장음표시 사용
161쪽
tatim, E ag s sicut C ad D. Quate ex duodecima, maior erit proportio C ad D, quam A ad B, Quod est contra hypothesin
IDEM per assirmationem. Sumatur E ad B. - - ----- ut C ad D. Erit ,ex priori parte decimae, Ε --ἡ ' nor A t propterea quoA , ex priori parte octauae,
maior est A ad e, quum s ad c. sed ex Permutata proportionalitate, est A ad c vi A ad D. Quare, per duodecimam, L ad emaior quam A ad D, Quod erat ostendendum.
Si fuerint quatuor Quantitates, quarum primae ad se cundam sit maior proportio, quam tertiae ad quartam : erit quoque coniunctim, maior proportio primae & secundae ad secunJam,quam tertiar de quartae ad quartam.
Sit maior proportio A ad a, quam c ad D. Dico de maiorem esse proportionem totius AB aA 3 , quam totius c D ad D. Neque enim erit eadem: quia sc quoque disiunctim esset ad B ut C ad D. QuoA s si minor 1 si sa ad a vi cti ad D. Eritq, ex duodecima huius, EI ad E maior quam A B ad p. 1taque, ex priora parte decimae, maior est ipsa E B quam tota A s. Et per communem Notionem, a maior quam A. Quapropter, ex priori parte octauae, maior est proportio s ad B, quam AN a3 s. Sed si ad s est ut C ad D, per Distinctam propo , tionalitatem: erat enim s s ad n ut o D ad D. Quare, per duodecimam, c ad D maior est,quam A ad B, Quod
IDEM ammate. Quum posta sit maior proportio Α ad a, quam C ag Deponatur E ad B ut c ad D. Eritqi, ex priori parte decimae, s minor Α. Ob id, per animi Notionem, Es erit minor quam As. Itaque, ex priori parte octauae,m ior erit proportio ΑΒ ad Α , quam s B ad s. At proportio E B ad n , per Coniunctam proportionalitatem, est sest ad D Posta enim est Ε ad s ut c ad D. Quare, per duodecimam, maior est A s ad a, quam e D ad D , Quod erat ostendendum.
si fuerint quatuor Quantitates: quarum primae Ee se cundae ad secundam sit maior proportio, quam te tiar Ec quartae ad quartam : erit quoque disiunctim proportio primae ad secundam maior quilin tertiae ad quartam.
Sit proportio Ap ad B maior quam e D ad D. Dico & disiunctim, A ad n m iorem esse, quam c ad D. Equalis quippe non erit: Nam, per Coniunctam propor tionalitatem, eluet A n ad 3 ut C D ad D. Si vero minor esse possit, ut sit maior c ad n , quam A ad B : erit, per an recedentem , maior c o ad D, quam a s ad B. Quod minime conuenit: quum posta sit minor. Ios M
162쪽
Ins M ais ate. ponatur a s ad n ut c D ad D. Eritqj, ex priori parte de , , vi cimae, E B minor quam A B : ob id, per animi Notionem, E is ' E est minor quam A. Quare, ex priori parte octauae, proportio A ad A minor est quam A ad B, Quod erat ostendendum. V
Si fuerint quatuor Quantitares, quarum primae Ec secundae ad secundam maior sit proportio, quam te tiae Ec quartae ad quartam: erit eversim, minor proportio primae dc secundae ad primam, quam tertiae& quartae ad tertiam.
Sit maior ptoportio AB ad a, quam C D ad D. Dico euerso modo, minorem esse Aa ad A, quam CD ad C. . , Erit enim disunctim, per antecedentem, maior propo tio A ad B, quam c ad D. Igitur, per primam harum,eeom uerso, minor A ad A, quam D aὰ c. Quare, per tertiam earundem , coniunctim, minor erit A s ad A, quam c D ad c , Quod erat d monstrandum.
