Elementorum curvilineorum libri tres

71쪽

sit Am octava pars sui circuli in Assi sui

circuli Quae igitur portiones AD, I aequi- pollent uni maiori octo igitur eiusmodi tria gula respondent prOp

sitae coronae

Corona semiquadranda.

Sto circulus ABCD cuius quadrans A-BI, triangulum AB Enotum est, quia AEPE Baequales sunt circums rentiar B, reliqua pars quartam FB HII, quia B F, B H aequales sunt C F, G H, tolle FB, B H , repone G M Herit nota pars B, H reliqua pars ET, Lanota est, quia aequalis E, EI, tolle, repone nota erit pars illa, remanent ergo sportiones IG.

Volutas omnifarias quadrare si . I

S voIuta figurae species in cocleae modum simiata cuius ambiens perpetuo flexu ducitu. binis in se quo

72쪽

ELEM. CURVI L. LIB. IL

dammodo recurvis, testactis Iineis. Propositum ergo sit quadiare volutam BEDGI HLMA scio hanc volutam octauam esse partem volutae circuli No PQRS, omnes circuli volutae non capiunt nisi octogoni

ream, ergo unaquaeqae octauam partem com-

ao pIectitur: una igitur volutae pars est BEDGIFCALMA est octauaeirculi pys, pctaui Qrculi pars est triangulum BC, ergo tota pro h voluta quadrata triangulo metitur. Possumus,4 hoc modo cysscidem triangulum etiania, quadrare, quod vidianus tu . propositione hunis.

73쪽

IO BAPT PORTAE Curvilinea triangula aliqua quadrare.

It circulus duplus min C, subduplus vero EFGH, m. in puncto contingant G abscindantur a duplo dii portione qua drati , AM,&ia subduplo quatuor quadiati ET,

cua CDEBA, BMG, NHaequalia quadrato EF, G Hpuncto E ducatur parallelaCA, fit Lo quadrangu- Ium CL AI notum est, remanent quatuor triangula LDE, EIB, AMO, CNO puncto dupli circumserentia ducatur MN, di expunctis Cin alia parallela eiusdem circumferentiae CA, dico lunulam Coin quadrari posse trianguli C O, OAM nota sunt, quadrangulum notum, quia ex parallelis circumferentijs, a quo si triangula subducantur C A

lunula nota remanet.

Quomodo lunae om

nicula quadrari pos

sint. Prop. a IoRLm neat superior descriptio. in semia circulo BGD describatur dupli circumferentia BLlDa punctis BD, Iunula igitur BG

74쪽

ELEM. CURVI L. LIB. II 63

RGA DIU nota est, lunula parua nota est C GA qu drangulum C LAI notum etiam ex anteriori, remanent ergo corniculi BL AI etiam noti.

Trapezia multa curvilinea quadrare.

quadruplus AE per 2 o. nostri,duo semicirculi AEB,Cm Valent quantum arbiton AGNDCBA,dematur portio Nquarta circuli pars, η portiones AE,EB, CF, FD, rema nent duo triangula rectilinea AEB, C FD aequalia trapezio curvilineo iam diem. Eadem ratio erit in trigono sit trigoni portio LIN, duo circuli FED, AG, quibus duae portiones E, CA, duae dimidia SD, Ac, quae Unam integrant, altera erit OIM, arbiton LINGMCOvalet duos semicirculos, quibus si tres dempseris tres item ab arbitone, vacua LO, Om,MNG, ΜΠ ULvalent duo trigona FED, AB. Eadem ratio erit in ex sono . trigono, nam in trigono in circulo GHIL duo trigona A PC DEI, aequipollent vacuis GH M,

75쪽

tangens circumferentiam circulorum inlatus trigoni aequi lateripercia. I 3.Evcl. Circulus ABC, est quadruplus D A E ergo paἔs te tia circuli A BC qiue est AB C est unius circuli, de tertiae partis, pars eius tertia est FGH, reliquum ergo erit corona ABCH GF dema. tu duo quadrantes circuli E P, C HI, remanet Va.cifum AEFGHICI A quantitatis dimidi circuli, 'uia octav pars circuli maioris, valet quatuor minoris dematur portio B ex maiori, a. 8. ex minori L M, MN, NO, ORergo rectilineam LMNon valet trapesium AEFGHICBA

76쪽

ΙO BAPT PORTAE

NEAPOLITANI

ELEMENTORVM CURVILINEORVM Liber Tertius. In quo de Circuli quadratura agitur. Lunulam ex dupla, subdupla proportione

quadrare. Prop. I

Ddscripto duplis

circuli quadra te his characteribus distinguatur ADBC, cuius subtensam AB, scinde bifariam,&punctus scissionis adamul- sim medius F charactere sortiatur, in quQcircini pede infixo ex F interuallo circum dueto semia obitum

subdupli AEB ducito, aio triangulum rectilineum ABC interceptae IunuIae area AEBD aequalem esse. In medio periseriae subdupli E punctus instituendus, ob utraque circuli extremitate A B lineae excurrant usque ad , ibique mutuo concurrant, quia dupli portio AD BF quarta sui circuli pars valet quantum duae subdupli portiones Assi,

Ei, etiam sui circuli pars quarta perdo primi nostri,ideo subin

77쪽

subductis portionibus AE, EB apposita ADB per primum axioma nostri ecundi libri) triangulum ABC valet quantuin Iunula AEBD, quod erat demonstrandum. Hyppocrates hoc aliter Wbbat in primo Physicorum Aristotelis,quia quadrans dupli ADBC valet quantum semicirculus subdupli AEB, abscissa portione communi AD B, quae inter utrumque intericcsta est , remanet trimetrum i aequale lunula AEBD, quadrandae.

