장음표시 사용
161쪽
stat ipse iunitatibus latusq; eius est proximus ab unitate numerus, puta 2. Est autes triangulus, quadragesus quadratus,s quinquagulus :&sic deinceps. Cum aut de quadratis euides scita eos eostitui, qJ nascatur ntimeri alicuius in seipsum multi, plicationet phalu est,quduis multagulumultiplicatu aliquo numero secuduspor
tione latetu anguli eius, & adsemente qua ratu quenda sI iuxta proportione mul titudinis anguloru eius uideri quadram Atq; hoc nos dem strabimus, ossedentes quo dato latere inueniat qui poscit multagulust & quo pacto dati multagnsiicitus
depraehendatur prius autem ea demonstrabimus.uua ad hanc rem sumuntur. ii. Si tres numeri sint pgressonis arithmeticae, octi Iu copositi ex maximo in me di addito minimi quadrato fit quadratus numeras cuius latus squat copolito ex maximo,&medii duplo sint tres numeri eode interuallo se cosequetes.a b, b c,ed
Demostrandu est id qe octies fit ab ab in b c &rursum diuiditur quoqi eoru bis,
tia in eu qui quater ab a b in e b, & in ed qui quater h e quadratu: hoc est qui quater ab c quadratus & in eu quide qui quater ab a e c b hoc est a quater a b c e d, aequilis sit a c huic e d.cti eo qui ad h fit quadratus si ah Ar h eu qui quater ab a c c tamixtus uni eoru qsunt quater a c h, facit eu et quater a b c & quaerit quo quadratus ah a h.& uui duater ab a b h QS qui quater a b ce positi faciant quadrata Si igitur i5E ponamus ipsi h ea quale a Q traiiciemus eum g quater sub a b be, in ea si quaterdub b a a e,umixtus ei si quater a b choc est quadrato a cisaciet equα Ie quadruplo eius et ab h e e a et mixtus quadrato ab a b fit aequalis ei qui 1 b e e a ur. quadrato ab una descripto linea At b e e a aequanρ a b & duobus e s. hoc est duo,
υία in in media eier . AHoc pia rua. 2δε ., aiarat, primi bes suo Portara sisy.egis, itides es tuae liud s. s.st causus tr. .pers fiam. G. - , Misara minima hales. Is quiadrata, ius Idrino a plum m/di, Mis uos, maximo, tis urim 1 D.Lumsumma omnium s inter eum G,ei adrirem, o constri r. si sint numeri quotcuq; arithmeticae progressionis interuallumaximi &minimi ea E et ratione,q terminor numero unitate multato exprimit. sint em qucri cun numeri,ahλ c d he,interuallis aequalibus. demes1MUest interuallu inter ab ecbe multiplex esse interualli ab &h c,numero a unitate reianor st o . tot enim sunt a b c c d h e.Cum enim ii equalist interuallis progrediatitur ergo a Qc d, d e, sunt aequales. ergo e a ad ac multiplex est, iuxta numera termisenoru ac,cd,de. at is unitate minor est numero te motu propositoru. go et aeaad a c multiplex est numero onitate minore si propositorii est terminora numerus. Est autem a e interuallum marimi &minimi dia cunicum interuallum
162쪽
uiri e---μα pro suris aris ericae termisorem creeipse Ham Urans, ri sistiti actam es 1 v si sint quotcunq; numeri progressiCnis arithmeticae, summam adiimi δ minimi multiplicata in numeru termino ru, duplum summae omnium rerminorum pro- dueent numerum. Sint numeri eodem incrementC progredientes quotcunm, pi ta a, b, c, d, e,s demonstrandum est summam a s ductam in numerum terminoto ab c d e,cem cere duplum numerum summae omnium istorum terminorum. Nume