Si fuerint tres Quantitates unius ordini totidemq; est rius : fueritq; primae prioru ad secundam,maior proportio , quam primae posteriorum ad secundam: erit quoque primae priorum ad tertiam, maior propor tio, quam primae posteriorum ad tertiam.
sint tres Quantitates unius ordinis Α, p, c d aliaeq: totidem alterius, D, E, I. Et si maior proportio A a3 B, quam D ad Ε : Item maior a ad c, quam E ad p. Dico maiorem esse A ad e, quam D ad p. Sit enim o ad c ut Ε ad p. Eritq; , ex , . , priori parte decimae huius, G minor a. Ob id, c. . v -- ex secunda patre octauae, maior est ratio A adH-- C , quam A ad A. Multo maior igitur est , ad G - G, quam D ad s. sit itaque H ad G ut D ad E. Eritqi ex ptiori parte decimae, A maior quam M. Obidqi, ex priori parte octauae maior ratio A ad C, quam H aου c. At qui se ad c, per AEquam proportionalitatem, est ut D ad s r est enim N ad c viti ad a & o ad c vi Ε ad F. Quare, per duodecimam, L ad c maior est,quamn ad s , Quod erat demonstrandum
Si fuerint tres Ouantitates unius ordinis, totidemq; alterius , fueritq; proportio secundae priorum ad te tiam maior quam primae posteriorum ad secundam, itemsi; primae priorum ad secundam, maior quam
163쪽
s ELEMENT. EUCLIDIs secundae posteriorum a3 tertiam: erit & maior proportio primor priorum ad tertiam, quam primae posteriorum ad tertiam.
Sint tres Quantitates unius ordinis, A , s , c : & aliae totidem D , A , p , alterius Q maior proportio B ad C, quam Dad A i& maior Α ad p, quam E ad s. Dico maiorem esse A ad c, quam D ad s. Nec ad PFquam proportionalitate pertinet. A sit enim C ad C Vt D ad s. Et erit, pers a priorem partem decimae huius, C minor sici . . Υ ob id, per secundam partem octauae, maloiis preportio Α ad C , quam ad s. Quapropter multo maior A ad c , quam Ε ad p. Sit ita N ad c vi s ad p. Eliiqi, ex priori parte decimae, A maior H: ob id , proportio A ad c maior quam N aὰ c, pel ptiorem partem octauae. Atqui, per vigesim tertiam, proportio N ad c est ut D ad F r quum sit c ag c ut D ad Ε , & D ad c vi avid p. Quare per guodecimam,maior est proportio A ad c, quam D ad s, Quod erat demonstrandum.
VIII. Si fuerit proportio totius ad totum, maior quam ablati ad ablatum: erit & reliqui ad reliquum, maior proportio, quam totius ad totum.
Sint duae Quantitates, Ap & c D t a quibus ab indantur Α Ε & cs, sintq; r liqua Ε a & p D : 8e sit maior proportio A B ad C D , quam A ad c g. Dico &, α , maiorem esse proportionem ps ad pD, quam Ash o , L ad CD. Erit enim, per secundam additurum pernui tatim,maior proportio Ap sd p, quam C D ad c p Chidi, ex quinta carun9em, erit eversim,ire inor proportio AB ad A B, quam CD ad c p. Quare rurius permutatim, minor proportio AB ad c D , quam E B ad F D, Quod erat demonstrandum.
Si fuerint tres Quantitates unius ordinis ac totidem alte rius , fueritq; cuiuslibet antecedentis ad comparem, maior proportio, quam cuiusquam subsequentis ad suam : erat oc harum omnium ad omnes illas maior proportio, quam alicuius subsequentium ad sua conata
parem , aut etiam quam omnium ad omnes: minor
Sint tres Magnitudines unius ordinis, A, B, C: ac totidem alterius, sit l, maior proportio A ad D, quam B ad E : δc n ad p , quatri C ad F. Dico proportionem A R C sit mulsiimptarum, ad Dur senui linaptas, maiorem quam s ad Ε, & quam C ad F : maiorem etiam quam v & c simul silmptarum ad p εο ν si inui sumptas: minorem autem, quam A ad D. um enim sit A ad D maior quam B ad Ε : erit peruuitatim, A ad B maior
164쪽
, 'ν maior quam DA ad Ε. Et istium petiti . latina, AB ad D E maior quam n ad E. Quare, per antecedentem, A ad D maior qtium As a3 DE. Atque eodem modo probabitur maior ratio δε ad A, quams e ad n s. Maior itaque est A ad D, quam B C ad A p. Quare permutatim, maior est A ad Ac, quam D ad EF. Et coniunctim, maior Anc ad se, quam h pr ad sp t Et iturum permutatim, maior Αyc ad D sp, quam cs ad spiQuare, por antecedentem, maior est A ad D , quam Αρ D ad D E p , Quod erat demonstrandum.
