장음표시 사용
141쪽
UI Mathes addiscendae operam navant, non eundem sibi scopum praefigunt. Elementa nostra Matheseos univeris ita conscripsimus ut pro multiplici discentium scopo satisfaciant omnibus. oeoniam vero nos omnes eadem industria eidem incumbere tenentur , nec omnia addiscenda omnibus; igitur nobis propositum est docere , quid unicuique conveniat. Mul.
142쪽
tum omnino interest, ut studium Matheseos rite tractetur. siquidem sine molestia ac temporis dispendio feliciter progredi volueris. Quamobrem nostrum esse duximus, monstrare viam, qua sit eundum ., ne ad devia declinemus : id quod facillime accidit. Eam igitur, quam in nos suscepimus, de studio mathematico rite instituendo tractationem utilitate sita non destitutum iri confidimus. Quamobrem suademus, ut omni attentione eandem legat & releg t, qui Matheseos addiscendae animo ad Elementa nostra legenda accedit. Quodsi quis. studiose obiervet, quae praecipimus , eum participem futurum fiuctus , quem eidem pollicemur, nulli dubitamus Insignem vero percipiet voluptatem, ubi senserit voto respondere eventum : quem ubi praevidet, eo ipso accendetur ardor majore industria Madaeseos studium continuandi , quam qua idem inchoavit. Nostrum inprimis est amplificare Matheseos studium, nunquam satis commendandum, nunquam pro dignitate depraedicandum. Nihil igitur omittendum,. quod huc quomodocunque facit. Alienam felicitatem qui nostram existimamus , id unice intendimus, . ut. dicamus, ut scribamus , quae prosunt aliis Quamobrem nec quicquam magis in votis habemus, quam ut omnes, qui ad Mathesin addiscendam animum appellunt, participes fimp ejus fructus, qui ex . studio mathematico percipi potest. COMA
143쪽
COMMENTATIOD EST UDIO M A THESEOS
RECTE INSTITUENDO.CAPUT PRIMUM.
De Mersu cognitionis gradums s quomodo iidem acquirantur.
S. I. Res dantur gradus cogni- tionis humanae in omni Veritatis genere, quos recto faculi tum cognoscendi uiu acquirere licet. Aut enim in eo acquiescimus, quod veritatem ab aliis propositam intelligamus s aut ulterius progsessi id agimus, ut ejusdem etiam convincamur; aut denique operam damus, ut in iis . quae cognovimus, alia adhuc nobis incognita proprio marte eruere
S. 2. Primus gradus acquisitu omnium facillimus & a ceteris praesupponitur : neque enim veritatis, nisi intellecta, convincitur animus; sive eum a priori, sive a posteriori con
vincere volueris; multo minus au
tem ex iis, quae cognovisti, alia incognita deducere potueris, nisi ea, quae cognovisti, fatis intellexeris. Gradus secundus difficilius comparatur primo, cum multo ampliorem requirat facultatum usum ; nec ad tertium adspirandum , nisi ubi ad secundum ascenderis. Tertium denique omnium difficillime consequi licet, cum amplissimum omnium exigat f cultatum usum. Qui in Logica &Psychologia satis fuerint versati veri tatem ditiarum abunde perspiciente ceteris satisfaciet experientia domestica, ubi diversis hisce gradibus aciquirendis non sine successu operam dederint. Eliicescet quoque quodammodo veritas ex iis, quae mox de illis uberius dicentur.
