Elementorum curvilineorum libri tres

91쪽

milam diuisura in quotcunque partes volueris decem, vel septemdecim pro nunc bifariam in R dispescito, cli transuemfam ad L deducito,ssi velis limithe mediam partem auferre ,&ubi se lineae cum iambiri linea decus Tabunt fige circini pedem fixum, de vagum alterum ad alterutrius diametri extremitatem A, vel L , arcum circumflecte AGI, nam lunula Fl sterit dimidium tu ae. Vel si tertiam partem vis auferre, sit latera K in late rati tractu tertia pars ab isd lineam porrigito, ibi FD lineam secat, pede circini stabili collocato, ac vago altem ad A extremum, arcum circumduces A LL, tertiam lunulae partem A ILH a duobus a tandet. Quoniam triangulum ADL per RL lineam bifariam inumeret, superior triari Duli pars ARL per superexaratam

propositioὁem sit ori nata parti AI LGl congruit, di ima

terila parte dicendum. si I Eadem

92쪽

ELEM CURVI L. LIB. III. 3a

mus,4 lineam a B medio semicirculi, punctoq. S, Vsque ad circuli AT CF eelitrum perueniat,4 ubi se intersecabunt puncto E siste circini pedem, Interuallo EA, exterula circulu AIC,4 diuisa erit lunulati probatio ex anteriori liquet.

Datam quamcumque lunularia quaedrare

Prop. IO. Sto exposita quadranda Iunula A B CD cuiuscunque ordinis,cui aequale oportet rcperihi rectilineumaior cir-

culus GADCH, integer circinetur &sit ADCI porrecto suo diametro AI, a puncto A superponatur praefata lunula

am,in compleatur circulus An F cum suo diametro AF, eri daturq linea,puncto A ad Q siti discindatum. rectus angulus ACLper rectam GK,4 super basim AC circinetur semicirculus AEC,vi puncta G, basi AC, fiat quadrans orta L dupli,

93쪽

aequale diuta ACEH, remanet subtrianguIn a AGK aequale sublunuhes CD. apuncto semicircur limedio E, AEC per G, usque ad

centrum circulLADCI, dirigatur linea mBDGML excisecumserentia ABC reperiatur centrum,&sit M,&trahatur AN, usque ad F diametri finem ex supradictis, si a triangnio AGK, quod Iuriviam AH D refert, subducatura , quod representat Iunulam ANC B, remanet subtriangulum Κrepresentans sublumitam ABCD, quod erat edocendum a

Semilunulas ex bra ratione quadrare. Propi I T. IN sola proportione dupli, subdupli accidit,ut semidi

meter circuli subdupli straequalis subtensae quadraruis dupli virn prima Prop. huius vidimus' ideo in his persectasti nutae, Valijs poetius circuli semilunula diei potant.

Estq

94쪽

Esto circulus.AD quadrans semicjrculi AEB, quarta pars micirculi AD G si1 A DF diameter Multip DB transeat per punctum tD, dico triquetrum o DF semicirculo AEDB aequale esse Tollatur communis portio DA, remanethinula AEBDpaequalis triangulo FDA, sed AGL perlaeta . Iunula nota est: ergo sublunula A L BD nota erit, subducito trian rutum DB ab ΑΚ F, residuum sublunulae ALDA

notum erit.

o mo seognosc4 1Qrti 'uadrupli AD valet quatuor portiones subquadrupli,secetur cireumferentia AEB quadrifariam, & sint pomones AI, Mum is amputentur portiones AME, EPI, HB, reponatur AB, trapezium rectilineum AIEΗm noti merit, di sic de caeIeris.

Alio modo.