Libri Antisti geometricorum Egementorum s
165쪽
DEFINITIONES. Imiles Figura dicuntur, quae angulos aequales
habent ad unu, es latera quae angulos aequales habent, proportionalia.
Vt si fuerint duorum Triangulorum ABC &DEs, angm si mutuo aequales: nempe angulus A angulo D r & angulusa angulo E : fueritqi latus A p aὰ latus D A , ut A c ad DF& B c ad a s i erunt haec duo Triangula similia.
Reciprocae Figurae dicuntur, quum utriusque ipsa rum mutua latera fuerint proportionalia.
ut si fuerint duae Figurae verbi gratia, Quadrilaterae, AB c 8e D B Ε : fuerit latus A s ad latus B D , sicut latus s E ad latus a ci hae duae dicuntur Reciprocae. sic enim stat proportioxalitas, ut duo latera unius sint antecedentia, & duo alterius sint consequentia. Atque eam ob causam, a nonnullis latis apposite vocantur FLgurae mutuorum laterum.
3 Per meaiam & extremam rationem diuidi recta linea dicitur, quum sie fuerit tota ad maius segmentum, ut maius segmentum ad minus.
Id est, quod vulgo dicitur, linea diuidi iecundum proportionem habentem meis , h h dium & duo extrema. Vt si fuerit linea Aa se diuisa in pun
Hune diuisionem docuit undecima seeundi, sed nulla proportionum mentione: quod nominatim doeebit trigesima huius.
Altitudo Figurae, est linea a vertice ad basin perpendiculariter deducta.
166쪽
vianguli As c altitudo, est perpendicularis A D. Rectum enim, ut antea mo nuimus, omnia metitur. Vbi duarum linearum aequidistantia in
telligitur: stilicet linea duci per punctum Α , quae sit basi a C p rallelus. Quod si basis poneretur AB, huic duceretur parallelus per punctum c sicut & ipsi Ae si fungeretur vice basis) perpunchum s. Atque ab eo puncto ubi vertex esset, demitteretur perpendicularis, quae altitudinem monstraret.
Ratio ex duabus rationibus aut ex pluribus constare dicitur, quum rationes Quantitatum inter se multiplicatae, aliquam rationem essiciunt
Rationes Quantitatum Me loeo dicuntur denominationes ipsarum proporti num. Ob id, vocem Quantitatis generaliorem quam Magnitudinis usurpauit, ut smisearet hunc locum sne Numerorum consideratione praeteriri non posse. si itaque suerint tres Quantitates AB, C D , & E s , quarum C D mediae comsabit ratio primae an ad ultimam sy, ex ductu rationis quam habet Ap ad c Din rationem quam habet c d ad p s. Hoc igitur totum ex eo si)mptum est, quod Medii incium sit, erat η ma coniungere & colligare. Quod nos Numerorum auxilio decim
ti bimus.l , ponatur enim ratio An primae ad CD mediam,sesquiplex seu se ubi l. altera sed c D mediet ad s p extremam, dupla. scilicet, quum Ap ad l e o sit sesquialterai qualium partium est A B trium, talium c D st du rum 4 Quum c D sit ad E s dupla t qualium duarum est c d , talis sis p vnius. Habes itaque duos Denominatores proportionum, nempe hc : : quos s inter se multiplimueris, conflabitur Denominatio primae A s ad ultimam Ε s r licet Tripta. Iam si plura snt Media, eadem etiam ex iis constabit ratio, ac si unicum esset. Vis inter As & s s , earundem quas posuimus partium, saluatur alterum Megium G ti e manebit etiamnum ratio AI ad Ε s composita ex tribus rationibus, quae ex duabus moeso componebatur, quantacunque sit c N. ia sit enim ut prius, Α a ad c D ratio sesquialterat c D vero ad c Nisubdupla erit citi ad Es, quadrupla. Ducantur iam tres Dinomin