S. 3. Cognitionem gradus primi R a acquis Diuitigoo by Corale
144쪽
DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
acquisiturus , definitiones , theoremata & problematum resolutiones sibi perspecta reddere tenetur, omissis demonstrationibus. Cognitionis secundi gradus compos futurus addere debet demGastrationes. Ad eognitionem tandem tertii gradus per Venturus , in rcm praesetitum veniat necesse est, & ex iis, quae ipsi cognita di perspecta fiant, acquisito cum 'secundo gradu facultatum tisu, erue re studeat opus est sibi nondum nota : quod quomodo fiat, posthac i, digitabimus, quantum praesentis institi iti ratio permittit. Neque enim nobis jam proposieundi est explicare Artem inveniendi, quae legitimum tacuitatum usum in eliciendis in Pnitis ex cognitis distincte docet. S. q. Theoremata & proiaemata eorumque resolutiones non intelliguntiir nisi per definitiones termin rum , qui in iisdem occurrunt.' Incipiendum igitur est a definitionibus, quae ideo propositionibus pr. mitium tur; vel omnes simul, quemadmodum in Arithmetica & Geometria secimus ; vel eo saltem loco, ubi occurrunt propositiones, quae pereas intelligendae, quemadmodum in reliquis Matheseos partibus non sine ratione factum esse apparet. g. 3. Ad definitiones intelligendas afferenda est attentio , sub initium praesertim molesta, adeoque omnimodo excitanda & fovenda. Conducit hue, si definitiones exemplis,
veluti in Arithmetica numeris, illustrentur, &, in Geometria, ad figuram, oculis praesentem applicentur. Ita enim facilius intelliguntur έ ut molestia vanescat, quae attentionis conservandae difficultatem parit. Ita definitio similitudinis illustratur exemplis duorum horologiorum, & duorum aedificiorum, quae in scholio definitioni adjecto in medium attulimus 9. 27. A . γ. Definitionem partis aliquotae illii stramus exemplo lineae inquatuor partes aeqtiales divisae, cum . enim pars una. quater sumta lineam integram adaequet, erit ea pars alia quota S, 3 o. Arithm. . Ita, in ipsa Arithmetira , definitionem numeri quadrati & radicis quadratae num ris adiectis illiistravimus, ut tali exemplo non sit opus. Cum definitiones in Geometria retulerimus ad figuras; me tacente apparet, quomodo ad eas
applicari possint, veluti dicendo indefinitione trianguli aequilateri g. 88. quod sit AB-BC-CA Tab. I. Fig. l63; perinde ac si rati
cinio ostendi deberet, figuram, qu*oculis subjicitur,esse triangulum aequi- crurum. Sensus nimirum , aut Im ginatio, quae sensu antea percepta denuo praesentia sistit, attentionem in objectum trahit, cujus idea exhiabet, quae in definitione continentur quo ipso & attentio excitatur & com
servat ur: cumque definitionem a nobis intelligi nobis jam conscii simus, molestia evanescit, quam termini non satis intellecti primum nobis objici bant, immo invyluptatem abit, quae
145쪽
cap. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &e. 333
ardorem dicendi accendit de inflammat, prout casus truleritas. 6. Definitiones eo ordine collocantur , ut termini in anterioribus
iam suetint definiti, qui datam ingrediuntur. Ex. gr. Commensurabilia definiuntur, quod partem aliquotam
communem habent, vel eorum unum
sit pars aliquota alterius I. 3I. Arithm. . Pars vero aliquota jam fuit definita S., Arium. ., immo pars in genere S. s. Aris . . Similiter Quadratum. definitur per inuram
quadrilateram, aequilateram, rectaldi
gulam ς. 98 Geom). Sed figura jam ante sS. 34. Geom. , figura quadrilatera g. 97. Geom. ), figura . equi. latera S. 88. Geom. , figura rei tangula S. s . Geom. fuit' definita. Unde consequitur, definitiones lingendas esse eo ordine, quod in singulis disciplinis numerantur, & deSnitiones terminorum esse repetendas,
qui datam ingrediuntur. Ita nimirum obtinetur, ut quaelibet carum peni tus intelligatur, & animo ingenerentur notiones adaequatae, in quibus nillil latet obscuri, ut intellecitus plena luce perfruatur. Ex. gr. ubi deo finitionem commensurabilium expendere volueris, illustranda primum
est exemplis S. s , utrumque ejus
casum repraesentando in numeris a que lineis. Ad exempla tam arithis metica , quam geometrica applicanda est definitio ι ita ut primum contentus sis notionibus confusis, quas conspectus .n aerorum & figuraru suggerit. Deinde applicandae ad eadem exempla sunt definitiones partis S partis aliquotae; ita enim futurum , ut definitionem commensura.. talium in utroque quanIitatum genere penitus intelligas, nec quicquam relinquatur obscuri, ubi eadem inisdustria in definitionibus anterioribus sueris versatus. Sint cx. gr. duo numeri 3 & ra. Quoniam 3 , sive ternarius, quater sumtus, numerum I 2,
sive duodenarium adaequat, erit ille hujus pars aliquota g. go. Arithm. ι adeoque numerus unus est pars aliquota alterius. Numeri igitur hi 3& i a commensurabiles sunt. Et quo .
