Elementorum curvilineorum libri tres

81쪽

At si perse orerit unuIrit cunq. modo inaequales semper orthos ib 4 cimidi .medio ad substratam bassim d ducendo aequales erunt . si iacen ima Adb Hora semicirculus struatur ACFL, ab extremitatibus hi ormogonium quodcunque struatur triangulum A CL, cuius Iarerum ductum rectum angulum in I constituant supra latera AC,CL Ambientes semicirculi consurgant ABC, CGL, Min eis perfectae Iunula ex more designentur AB GE, CGLII Histe actis in verticis inuosae lineae puncto D ab diametri extremitatibus A duo latera consurgam , ut orthogonium triari-gulum ADL constituant, aio dictas persectas lunulas ABGE, CGL H in circulo Aci R descriptum semper di cto triangu o ADL aequales esse: Quoniam Iunulae, A RU RCGL H a tralas sunt triangulo orthgoniti Ada L semper exsecunda huius. Potestis alia probandi ratio suscipi Triangulo ADLsuper lineam A descriptoo aliud triangulam uale infra

82쪽

Dri x oblago in collocato, linuosa linea ducatur usqire ad L. Quoniam duae tinulae perses ABCE, CGLH mu Ies sunt uni lunulae ASL ex poma luJnas &lunula ACDFLSest aequalis triangulo A Dictem est cum triangulo AD L.

magi fieri, ut in triduertendum inpersectae vir e mantoicirculi Nertice declinant, trako minis es

minus est. Mindefectum conspicere que ierit triangulum

ACM a triangulo DL sibducat hoc modo, a niea MD, lineam prae dat, ch linea MI lineam si, intruncet,&lineam MN ducat, triangubim MIN aequatierit ACM, reliquum triangulum ID N GI Mntitas lunulae ID L, dempta lunula A E C. F

Vacua inter lunula intermisia quadrare.

Prop. X. icis a A muti mi upi in fri vero interuenientia vacua circa Iunulas 1 quadrarq quaesieris , ita quadrilis. Esto minor lunula ABCG, maior CDLH imperamus semicurvilinea triangula inania i ter illas , in rectilineas figuras reddere scilia

83쪽

euis. Quoniam trian isti, vi H est aequale Actaea

constitutione, triangulum AC est aequale Iunuli CDLH, ABCλ ergo si triangulum AF a parallelogrammo A TL V abstuleris reliquum vacuum Aa V L erit aequale interiectis vacuis iam recensitis.

Duas lunulas inaequales in sernicirculi ambitu descriptas seorsum quadrare.

STO rectangulum triangulum A CL, cimis porrectius latus C h sit duplum exilioris AC,& circumserantur lunuls ex more,quibus adij-ce suas literas indices CGL F, ABCT, mox paraIlelogrammum constituatur ex Iat ribus

84쪽

ribus AC, CL, si GL,4 fiat quadrivis circuli DLΗ,&subdupli AE , nos ractonem reddituri, lineam CR triangulum AC partiri aster, ut anguli compares' tuo correspondentes, lariquetis sint, ut ACR par vj mu triangulum A CR parsit lunula ABC triangulum CZLipsit CGLF Quolitan, lunulae OULF,4 ABCT pares suurariangulo ACL qu alui ostri adiuuant in triangulo ACLpa trimetru quoniam usque sui parallel

grammi dimMhinam ut Iguia qualia huius denasematumestyer o triangulum CD st duabus praesignatis iam lunu- Iis CGLF,kABC quale,sed vi gulum CDL est aequale lunulis CGL H, ergo imula CGLH est aequalis CGLI,&ABC subducatur semilanula CGLF, utpote utrique communis, remanet sublunula LH qu ita ABCT, quemadmodum triangulum CDL A e CL, subducatur commune QR L, reliquum triangulum Rissi reliquo trian ulla Ain aequale,lunularu partium representantia,sequitur trian gulum

85쪽

pulum RD esse aequale sublunula CII H, i iangulum . AC aequale lunula ABCT, a quo si triangulum AC su trahatur, aequale lunulae ABCE per primam huius remanet subtriangulum AS imae lunula A E Caiar,quod crat de

monstrandum.

Vel hoc modo si triangulum AC L equale est Iunulis Assica, CG DF, compleatur triangulum C RI, compleatur persecta lunula,quq sit CGLH,ergo addita pars trianguli RDL aequalis erit additae lunulae CFLH, sed pars trianguli addita RDL aequalis est triangulo A GR ut vidimus, par est lunula ABC lunula CFLH. Vel hoc modo. Tres lunulae ABCE, CGLF, AEC sunt aequales trigono ACL,4 duae lunulta CGLF, CFLH trigono C DI ergo omnes quatuor iam dictae lunulta sunt aequales duobus trigonis Acci, C DL, sed tres lunulei ABC

86쪽

ELEM. CVRVI L. LIB. III. 3

lunula AEC est aequalis trigono ASR, quod quere

Vel tres lunule ABCE, AECT, CGF aequales sunt trigono ACL,in trigonum CD aequale lunulς CCLΗ, tollatrian ulum D equale iam dicte lunulς CGLH, reliquum triangulum AC Iunulis ABCE, AEC aequale est, tolle luisnulam petiectam A BC E sublunula AEC sub triangulo AER aequalis erit,quod erat demonstrandum.

Trianguli in circulo descripti angulo per m Sum discisso lunulis a circulo medio diuisis, proportio partis maioris trianguli ad

minorem, est sicut superior pars maioris tu nutae ad inferiorem, Se superior eadem pars ad minorem lunulam, superior pars tria guli ad inseriorem sequitur eam suarum larum. TUI.

