장음표시 사용
171쪽
C p. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS , dee. ID
adeoquebe de BC intra eosdem terminos con
ι cadit in per demoa . num. 2.ba cadit in BAper praeparat. b c cadit in BCler de4onseri num. 2.& num. 3 & S. IIo Geom. II. angulus b-BVI. e cadit in C , per demonstri num. 3, o a cadit in C A, per demonstr. num. I. ob cadit in CB, per demonstr. num. 2.& num. 3. & S. ITO Geom.
III. angulus o CVII. a cadit in A , per praeparari, cadit in B , per demonstr. num. 2.e cadit in C, per demonstr. num. 3. adeoque ΔΔ aes & ACB intra eosdem termi, nos continentur S. D, ITO Geam. Δ eb congruit Δ ACBIV. Δaebio ACB g. 43. Atque ita totam demonstrationem in sua prima principia r solvimus , ex quibus facultatum nostrarum usu deducitur, non ad missis notio bus confusis, quae o scuritatem quandam relinquere poterant, I ratiociniis distincte atque naturali ordine expressis, ac inter se concatenatis, ut nihil desit evidentiar
s. r Singula haec ipsis oculis
spectanda exhibet repraesentatio demonstrationis resolutae symbolica S. a J. Etenim conspicitur, quomodo demonstratio ex hypothesi & pr. e-
paratione, tanquam ex assumtis procedat ἱ quemnam utriusque usum faciamus in demonstrando; & cur prae paratione opus sit; nec non quomodo sese habeant ea, quae praeparatio
superaddit, ad ea quae in hypothesi
continentur. Videmus porro, quomodo.omnes determinationes in hypothesi contentae invehantur in deis monstrationem; ut tandem, eX Omnibus simul sumtis , concludatur unumquodque eorum, quod in thesi continetur, tanquam determinatum ex determinantibus. Videmus quoque, quomodo ratiocinia concatenentur, introductis conellisionibus praecedentium in sequentia. Videmus denique, quomodo ratiocinia ultima terminentur in iis, quae demo stranda loquitur thesis, ut manifestum: sit demonstrationem esse abselutam. q. Habet autem repra sentatio demonstrationis symbolica hunc usum, ut eandem facilitet & omnem difficultatem arceat. oritur dissicultas ex ratiociniorum continuandorum longa serie, & conclusiones , quae in praecedentibus ratiociniis iuerant elicitae, memoria retiacndae, ut Cu,
172쪽
16o DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
introducere liceat in sequentes per modum praemissarum, ubi non statim, quando illatae fuerunt , in locum praemissae assumuntur in syllogismo proxime sequente, quemclamodum in exemplo primo factum esse appa
senti num. IU, & VII. Enimvero, si demonstratio symbolice repraesem tetur, gradum sistere licet in singulis, quae sigillatim expressa exhibentur, di quacunque mora interposita redeunti progredi datur, ac si nulla interposita fuisset. Q iantacunque
igitur fuerit ratiociniorum eo usque continuandorum series, donec per veniatur ad ea, quae demonstranda suerant ι non tamen defatigabitur animus ratiocinationi in longa serie continuandae minus adsuctus. Nec distrahitur animus, quocunque, durante illa quam interponere visum
est mora, cogitationes tuas conUertas. Non interrumpitur eadem altentio,
quae ad demonstrationem afferenda, ne desit sensus evidentiae ad convictionem plenariam requisitus. Immodum omnia , ad quae animus advertendus , oculis spectanda subjicit, attentionem mirifice juvat, sive ea excitanda , sive conservanda fuerit.