rus ergo terminora aut par erit,aut impar. Esto priore loco par " sunt termi ni, tot unitatib constet numerus g h. Diuidatur in duas aequales partes in I S s di
tii dat ne in suas unitates per l, m. Et quoniam quato maior est fgd, tanto &c u ar e
go simul fa aequabitur iunctis c stat simul fa ςquatur quod sub utroq; fa S g lsergo etiam e d aequatur ijsde. Ob haec eadem etiae b aequalis ambob. 2 a & gh. Ergo etiacompositus ex ab ede faequatur ei qui sub ambo h s a&g h at quod sub ambob. sa&gh duplus est qui sub ambobus fa&gh ergo etia eo positi ex ab c de s duplus est qui sub ambo h. s. &g h, hoc est numeri termiti tu a b c d e fi s fuit demostili dii
v. His iisde postis,snt termini a b c d e, numero terminoru in are, & numerusci stet tot unitatib. quot sunt termini. Eritqι impar Ponatur in so unitas ad m, &ghi et bisariam in h. diuidatur ii hin suas unitates in L Et quoniam quo e si peratur ab e, eodem a a cuuncti ergo e a dupli sunt ad e, hoe est ad id quod iub e rech ob eadem scilicet etiam iuncti bd duplus ad id quod sube St&h. ergo ae h desupli sunt eius qui sub c&hh At gh duplus est ad h h: itaq; etiam ae b d aequales sunt ei qui sub c di h g. Est aut etiam c aequalis ei qui Q h c estis itaqi copolatus ex ah e d e aequalis ei qui sub c &s, At huius duplus est eompositus ex iunctis a e dc fg
itaq. etiam coniuncti eY a b c d e Auplus erit qui sub ambobus a e S in hoc est multitudine expositorum quod suit demonstrandum. v i. si fuit ab unitate quotquot numeri eo de interuallo sese cosequeres 'summa omni st multiplicata in octu pluinterualli, sis ducto adiiciatur quadratus numeri qab interuallo duab superatur unitatib. quadratus numerus exsistit cuius latus hi natio multatu multiplex erit ad interuallsa, totiesqι id cotinebit,ut si rationis numero unitas adiiciatur, numerus fiat duplus ad numera terminoria, unitate etia in iis numerata Sint enim ab unitate numeri eo de interuallo progredientes a b e d e cdico id fieri quod est propositum. Quot enim sunt progressionis termini, cu unitate, tot unitatib. costet numerus g ii Et quoniti interua11u a b multiplex est iuxta unitate minore ipso ghrii ergo ponamus uno quenq; a c e 1gm habebimus i Dd h b multipli cem,ratione numeri mh. itaqiis aequalis est ei qui sub h hm e Et si ponamus A, kn qui est eoru interuallum, quaeremus an summa multipli eata in gipsos k b qui est in tertiuiti ipso id & adstito a fit ab n h. sist binario minor interuallo fiat quadratus cuius latus binario multatu numerum eΨhibeat, qui ad interuallu ipso in k b sit mestiplex ratione numeri copositi ex ambob gh hm. Et quo nili summa semissis est ei