Constinarium.

EX hoc circumferentIa dupli transibi semper per extreismitates diametri subdupli quod in alijs non euenit; quia angulus in semicirculo A E B rectus est per 3 i. 3. Euclid quadrata' A E EB aequalia sunt quadrato AB S quadrantis dupli angulus ACB etiam rectus est,ergo quadrata AC, C aequalia sunt quachato AB, ob id recta linea 'btensa quadrantis dupli eadem est cum diametro subdupli.

Duas lunulas aequales in dupla, subdupla

78쪽

eulus dupli Aci, diametri extremitatibus Assi binae lineae in medium circuli anfractae excurrant, ibi mutuo contactu angulum eniciunt, illic aliter exaretur. Subtenis AC, CE in medio ductu praecidantur, praefixistiteris I mox assumpto circino ad rem cbmmode proserendam, pede uno in I infixo subsistente I interuallo linea circumducaturisque donec ad alteram extremitatem C perueniaet, inuariatoq. circini pede Κ puncto compari linearum perscripti ne circuli semianfractum designet ADE. Hoc peractopu cto Fathea in plano iacentis perpendicularis extollatur , quae in cuspide curuaturam, contingat, aio lunulas ABCG, CDEH aequales esse trimetro ACE. Quoniam circulus AC E duplex est AB CDE, ergo semicirculus ABC, C in aquales sunt sinaeir Io-Acs. amputentur di communes portiones Am C, CHE, residua rectilines

triangula A CT, Fc inaequalia sunt lunulis ABGC, CDEHvel modo, quo jupra praecepimus triangulum dupli A GCF aequale est semicirculo ABC, triangulum FGH aequale semicirculo CDE, subductis communibus portionibus AG C Hra, triangulum C E est aequale duobus lunulis A B GC CDEH.

Consectarium.

, tequam ultra progrediar consentaneum duxi adn tandum angulum rectum bifariam disse tum in C ex per X. 6. Euclid. SC, ad C A rationem habet ut EF ad FA,- sic triangulum CIE ad triangulum C AT per primum 6 Euclid. quia aequalia sunt, lunulae quoque

aequales sim t.

79쪽

IO BAPT PORTAE Vacans pacium, quod intra figuras omnes

notas interuenerit quadrare.

Prop. I. R P ta linea AB

dirigenda est,&ab eius umbilici medio puncto C s miorbis circumdu cendus est AER, completo semiorbi ACB lunula comi plenda est ri AE BD, mox laterales lineae erigendae ab extremitatibus A sunt, & medio eius puncto E superior linea exaretur ipsi AB aequidistant,ut ultro citroq. semicirculum tanganta etiam hisce lateribus parallelogrammum exprimant AGHB, demum ab extremitatibus AB, medio puncto Etransuersas lineas sortiatur RE E B. Quoniam parallelogrammum GABH semicirculum continci, est sui quadrati dimidium, semicirculus unulam continet AEBD, S lunula AEBD suo trianoulo AE aequalis est,&mangulum AE sui parasse-loorammi dimidium est, ergo interceptae areolae AGE, EHRAD quae lunulam A B ambiunt, aequales lunt ps lunulae areolae, ergo sui amplexantis parallelogrammi dimidium

sunt.

Consectarium.

EX hoc perseicuum est lunaeam sui quadrati partem esse quartam . nam si lunula sui obsepientis parallel gramia dimidium est, di parallelogrammum sui qzara

80쪽

ELEM. CVRVIL LIM III. cs

dimidium igitur lunula sui quadrati dimidium erit. Vel si cuiuscunque figura notae vacua quadrare velimus modo supra Ecognito nota figura circumclaudatur, quam si a nota subtrahes, optato Fpotieris ex secundo axiomates secun re di nostri sit gratia exempli peieci I HEIGO Opienda suo parallelogrammo ABCD, quam ab ipso seduces, silc inclusae area HAE, BI, IGOR OCHFresiduum innotescet .

Duas quastunque lunulas inaequales in semicirculo sitas simul quadrare. Prop.

TRiangulum rei tilineum in semicirculari inea definiri debet, quod tribus notis distinximus ACE, supra eius latera semicirculi incubabunt ABC, CDE, quibus congruens area adinvenienda est , inquam angulus A C E in is circulo rectus est, ct bini semicirculi ABC, CD E aequa les sunt semicirculo AGCHE ex eis, quae supra habita sunt, reiectis communius portionibus GC, CH relictae semi- lunulae ABCG, CDEH residuo triangulo ACE rectiline. aequiparantur.