque ea erit maior ipsa sp, aut minori Nam si aequalis ponatur erit confessa proposito. Sit itaque primum s C maior quam E P. Et erit, per antecedentem, A C ad CB sicut DC ad a G. Itaque, per undecimam huius erit D G ad Ε sicut D s ad F s. Quare,per decimamquartam eiusAem,quum D ci prima, si minor D s tertia: erit cis secunda,minor g s quarta. sed c s posita fuit
maior. QDate euertitur politio --------- sit iam sicut A s ad A c , ita D Ε ad Ε u , minorem quam Ε λ Et erit,per antecedentem, A C ag c a sicut
DR ad tis. Itaque,per undecimam, I, s ad N E sicut DF ad s E. Et quia D N prima, est maior D s tertia: erit,per decimamquartam, A H secunti, maior si s qua ta, Quod seri non potest. Qviare Mut Α Ε ad B c, ita D E ad E 3, Quod erat de monstranὰum.
Si fuerit ut totum ad totum, sic ablatum ad ablatum: erit Ec reliquum ad reliquum sicut totum ad totum.
Quod quinta proposuit de Multiplieibus, haec de Magnitudinibus in uniuersum,
156쪽
i , , Quum enim si L A ad c D scut B s ad D s erit per mutatim, A I ad a scut c d ad D s i & distanctim, Λ κe p A ad p a se ut es ad pD , Ee iterum permutatim, A s ade ν sciat s p ad s D. Et quia sic erat Aa ad c D , constat propositio. AspΕNDix ex Campano. Ex hae Ad Permutata proportionalitate gemonsr tur Propoitionalitas Fuersa.Vissi Ap ad as seut CD ad D si Dico esse s A ad Α Ε sicut D c ad cp. Nam quum sit AB ad ns scut cD ad D s erit permutatim, An ad cn scuta a ad D s. Ob id, per hanc decima nonam, B A ad D c sicut A A ad c p. QDate permutatim, s A ad A s scut D c ad C F, Quod erat ostendendum. Co NugRs A quoque proportionalitas potest demonstrari indirecte, ex permutata propoitionalitate es nona huius.
Vt si si proportio A ad a fetit e ad h. Dico esse s ad A scut Dsin minus: sit D ad a sevi s ad h. Et quia A ad n est fetit c ad D : erit permutatim A aὰ c sicut s ad D. Et quia iterum s ad , scuttii D ad Ε erit quoque permutatim ad la scut A ad A. Quare A ad ga B seut A ad e. Si igitur Ε non si aequale set contra secunsam partem nonae. Si autem aequalis: erit m ad A scut D ad e, Quod suit ostendem dum. Haee Campanus. Hocautem postremum probatum fuerat supra ad qua tam huius.
Si fuerint tres Magnitudines unius ordinis, & aliae totidem alterius, fuerinthi duae unius in eadem ratione cum Auabus alterius eodem situ positis, prima autem unius fuerit maior tertia: erit 3c prima alterius maior tertia : Ec si aequalis, aequalis : dc si minor,
minor. Hoc Theorema cum sequenti, proponitur ad , quam proportionalitatem probandam. sint tres Magnitudines A, A, g, unius ordinis: tresq. C, D,s, alterius: sitq: Aad s stat e ad D i de a ad A sicut D ad g. c . Dico s A est maior g , esse & c maiorem
. - 31 8e si aequalis,equalem & si minor,minorem. . . - Si enim est maior e erit, per priorem par
tem octauae huius , maior ratio A ad a, quam x ad B: ob id, per Auodecimam, maior erit c ad D, quam a ad s. Et quia,per Conuetiam proportionalitatem, gad n est scut s ad D erit c ad D maior quam p ad D. Quare, per priorem par tem decimae, maior est C, quam s. Quod si A si minor quam a probabitur ii
, e dem argumentis C minor quam s. Erit nimR per priorem partem octauae, minor ratio A ad
-- . ----4 B, quam E ad Et ob id , per duodecimam, &
per Conuersam proportionalitatem,minor erit c ag D, quam p aA D. Quare,per priorem partem Decimae,erit c minor F. Si autem A sit aequalis Ε, erit per prio rem partem septimae, A ad B sicut g ad n : ob idi, per secundam partem undecimae & Conue - 1am proportionalitate erit c ad D scin s ad D.