qui sub ambob se, et,&ipso h Da ι ineu qui sub Is gh.&in es qui his subel gh. hoc est duos g h. risum si imma est eius qui subligh.& duo g h AHl f aequalis dem stratus est ei qui sub h b,m lix solido & titio in si ergo me diu diuidamus in hin o habe hims summa omni u aequale ei qui fit ex k b,g h,h o solido,dc uni gli. Quo remus itaq; an solidus qu; fit ex k b s h h eQ g h multiplietitu in octo k b, 3c auleiscens quadram ah n b, sat quadratus Verus olidus ex kb gli ho multip)ieatus in unu kb,facit ed qui sub gh in eo qui λι h quadratae itaqi etia solidus ex kb gh homultiplicatus in octo h h,facit eu qui stib gh h o in octo quadratos a h b. hoc est eu qui octies sub gh h o in quadrat a k b, hoe est eum qtii quadruplicatus est sub g hh m in eu qui akb quadratti adscistens gli in octo kb, Sporro quadratu ab n b. sit quadratus. Atus timultiplicatus in octo k b, facit est qui octies sub g h h h. ergo utieissim qui quadruplicatus est sub gh h m, in quadram 1 hb, cd octies e quis ab ghh b,qui ab ia b quadratus fit quadratus. Diiii situ aut qui octies sub gh I b, in qua eruplicatum subgm kb, dcin quadruplicatst stib ambo h. iunctis gli h m in quadratum 1 kh, cu quadruplicato sub g m k & quadruplicat sub ambo h. g h h in & k b dccbu 1nh facit quadratu. At quadria plicatus sub g m tib aequalis est ei qui bis sutin 3 nkk
163쪽
rueo DI pNANTI DE NUN. NvLTING. 11h h h, & mixtus ei qui h h, secit eos qui sunt a h h nh quadratos . si ergo etiam qua ruplicatus sub h g h m in quadratum alm& quadrupli eatus sub ambcibus gli h m&sh eum quadratis ab se s g fit quadratus. Rursus autem quadratus ah transcendit in quadrarum g m ad quadratum as b,&mixtus hie quadruplie to sub g h h in in quadratum 1s h si ergo qui ab ambobus gh h in h qua rarum.&quadruplicatus sub ambobus gli lim&sh cum g fit quadratus Sipo namus ergo ei qui est sub utroqi g h & h h aequalem numeru o. erit etiam utriusqigh h m quadratus in quadratum Ib ipsi ' ipsus n o quadrato quod deinde osten demr. si et qui in ipsorum on n h quadrati cum quadruplicato qui sub ambo bufgh lim & b fit quadratus quadruplicatus sub gh h m S ipsus h b aequalis quadruplicatus ipsus n o quandoquide &qui simul ei qui sub ambobus gh hm&l b numerus positus est n O.quatuor autem n o aequales ei quod bis sub n o ni binarius enim ponebaturni si ergo & qui ipsorum noni quadrati,cu eo quod his sub no ni faciunt quadratum faciunt autem etiam ipsum is huius o I, cuius la tus o fi multatu binario n4 numerum n o faciliqui ipsis maior est, ad n h multiplex est ratione eius ciuod sub ambobus gh hm,qui adscita mutate ipsorumgmen to tius exposim progressionis VI i. Demonstratio eius,quod dilatum huc fuerat. Sit ambobus gh hm aequa 14s a.&b aequeturi h ei autem quod stiti ambobus gh lim&s h, aequetur c. Dico quod etiam' fimborum g h lim,hoe est . ipsius a in ipsius h h,hoc est in . ipsius b, aequatur ei qui ae. Ponatur ipsus ab aequalis in recta,qui sint de es&super eo de scribatur quadratum de et,& compleatur ' ut utique ij autem sic ut a sic d o . et go h medium proportionale est in tet quadratum d h sh ergo quod si stib d h shq ὁratis aequale est m Et est hoc quidem . quod ab ambobus gh lim. At si qua dratum aequale est ei quod h, hute autem h f eigo.&quod ab ambobus iun Oisgh hm quadratum ductum in quadrati Eb, ipsius no quadratorum.