ti natio. Quare, vi prius, AB ad s p tripla ratio, sed ex tribus rationibus i composita. Quot igitur erunt termini, ut vocant, in tot partes diuid i tur ratio primet Quantitatis ad ultimam,dempta unitate:seu mauis,quot I l medii erunt termini, in tot partes diuidetur ratio, ae praeterea in unam. A R Atque rutuno verbo diem, inter duas QDantitates, alias medias Quam litates collocaret nil aliud est, quam proportionem ambarum in partes arbitrarias diuidere. Atque hoc satis esse putamus ad praesens institutum. Haec enim qui a pliora cupiet, ex Mithmeticis petat. Proportionum vero materiam in Tertici nosti Mithmeticae Libro abunde tractauimus scio Nou defuturos qui non probent, quod Quantitatum rationes di xerim i non vi Euclides reliquit, Rationum quantitates. Quibus ego breuiter respondeo, me id ut doctrinae consilerem fecisse. Nam si exempli causa quantita tem 4 ad quantitatem 1, duplam habere rationem dixero, stienter de smi eam ter dixero si vero rationi duplae quantitatem esse t Obstute N implicate.Nam quum Quantitati ratio insti turius Rati ni quantitatem inesse, circuitionem importat,
quae in distiplini; maxime fugienda est. Ratio igitur nobis ea est, quae denomina tionem prae se fert: ut dupla, tripla, & quae sunt eiu odi. Atque hy inter se moliti
167쪽
i ELEMENT. EVCLI Displieantur: scilicet dupla ratio in triplam, quae sextuplam parite ac caeretae suo modo. Neque hie Quantitas in Quantitatem ducitur, ut linea in lineam. Sic enim seret Parallelogrammum: quod huic loco est alienum. At nihil multiplieatur nisi quod quantum est, Certe. Et fateor quidem Rationes quantas esse. Sed circuitum illum vitare volui. Unicuique tamen ut quantitates Rationum dicat, per me licet. Hie enim agitur non dicendi, sed docendi ratio 1 D set 1 AM obiter monebimus, hanc Rationum compositionem, non esse proportionum Additionem, ut quidam putarunt. Aliud quippe est, Rationes alias ex aliis componere, Et aliud Rationes rationibus adiungere. Quod & in Arithmeticis docuimus. Nos ad Propositio nes ingrediamur.
168쪽
Riangula eiusdem altitudinis, itidem dc Parallelo
gramma, inter se sunt ut bases
sint duo Triangula A se & A c D , eiusdem altitudinis. Dico ut est basis ad e o basin, sic esse Aac Titangulum ad A c D Triangulum. Sinteriam parallelogramma cΕ & c p , eiusdem altitudinis. Dico itidem vi a e basis ad c o hasin, se e a Parallelogrammum ad s e Parallelogrammum. producam a D virinque in G, ti punctat Et ponam duas BKNκc ips C s quales & D N ipsi e D. Tum connectam A C , Aκ ει ι M. Erunmi Triangula AIC, Axs, & AGK inter se aequalia, per trigesma octauam Himi: itidem de o Triangula A CD & ADH, per eandem,inter se aequalia.
Ac proinde Triangulum Aoc tam multiplex Dianguli se, quam basis multiplex ipsus batas a c. Item Triangulum L c N, Trianguli Ac D tam multiplex, quam basis es ipsius bEs e D. Et per eandem primi, si e e bas, aequali; est c Η bas: erit & Triangulum A cri aequale Diangulo A e R & si maius, maius t & si minus, minus. Est igitur, per seriam Desinitionem Quinti,seut s e basis ad e o basin, ita Lac Triangulum ad Ac D Triangulum, Quod est prius. Quum Parallelogrammum s c duplum iit Trianguli Asc, per quadragem re primam primi & Parallelogrammum s e , duplum Trianguli Ac D, per eandem 1 erit, per decimam quintam QDinti, ut Triangulum L a e ad Triangulum A c D , sic parallelogrammum E c ad parallelogrammum s c , Quod scit demonstransum.