Nam 3 , s , 3 & 3 simul conficiunt
imum numerum, nempe ia sive duo
denarium , adeoque idem sunt cum duodenario ; ra est totum, 3, 3,3& 3 sunt ejus partes, consequenter 3 pars una S. 9. Aris . Similiter sint duo numeri alii 6 & 8, quorum primus componitur ex et, et , & a Iseu binario ter sumto, alter o 2, 2, a & x, seu binario quater sumto Habent igitur partem aliquotam communem a s. 3 o. Aris . , adeoque commensurabiles sunt. Et quia a, di & a simul sumti Idem sunτ cum 5, & a, a, a & a simul sumti ideire, cum δι in genere etiam patet, essex sive binarium partem ipsorum.& 8 g. s. Aris . ), adeoque communem. Idem etiam in lineis reptaesentatur, si linea AB ter transferatur in
146쪽
a 3 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
CD commensurabiles sunt, & CE AB intelligitur pars ipsus CD
Tab. I. f. s. Arium. P. Eodem modo patet Fig. a. casus a ter, si recta AB concipitur d, visa in tres partes aequales, iit sit A C-CD-DB. & EF in quatuor partes aequales EG, GH, HI & lF, ut sit EG-GH-HI-IF ac praeterea EG AC. Erit enim AC pars aliquota communis S. 3o Aris . . , & cadcm
AC pars utriusque lineae AB & EF intelligitur, quia AC in CD Φ DB &recta AB, itemque EG Φ GH Φ HI
IF & recta EF sunt una eademque. linea S. a. Aru . . Unde lineas AB di EF commensurabiles esse liquet.. S. 7. Ne evidentiae quid desit, probe observandum est, intellectum lucem foenerari debere a sensu , quatenus huic obvia sunt, quae ille concipere debet, ut, dum sensus suo munere fungitur, intellectus sua veluti sponte fungatur itidem suo , at-.que ad cooperandum leniter trali tur; quatcnus fieri nequit, ut oporationes intellectus cessent, dum sensus facit quod suum est, &, attentione in hunc conversa, illarum ne quidem conscius esse vidcarIs, operationibus intellectus cum sensuum actionibus perceptione confusa in unum cons sis. Eo ipso obtinetur, ut ad rectum intellectus seu facultatis cognoscendi superioris usum adducaris; dum se
su tantummodo, concurrentibus ceteris sua veluti sponte facultatibus
cognoscendi inserioribus , imagina.
tione scilicet atque memoria, tibi uti videris : id quod mirifice conducit tyroniblis, ut usui intellcctus recto absque ulla molestia adsuctant. Tyrones enim non adsueti sunt nisi sensuum, imaginationis atque memoriae usui, cpaatenus is hasce in divulsas c mites habet. Eum vero, qui requiritur, intellectus usum hactenus non fecerunt. Quamobrem molestum a
cidit , si a sensu ad operationes inte,
lectus per saltum adducantur. 8. Quamvis adeo levia ac pu rilia videantur, quae de definitionubus rite expendendis inculcavimus
s. , ut eaedem penitus intelligam
tur & notiones adaequatae ab ornm obscuritate liberatae animo insinuem tur ι principiorum tamen psychol
gicorum gnarus; quae in Psychologia
praesertim empirica mplicavimus, ex indubia experientia derivata, prosum ditatem in obviis, non sine voluptate , deprehendet. Et ubi attenta memte perlegerit, quae de usu facultatum, in parte altera Philosophiae practicae universalis, ad recte vivendum requi. sito demonstravimus , fructum inde
sperandum facile praevidebit et qui quod quantivis pretii sit, in dubium εminime revocabit. Qui vero Logiacam nostram perlustravit & inprimis sibi cognitum atque perspectum reddidit, quod de praxi ejus docetur δis abunde intelliget quam necessariussit hie intellectus usus, de quo in praesenti nobis sermo est. Quodsi ergo in Philosophia veriori hospites
147쪽
C p. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &e. 33
contemnant, quae nos maximi facimus, & ambages inutiles pronuncient, per qua . incedere volumus animum
ad Mathemata discenda appellentes; ii haud aegre serant contradictionem,
cum nos aequo animo, non indignabundo, seramus contemtum.