me sinu illis retia ne Itan oleum es operam perdere. autem esse per
Iar rosas, es c. - σου. lateria,
164쪽
progressione arithmetica, summa eorum multangulas erit numerus. tot enim ha hebit angulos, quot unitates numerus interualli hinario auctus latusq; eius erit numerus terminorum unitate loco termini numerata.Cum enim ostenderimus sum viam omnium progressionis terminorum multiplicatam in s b, ctonatium,& ad
stilo de o b quadratum facientem ' de o h sed etiam si aliam unitatem ponamusao,habebimus obinatium &est autem etiam similiter etiam har binarius erui et go p b,bs,b n equali interuallo inuicem se excedentes. Ergo ss sub madiimo p h.&medio h e sumens eum qui fi minimi b n quadratum facit quadratu latus habente, compositum ex maximo p h,& duobus mediis,qui sunt h s. Ergo etiam p b multi plicabitur in octuplum de I b, & adscito R de n h quadratum aequalis eo qui fit ab ambobus, cum p b aequale p b ipsorum ib.&latus abiecto binario p h relinquet triplum de b.qui tripli sunt ad di rationem metiente ternatio. At ternatius auctus duabus unitatibus.etit unitatis. Clim ergo summa terminotu progressionis aucta unitate idem problema soluat p b.isq; sit oblatus uteonin, & multangulus erit θ unitas:quoniam unitas est ap At b numerus est ipse ab &habet latus binaesu. itaqi etiam summa totius progressionis numerorum, multangulus numerus est. rni ha hens latera,quantus est qui hinatio quidem ipsius plinterualli eorum ipsiim I b,&Iatus habet ipsum g qui est numerus terminorum, unitate etiam inter hos cenia
Tt demonstratum est quod ab Hypsese in definitione dicitur, Quod sὰ numerorust ab unitate progressioarithmetica quotcuq; interuallum si ponatur unitas, sit mam fore striangulu s binarius quadratu: si ternatius.quinquangulu: & angulo
rum multitudinem exprimi numero.qui interuallum hinatio excedat latus aut esse numerum terminorum,no exclusa ex horum censu unitate. Iraq; quando trianguli is
maiores exsistente interuallo fiunt,&latera ipsorum fiunt maximi expositoriar di e ius qui sub maximo expositorum,&qui unitate eum exceda durii sunt ad triangulum signifieatla. Et quonili i h ehm si tot anguli quotin ipso sunt unitates,multipli catus in g,eius minoris binario quam est interuallia hoc est in erit ipsum hb is ne cipient quadrato si ipse est minorem hoc est eum is ipsius ti b facit quadrato pa erit definitio multaguloru Quivis triangulus multiplicatus per ε binario minoris mul titudine angulorum & a sumes eum qui quaternario minoris multitudine tri facit quaternariu Simul ergo clemonstrata Hypsiclis definitione, & horum multanguloru reliquum est ut demonstremus,quo pacto ubi latus datur is etiam multangulus.qui requiritui inueniri possit. Hahentes enim latus dati ali ius multanguli gru&numerum anguloru eius habemus etiam tb atorti. ae proinde etia qui sub ambobus.qui sunt glim &sh habebimus flatu qui aequalis est ipsio iraqi habetitiamus etiam io dam quando binatius est nkitam etiam o ipsum se habebimus da-ttim & si hine subtrahamus ipsum o ipsius ii b qtii est quadesa tis habebimus etiam
reliquu datatu quςsti multasuli est multiplex ratione Octupla ipsius h b Ergo inueniri potest multa lagulus qui queritui . similiter etili dato multangulo, inueniemus latus eius ipsum g h.quod fuit demonstrandum a v. Ad docenda accommo Atilius aut ostendemus hoc iis.qui promte uolui audire ea quaequ*utur pςr methodos. Latiis enim multanguli acceptu semper gemitiabimus hinc auferemus unitatem & reliqui, multiplieabimus pern neru qui binario absit, minor scilicet, a numero multitudinis ipso qtia rato.ae qui fit, ei sem-
te si me inii monere ossiores. 1 ix. Cem sint quae proposuimus, pronunciamus: Si quotcunqι numeri ab unitate exponantur in
165쪽
