장음표시 사용
151쪽
cis Dro pNANTa Inari ras Tres sm relinquat quadratum. Sit pars data. . di hic numerus ita sit diuidedus ut imperatum est oportebit itaq; quamuis earum subtractis 54 quadratum sacere: tres eriam ha - faciunt tres quadratos. & si cuiuis quadratorum adij ciamus o inlumniemus unumquemm quaestorum.ld autem facile est Eo enim res dedueitur, ut 13
diuidamus intres quadratos. quod est facile
Mindum puto, ι diuidi debere in res paries, fari prasi ostris A resta sint ue minis sed quid diuisio Atimeri 13 lineae non πώγι, A I inmmi V Inueniendi sunt tres quadrati. ut qui eae his fit solidos,quovis ipsorse ad scito fiatquadratus.st solidus ille aneshquaerantur tres quadrari.quorum quilibet unitate adscita sat quadratus. Peti hoe potest e quovis triangulo rectangulo.hypo
no tria triangula rectangula,&accipiens ab uno Quadratorum,dauido eum qui est reliquo rectorum.& inueniemus quadratos, unum s Q . alterum ab Q. tertium
o N. quorum quiuis eum i macit quadratum. Restat ut solidum qui ees tribus fit,
sequemus cum 1 Q s autem solidus est 1 4oo C C. aequalis , Q omni b. sub eamdem denominationem deuocatis.&characteribus deminutis, fiunt l4όOO αα requales unitati. Est autem unitas qua gratus quod si etiam iaci Q esset quadratus, solutae et quaestio non est autem go itaque res est deducta ut inueni edi sui tres
trianguli tectanguli ut ex tribus singulatim iisdem solidus multipli eatus in solida
qui ex basibus eorum fi faciat quadratum,cuius latus si numerus multiplicatione ortus laterum quae circa rectum sunt unius rectangulorum Et si mnia diuiserimus per numerum ortam ex multiplicarionelaterum quae sunt circa rectum rectanguli
inueti siet ilex multiplicatione rectum continentium eius qui AD in eum qui est iuxta rectum alterius triangulorum si ex ijs constituamus fictum dirigz deuen . tD eo est ut inuenianξ duo trianguli rectagii, ut qui sub iis quae circa rectu eius qui
sub iis quae circa rectum erat ta N: itaque etiam area 32.sa autem 1a es . Hoc u ut faeile, estq; smile triangulo τψ, O 43 lierum 3,12 3 Cum habeamus ergo tria triangula rectangula,reuertimur ad prim o propositum. statuimus itium quadratorum mnum V alterum 23, alterum gr. & si solidum his aequemus 1 4, exssistet numerus uerus. ad positiones. mri v. lnvenire tres quadratos ut solidus qui ex iis fit, singulo ipsbrum detracto maneat quadratus Statuatur solidus iste 1 m& rursum tres quadrati qui quaerum
tiar, Dantur ex triangulis rectangulis unius a I.alterius as tertii is, Hos coniungo Quadrato,&manets--quouis ipsorum quadratus 5uperest ut Glidaureti histribus compositum,aequemus i Is autem solidus est aueclo C C. denominatus a parte Iaa IC13.haec aequantur I Qu. omnia numero notae lenominantur erunt 236oo in fab nomine partis 122.1oas aequales unitati. Est aute unitas quadratus, es habellatus suum. Ergo oportebat etiam Moo s b nomine partis Iaa.Ioas , este quadratum. Itaqι res eo est deducta denuo, ut inueniamus tria triangura jectanguiala ea lege,ut qui fite perpendiculatib. solidiis multiplicatus insolidu qui fite subtess quadratu faciat, qui latus habeat quadratum. 2 si omnia diuidamus pcr narmorum subtense& perpendicularis rectangulorum: oportebit eum qui fit a subtens7sis & perpendiculari subtens e & e theti multiplietitum per subtensae es perpendicul
ris euinciam re anguli. Sit tinum triangulorum ue.EO itam deuentu est, ut duo rectangula triangula inueniantur,ut subtensa: & perpendieularis subtensae stami Laaaero et o & ue.&est facile quippe maius erit 3 32 13 minus 3. 4.3.Ab his ergo Dare
da sunt alia duo uisuhiens ς & perpendicularis si o Est alat maioris quidem si biense M o . pedipendicularis 6o uitioris,qui est in subtensa a qui uero in L rectangulorum,da.&accipientes minima similium. recurrimus ad initio propositu &poni mus solidu qui ste tribus i psorum aut quadratorii unu 16. alterus τε tertio a MC sub denonainatiGe partia 18ssi. superest ut solidus ille equetur a Q. omnia de minutis characteribus, latusqi lateri inuenitur numerus m. ad postiones. Σπ VI. Inuenite tres quadratos.ut g e, iis fit solidus Ja qtiouis ipsoru detra 're linquat qua itu.solio' iste tursus statuat 1 uti aut a abuscu petant rectagulis Atque