87쪽

descendamus, admonitione dignum censi mus, quod cum ab:equalitate duarum lunularum descendimus,quam in secunda pa te vidimus, quantum maior crescit, tantum ait radecrescit, in ex alterius desectione altera augumentui suscipit &circulus ille, qui per medium utriusque percurrit, a maiori semicirculo subripit, minori addit, sed id non temere , sed cereos superant excessit,ut ratio maioris superioris lunulei ad inferiorem eadem sit, quam maioris superioris trianguli panad inferiorem, S ratio maioris superioris lunultiad totain minorem, 't ratio partis trianguli anterioris ad posterioren eandem sequuntur in Ioglam , utraque triu', rationem sequitur,ut exemplis patebit. Triangulum rectangulum strue,

cuius angulis 'ppinges literas ACL, productius latus C in duas partes , angustius in unam partiri In puncto bifariae scisnonis lateris I signam, ex quo, & interuallo CK

circinationis arcus exaretur, cui suas indices literas applicabis ci eodemq. ordine signa RQ suum arcum delinea ABC 'mox triangulum maioris chnaei GL constitues. sit CD L,&minoris ABCE, si ACS supra succum 'momnium bassim AL, medius circulus pectatur AC FL, dico unulam superiorem maioris circuli CGII ad suam inferiorem CFLH, eandem habere rationem, quam superior pars trianguli CRL ad inferiorem RDL, eadem superior pars lunulqmaioris CGL ad totam minorem ADCT, quam trianguliun CRLad suum sequentem AC .

Quod ut facilius cos noscamus ad hoc demonstrandum adhibe numerorum officium M ut facilius proportiones observemus cum fractis integros numeros in fractiones solu mus,ut unum denominatorem habeamus. Quoniam lineam C in duas partes divisimus erit eiuς quadratum quatuor partium, cuius pars quarta, idest unita est,hanc in duodecumas solvemus,id est H, erit ergo totum triangulum CL H,

ωquia linea et ad A, duplam habet proportionem, itae

88쪽

triangulum C RLerit.:,4 triangulum ACR H. Ergo tot lunula poesecta CGLHM erit superior lunula maioris circuli CGL cum duabus lunulis ABCT simul iuncta sunt. .Di gulum C D L erat Pt, si superior pars erat H inferior R DIerit quia tota persecta lunula CGLΗ est θ', ut proportio xpiadrupli seruetur, quam habet ad minorem perstricta ABC triangulum ACS erit ei par H , inferior

ergo pars&cum nullus melior congruat sublunularum

partibus sit ulvunula AECriti sic superior pars maioris lunulae H inferior νζ. Vnde proportio trianguli superioris CRLad inferiorem BD erit dupla, ut superior smaioris sun uIa pars CCL H ad inferiorem etiarn dupla dest, ad H, vi proportio superioris lunulae pars CGL Fad lunulas ABCTetiam dupla.est,ded superior ininor lunula ad inferiorem tri pia est, ut xia ad H, sic triangulum superius Acci ad Assim, HVis se O unu bn: i lutis la os

Subiiciatur aliud exemplum in tripla diuisione supra neam pDrrectam AL, circulum effinganius ACFL, mox in eo triangulum describendum, ut rectus angillus C literam posta deat, cuius latus unum longius GL tres partes minus A unam lomat ut in struendis ibi commode semidirculis CG L

89쪽

maior, ABC minori Inde persectae lunulae ex ordine subsis: entur, idest trianguli DL, CGL H, trianguli CS,

a Triangulum ACL, quia linea est trium partium, area erit ιι, proportio CR L ad AC est tripla, ob id triangulum CB L ericii, triangulum M v, triangulum C D E latus

trium est partium,quadrans est nouem partium, cuius quarta

pars est , idest supra sui, trianguli CRU. ergo triangulum in erit et, tres lunulle ABCE, AEG, CCLFest superior maior ad duas nores est tripla ergo Iunula supe-tium est HS duae lunulae ABCE, AECTestri, sed Iuniitapemina est ἰ, ergo superius triahgulum C A Si subhitum reli- qii herio.&sublunula reliquia inferior maior lunula,ut cominpleat numelum V eritis, ergo proportio lunula superior ad inseriore dest CGL ad C FLH sicut triangulum CRLad GD,&Iunula EGLF ad lunulas ABCT,& superior luinnula minor ad inferiorem, ut triangulum AC ad triangulum ASR, I

Datam maioris lunutam circuli ta secare, ut eius sublunula minoria unulae,&1ub-

lunulae par sit Prop. 8. *

ΦVamquam in supra commMitis igem indicaue lamis, uberid is tamen doctrinae gratia exemplum an iunc modum absolvemus in hanc rationem triangulum orthogonium eligendum est ACL, cuius porrectius latus CL bifariam dispescemus, supra lunulas ex more constituemus,& medium circulum Amt L, eis triangula subisciemus CDL, ACR, mox datis, liheis AC, CL parallelogrammum constituatur CALΚim quam sublunulam CFLA lunulis ABC aequalem esse. Quoniam lunula CGLII aequalis est sto triangu lo

90쪽

E DE . QVIR UIM LIB. III. io CDL. triangulum ' male triangulo CAL, quia

utrumque est aequale suo parallelogrammo dimidj CALΚ, mangulum A CL est arquale lunulae CGLF de lunulis ABCT ergo lunula Cissi H est aequalis lunulis A B C E REVI, tollatur de medio lunula CGLF, remanebit sublunula CFL 1εqualis ABCT, quod erat discutiendum.

Sto dupli, subdupli multifariam scindenda Imnula A F, H cuius 2btensa AL, suiςompar triangulum inserim si themus L a medo

nulam