'It semicirculus A O D G, quadruplus ipsius aAE B in ipsiusAEB, apiatur duplus,& sit circumferentia ACB, remaneat infra

subitinnia ACBDIA, quam uolumus quadrare . Quia semit unulata de ACBDIA, nota est, nota etiam lunula AEBC, ex vigesima sexta primi nostri, si notum a noto subtrahatur, quod reliquum est notum erit. Fossumus etiam proxime praedicto modo quadrare, quia portio AD, est dupla ipsius ACB, diuidatur Aci, in duas partes AC, CB, demantur hae duae portiones AC, B, repo natur AD, rectilineum ACBD A , est aequatae sublunulae

95쪽

r IO BAPT PORTAE Lunulam per latum in quadrabiles partes

diuidere. Prop. IΣ.

NNunc me conuertam ad quadrandas Iunularum incla tum partes, cum paulo ante per longum indieauerimus. Esto lunula AECG, diuidaturq per medium per lineam CG,4 AC circumferentiam permessium proscindes in B, di exaduersa partem in D. inuariata circini aperturas imicirculi subdupli pes vagus in A, altri fixus sitiatur taliter, ut xiis volvatur in G, Ut circunderentiae circumduction , bdemq. olii tu definiatur in rcapedo a similis BG

modo Mua recta partitiones ABkBQ CD, AG GE, a puncto I mectio cire serentie G erige lineam sursum . ad circumferentiam Ru don Mam in B tetigerit Quoniam AB est a qualis BG, portio AG dupli rependit duas AB, BG semidupli dico illis AB, BG sublatis, hac AG rem' sita rectilineum triangulum ABG notum eris dem intellirigendum de altera partia ne GD Evioliquum triangulum BCDG uotum tam rarescitaui unotae lunulae Vel amputaris in ovibus B sire litis his: BG; GD aequales, Melusidem circumlarentve recensit ut thiangulum noniam eritu Ex his triangula ABG, BCDG, GDE per medium transuersis diuisa lineis nota erunt, tripartita erit lunula . . Vel

96쪽

ΕLEM. CURVI L. LIB. III. 3s

Vel circuli dupli tripartita partitione curuatura

inuariataq. circini apertura intra

duo puncta F, DC mutuo inter se intercidentes arcus 1 ffectantur BF, DC, ubi futurus est cotactus illic pones, aio triangulum ABF, tum esse, quia AF, dupli circumferentia, duobus illis subdupli AB, BF respondet unde reiectis illis, hac reposita porti ne pensatur. Idem de alia parte DCE Gendum,&triangula BGD, CGF BG P nota sunt, sic etiam trianSulum

Remanent

adlinc lunu Iepil- Laesa tripartitio- ine ex puncto D fixo circini pede altero ad F signari subduplo aequalet portione iri I,mox initariaeta circini apertura, qua duplucirculu constituisti, siste circim sedem in altera extremitate lunula putam, alterum ad D,&conuerte, ligna circumserentiam dupli DI, ab ad excurrat recta IF dico triangulum DIF notum,quia circum- serentia dwpli DF est aequalis D ex constitutione, ratione iam laepius repetita; addendo , demendo notum erit triangulam DiF, vel intercapedine BK circinetur BK circumferentia dupli,& recta ducatur Κ quia DF est compari SDF arqualis ipsi DK, tolle portionem BC, repone ΒΚ triangu mam lum

97쪽

Ium ΒΚC notum erit, vel deducta linea IΚ, interuallo BIcircinatione subdiipli ex puncto D signa in linea IK interuallum B in ex altera parte F dico triangulum DOFnotum, quia linea dupli DF valet illas duas DO, O subd pli, di reliquum trapezium notum erit BDOm demendo notum a noto, similibus iani recensitis modis multipliciter se latum lunula partiri poterit.