152쪽
c i R E R v. ago Atini edrsum etiam helee res deuoluitur, ad ea quae praeee senes steriint quaesta piohaemate.sic igitur in hae iisdem utimur triangulis ponimusq; colum qui quaeruntur quadratorum unum as Q, ali rum I tertium claue alium 4 g &rursum
manet solido qui ex tribus componitur sublato h quouis latere quadrati. superest vi ut soliduq ille tequetur 1 inde inuenitur numerus maior quam 3.& manet. γα vii. Inuenire tres quadratos ut qui si h ducibus quibusvis unitate aestiuintast quadratus. Et quoniam quaero,ut qui a primo in secundum st. addita uni ratest quadratias omnia in tertium qui est quadratus itaqi oportebit eum qui est eprirno lin secundum,id est solidum ex tribus cu tertio facere, ut etiam eum primo de secun
do Id enim ante seni strauimus. itaqi etiam illi numeri satisfaciuthule quaestioni. mmi 1Σ. Inuenire tres quadratos,ut qui fit a duobus quibusvis, detractor it eu quadratus.Omnia in tertium itam quod fit e primo in secundum. intestiui hoe est ' ε' solidus qui si edi tribus.detracto tertio facit quadratu. Ergo etia utroq; , tam prim qii in secundo detracto, solidus e tribus confecius erit quadratus: Hoc aute supri est demonstratum Illi igitur numeri hoc quoq; praestant. Σχ1x. InCenire tres quadratos iit qui e quibusvis duo b.fit. ah unitate ablatus,
quadratura relinquat Rursus qustentes eum qui e duob quibusvis fi sublatiam ab unitate facere quadratum si omnia ducamus in territi uisum eo deducimur,ut in ueniri debeant tres numeri e quih. consectus solidus a tollatura quouis.relinquae quadratum Hoc autem supra est demonstratum. xxx. Dato numero tres alios inuenire quadratos, quorum hini quiq; eo adsci to quadratu faciant Sit datus 12.& unus quaesitord,s. Quaerendi ergo sunt alij duo, ut uterqι eorum cum a faciat quadratum, & coniuncti iidem cum M saciant quadratum. Quaerendi sunt ergo quadrati duo, quorum uterq; cum 24 faciat quadra tum . sumimus eos qui meliuntur et , & trianguli rectanguli latera rectum angula
facientia. st secundum N 3, oppositus N s.simul iurem ambo fiunt . &4 N. Sit unius latus adisserentibus a N & 3 N & manet uterq; ipsorum cuima facies quadratum Restatur ambo iuncti,adiectis 1ue quadratum faciant Fit autem La QAErgo dis Q s aequantur quadrato,aequales 23 α&fir Numerus A s. ad positiones.
γαπI. Dato numero tres alios inuenire quadratos ut bini coniuncti,de summa sublato dato faciant quadratum Esto datus 1a Rursum ponatur quadratotu quae sitorum unus a3.Vterq; horum cum ra faciat quadratum:& ambo iuncti,detrae tis 15, faciant quadratum.Rursum similarus dimens nem per numeros 3 & . Fit primi a vitus a differentia i N&a Nalterius 1 differentia: N&i. N. 3c manet utriusq; horum quadratus ut faciat cum a quadratum .Restat ut summa duorum 13, faciat qua dratum.st autem 6 4. Q as N Quadrat Esto N 6. & fiti Ra ad positiones mmmΙ . Inueniantur tres quadrati,ut qui componitur ex eorum quadratis tacior quadratum Quaesitorum statuatur unus 1 inaliet 4 Q , alter ς.& fit compositus
ex eorum quadratis, as et aequalia quadrato lateris 1 1: & relinquunturao inequales 3.&s titerqι esset quadratus soluta erat quaestio.Eo itaq; res redar, Ut quaerantur duo quadrati, & numerus quidam, ut qui ab iis fit quadratus detractis quadratis quaestorum, numerum faciat, qui ad duplum principio posti numericam habeatrationem, qtiae est quadrati numeri ad quatiatum. Ponantur quaesiti quadrati unus i alter L.& ab hoc quadratus si amittat illorum quadratos, relin quit 8 Q. & uolumus haec ad a D, unitates 4, hoc est ad 1 Q g proportionem habere quae est quadrati ad quadratum semisses sumantur omnium, ut etiam 4 Q ad I N rationem quadrati numeri ad quadrattim habeant numerum. sunt autem 4 in quadratus. Ergo&1 aequantur quadrato lateris 1Nti. ergor N. 1 frit
quaestorum quadratorum alterai. alter . alter oblatus 5 omnia nitatcr. erunt unus ο, alteriis, Chlatus autem aue necutramus ad initio positum. Statuamus triti quadrarorum unum 1 alterum 9,alterum ris. & fit qui ex eoru in quadratis componituri Q3 3 4 . Haec aequantur quadrato, cuius latus 1 13. &1N estra.Reli qua sunt manifesta.