g. s. Quamobrem non piget exemplo etiam geometrico docere, quomodo in perpendendis definitionibus sit procedendum. Sumamus V. gr. definitionem rhombi, quem definimus
g. yy Geom. , quod sit figura quadrilatera, aequi latera, obliquangusta. Tab. I. Ut cum idea rhombi nono distincta animo insinuetur, nec quicquam in
ea relinquatur obscuri; oculos convertamus necesse est in figuram L MNO. Numerentur latera LM , MN, No & LO, quae num cro quatuor deprehenduntur , unde liquet figuram hanc esse quadrilateram g s7Gem. ). Circino capiatur intervallum LM, idemque successive transferatur ex M in N, ex N in o atque ex oin Li quo ipso patet, latera omnia esse inter se aequalia; atque hine colligitur , figuram hanc esse aequilat ram S. 88 Geom. . Contemplemuriam angulos L, M, N & o, quos o liquos esse pater S. 66Geom.); unde inscrtur, figuram eandem esse oblu angulam s. s7 Geom. . Sola attentio ad ea, quae oculis usurpamus, omnem ex idea thombi arcet obscuritatem, nec quicquam in notione distincta relinquit obscuri, quo mu
nus penitur intelligatur. .dsi do.
finitiones anteriores, in quas definiatio rhombi resolvitur , rite applices; iis suppositis familiaribus, notio ev dit adaequata. S. Io. Non ignoro in figulis non requiri veritatem , sed susticere ea. sumi, quae per definitionem inesse debent, ut definitio intelligatur e neque enim demonstrandiim esse, quod, in nostro exemplo, figura LM N Ο sit rhombus; sed docendum potius, qualis esse debear, ut rhombus dici possit, ubi non intenditur, nisi ut d finitio intelligatur. Ita, in casu nos. tro , si ficit dicere, si figura ect de-beat rhombus, requiri ut latera L M, MN, NO & is, quibus termina tur , sint numero quatuor p . ut sit LM---NO Lo, seu ut latera haec singula sint inter se aequalia; ut denique. anguli L, M, N& o sint obliqui. Hoc pacto enim constat , quaenam figurae cuidam datae inesse debeant, ut rhombi nomen eidem ttribui possit e id quod lassicit ad definitionem intelligendam. Et ubi
haee noveris atque memoriae mand Veris , verendum non est, ne rhominbum appelles figuram tibi obviam,
quae hoc nomen non meretuτ : quo
sane fine definitio praemittitur. Immo patet, quaenam de rhombo sumenda sint, aut sumere liceat, ubi alia de eodem demonstranda, quando ex definitione rhombi deducere volu ris , quae eidem conveniunt: quem alterum esse definitionum finem , non minus ex Logica, qgam Geometra
148쪽
rum & recta methodo philosephantium praxi constat. Ipsa etiam definitionum nominalium natura aliud non requirere videtur, quam ut intelligatur, quamam in ea sumantur de definito; cum nondum quaeratur,
utrum definitio sit possibilis, nec ne, seu utrum deiur istiusmodi ens, cui ea insint, quae in definitione sumun. tur; sed de eo tantum quaestio sit, qualia requiramus, ut in sint, siquidem
id nominis convenire debeat, seu quidnam hoc nomine insignire velimus. Enimvero cum in Mathesi non proponantur definitiones, nisi quae verae sunt; ubi, sensuum ope, op rationes intellectus elicere &, eorun dem boneficio , eidem lucem affunis dere, atque ad rectam definitionum applicationem tyronem manu ducere volueris, nil obstat, quo minus tacite sepponas, quod deinceps demonstrandum , definitionibus inesseveritatem , hoc est , dati istiusmodientia , quibus insunt, quae in definitione nominali sumuntur. Absit itaque, ut tibi persuadeas, nos eorum,
quae in Logica docemus & in philosophando, non tantummodo in Mi- versa Mathesi, sancte observamus , oblitos tradere, quae iisdem contratia sunt. Ecquis vero adeo ucsanus