Hoc AvTEM in communi iudicio totum postum est Quod se probabimus, ut Demonstrationis vice esse possit: simul ossendemus quanam ratione ingueatur Trigesima octaua Primi adprobationem ex stis & imminutionis AEquemus triplietum, quum ipse de aequalitate tantum proposuerit. Sit parallelogrammum Α s c D, eiusdem altitudinis vi Parallelograminum D C E p. Dico ut est se basis ad es basti, se esse Α a C D parallelogrammum ad D cas, parallelograminum. primum enim s aequales tat bases, non est dubium quin eadem si ratio basium 8t Parallelogrammorum: quum sntge parallelogiamma aequalia per ipsam Trigesima octauam primi. Si vero inaequales fuerint: neque Parallelogramma aequalia esse possi int, per eandem. Sit ergo B c maior C Ε, quam excedat quantitate A G ut stilicet e vi si aequalis ipsis c. Et dueatur parallelus C ti , persciaturqi parallelogrammum D c G s. Et erit ex ipsa iam inducta propostione parallelogrammum Αs c D aequale Parallelogra
rao D c ci M. Quapropter, ex communi Notione, sicut D c maius est Degs, ita A B e D maius est eodem Do Ap. propterea, quum s C maior sit c a , erit sinus A s e D maius DC EF. simili argume tatione probabitur , s m C minor sic a , smul A a C D maius esse ipso Degs Vnde colligitur ut a e basis ad c Ε ba G, ita D Parallelogrammum ad D C Ε p parallelogrammum. Nihil enim e sert utrum dicas, non posse esse primum maius secundo , quin tertium si maius quarto : neque aequale, quin aequaler neque minus quin minus: an vero dicas, ut primum
169쪽
primum ad secundum, ita tertium afl quartum: licet illuὰ nominatim ab Euclige positum sit AE emultiplicium gratia, ut notum in ex Quinto Atque hoc di-ehum volui, ut ubique a onerem, AEqualitatem esse omnium proportionum ortiginem & ducem.
si Trianguli duo latera rena linea sic secet, ut ipsa ad reliquum sit parallelus: duo latera proportionaliter se eabit: Ec si proportionaliter duo latera secet: erit ipsa ad reliquum parallelus.
Sit Triangulum Ase, cuius duo latera AB & Ac sic secet recta Da, ut ipsast lateri a C parallelus. Dico prius ut est a D aA D A , sc esse os ad EA. Connectantur A g de C D. Erit , per trigesma ptimam Primi , Triangulum a A D aequale Triangulo CED Sunt enim inter Parallelos DE N Ec, di eamdem habent basn g D. Vtrunque igitur ad Triangulum ApD eandem habet rationem , per septimam Quinti. Erit itaque vi B Ε D ad A Ε D , ita
ε BD ad DA, per antecedentem: quum eundem habeant veriticem p i similiter, per eandem, sicut cis D ad ApD, ita C s ad A A t eundem enim habent verticem D. Quare,per undecimam
Quinti, pD ad DA, sciat cΕ ad ΕΑ, Quod est prius.
Iam si s D ad D A ut c Ε, ad 1 A. Dico D s esse ipsi ne rasi paralle iam. Erit enim, per antecedentem & per undecimam Quinti, Trianguli AED ad utrunque Η Ε D & AD, proportio Ina. Itaque, per secundam partem nonae Quinti, duo a s D & cso Triangula aequalia. Quare quum eaniam habeant basin D s , & ex eadem parte : erunt, per Trigesimamn nam Rimi,inter duas Parallelos, Quod erat demonstrandum. H v i v s etiam Theorematis rationem ab AEquali ductam ese satis manifestum est. Sit enim Triangulum AB c duom laterum Ap & Ac aqualium,quae secentur a linea recta D s , quae ipsi s e st parallelus. Et eonstat
ex ingemisona Primi, quatuor angulos B, C, D,& Ε, ese aequales: -Ae per quintam eiusdem, duo A D & A s latera, Trianguli As D, aequalia. Ex communi igitur Notione, De
ipsi s c aequalis. Quare AD ad D a vi Α Ε ad Ε c, Quod in prius. Iam connectantur s p & C D. Et quoniam ponitur A Dad Da vi a s ad s ct erit per antecedentem & pet undecimam Quinti,Trianguli AD 3 ad utrunque A DE & cs D proportio una. Vtrunque igitur aequale, per alteram partem nonae Quinti. Quare, per trigem nonam Primi, ipsa inter duas Parallelos consistunt, Quod erat osseDdendum. Vides parallelorum offeto e seruari ius AEqualitatis e vilan Demonstrationibus Geometricis passim apparet. n lupi
Si recta linea angulum Trianguli bifariam secans, secuerit Ec basin: erunt duo segmenta inter se, sicut duo reliqua Trianguli latera: Et si segmenta suerint viduo reliqua Trianguli latera: linea basin secans, Mangulum oppositum bifariam secabit.