153쪽
I4o D IopH NTI ARITNupri eas YXut 11. octodrachmas & quinquedrae as ehoas aliquis miscuit obolis mali dato ut bonUfaceret, di preciu psoluit super omnib quadratis imperatas aeeipiens uestates &Deiente ruisus alisi te ferre quadratu, sumete pro latere surtimst ehoatu Itam distingue, octodrachmas fac, & rursus reliquos puer dic quinquedrachmas. Epigrammate hoc id fgnificatur.Duos quida emit cados uini,unius choam dedetimis s.alterius choam drachmis quinqι: & δ bmtah. persoluit prectu, numeru qua dratu,qui ad 6o faeiebat quadratu,cuius latus numerus erat choatu Distingite tiae quinquedrachmas ab Oct drachmis. Esto choaru multitudo 1 R ergo preeiu eriti Q 5o,aequale quadrato, cuius latus ponendia est 1 N aliquot omnino uni talibus.Et quonia1 α 5o; tostat e duob. numeris, preeij scilicet Octodiaeta maria, & preeii quinq; drachmaru facit multitudine quinquedrachmatum.& s sacit multitudine cichodrachmariue,&multitudo choarum in summam contracta faciti N.oportebiti Q diuidere in duos numeros, ita uialterius quintans, at terius octan , iuncti l N eonsciant. Atq1 hoc no plane fieri undiquaq: potest, nisi 1N statuatur maior Octante flet Q -6 , minor autem quintante de t Q EO Esto 1 Q--Go maior atq; 3 R& minor quam 8 N. Quando itaq; 1 QI- 6o maior est quam, N. adiiciatur utrobiq. 6o.ita 1 innatus erit quimue Nio . ergo etia I Q et 3 N humero aliquo amplius sunt quam oci. & Oportebit numeru maiore esse non miti rem quam 3 Rursum quando I Q oo minus est quam g additis D ' trin* 6o 1 inequabitur R N &cuidam numero qui minor si qD m 5 . itaq; opontehit numerum inueniri non maiore quam 13. eunde uero demonstratu minorem esse quam ii no debete Est ergo inueniendus numerus maior quam ii, inor quam
aliquot imitatibus fit iis numeros ex aliquo numero in seipsum ducto &aucto a nitatib. O .&diuiso per sui duplu. go itaqi res deducta est,ut inueniendus sinum rus,cuius quadratus si adsciscat iso,&summa per diaptu numeri diuidatur, quoties is maior sit quis v,minor quam 13.Et s hune statuamus i oportet 1--6c diui ere in ducis numeros. & quotientem inuenite maiorem quam Π, minorem quam 33. Eis quouitum numerum statuamus i N, opotrebit I Q -- 5o diuidere perducis numeros. ut maior qu mirereat. Ergo I a' ac maius erit quam eta N. ergo. ΣΣN aequantur 1 α, & qui minorem unitatem 6 erit humerias, non debet esse mi
nor 19. Rursum oportet 1 Qq a diuidere per a N, & numeris inuenire minores Q'. go,itaq; γ ' oo minus sunt quam aci N. Ergo 26 N qui sunt I Q&numero quodamaiori quam o . unde oportet numeria minore esse quam a6. sed & maior est atqi
I9,maior et o Ergo portet quadratu aequales-6o parantes latus statuerer N.-2o.Ita inuenitur1NIM . Quadratus eius 1 et tolle Go,relinquuntur ab Hoe
portet diuidere in duos numeros; quoru prioris quintans eu postetioris octgie γfaciatn sit prioris Quintansi N. ergo alterius octans erit ut a N. ipsi ergo e runt estos N,alter pa-ari haec aequantur eu 1 Erunt ergo 0. ergo multitudo quinq;drachmaru choarum amoctodrachmarum 4,unitates Π reliqua patent.
Nucui dum est triangulum rectangulti, euius ab hypotenua s subtra
hatur alterutrum latetu reliquorum relinquatur cubus. Esto illud triangulum effctum a duobus numeris, quorum alter IN Ille .Fit ergo hy potenusar .pe edicularis o N hasis 1 a s. si alteriam latus ab hypo tenuitasvhtrahatur, puta s a s. relinquentur 1s. qui sane cubias non est. Vnde autem prouenit js3 Quadratus est de a bis sumtus. Inueniendus est ergo numerus,cuius quadrati duplum sit cubus. Esto is N erent a Quequalia cubo alicui. stis sciti Na. Rursus uiangulum fingo ah jN &non , sed hinatio. ita fit hypotenua I ea eius 4N, basis, in . Et si hac ab hypotentisadem aliaS, relinquitur g. cubus. Restat ut eathettim ab hypotenusia auferamus telinquitur Q - aequale cubo. Est autem hoc quadratum lateris j υ - a. hoeergQ latus ae quemus
155쪽
Dr pMANTI ARITHMETI cssa ait. Qu&titur triangulus rectangulus, cuius hyp tenusiae alterutra latus f agdator, eubus eOfiat si multiplicemus quod quaeritur a suo b.N,ur in praecedente quaeren dus est numerus quadratus, cuius duplu sit cubus . Eius quadrati latus erit a. Fingimus igitur triangulti ab 1N & r. Et fit similiter hyp tenesar O . latetu reliquorualteris 4 Halteria 1 4. Restat ut latus hypotenusiae alterutro adscito cubum prae stet. Sed euad primas positiones hedierimus, inuenimus i Q minus esse quam 4,&maius quima minus est unitatib duabus. eo redacti sumus,ut quaerere oporteat euhtim minore quam 4, maiore quam duo. is est a . &siti N ia,aequalis numerusis a sinumerus D.Ergo hypote se erit 37 .laterem alterum 133, altera Sper 64; erit triangulum contentum lateribus 3 ,133.3uea &constat .m Y L A N LR I.