erit, qui reprehendat, quod utilit iis insignis gratia , absque ullo praeiudicio veritatis, tacite sumatur quod verum est, immo quod sumi necesse est, ubi in primo gradu cognitionis humanae pedem sistere, nec ulterius progredi volueris S. I . .' S. ii. Etli itaque praecepta verioris Logicae, quae nos tradidisse certi sumus, inviolabilia existimemus:&methodi adeo simus tenaces, tri ab
iis recedere nefas reputemus; tanta
tamen religio minime obstat, quo 'minus in favorem ejus faciamus, quod eidem promovendae conducit.' amobrem, ut finem tam pisci rum ex asse consequamur, quem intendimus g. 7 ), & sensus omnes ferant suppetias intellectui, quae ab eodem expectari possunt, id adhuc
monendum esse duximus, in cxemplis Arithmeticis non arbitrarium esse, quocunque modo numeri scribantur, quibus definitionem illustrare volueris, sed eos potius ita scribendos esse, ut sensui subjiciantur, quae intellcctus
concipere tenetur, ut o nis arce
tur obscuritas, & notio evadat tam adaequata, quantui ἀ per anteriores
definitiones permittitur. Dedimus insuperioribus exempla, quibus definitionem commensurabilium illustravimus S.- . Duo sunt commensurabilium casus. Aut enim numerus minor est pars aliquota majoris, aut uterque numerus partem aliquotam
communem habet S. 3 r Arithm. 3.
Exemplum casus primi praebent numeri 3 & ra, quorum prior quater sumtus posteriori fit aequalis. R
praesentandus igitur est ternarius tanquam pars duodenarii, definitioni partis convenienter g. s Arithm. χ& tanquam pars aliquota ejusdem, defi- Diqiligod by Corale
149쪽
- .L DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. i 37
definitioni partis aliquotae con αἰ- ter S. 3o Aris . , Quamobrem non sufficit, duodenarium, sive Ia , resolvere in 3, 3, & 3, sed ipsis etiam oculis quasi spectandiim exhiberi debet , quod ternarius sit pars duodenarii , & hic consideretur tanquam
pars aliquota ejusdem, quatenus ea oculis usurpare licet, quae definitiones partis, atque partis aliquotae, tamquam notas continent. Ex hibetur autem 3 tanquam pars ternarii,
si scribatur 3 Φ 3 ε 3 ε 3 Iarete nim signum in ostendit quatuor istos
ternarios simul sumtos constituere duodenarium, seu numerum , qui idem est cum duodenario. Unde unus intelligitur pars duodenarii S. s Arithm. 3. Et dum apparet,cundem numerum 3 aliquoties, nim,rum quater repetitum, Mumerum Iaadaequare ; illum hujus partem alia quotam esse perspicitur S. 3o Arith. . Nimirum , hoc modo , ipsis oculis exhibetur , quod plura , scilicet 3, 3, 3 & 3 idem cum uno , scilicet Ia, & pars una 3 aliquoties, scilicet hic quater sumta, adaequet
Totum ; quemadmodum volunt definitiones partis, atque totius, & partis aliquotae. Sola igitur hac scriptione in conspectuum adducuntur, quae in oculos per se minime incurrunt, & definitiones partis, atque totius, partis aliquotae, instar rei visibilis exhibentur. Dum vero te narius, sive 3, etiam solitarie scribitur, juxta duodenarium in partes opem. Mathem. TOm. v. suas aliquotas resolutum, quemadmo. dum hic factum esse apparet,
tum ipsis oculis exhibentur 3 & Iatanquam duo numeri, qui ad se in. vicem reseruntur, & primus 3 repraesentatur tanquam pars aliquota alterius ra; ut nihil insit in defini. tione commensurabilium, quoad c sum primum, quod non pateat comspectui. Immo, hac ipsa scriptione,
non minus manifestum est, quomodo , dato quocunque numero, prodeat alius ipsi commensurabilis; nI- mirum, si numerus quidam, semel positus, deinceps ponatur aliquoties, quoties nempe visum fuerit, & iter to positi sumantur simul tanquam unum i id quod clarius perspicitur , si duo vel tria exempla tibi invicem subscribantur , quemadmodum hic fictum vides.