Neque defatigatur imaginatio, atque
memoria ir quatenus conclusiones syllogismorum anteriorum retinendae, ut earum prompte meminerimus,
dum in syllogismos sequentes introducendae; cum oculis in ea, quae discatis scripta cernuntur, conversis,
sua sese sponte sistant, quamprimum
carundem meminisse debemus. Neque etiam haesitas in eo, quomodo progrediendum sit in demonstratione, donec absolvatur. Etenim clarissime
vides, primum formari propositiones ex iis, quae in hypothesi &, ubi ea non susticit sola, in praeparatione sumuntur, ut, adscitis principiis, ex anterioribus inserantur conclusiones,
donec hypothesis & praeparatio suerit exhausta. In locum hypotheseos& praeparationis , deinde succedunt conclusiones hoc pacto elicitae , &quomodo introducendae sint in novos syllogismos, tum thesis, quae demonstranda oculis objicit, tum memoria principiorum, quae conspectus conclusionum & in thesi contentorum ossat, ostendit. Quodsi adeo principia anteriora familiaria experbris , in distincte concipienda demo stratione nihil prorsus dissicultatis percipitur. Redduntur autem familiaria , si eo, quem praescripsimus, modo expendantur, & symbolicae
repraesentationes, quas explicavimus, aliquoties animo recolantur.
g. 63. Qui principia, quibus opus
habet, nondum adeo familiaria ex peritur , ut sponte sua memoriam
subeant, quoties iisdem opus est ;ei inserviunt citationes demonstrati nibus in contextu insertae. Hae enim
ostendunt paragraphum, in quo principium continetur , quod ad propγsitionem, vel cx hypothesi ac praeparatione formatam, vel ex conclusionibus Disiti od by GOoulo
173쪽
p. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. 16 i
nibus jam elicitis assumtam aut derivatam , applicatum conclusioni eliciendae inservit. Patebit hoc, demonstrationis symbolicam repraesentationem cum conteXtu conferenti , ut
adeo opus non sit plura in hanc rem afferri. g. ψ6. Notandum nimirum, in contextu demonsti ationem concilius proponi; quantum sussicit, ut singula suggerantur, quae animum subire debent, ubi illam distincte concipere volueris. Quodsi tamen contextum cum resolutione, qualem hic princepimus, & repraesentatione symbolica, qualem exhibuimus, conserre volucris ; facile observabis, demonstrationem in contextu positam esse utriusque directorium, ne haesites in eo, quid fieri debeat. Facile adeo animadvertes, demonstrationes ita a nobis fuisse expressas, ut huic instituto maxime conveniant. Disces etiam , resolvendo demonstrationes eO,quem praecepimus, modo, & syna. bolice repraesentando, easdem minime
erici prolixiores 1 cum supplendo ea, quae conspectus schematismi suggei it& quae citationes insinuant, eodem prorsus ordine prodeant singula ratiocinia, quo eadem posuimus. Immo, si lassiciente attentione uti volueris, in te ipso cxperieris, deesse adhuc aliquid sensui evidentiae, quamdiu singula ratiocinia non formaveris I praesertim ubi uno vel altero exemplo eundem acquisiveris, ut ne igno. res differentiam, quae inter distin mosi Oper. Mathem. XOm. V. tam & consulam perceptionem inter cedit. Absit itaque ut tibi persuadeas, hic a nobis praecipi, quae a contextu abhorrent, ac per inutiles ambages ad scopum tendi.
g. 47. Enimvero non inconsulti imesse videtur, ut exemplum quoque demonstrationis theorematis arithm tici in medium afferamus. Sumamus itaque theorema a i g. 18I Arithm.
quo superius usi sumus g. a 4 &quod ita habet : bi duas quascunque
quantitates per eandem teratam divi-ns; quoti sunt inter se ut quantitates diisse. Theorema hoc symbolice ita
dividendae, C dividens communis,
prodeuntes Patet itaque demonstrandum esse , quotos F & G esse quantitatibus A 8 B proportionales, ex eo, quod prodeant ex divisione quantitatum
A & B per eandem tertiam C. Quodsi ergo ex hypothesi sumis : Quotus Fprodit ex divisione quantitatis A per
quantitatem C; ex anterioribus S. 17 Arithm. succurrit principium rIn divisione unitas est ad divisorem, ut quotus ,ad dividendum. Unde infertur: I, sive unitas, est ad Cut F ad A. Quodsi porro ex hysOthesi sumis o Quotus G prodit ex divisione quantitatis B per quan-X titatem Diuiligod by Corale
174쪽
162 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT
litatem C; vi ejusdem principii infertur e unitas, sive 1, est ad Cut G ad B. Exhausta hypothesi, ut inde nihil amplius concludi possit,
ubi conclusiones modo elicitas inter se confers, patcbit rationes F ad A,& G ad B, esse duas rationes eidem tertiar I ad C aequales. Succurrit itaque theorema g. r67 Arithm. ἐ' Rationes aequales eidem tertiae sunt aequales inter se. Atque hinc infertur illationes F ad A & G ad B esse aequales , seu esse F : A-G : B. Enimvero thesis ostencst, qui eri quomodo sese habeat A ad B. Huc si animum advertas, succurrit theorema 18 S. a 3 Arishm. ): Q iantitates proportionales etiam alternando propo tionales sunt. Atque adeo tandem Insertur, esse F r G A : B, quod erat demonstrandum. f. 48. Symbolica demonstrationis hujus repraesentatio haec est: II.