III. Inueniatur triangulu rect gesta. ni eae eius numerus dato numerra auctus co-ficiat quadrata Addelus sit 1.&Diagulo costituatur specie harilateria 3 N, ue N.
Fit area cu3, 6 QIs,quod aequatur quadrato Sitari Q .&Asmisib.auseratur similia, supersunt 3 Dequales 3.& oportet specie ad specie ratione habere quadrati nia meti ad quadratum elusita oportebit etia multitudine tis multitudine. Est ergo era peruetu ut iάueniendust triangulu rectanguluά & quadratus numerus, qui de traho numero areae eius trianguli.praestet quinqi quadratos. Cu datus niamerus situe, gamus viai N&staleaen merus 1 Quit quadrati latus.1 N&tot numeri quani ,his tu est duplu dati numer hepe io N. st quadratus 1 Qt 1oo m s. H equintuplice-- mus,& areae numerum si auferamus supersunt 1 1 Qi a Haec quinquies suntueos Iso,quadratus. & omnia in 1 Q sunt o ueos a quales quadrato laterisio Nis unde inuenituri Nesse 2 . Ad proposita. Multipli eabitur ergo triangulus a 24 &s,iatus aut quadrati 163.Si igitur rectangulti statuamus innumeris, Sarea eius is cum 1 1aciemus 1 RO.1160.& reliqua nobis erunt manifesta
iv. 1nueniendu est triangulu tectanguis ut numerus areae, subIato eo qui datur relinquat quadrata. Datur alato. & statuas trianguid datis specie es ob hypothesin som- 6. numerus quadratus esto N Quo. Et rursias res eo Aeducitur, ut inueniendust triangulu rectan tu,&quadratus numerus, ut si ab area tollatur quadratus, reliqua sexies sumta snt quadrara Fingamus rursus triangulum ab a N &I.&quadrati latus siti N.& etit semissis multitudinis dati numethhoe est 3 Nta in io unumerus quadratus.hoc sexies sit 36. oo aequale quescitato, cuius intus o N a. unde inuenitur 1 'gIinstitur ergo triangulus ab s.&fit quadrati autem 7. &cii inueniam triangulum, constituo iri numeris, aeuiusdi propositionem, irrueniam
156쪽
numerum rationalem;&cranslati v Inuenire triangulum,cuius areae numerus a dato subtractus relinquat quadraium Datus stio.& rursus statuatur triangulum a N LN3. sunt 1o-o Q quales quadrato Et si faetamus di QSuadratis,rurib meo deuentu est, ut inueniri debeat triangulum rectangulu & quadratus numerus, ut quadratus areae auctus numero, deeem quadratos iaciet. Fingatur quadratum aba N & i latus autem quadrari 1 s.cto &ue.&sic positus ex area α' 26 QI I haec decies, sunt aclo in Ico .ct qua dian; horum 6ue O 23 aquatur quadrato lateris 3 N ig. unde inuenituri es esses. ad posita perge,&inuenies ut in praecedentibus ν i. Intieniatur triangulum tectangulum, ut areae cum uno laterum quae remam Laetunt angulum datum numerti faciat Sis datus . Sit rursus triangulus datias spe cie 3 N, N,s N. fiunt o Q 3 N aequale . Oportebat autem semis e unitatum N in se ducto.additis minitatibus facere quadratum id autem non sit. Oportebit ergo inuenire triangulum rectangulum, ut qui fit a semissi lateris circa rectum unius a d scitis di area faciat quadratum.Esto laterum, IN. qui in altero, I. & sunt N , e t .omnia quare fiunt I N aequales quadrato.Vtq; etiam triangulum rectangulum rationalibus lateribus constituamus oportet N QI r 14 esse quadratum. Ex sugsti. 13 N.dimenso N iecundum 1 N-1 . dimidium edicessus in se fiunt o aequales minori &fita N,I Adposita .pono unum latus trianguli a . alterum a. Omnia septies.st unum a ,alterum 7.&hypo tenuia 23. Fit area cum duobus late ribus,s QI N,haec aequantur . Ergo IN inuenitru 6, 23,&manetv ii. lnvenire triangulum rectangulum,cuius ab arca ii auferatur unum latos re ctum angulum facientium, relinquatur datus numerus. Is si rsum s triangulustatuamus data specie res eo demittitur,ut quaeri oporteat triangulu rectangulis ut
lateris unius semisse in seipsum ducto,adiecto ei quod si di area, quadratus cxii stat Et inuentus est .a .rue. Pono itaq; 4n Numeris, &area detracto uno raterti fut84 Q --I7 N aequalia fit a N3.ad postiones 1 I x. Inuenire triangulu rectangusta, ut area ambo h. laterib. quae sunt circa rectuangulum adsumtis, datum cosciat numerum. atq; hic esto 6. Rursum statuatur tri tingulum datum in specie, &rursum eo deuoluitur res, ut inueniendum sit triangulum rectangulum ut summae laterum circa rectum in se multiplicatus semissis eum senario areae faeiat quadratum. Ponamus denuo latus alterum 1 Ralterum 1. st ut
quaeramus ti Ni 4,aequalia quadrato. Omnia quater sti Ni .equalia is quadrato.&I in I aequalis.excessiis 14 Smensura a Nper huius excessus semissis
fili quod aequatur/Q' ista N, 3. Erit ergo triangulum O, L s3. & O mnia perag.st triangulo .s N ag K,3 μ& fit area cu summa cla tu istoru laterum. 63 Naequale 6 ac Numerus essistit rationalis ad proposita. IN. Inueniatur triangulu rectangulu,cuius ab area si Huoru lateru qui rectu saeitit angulu auferatur summa datu numeru exhibeatis aut fit o Rursus statuemus triangulu qui quaeritur datii specie. Fit utquaerendu sit triangulu rectangula, ut summae dichoru Iahetu semissi in se ducto,ei quod fit si s adimas areae quadratu sat Hoc iam ante est demonstratum,&estas. 3 3 pono itaqi latera in Numeris.sunt rursus 63ό - Naequalia o. unde in leniriu iri5.Iam ad posita hoc accommodemus A. Inueniamus triangulum rectanguli cuius alea latere altero & hypotenusa ad