per addemus binariu, quadratumq; eius quot sic si sumentes, ab eo subtrahemus quadratam eius qui quaterni minor est quam multitudo trium, reliquum i diu, demus in octupsu eius qui binario est minor ita binueniemus quesitum multangia Ium. Rursus aut ipso dato multangulo latus sie inueniemus Multiplicabimus eum per numerum qui o plus sit ad numerum binario minorem eo numero,qui multituὸinem angulorum opprimit. Et qui sic fit addemus quadratum, qui fit a num e ro quat tot vhitai,h.itano re quam est numerus angulorum.& inueniemus quadratu, si tamen datus, si multangulus. de huius autem quadrati latere semper auferomus hinarium reliquum diuidemus in eum, qui hinario minus habet quem angu Iotum numerus inde Orto unitatem addemus, summςqi semissem arripietes, latus
qua siti multanguli habebimus. m. Dato numero, inueniendum est quot modis multangulus fieri possit sit da tus numerus a b multitudo angulorum ti c. & ponatur in b c binarius quidem e d, quaternarius aut e e.Et quoniam a b, qui est multangulus totidem habet angulos, quantus est is equi ergo g sub a b b d eum o b e facit quadratum.Sit eius latus is adeoqj ipsius is quadratus aequalis ei fg sub ab h d,&ei qui ab equadrato Ponatur in ipso a b unitas a L & diuisux est tib a b h A in eum qui θ g sub a h b d. &iΛε sub ambobus ab h d ν quidn&traiiciemus ipsum a sub utroq; qui sunt abhes qui b d in eum qui sub s b Quadruplicatum alat ab a h b d in eum qui his sub h ad e. Binarius enim est e d,& 1 fg. Ergo quadrato aequalis est ei qui sib b d b, & ei qbiu b d d e,& quadfato u b e Verum ipsi his a b d e quadraro di ei qui h h e, aequalis est qui in h d d quadratus ergo & qui in f, quadratos, a qualis & ei qui sub I h d, &, quadrato a d e.Et quoniam a c aequalis cum esset quas ruptieatus utriq simul a b &h maior est dipsius ah hoc est quaternario ens e g. hinarius: Restat c h maiordinario quam e dfergo senissis ipsius d sincidet inter es Esto l. S tresjciemus etiqui sub b bd meum quiestipsorum 'ha Id excessus. quandoquidem g di perlest in semisses diuisa adiecta autem est a h. & ess eius quod a s b deum eo quod est hel aequale ei quod est ib.&ipsum οἱ higitur ipso ad maius est eo, qὰ sub sh d Proinde quadratus etiam ab fg, aequabitur &interuarso o ipsorum h li vi & ipsi is autem quadrato adiiciatur o di &η ipsorum fgd'. ergo aequales qu1drati sunt
quadratis ab b Il e. Quod s duo numeri unus etia duobus numeris quadratis sint etiam uice uersa excessus eorum aequales.lateruallum ergo istorum mi d d e, e qua
Iis interuallo ab fg Et quoniam e d aequalis est d c, adiicitur autem c d ergo ec 1 cu. e d aequatur ad illa ergo eorum is eorum Id d c intercapedo, hoc est quae ab i psis Id de quae est sub el naequalis ei quae est 1bs g intereapeclini. Ponatur ips blviqualis sm. maior enim est h l quam fm Quando ostensum est quadrata quae sunt sub εκ l l qualia esse iis quae a b 1 e d quadratis reliqud est, ut quod si h l, maius stquam quod a d e cum etiam eo maius sit, quod fit a d c. itam & a b I maius erit, qua ah in Ponatur itaqi huic h1 ille fra Erit ergo etiam excessus eorum quae ab fm fg,αqualis ijs quae sub e licat quoniam ille cis quadruplus est ad utrunq; istorum a titila at di sectus est in semisses in l. ergo & d i duplus erit amborum iunctim, ab hiuquotum d e cluplus est ad ah. Reliquus ergo 1 h duplus est ad duo b h. Quadruplus ergo est ei adh b.ergo prima pars ipsius t e est ii h sed& unitas ah quadrupla est ad
Cc quaternionem. tus ergo a b, quadrans est ex el. Demonstratum est sui, etiam
h b quadrantem esse ex te igitur quod est sub ab b di decidi edita pars est eius, qlsuh ei l e. hoe ergo sedecuplum est ad id, quod sub a b h h. Demonstratum uero e tiam est quod sub et te est aequale esseipserum is ms in interuallo. Ergo quod se decies sub a b h ltatiquatur interuallo quadratorum a fg, &gm. hoe est ei quod abran&bis eo quod sub fmgm. Ergo se deeuplus eius quod est sub ab blium quatur ei quo est agm, & duplo eius quod sub fg, g m. par est e
166쪽
C1 pug MEMORABILI UM, QUAE IN HUIUS
miseratis is Mosetiam imperasoriam Area ibam oecupauerit somi estis merito statastis per Iudaeum tam di
167쪽
Ga i seditis eras imis Rex. Guia mitium omisiam magoram inhiam.