a'. It C G : BIII. 1 i C-F A, per demonstratam ris1: C G: B, per clomon Ha n. Z-F: A-G: BF: G Ar B E. D. Nulla hic opus est praeparatione, cum sola hypothesis ea contineat, unde vi principiorum anteriorum tandem infertur conclusio , quae vi theseos inde elicienda. Quodsi majoris perspicuitatis gratia in numeris demonstrationem repraesentare volueris, non alia re opus est , quam ut literis substituantur numeri; eo modo, quo
175쪽
op. I. DE DIVERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &c. 163
per literas designatis subscribi, vel ad latus adjici, prout supra factum esse apparet s. aq), ut claritate sua dispellant obscuritatem , quae signis
istis universalibus adhaerere vidctur, quamdiu iisdem nondum satis fueris adsuetus. Ceterum si demonstratio.. nem in numeris exhibere volueris, eadem demonstratione ad plura exempla applicata, absque ulla molestia fit repetitio, quod idem agondo semper aliud agere tibi videris ,
quatenus numerorum diversitas varietatem quandam inducit. g. 49. Cum repraesentatio demon.
strationis in numeris non sit nisi ipsa demonstratio scientifica, seu generalis, ad exemplum aliquod , majoris perspicuitatis gratia, applicata; quemadmodum in Gelometriademonstratio applicatur ad figuram in charta delineatam , quae singulare exemplum praebet ἱ ideo in eadem acquiescere
licet, nec opus est, ut iisdem signa universalia substituas; modo tibi caveas , ne in ratiocinia tacite invehas determinationes nonnullas, quae in. sunt numeris assumtis , non vero hypothesi. Etenim tum demonstratio non succedit, pili in eo casu, ubi istae determinationes adsunt s cons quenter tantummodo casum quendam particularem attingit, nec unia versaliter demonstratur, quod erat demonstiandum. Atque adeo contingere potest, ut, dum conclusio in casu particulari elicita habetur pro universali, in errorem incidas. Enim. .vero error hic praecavetur, modo
probe consideres, num quod assumis, conclusionis inferendae gratia, totum in hypothesi contineatur, aut per praeparationem superaccedat, si pra terea aliud quid sumitur, nulla habita ratione eorum, qtiae numeris quatalibus insunt. Ita eniin certum est, in omni exemplo alio ratiocinati nem eodem modo procedere, nec argumentationcm fieri ab eo , quod
huic exemplo inest singulare , sed ab eo, quod cum omnibus aliis iub hypotheli comentis commune habet. Ex. gr. in exemplo nostro g. 8 , quoti 8 & , num. L o II, sunt numeri integri rationales. Ast principium , quo mediante hinc insertimus conclusiones , scilicet quod in omni divisione sit ut unitas ad di. visorem , ita quotus ad dividendum, satis ostendit, conclusionem
inferri ex eo, quod 3 & sint quoti
176쪽
iε DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
per divisionem duorum numeroruma & ia , per eundcm tertium 3 prodeuntes, nec supponi quotum csse
numerum integrum rationalem; consequenter nihil hypothesi superaddi,
dum demonstratio ad exemplum aliquod singula e applicatur. Ceterum, quae hic dicuntur probe notanda sunt, cum usuin hab ani ctiam extra Mathesin, atque in partibus Matheseos mixtis, & in cognitione Naturae mathematica , ubi majore circumspectione opus est, quam in Arithmetica : praesertim si ilicoria accurata nondum prostat, unde haurienda sunt principia demonstrandi; nec distinc-tis ratiociniis in demonstrando fueris adsuetus; qualia requirit nostra demonstrationum resolutio, carundemque symbolica repraesentatio , secundum leges animae, naturali ordine