sumtis,numetu propositu exhibeat. Detur . Rursus trianguluillud statuemus daetu in specie.Requirit Pindo,ut triangulu excogitemus tectangulis, cuius areae quadruplia ad summa hypo tenuis & alterius latetis si adiungatur. huius collecti semis
ss in se ductus,quadfatu eOfietat Est alat demonstratum.latera eme a 3 43 53. Haec Nnorata pono. sunt o o. gi aequali L .fit ii N6. adpositiones, & mi. lnvenito triangulum rectangulum, cuius areae s adfatur hypo tenuia S laterum reliquorum unti,datum numersi summa repraesenter Esto is Rursum constituemus triangulu illi, dacii specie de reliquu est. ut indagemus triangulti rectangu Isi,cuius aredi quadrepiti ad sin imam dictoeum latesse si adii eicis. siemissis collecti in seipsum multiplieatus C 4, 6, N ,r. Atini, ii, areea QD. Q N,lta
157쪽
Si d inuenire triangulu rectangulu, ut & qui est in primo ipsum latus,sit quadra
γ tus &praeterea qui est areae,cu minore latere faciat quadratu. Fangatur triangulus 1 α N es supponatur maius latus factu ex duplo eius, quem ipsi ultaplacato uno in altera componui. Oportet ergo inuenire duos numeros quorum multiplicatione
cui coponitur,semissis sit quadrati :&excessus dupli huius semissis , supra excessumo uadratoru qui ab iis fidi, faciat quadratu. Hoc aut in quibusvis ducibus numeras
si maior sit minoris duplus. Restat ut quaeramus aream trianguli, cu minore laterufacit quadratum Fit aut area huius, 4 , a Q ut fit 1 numero. Itaq; et ipsum latus ex tribus es qui sit, minore quadratu Et omnia per quadram aman re Quatenus emo numera alique, ita ut etia quadrati qui ab iis fiunt est tribus una talibus faciant quadratu.Est aut unitas,&ath infiniti numeri. Ergo thiangulus quem quaerimus, ef m Q r. Datis duob numetis, quom summa quadratu eonficit: infiniti inuetuentur uuadrati,quoru quilibet in tiplicatus in alterum,altero ad prodnctu adiecto qua drata confiet Numeri sunto 3 & 6. de inueniendus si quadratus, qui per a multipli cet productumq; o augeatur,at ita quadratus fiat. sit quadratus isse i am thfiunt multiplicatione, s&o additis) 3 Qt 5Nto aequales quadrato.huiusq; solutiones sunt infinitae, ici unitates habent latus quadratu. Aequetursane quacrato lateris 3 3 N: fit ari . latus ergo quadrati erit 1 sed &alii innumeri iuueruetur. π1 m. Inueniatur triangulu rectangulum, cuius area si augeatur utroq; lateIuin, sat quadratus Statuatur triangulti datu in speciei 'ia Ni3 N,fiunt i Q 1Σ aequales qua rato. &ro Q 'ue N aequales quadrato. &aequetur Quadrato 3 , 1. &et 1N st a, oportehit ut etia 1 Qis N st quadratus at non est. Itaq; eo compelli mii ut opus stinueniri quadratu quendam, qui detractis 3 o,&residuo peria diui se quotientem edat qui in se ipsum ducatur: & ita 3o sumtus, uhi adiecerit satia ni merum qui si is inuento numero, saciat quadratum. Esto qui quaerit ut aciat quadratum 1 Q, & numerus 12 denominatione partis 1 -3. Quadratus lua 4 denominatione partis,1 QO--6o.haec tricies cu quintate suo fiunt clo Q' 43lo sub denominatione partis 1 49 5 c est pars quadratus. Oporte tergo
oo Qt aluetio esse quadratiun . Est autem oci ex quadrato quodam eum qui poten tia seesagies factum,& auctum unitatihus arbos,oc facientem quadratu. Ug1turminorem ipsi rectangulo constituamus oci cum Easor sacientem quadratu, soluimus quaesitii Fit autem clo ex eo quod si extaterib circa rectinuno in alterum ducto. At 213 ge solido continetur. Ex maiore continentium angulum & alterius excellii &area. Eoque redit res, ut quarendum sit triangulu rectangulti, ut qui fit ex laterati. rectum facientibus adscito solido qui componitur ex maiore laterum, hoetu 1nteruallo,&area faciat quadratum. Quod si constituamus maius latus quadratu numero, omnia ad id compat inius . quaeremos minus latus, cis eo quoci facit pie auctus in laterii interualisi quadratu. linquitur, ut inueniamus duos numeros, aTeae interualli lateru, & quaeramus quadratd. qui in unu datii multiplicatus quadratum faciat Haec aut lemmata si rhsunt demonstrata.&est rectangulum 3, 5. Matuo ici
in Numeris, fitq. ut quaeramus 6 ut 4 N aequales quadrato. S. 6 3 N aequales
quadrato.&rursum si remittamus maiorem aequalitatem, ni I m --o ergo
dcnominatione partig 1 QOi 3o 12 et . debent qua/ratum, quHapem n re datum adsciscens numerum maiorem facit quadratum.Est autem at ergo i Q stas.ergo i N erit 1. Quaerentes igitur 6 ut Naeqoare, facimus aequatus Uuaaratos as &stnumeros datus Erit ergo triangulum aE.Io rci S constat Inuenire triangulum, ut areae eius numerus detracta lateria summa qUadrat O relinquat.