Trapezium semicurvilineum trapezio par

uersa linea ducenda est, quae curua

turam spectet,& sit GH,lmox duo I tera,quae angulid ciem in D confimmanti G, H, amussim in medio praecidantur,4 praecisionis signa Iccharacteribus insignia tur, proruat linea per eadem signa BIKC ipsi GH parali 'a, expunetis G H ad perpendiculum demittantur supra is B C lineae G B, GH, excurrentes in longum lineam BIKCbifariam diuidat, cuius diuisionis terminus ,¢ro interuallo B, circumducatur semicirculi forma si ibdupli Bin C, quae quadrantis circumserentiam in duobus punctis intercidet . Intercisionis puncta totidem literas sortiantur M, , inlatur FD. Dico Trapeχium semici illineum BGMLNHC par esse quadranti GLH, sed ad demonstrationem accingamur. Quoniam PD aequissistat H C, cadit inter

98쪽

inter eas D H, ergo anguli F D Κ, Κ B C aequales anguli ad Keontrapositi etiam pares. Itidem tecti ad F C, ω in linea puΚ etiam aequalis Triangulum ergo FD triangulo ΚΗ compar. Idem ex contraria parte sentiendum, cum compari linearum descriptione confirmata sit Demantur er

Consectarium

EX his apparet lunulam MANL aequalem esse duobus

triangulis G, FIC, quoniam circuli pars extramittitur MANL,incluo antur trapezij partes NHC, MGΗ.

Triangulum semichruilleum ex quarta semi

I semiabscisa unuIa o MCD,&linea C ipsi AD parallela constituatur, dupli circunuerentia A me ueniitate A ipsi CD parallela aducatur, donec ductum lineae CB contingat in B, dico semi- curvilineum triangulum AB G quadrari posse. Quoniam AB ipsi CD Parallela,& eiuLdem circumscretiae, ergo qua diangulum BACD notum est, 4 quos semilunula subducatur CGAD, remaneritiantuIimi notum ABCG. II

99쪽

I Vel quia lunula aqualis est AGF ipsi ECG ex praecedenti,

parallelograminum EBAF est notum, quia ex aequalibus circumferentiis pergo triangulum CBA notum est, quia virique additur commune GAF. -τ triangulum semicurvilineum, quod paulo ante destria psimus ABCE remaneat doducatur linea CA portio stimidupli CGA, vi sit ABFI semiportio dupli ergo aequales, abscesisses communis EHGA tollatur, remanet BE aemale CEIAE addatur utrique communis BEG, ergo triangulum rectilineum BHC est aequale triangulo semicurvilineo BCGA.

Notum a noto subtrahere. Prop. IIV

SEd modum, quo notum a noto subtrahatur nunc exis

Parallelograminum ABDE circa decus alas linea BFinta ad rectos angulos constitue sit quantitas lunesaea de BAED, ex alia crucis partem IEF,i elongeturq parallela I H, quousque coeat cum linea ADG punctos, mox linea G E discindens angultimi GH, ducatur perconiunctum quousque intercidat lineam AB,& ibi appone C.& ab C, p, rallela ducatur CL, usque donec lineam GH tetigerit ina, dico parallelograminii L esse quantitatem trianguli BAC, qua superatur a parallelogramino I FI, quoniam parallel grammum BD est aquale parallelogrammota dempto P rallelogrammo FH, residuum erit FL, quod aeimus.

100쪽

ELEM. CVRVIU LIB. III. fCirculum quadrato proximum c0nstituere.

Prop. s.

Λ soluta lunularum tractatione venio tandem ad circuli LX quadrationem ex ingeni facultate, sed initio circuli quadrationi approximabimur . Esto sexto decupli circuli quadrans Assi C. ex semidiametri dimidio D E, sub sexto decuplus circulus constituatur GH,amputetur pars tiadrantis ADC, sitiq. DBA, dico triangulum DBA circulo mutua parilitate constare secetur arcus quadrantis BA bifariam in F, connectanturq recte BF, FA,4 a circulo GH itidem duae illae portiones quadrantis BF, FA, dico triangula DB, ADFesse aequalia circulo, demptis duobus portionibus CH, aequales illis Brii interclusis quod patet ex constructiUne. 11 Da-