&c. &c. In infinitum. Ad illustrandum casum alterum, qiuin definitione commensurabilium continetur , adduximus exemplum numerorum & 8, qui partem alia
quotam communem 2 habent. Quod-u ergo singula ut ante repraesentare
In infinitum In infinitum. lIta nimirum etiam conspicitur,quom Diuiliam by Corale
150쪽
isg DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
do numeri commensurabiles in altero casu procreentur, nimirum, si idem quicunque numerus, veluti hic et, ponitur toties, quoties libuerit, veluti hic ter, quinquies &c. & deinceps adhuc pluries, veluti hic quater, septies &c. ac iterato positi sumantur simul tanquam unum. Hoc pacto, definitio commensurabilium nomina-lli reducitur ad genericam, adeoque realem : id qupci multiplicem habet usum. Qtiodsi numeris subjiciantur
lineae in tot partea aequales cliviis, quoties idem numerus repetitur ad conmthiendum numerum eundem; in continuo jam magis claret, quaenam
sit vis signi in , quo indigitatur plura
coalescere, in umim , ut unum sit idem cum multis, quemadmodum vult definitio partium-, atque totius.
g. I a. Q ioniam in definitionibus partis, atque totius, relativis, quarum una absque altera intelligi nequit, cliversa utique sunt pluralitas eorum
quae ad totum constituendum concurrunt , plurium concretio qua fit unum seu totum constituitur, & i de rcsultans identitas plurium cum uno; adeoque ubi definitionem penitus. Intelligere volucris, notionem distinetam sotmaturus, opus habes totidem a stibus. intellectus, quibus pars & totum concipitur, quot definitioni diversa insent, tanquam tΘlidem notae. Siquidem sensus suppetias ferre debet intellectui; singulis intel-- . operationibus respondere debent singuli actus externi, qui in sensus incurrunt & illas individua comites habent : id quod in dato.
casu obtinetur, si numeri , quibus simul sumtis efficitur totum, primum scribantur juxta se invicem absquo ullo signo interposito, deinde autem signum in interponatur, tandemquo iisdem, hoc signo inter se connexis, adjiciatur signum aequalitatis - , cum nota numerica, qua indigitatur numerus ex iisdem coalescens, veluti in exemplo primo Ia, qui eX 3, 3, 3& 3 in unum coalescentibus resultata Hac enim successiva scriptione, eo, quem diximus, ordine facta; acta scriptionis primo determinatur inteu . lectus ad concipiendam pluralitatem
ad totum constituendum concurren tium; actu secundo exhibetur comcretio in unum, quam cogitare tenemur; & tertio denique repraese latur plurium cum uno identitas, inquam aciem mentis - intendi necesse
est. Hoc pacto efficitur, ut nihil sit in intellectu, quod non etiam sit in sensu, & sensus intellectum blandetrahit ad cooperandum, dum op rationcs intellectus per actus in se sum incurrentes determinatur, adeoque , cum aetibus sensus, una po-,nuntur; modo animo praesens sis., attentione allata ad singula quae fiunt.
inodsi ergo in cillust andis defini
tionibus eam , quam monstramus,
viam ingredi volueris; sensus suppetias omnes serent intellectui , quas ab eo expe-e licet.