158쪽
LIBER VI. 43 relinquat Rursum s constituamus.id datu in specie,ut in praeeedente,eo rediitres, ut quaeri oporteat triangulu tectangulΩ simile huic,3, ,ue. Ponatur in Numeris, 3 N N,3 N.&6 Q- Naequantur quadrato Et statuamus huncmitiorem quam sit eniti N sub ratione partis interualli quod est inter quadratum quenclam.& s statuamus quadratis 1 fit tanto exstante Numero 6 49 3 N facit aequalia quadrato Et o Q ο s quide sub ratione partis 1 ' 3 5 -Σ nterualli adt stia sub ta tione partis o Q hoc est a a insulae partis si1b nomine. Quae si tolla
muka 36 sub eius de partis ratione supersunt Ia indenominatae a partea Q Qt 36 12 &pars est quadratus.ergo etia 11 Qt 24 aequatur quadrato. Sa N, est L Statuo
6 Q 4 N aequalia I Q it1N, .latera ergo eius qui quaeritur trianguli erunt 11,15, unitates 4.& si nolis uti unitate, statue minori a Ni r itaq; 3 Q 'o ualeblata ut 6 Nio, eaq; aequalia quadrato facere in procliui estErinuenietur Nno maior quam 13, is autem numerus 1Nti. Erit itaq; IN non tantum eta. & eius quadratus sublatus ao, rationalem relinquit numerum. xv. Inueniatur triangulu rectangulu ut numerus area: ta hypotenusae quam alte
rius lateris numero subtracto quadratu relinqua sit triangi u Θatum specie,3 N, Nb N. Rursum quaeredu est 6 aequalia quadrato.&o Q 3 aequalia quadra .Heie quidem iNfit 3 sub ratione partis o Q atque hoc inuet is Q iunt s. subratione partis 1 36 a m Et oportet 1 34 sub ratione patris I Q Qt 36-Iamrrut ergo oo-13 Q senominatae ah eade parte,&reliqua aequalia facere quadrato. restant autem lue a 34 Qith ratione partis 1 QIU36-12 Q sequalia quadrato.Ρars aut est quadratus ergo etia ri in o quadrato aequat .atqι haec quide impossibilis est aequatio: quia is in duos diuiditur quadratos. N omnino alit impossibile est quod initio erat spositu. Opotiet igitur determinare de quadrato. B cti sunt enim M ae quoda quadrato minore,quam quod fit area multipliora in hypotenusam&unularer .at 36 quae Aesunt ex solidoque c5ponunt area, unu latus,&ititertialium inter hoe &hyporenusam.Eo itaq; deducta est res, ut prius Oporteat inueniri triangulu rectangulu, &quadratu numero minore areae numero, ut quadratus multiplieatus multa in hypotenulam S una later solidas cotenti ex area &dicto latere. & ab hypotentiis supra illud latus factu eme ex duplo eoru qui steti ipsis. Omnia e paremus cia interuallo dicto . Rursus quaeremus alia quadratum mult in hypotentiam &tinulatera, eae in prim latetu excessius quadratum. Et si statuamus eos qui triangulti Mngui similes esse plano dissolvemus questione.Fingatur triangulus a &r. madratus aut,iatminor sinum o areae, esto 36, triangu Iti uero evictu in Numeris statuo s N is K1 N&stnumerus areae, abiecto imo la terti, clo Q g Rhaec aequaturis Q Iit1 . adpositari triangulus gaue, &cossatam vi. Si detur duo numeri & in alteru eoru ducatur quadratus,alteroq; degducto subtracto relinquatur quadratus inueniet etia alius maior quadratus, in ante sumtus fuerat qui hoc ide praestet. Sint numeri 3 dear. Et primum quadratus aliquis, ut pote Q,multiplicecin 3.a pducto ibclueaturn,relinquitiir 6 , quadratus lateris s.