ex hypothesi &, quae subinde eidem
superaccedere debor, praeparatione, tanquam ex fonte suo, profluentia,
quemadmodum ex principiis Psychologiae empiricae demonstrari potest nullo negotio , modo ea habueris perspecta. S. Io. Quoniam demonstrationis universalitati nil quicquam decedit, dum ad exemplum aliquod applic tur F. q9 ; ab ejus repraesentatione
in numeris facile abstrahitur demonstratio, qualcm libro inseri convenit, si quae assumuntur , & conclusiones quae hinc inseruntur, verbis enun-
cientur, & conclusionibus adjiciantur . citationes princiPiorum. , quo rum vi hae inferuntur. Ita in casu dato g. 48 talis prodit demonstratio: ioniam quoti ex divisione duarum
quantitatum per eandem tertiam rosultam , per hypothesin ; quilibet eorum est ad quantitatem δivisam
ut unitas ad tertiam, quae utramque
dividit S. Arathm.); consequc ter quoti ad quantitates divisas eamdem habent rationem S. 167 Arithm J. Sunt igitur inter se ut quantitates di vita S. 173 Arithm.). e. d. S. 3r. Qiodsi probetna aliquod
demonstrandum cst; notandum idem converti in theorema, sumta resol
tione cum datis tanquam hypothesi,& eo, quod fieri debet, tamquam thesi. Ex. gr. Problema de diacenda linea alteri parallela, per punctiam extra ipsam datum, adhibita resolutione prima, quam superius exempli loco produximus S. 272 , in hoc
theorema convertitur: Si ex puncto, extra lineam dato, demittatur ad lineam datam perpendicularis; & expuncto alio intra eandem pro arbitrio assumto, erigatur perpendicu Dris altera eidem aequalis: recta peppi inctum datum & extremum perpen dicularis alterius transiens est lineae datae parallela. g. 3 a. Ubi problema in theorema fuerit conversum,resolutio demonstrationis eodem modo absolvitur, quo in
demonstrationibus . theorematum re
Sit ex. gr. resolvenda demonstratio problematis, quod modo ad theoremae
177쪽
Cis. I. DE DIUERSIS COGNITIONIS GRADIBUS &c. is,
revocavimus s. si); demonstratio Tab. I. ita procedit. Recta V K, ex puncto V . extra lineam RS dato, diicta est ad eandem perpendiculatis; recta TA, ex puneto T intra rectam RS pro arbitrio assumta, est itidem ad eandem perpendicularis, alterique perpendiculari x K aequalis, per constructionem seu resolutionem; adeoque per pendicula, inter rectam datam RS& rediam per plinctum V & A ductam intercepta, VK & TA aequalia sunt. Enimvero si perpendicula inter duas lineas intercepta aequalia sunt, lineae istae sunt parallelar f. 226 Geom. . Linea igitur, ducta per punctum datum V & extremum Ralterius perpendicularis TA, est parallela lineae datae M. sis. d. Videmus adeo ex iis, quae constructio, juxta resolutionem problematis facta,suggerit, unico syllo gismo inferri, quod demonstrandum
erat: quae ratio est, cur nullam in contextu demonstrationem adjecerimus, scd tantummodo citationem principii, vi cuius ex constructione insertur, quod erat demonstrandum , nempe
parallelisimus lineatum RS & MN. S. Symbolica dc monstrationis hujus repraesentatio nihil prorsus difficultatis habet. Etenim non alia re opus est, quam ut repraesentationi
symbolicae resolutionis supra datae S. a ) adscribas data ex repraesen. tatione problematis symbolica, & adiummum adjicias propositionem ex iisdem formatam, prouti hic factum esse vides rapothesis. Thesis. Recta RS data, MN parat. RS.