157쪽
Quare, per priorem partem nonae, erit c rqualis s, Quod erat demonstrandum Hie subiicit Campanus. Hanc Propositionem demonstrauerunt quidam ex vermutata proportionalitate, adhunc modum Est A aA A sicut C ad D ergo per mutatim L in sicut A ad D. Exturins quia a ad A scut D ad s erit permut tim a in C sicut E in s. Sed erat I ad D sicut L ad c Ergo, per undecimam, ὰ etit A ad c scut g ad s. Quare, per decima a M quartam,si A prima,est maior a tertia: erit & e s
---- -- - cunda, maior s quarta: es si aequalis, aequalis: & sminor, minor. Sed sic non reche demonserant. Nam s a Permutata proportionalutate argumentationem, vi coeperunt, persciant: ii tandem usquam proportionali ratem concludenti scilicet A ad c Mut s ad p t ergo permutatim A ad Ε scut ci
s3 p, Quae est AEqua proportionalitas. Quod s Euelides se concludi posse via disset fiustra Me piaemisisset Theorema sed AEquam proportionalitatem statimastruxisset. Quum itaque haec ratiocinatio non procedat, nisi utriusque ordinis M gnitudines sint eiusdem generis r minus conuenienter ad sngulare contrahunt quod puelitis generatim proposuit.
THEO REMA H, PRO p OSITIO XXI. Si fuerint tres Magnitudines unius ordinis, totidemq; Magnitudines alterius, fueritq; earum Perturbata ratio, prima vel A unius ordinis, fuerit maior tertia: erit quoque prima alterius, maior tertia.
sint tres Magnitudines Α, Η, Ε, unius or/inis e tresq; aliae s, c, D, alterius 1&st proportio inter eas perturbata scilicet L ad 3 scut e ad D, &s ad a sevi s ad c. Dieo si A est maior x esse & p maiorem & s minor, minorem & s et A . lis, aequalem. I e Hoc autem probatur ijsdem argumentis ae v quibus superior. Si enim A si maior E , erit maior ratio A ad B, quam s ad si atque ob id,maior cad D , quam E ad B: quapropter & maior quam C ad ps quia vi g ad s , sc c a3 s , per Conuersam proportionalitatem. Quare, per secundam patrem decimae, maior est F quam D. r . Quod si A minor si quam Ar erit, gradatim a
Σ. . c. . gumentando, minor C ad D, quam ad p. Quare,n - . πι- per secundam partem eiusdem, erit s minor D.
A si vero A si aequalis s, erit c ad D seut e ad
B - c . . F. Quare,per secundam partem nonae,erit s qu Σ. - . a - lis D. M sic constat Proposito.
H AE c itaque cum antecedente, quia ad probationem AEquae proportionalitatis spectate AEquemultiplicium rationem utraque praecipue considerat. Atque hunc sensum habent, ut non possit prima unius ordinis maior ese tertia, quin prima alterius sit quoque maior tertiar & s aequalis,aequalis 1 & s minor, minor. Breubret, haec verba excessus & aequalitatis omnino se accipienda, ut in Definitione sexta huius. At hoc ad duarum sequentium intelligentia monere commodum fuit.
Si fuerint tres Magnitudines unius ordinis, totidem alterius, fuerintq; binae unius ordinis in eadem ratatione cum hinis alterius similiter sumptis: eae geex aequali proportionales erunt.
158쪽
U. IIIunius ordinis: aliaeq: totidem alterius, C, D, F e
Sint tres Magnitudines Asini h ad a scut c ad D, & p ad Ε sicut D ad s. Dico esse Α ad Ε sicut e ad p. ponam C ad A, & H ad c aequemultiplicia itemqj x ad B, α L ia n, alia aequemultiplicia. Rursus M ad Ε , & N ad F , alia aequemultiplicia. Et erit per . . quartam: aut,s mauis, per decimamquarta huius, . o ad x sicut A ad L & κ ad M sicut L ad mi Itaque,per vigesimam eiusdem, si C est maior M, erit H maior N : 8e s aequalis, aequalisi de si mi-N- - - nor, minor. Quare, per sextam Desinitionem lim, ius, erit A ad p sicut e ad F , Quod fuit ossem
Σ--. Fi--. I A M veto s suerint Magnitudines plures uti ' bus in utroque ordine: erit omnino prima ad vitia mam unius,ut prima ad ultimam alterius: scilieet in AEqua proportionalitate. Vt, si addantur s & et1 3e sit a ad s sees s ad us Dico esse A ad s scut c ad vi Erit enim A ad a Gut C ad v, ut modo demonstrauimus. sepostis igitur a & D, erunt tres Magnitudines A, g, p, unius ordinis,uesq; alterius C, F, Q, eiusdem com ditionis cum prioribus. Quare A ad s sicut C ad Qt Quod erat ostendendum.