Quaeremus altu quadratu, u maior si quam 23,φ tamen ide possit Latus eius esto 1 Ni s. huius quadratus 1 in Io Net aa.Huius triplu,demto υ,3 Q t 3o N 64 equetur
N VII. Inueniamus triangulH rectangulu, ut areae eius numerus ta hypotenuisq rami alterius lateris numero detracto relinquat quadratu Hoetriangulus, statuamus datu specie rursum cogimur determinare,&quaerere triangulu rectangulinam; numeru quadratu, maiore arcae numero . ut quadratus in hypotenulam multiplicitus &un latus quaesiti rectaguli solidi qui eotitier area dicto latere,& excessu hypotentata super istud,quadrati . Fingat itaque triangulus ab . &xquadraim aut 36. & non
159쪽
I DIOD ANTI Ani et ungeticis est maior numero areae. Habent igit duos numeros, maiore qui si ex interuallo &uno late tu hoc est 135 reliquu utiq; qui continet solides s ab area & uno latere,&in is bis QE teruallo ianucupato, 3 a C. Quado igitur quadratus aliquis, unitatu 36, multiplica sep ius in 133,&multatus hoc. 3a , qua ratu tacit: quaerimus aut quadratu maius esseu 3 3. si ergo statuam usi in 12N '36,&subsequamur ante demonstrata demonstratione unite hiemus infinitos quadratos qui satisfaciunt quaestion L quorum unus sitis νε sotiamus igitur triangium 8 H r N.fiunt clo Qt 8 N aequales oro. γ&sti Rνν. ad positiones. c. t.Euel. re i IN. Inueniendu est tria tu rectangulu, ut acutis eius angulis in aequalia disti cs numerus angulu secatis sit rationalis. Sit quae angu)u in aequales diuidit partes,sNuna aut sectio basis a N: ergo ea metus erit 4 N. statuatur ergo basis initio sum raunitatu quotlibe dummodo triens eius numeri haberi possit., sit 3.Itaqὲ ergo reliqua sectio bass,3 3 N. Sed quo nili angulus in duos semisses est sectus, & cathe tus ad abscisam parte est sesquitertia etia hypotenusa ad reliquet basis erit sesquitertia &statutu est reliquu segmentum -3 N. ergo hvpoten a 41 4N Restat ut huius quadratus, nempe 5 'Io-3a Naequet latera quadratis,ui desicetio a V
Titum. Reliqua sunt euidelia Et si omnia per 3 a reduea erit sane cathetus as, ba sis 66 hypotenusa ioci. dc quae angulum secat,33. .hdilii . m i m. inueniamus triangulii tectaguis, ut areae numerus cu hypotenuis numeto faciat quadratu. circu ferentia aut eius. Octo cubos sit area I N hypo tenus a numerus quadratus, priuatus I N & sitio 1 N. Et eu posuerimus alea 1 N ergo qui fit ex laterib. circa rectu, fit a N. Ata Nectinens subi N&a. Ergo saltetu laterustatuati Rerit altem a Scircus retia erit 18. is uero cubus no est. At nasor est e quos a quadrato & unitatib. duahus inueto opus est iram aliquo quadrato, qui binario a die Eho eubus sat. Statuat latus quadrati 1N L& cohi latus 1 N fit quadratus 1 in α N s.cubus aut Io N-3 Q LVolo asit cuba quadrato praestare unitati b. a. ergo quadratus cu hinario,hoc est 1 Q a Ni 3 ce quattit i Ci , N.iuide 1 N inuenit . Erit ergo latus quadrati,3.cubi. 3.& quadratus 23, cubus et . Transmuto itaq; rectangula, &aream eius ponor hypo tenusam a3-1: manet etiam basis a. cathctus 1 N. Re sat ut hypotenuis quadratus aequetur quadratis reliquorum laterum. Fita . clas
o, quod aequeta Ergor Nesta31. ad p sitiones, Sconstar m m. Inuenire tria gula rectangulu, cuius area: si h γpoteti usa addat,gat cubus. ela eteria aut quadrato exprimat niunero si aut perinde ut in praecedete, areae constituamus 1 Rhypo tenuis numeru alique cubicu N, eo uenitur, ut quaestio sit, ecquis cubus binario auctus fiat quadranis Statuatur cubi latus 1N-t sit cubus 1 C et 3 N ' -3 erit quadratus lateris i N&st I N, 24 . erit ergo latus cubi I .es ipse proinde erit ui 3.Pono rursum aream 1 N. hypoteti uiam 4913 1 ω. sed di basci hahemus a, cathetu 1 N. Et si s quenaus hypo tenust quadrarum cu reliquorum quadratis laterum, rationalem depraehendemus numerum NTI. Inueniatur re tingulis triangulum, cuius areae numero lateris numerus adiectus,coficiat quadratu: & circu ferentiae numerus si cubus. Statuamus rectanguluab aliquo numero indefinito impare. sit a N 'a Erit ergo eathetus a Ni i. Basis a Q let Rhypote nuta di us a N 'LRestat ut et rc se retia si eubus & area cu altero laterufaciat quadratu Fit circisserentia 4 'o Nra usqualis elabo. Et est copostus utam crus cotinet enim ab N& &IN atq; r. Si ergo singula latera partiamur peri N'1,habebimus circu ferentia eoru Nra siqicubiis Restatutateacu altero latet' faciat quadratu. Est aut arear numerus a Ct 01 1 N. sub rati e partis i m Σ' L dc si faciamus haec duo ab ea de parte, fistra C 'io 1 Nii denominata a parte a Ni I. α habemus eo munem parte 1 ut a N ' a. ita ut duo haec e posita sacidi a Nir aequale quadrato. his rebamus aut etiam 4 Nidi ςquales elabo. Et res in eo sita est, ut inue