VK perpendicularis ad RS, T punc tum pro
atque VK TA. MN parallela ipsi RS. e. d. F. y . Qitoniam demonstratio problematis, quod exempli loco in medium plotulimus f. si &seqq. ,
perbrevis est, utpote quae nonnisi unico syllogismo constat p non inconsultum videtur addere exemplum adhuc
aliud. Sumamus itaque problema 3 3Geometriae de invenienda linea m dia proportionali inter duas datas. Sunt itaque data rectae duae AB & BEL Ta5..Lquaesitum est recta BD media proportionalis inter AB & BE. Resolutio jubet rectas AB & BE jungi in directum, ut prodeat rccta AE; superAE describi semicirculum ADE r ω ex B erigi perpendicularem BD semicirculo in D occurrentem ι quae esse dicitur media proportionalis intenAB & BE. Quodsi ergo problema
demonstiare volueris, resolutione in.
hypothesin versa & propositione pro thesi sumta; seqvcns prodit theor inma. Si super recta AE describatur Diuili do by Corale
178쪽
166 DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
semicirculus, & ex puncto quocunque diametri B erigatur perpendicularis BD semicirculo in D occurrens; erit ea inter segmenta diametri ABN BE media proportionalis. S. sy. Qii si jam hoc theorema
demonstrare volueris, pra Taratio accedere debet. Ducantur itaque rectae
AD & DE , chordae arcus semicirculi cognomines subtendentes , ut prodeant triangula ADB, BDE &AD E. Quo facto demonstratio ita
resolvitur. Sumimus ex constructio.
ne: Recta BD perpendicularis est ad AE. Hoc ubi perpendis, definitio perpendicularis lineae suggerit hoc principium g. 78 Gom. : Si linea
recta fuerit ad alteram perpendicularis , anguli, quos cum ea efficit, recti sunt & aequales S. 7s Geom. . Unde infertur angulos m de n esse rectos & aequales. Porro rectae AD& DE semicircillum subtendunt , vi praeparationis & AE diametor circuli est, per constructionem. Unde patet, quod ADE sit angulus in semicirculo. Huc si animum advertis succurrit theorema S. 3r7 Grem. : Angulus in semicirculo rectus est. Unde insertur: angulus ADE seus Φ x recti is est. Est vero etiam an-gulus m rectus, per demonstrata. Quamobrem, si angulum m ad angulum o F x referas, succurrit principium f. ros Geom. r Omnes anguinii recti inter se aequales sunt. Unde inseitur : angulus m trianguli
A D B est aequalis angulo o Q x
trianguli ADE. Enimvero angulus I utrique triangulo ADB & ADEcommunis est , atque adeo duo in hisce triangulis anguli aequales sunt. Memoria suggerit, siquidem anteriora cidem mandaveris, quemadm
dum fieri debet, adeoque hic surponitur : bi duo anguli unius trianguli aequentur duobus alterius, etiam tertius unius aequalis est tertio alterius g. a 6 Geom.). Hinc itaque colligitur angulum o in triangulo ADB esse aequalem angulo et in triangulo ADE. Quod si jam angulos in triangulis ADB & DBE inter se com
fers, tum patet duos angulos m & o trianguli ADB esse sigillatim aequales duobus angulis n & E alterius trianguli DBE. Succurrit itaque, ex anterioribus memoriae probe infixis , principium: si duo anguli unius trianguli fuerint sigillatim aequales duobus angulis alterius, triangula latera aequalibus angulis opposita prinportionalia habent g. 267 Gram. 3. Hinc insertur, latera AB & BD in triangulo ABD esse proportionalia lateribus BD & BE in triangulo DBE, quorum scilicet illa opponuntur angulis o de I, hi vero angulis et & x, angulo o cxistente aequali angulo e & angulo 1 aequali angulo x, per demonstrata. Habemus adeo AB i BD - BD : BE. Q e. d. Ita demonstrationem resolvimus, ut singula distincte enuncientur, quae in
notionibus continentur , quae ean
dem absolvunt, & praesentes animo ejus Disiligod by Gorale
179쪽
-. I. DE DIUERSIS COGNITIONIS GRADIBUS, &e. 167
ejus esse debent, qui eadem convincitur.