THEO REMA , , , PRO pC SITIO XXIII.
si fuerint tres Magnitudines unius ordinis, totidem alterius, fueritq; perturbata inter ipsas ratio: eae Scex aequali proportionales erunt.
Sint tres Magnitudines unius ordinis Α , B ci atque aliae totidem esterius D, Ε, s. Sit A ad n sicut A ad si & B ad e sevi L ad s. Dico esse 1 ad e ut D ad p. Ponam C, Η, Κ, ad A, B, D, aequemultiplicia: aliaq; L, M, N, ad C, E, F, aequemultiplicia. Et erit, per decimam quintam huius,ut A ad n , sic ad H. Et quoniam ut A ad a, sic E ad st erit, per undecimam, ut G ad M, sc E ad p. Quumq; stvt s ad s, sc M ad N , per ipsam decima uim tame erit & per undecimam, ut G ad H, sie M ad N. Et quoniam ut B ad C, sc D ad Ε erit per quartam huiuste, ut Mad x , se x ad M. sunt itaque ci , ti , L tres Magnitudines,& K, M, N aliae totidem, perturbatim proportionales. si igitur vi excedit x, & κ excedet Ni α si xqualis, aequalis es sminor inor. Quare,per sextam De itionem,erit ut A ad a, se D ad s, Quod erat ostendendum. Atiae ax possunt sumi AE emultiplicia. Sint enim tres Magniti ines unius ordinis A , B, Ε , totidemq; F , C , D , est rius e 8e sit ut A ad n , sc C ad D t & ut A ad a , se s ad c. DNeo em A ad a scut s ad D Sumam G, H, κ ad A, C, F, aequemultiplicia: aliaqi I, M, N ad B, Ε, D, aequemultiplicia. Et erit, per quartam h ius, o M L Gut D ad N &, per decimam intam, L ad M scut x ad M. Erunt itaque,vt prius, AEquemultiplicia utriusque ordinis, in ratione perturbata inter se Cb ia, per vigesima rimam, si s excedat M, & κ excedet N: & s aequalis, rumalis :& s minor, minor. Quare, per extam Definitionem, erit ut A ad Ε, scs ad D , Quod erat probandum.
159쪽
Quods plures tribus fuerint Magnitudines in utroque orta dine i verbi causa, quatuor, steli A ad a scut D ad & aag s setit e ad D & s ad p sicut s ad ci erit & in aequat 1 proportionalitate A ad p sciat s ad Nam quum proba-ν tum sit , ad A setit c a 3 sublatis A & D, erunt tres
ia quantitates, Α , Ε , p, aliaeq; totidem τέ c , Q, in pertu
ibata ratione inter se. Quate A ad p scut F Quod
erat demonstrandum Α C quemadmodum ex inarii demonstratione prob tui Quaternarius, seposito uno mediorum: ita ex Quale
nario Quinarius,duobus sipostis medius & ex Quinario Seianarius , tribus semotis mediis. Ac sic continenter. Quod se in supratori specie . Fquae proportionalitatis intelligengum Quamobrem, quum Ternarius totam probationem absoluat, diserte Euclides de tribus tantum Magnitudinibus proposuit.
THEO REMA 1., PROPOSITIO XXIIII. Si fuerit primum ad secundum, ut tertium ad quartum:& item quintum ad secundum, ut sextum ad quar tum : erit Se compositum es primo te quinto ad iscundum, ut compositu ex tertio Sc sexto ad quartum.
Quod secunda proposuit de Multiplicibus, haec generatim de MagnituAnibus
proponit. Sit itaque Aa ad c Hos ad s : itemqi ac ad c ut EN ad s. Dico esse Acad e Mut D N ad p. Erit enim, per Conuersam proportionalitatem, c ia ac vi s ad A N e quapropter ex viges secunda: erit in Equa ratione Α p ad ut A D a 3 s ti 1 sumptis scilicet As prima, c secunda,& s
s secunda, & s ti tertia, alterius. Igitur, per decimamoctauam, A c ut o A ad N s. Quare quum si posta s C ad c ut A H ad F i sumptis A c prima, s c secunda,& c tertia, unius ordinis: atque D N prima, E H secunda,& s tertia,alterius: erit per vigesimamsecundam,in AEquatatione, A ci ad c ut D ti ad p, Quod erat ostendendum.