1. erit rectangulum g iles &constat. NNI 1. lnvenire triagulo te id gusti cuius are e numero si addat alteri Jateris num
160쪽
quo in praecedente,id tandem postulabitur,ut 4Nia ςquemus quadrato.&i 1. ii
equantur a C fit ut quaeramus quadratum aequale duobus cuhis.sunt iis & s. S rue stim aequamus 6'4 N t a &sit Numerus 3 Erit adhuc rectangulum 11 63 63 mmiit. lnveniatur tri gulo rectangialu,ciatis area numero exprimat ouadrato, &s ei adiiciat numerus ate fiat quadratus. Fingamus trianguld ab 1 Ni I.fiet utiu la
tera a Naltera i Q 1. hypotenusa aut1 QAmponit hoc nobis, ut quaeramus aequali late intera os 1 Nes quadratu,&1Cla M 1 Nequalia euho Atq; hoc quide, a ut a Neoficere quadratu,sacile e Nas binariu diuiseris in quadratia, diuidente bina tio,inuenies N esse l. Oportet aut tale inueniri,uti ipsus cubus de semissis, qualia tos ab ipsis &ipsam summa faciat cubii Est ergo 1 N ex binario diuiso ina in . st cubus,3 denominatione parsis ahi Q -a.&duo ab iis quadrati,sunt 8,sub ratio e partis ab r Q a. quadratus.1pse aiit a,sub ratione partis 1 in & omnia habet eande partis denominatione sunt QNI suh denominata parte ab 1 Q- .C - &est pars euhica Est Qua quater C &omnia adcuhsi,fiunt a N viquales.Fis con stituamus aequalia unitati hus cubicis,inueniε ira esse cubi alietitus semissis Esto cuhus unitatus.Fit ergo semissis eius 4,quadratus fit 4o.&oportet hinc tollere unitate qua doquide altersi latera esti m .Et res eo deducit, ut inueniri opus si cuhse, tit quadras quadrati qui ab eo fit, maior si ua minorquaternario. Et spontimus CC Lquaeremus 4 C maiores quide u .minores alit u Ergo cubus maior est us,minor aut uaci Est aut a u. Ergo cubus 27 3ra fratcio itaq/s N aequalesa; &st, 14,i ., πιυς Et s binariu diuidamus in eum qui hoc minor est unitate inuenim mus Numeruesse ueta es habemus in quadrato qui ab eo fit quadrato utiq; unitate. mxiv. Inueniat triangulus tectagulus,cuius ares numerus sit cubus &adstito numero areae, faciat quadrarii. Primum circuspicere oportet duos datos numeros in uenire triangulsi rectanguis ut circuserentia quide aequet dato numero. Area asit. alteri.Sint duo numeri,ia & . di imperata quotu ille circsiserentia hic aream signi
seet Elgo que eo ponunt multiplicado latera recta includetia,erit1 esto si consti tuamus latus 1 Nerit altem 14 N Alclusistrentia est Ia Ergo hypotentia eritia R&quatuor quod est ab eoru qui ab ipso quadratori scuhesti Q 6 usi L a KN is aequale iis qui sunt in circa recto angula quadratora. hoe est viii Quadratis no Defectus comuniter addatur, & a similibus similia & omnia adnumeros. fit I N ipse H 336.Et no undequaqι possibile est nisi dimidiu Numetorsiin seipsum, tractis Quadratis,in unitates ductsi faciat quadratii. Et sunt numeri quide ex eo qP fite circastrentia & quadrilatero qJest in area: Quadrata
asit in unitates ex eo qc fit octies a circularentia in area.Adeo ut huiusmodi dentur numeri Ac sit sane numetus areς I Reircumser hie autem numerus simul & euhus&quadratus nimira σι , ut costituat triangula: oportet quadrati, qui fit a 64,itPq. 4 Numerore semisse capto,inde auferre octupla circularentiae, usq; ad 1 N. ac, qt reliqua est,qusrere equale quadrato.Fiat us Iut Moso -aas 6. de omnia qua ras fitinis tro E 51 N equalia quadrato. reo alli es N i54 equatur quadrato.Et exequent Numeri.& excessis. & dimesso & reliqua sunt in piotu. απυ Inuenire triangula rectangula, ut qui fit ab hypotenusa quadratus si alias quadrilaterus tegularis.&8O diuisus p unu latera, faciat euhti & latus. ti tartis statuat 1 N altersi I Q si manet a fit ab hypotenuia, ut latere quadrati. Restat ut aquemus quadrato Diuiss omnibus per GitI GI N equalis quadrato, ius la
tus sit 1 N a. Ergo 1Nfit 3.&reliqua sunt manifesta. παVI. Inuenire triangula rectangulti, ut unius lateris numeras si biens. altera cubus extra latus.hypotentia ast cubus Status Esto hypotentio a Ct N. latera altersit C N.reliquia ergo latus erit 1 QIestatui. Q quem a C.is sit unitasλsit N,a Adposita erit triangulus.6.8.1 .Et manet.
si ab ternatio numeri progrediantur semper unitate, praecedente superate po-n a steriore,