Tab. I. S. y6. Demolistratio problematis ρ. hujus symbolice ita repraesentatur. pothesis. Thesis. AB recta data BD recta qiraesita BE recta data Mi BD-BD: BEAE diameter semicirculi ADE semicirculus ARRSegmenta diametri
BD perpendicularis ad AE, per constr. I . m &-anguli recti& m n II. AD & DE semicirc. subtendunt, per praeparat. AE diameter circuli, per ranserua adeoque ADE angulus in semicirculo.
m n, per demo frat. num. I. o - α, per demonstrat. num. 4-
g. 77. Atque adeo patet, inter demonstrationem theorematis & problematis nullam intercedere differentiam , modo problema in theorema convertatur, quemadmodum id fieri debere praecepimus g. 3 r, 3 ). Et hoc pacto docuimus omnia, quae observanda sunt ei, qui ad secundum cognitionis humanae gradum adspirat. Unicum adhue moneri consultum ducimus ; scilicet quod ex resolutione demonstrationum pateat, cur propositiones pure enunciare debeamus quas brevitatis gravia in contextu statim ad figuras retulimus, expositione cum propositione in unum conis fusa. Etenim ubi distincte ratiocinari volueris, quemadmodum exigit resolutio demonstrationis; nece in est ut propositiones singulae pure
enuncientur. Quamobrem etiam, pure enunciatae memoriae mandandae ; cum alias applicatio, in ca
180쪽
iss DE STUDIO MATHESEOS RECTE INSTIT.
scriptaruis diversitatem , confundat, ut dissicilis ac molesta evadat. Iaaddiscenda igitur Mathesi morem veterum sequi tenemur, ut primum propolitionem unamquamque pure nun- ciemus, ac deinde eandem exponamus, separata expositione a propositione, quando eidem immixta.
g. 18. Quodsi objicias, nos nihil
dixisse de corollariis, quorum tamen bene multa in Elementis nostris occurrunt : facilis est responsio. Corollaria enim sunt propositiones, quarum veritas perspicitur per definitionem , vel propositionem, cui subjiciuntur. Quoniam pleraque eorum demonstratione indigem, quam per modum
principii ingreditur definitio, vel propositio, cui subjiciuntur ; quae de
resolutione & symbolica repraesent tione propositionum diXimus, ea quo. que de corollariis tenenda. Nimirum propositio pure enuncianda , deinde exponenda, exposita in hypothesin & thesin resolvenda, quarum utraque consueto more symbo. lice repraesentata. Demonstratio desim de, eodem modo resolvenda, quo eandem in anterioribus resolvimus, eodem etiam modo symbolice repraesentanda, quo eandem in ante. rioribus repraesentavimus. Nullis
igitur pcculiaribus praeceptis hie
g. I9. Ne quicquam in dietis se. pei sit obscuri, exemplum aliquodi superaddere lubet. Sumamus itaque
corollarium quartum theorematis 3 s. a a 8 Geom. J, quod revera est corollarium praecedentis tertii ; cum non theorema ipsum, sed ejus corollarium tertium ingrediatur demonstrationem tanquain principium. Propolitio in eodem contenta haec est res in trianguis rectanguo caι Ius unasi fimatur pro basi, erit alter atiitudo.
Haec propositio ita exponitur. Sit MKL triangulum, MK & KL catheti ejus. Dico si ΚL sumatur pro basi fore M Κ altitudinem ejus. Hypo Epirthesis adeo est quod triangulum MKL sit recitangulum, MK & KL sint catheti, & KL sumatur pro basi; thesis autem, quod cathetus MK sit altitudo trianguli. Demonstratio ita resolvitur, si nihil perceptioni con, suis tribuere, sed singula ad notionem
distinctam reducere volueris. Figura MKL triangulum rectangulum est, per
hypothesin. Succurrit definitio s 2 g. si Geom. : In triangulo rcctangulo
angulus unus rectus est. Unde concluditur : In figura MKL angulus unus rectus cst : Porro latera MΚ &ΚL sunt catheti, per hypothesin. Succurrit definitio 3 7 s. 96Geom. . Catheti trianguli rectanguli angulum rectum intercipiunt. Unde infertur
Anguus K rectus est. Studio utor syllogismo cryptico, quem a crypsis cile liberabit in Logica versatus, tum quia syllogismi cryptici frequentissime sua veluti sponte sese offerunt in demonstrationibus, manifesti autem