THEO REMA ,s, PROPOSITIO XXV. Si quatuor Magnitudines proportionales fuerint: maxima id minima reliquis duabus maiores erun
Sint quatuor Magnitudines proportionales 1 Aa, c D, E, & prvi sa3 C D,sca ad F Qq earum maxima Α s , minima vero s. Dico ambas A B& s , maiores esse ambabus C D & E. ponam aequalem ips : & es aequalem ipsi s. Et quoniam scut tota A B ad totam c D , se ablata Α ad ablatam C N erit hereliqua C a , per decimamnonam huius, ad reliquam H D , sciat tota A B as totam C D. Maior autem est A p ipsa C D 1 Et maior igitur si Bipia MD. Et quoniam aequalis est AG ipsi M , & cti ipsi stelut Aci& s aequales ipiis c ti & g. Addita ergo G a maiori a3 duas A e N Fedi H D minori ad duas c Nessi fient, per communem sententiam, ΑΒ & s, maiores quam cD α Ε, Quod erat demonstrandum.
160쪽
Haer suus Euclides huius Quinti Proportiones tradidit. Nouem autem sequentes propositiones a Campano additae sunt, ex alieno quopiam exemplari. setit 8e sepe alias ordinem Euelidis deserit, pauca praetermittit, nonnulla substituit, ali i addit de suo. Neque in liri opera. Pleraque enim in demonstrando iacit me liora S clariora, compendii ossicio i licet in quibusdam dormitet. Vt ut est, Campani constructionem retinuit incitando Euclide, Ioannes Regiomontanus nostrae aetatis Mathematicus clarissimus. Quin & sequentes propositiones ab eo citatas inuenimus, in ea quam in ptolemaeum reliquit Epitome. Quae res essecit ut illas apponeremus : alioqui libenter praeterarissuri. Nam prater id quod probationes quas ex iis venatur Regiomontanus, abunde ex Euclide constant: etiam in hac Propo tionum materia mihi videntur propositiones reserandae potius quam in longius dimcendae. Nam quae per se clarae stant, locum tantum occupante ingenium etiam onerant. Taedium enim multitudo ubique parit. Eae itaque sic habent.
Si fuerit quatuor Quantitatum proportio primae ad μcundam , maior quam tertiae ad quartam: erit comversm econtrario,secundae ad primam,minor quam quartae ad tertiam.
sit proportio A ad n maior quam C ad D. Dico conuetam econtrario, mino rem esse proportionem A ad A, quam D ad c.
Si etam est eadem a ad A , qui est D ad c : erit econuerso A ad 3 ut C ad D, contra hypotheta. si vero maior est B ad A , quam D ad c : ponatis E a3 Avt D ad e. Eritu, per duodecimam, E ad A minor quam B ad A. Quapropter , . e ex priori parte decimae, erit E minor B i ob id i,
secun)a parte octauae kmaior erit proportio L, ad Ε , quam A ad s.Et quia per Conuersam proportionalitatem, est A ad Ε scut C ad D : erit, per duogecimam, proportio C aci D maior quam A ad h. Sed erat minor. Ex te pugnantia igitur, astruitur propositio. Possumus & Uirmate demonstrare Ponatur g ad B ut C ad D. Et erit econue so B ad Ε ut D ad c. Et quia maior est A quam Ε, pel priorem partem decimae: erit, ex secunda parte octauae, a ad A minor quam a ad s. Quare, per duodecumam, B ad A minor quam D ad c , Quod erat probandum.
1 I. Si quatuor Quantitatum fuerit maior proportio primae ad secundam,quam tertiae ad quartam: erit per mutatim, maior proportio primae ad tertiam, quam secundae ad quartam.
Sit maior proportio A ad B , quam C ad D. Dico permutatim, maiorem esse Aad c, quam B ad D. Eadem enim non erit: quia tunc quoque esset
- - - - - pe utatim, A ad a fetit e ad D. Quod s st, minor ponatur a ad c ut B ad D. Erit ex duo decima , g ad c maior quam A ad C. Itaque, ex priori parte decimae, erit E maior quam A. Quapropter, ex primi parte Octauae,a ad B maior quam A ad A. Et quia posita est A ad C scut A ad D erit permi