170쪽
sit Triangulum Alle, cuius angulum A diuidat linea An bifariam. Dieo stiud ne esse ut AB ad Ac. Et si BD ad DC ut AB ad A angulum bisariam tae diuisum.
Dueam a s aequidistantem D A : Et protraham c A donec concurrat cum A A ad punctum Ε. Et erit, per priorem partem vigesimaenonae Ptimi , angulus a s Aaequalis angulo B A D. Et, per alteram partem eiussiem, angulus L aequalis angulon Ac. Quapropter,ex animi Notione, angulus E aequalis angulo A B p. Itaque,per sextam primi, An & AE aequales. Cb ido, per priorem patiem septimae Quinti, erit g A ad A c ut A B ad A C. At, per antecedentem, gh ad AC ut st ad D c. Qu propter A B ag A c vi s D ad D c, Quoa est prius.
Sitiam, manente eadem conelauctione, AB ad Ac vi BD ad D c. Et quia, per antecedentem, ΕΑ ad Ac est V ς ut A n a3 D ce erit s A ad Α c, ut A B ad AC. Itaque,per
priorem partem Dona Quinti, s A & As sunt aequales. Quapropter, per quintam remi, duo anguli A 8E EA A aequales. Quare, per vigesmamnonam primi & animi Notionem,angulus f A D aequalis in angulo c Α D , Quod fuit probandum par autem hete constructio dimidia pars illius Figurae Gnomonicae quam in Quadragesimatertia primi ad omnes Demonstrationes Geometricas locupletismmam esse diximus quaeq; omnibus fete huius libri sexti propostionibus accommmdatur, ut posterius cognostent qui compostiones Figurarum diligenter attenderint.
Aequiangulorum Triangulorum,latera quae circu squales angulos, sunt proportionalia.
sint Triangula ΑΗ & Dps aequiangula: sitque angulus A , aequalis angulo Drti angulus B , angulo ς he angulus c, angulo F. Dico esse DΕ ad AB Ds ad A c, scut a s ad B c. Producam unum laterum alterutrius Trianguli, ut latus A s t 8e saeiam p et aequalem Ac. Tum a puncto s ducam s A aequidissantem ΕD, ZE qualem ipsi A I t Et connectam A C. Eritq; Triangulum A p c aequale Ee aequilaterum Diam gulo A B c, per quartam nimi : propterea quod angulus Ap C aequalis est amgulo p , per vigesi nonam eiusdem,& duo latera A s & p c posita sunt aequalia duobus AB&sc. Ob issiangulus sΑc aequalis angulo B Α c: ob idqi, angulo D. o Reliquus igitur pso, reliquo vi aequalis. Ita ,
p x pyi ς partum vigesimaeoctauae eiusdem, A C
stat a d ad D G r erit,per septimam Quinti, D s quia aequalis C A) ad A C :a per eande, s o ad s A aequalem ips D C scut Es ad s c, Quod scit demonstrandum. ΑLri Εκ ut Theon. Eadem confructione, erit per secundam huius, ut soad n ac propterea per undecimam Quinti, ut Ε D ad s A ).se s s ad s c. Et permutatim igitur,per decima extam Quinti,ut s D ad Ε s , se s A ad ν c. Ru ius, per eandem huius, ut E s ad p c, ita C A ac propterea, ita D p ad A c Et permutatim ut xs ad DF, ita se ad Ac. seg probatum est ut AD ad EI, M s A ad Ae: Ex aequali igitur, per vigesima ecundam Quinti, ut AD ad D s, ita sAad Α c. Quate Triangulorum aequiangulorum latera proportionalia, QuoA erat demonstrandum.