Euclidis Elementorum libri sex. Ex traditione Federici Commandini

251쪽

diis Euclidis Elem. I ABC, DEF latera pro portionalia , ut fit DE ad EF, sicut AB ad BC: dc reliquorum qui ad C, F, primu

utrumque simul minorem recto. Dico triangulu ABC triangulo DEF aequi angulum esse , anguluque ABC aequalem angulo DEF , dereliquum videlicet qui ad C reliquo qui ad F aequale. Si enim inaequalis est angulus ABC angulo DEF. unus ipsorum maior erit. Sit maior ABC: & consti- euatur ad rectam lineam AB, & ad punctum in ipsa B angulo DEF aequalis angulus ABG. I 9 Et quoniaangulus quidem Α est aequalis angulo D, angulus vero ABG angulo DEF, erit reliquus AGB reliquo DFE aequalis; aequiangulum igitur est ΑΒ G trianguintum triangulo DEF ; quare, ut AB ad BG, se DE ad

ut igitur AB ad BC, sic AB ad BG . Quod cum AB ad

Miramque BC, BG eandem habeat proportionem,erit

BC ipsi BG aequalis : ac propterea angulus ad Cest aequalis angulo BGC, εὶ minor autem recto ponitur angulus, qui ad C; ergo,ic BGC minor est re cto de ob id qui ei deinceps est AGB maior recto; sν atqtie ostensus est angulus AGB aequalis angulo, qui ad Fi angulus igitur, qui ad F recto major est; atqui

252쪽

r ἐν sextu . ponitur minor iee o, quod est absurdum ; non igitur ilia aequalis est angulus ABC angulo DEF; ergo ipsi est aequalis ἡ est autem λ angulus ad A aequalis et , qui ad D, quare, dc reliquus i qui ad C aequalis reliquo, qui ad F; aequi angulum igitur ei ABC triangu . Ium t riangulo DEF . sed rursus pΘnatur literque anguloru n, qui ad C F non minor recto. Dico rursus deiic. iii angulum ABC triangulo DEF aequi angulum esse. Iisdem enim construnis similiter demonstrabi mus BC aequale in ipsi BG, angulumque ad C angulo BG C aequalem ; sed angulus qui ad Cnon est minor recto , non minor igitur recto est BG C; quare triangu Ii 3GC duo anguli non sunt duobus rectis minores , quod fieri non potest ; 6 non igitur rursus inaequalis est ABC angulus angulo DEF; ergo aequa- is necessario erit; est autem, ac qui ad A aequalis et . qui ad D ; res iquus igitur, qui ad C res iquo, qui a a F est aequalis ; ac proptere triangulum ABC triangulo DEF aequi angulum est Si igitur duo trianguli,

unum angulum uni angulo aequalem habeant, circa alios autem angulos latera proportionalia , & reliquorum utrumque simul, ves minorem, vel non minorem recto: aequi angula erunt triangula , & aequa..tes habebunt angulos, circa quos proportionalia sutiatera, Quod oportebat demonstrare.

Theo

253쪽

ato Euclidis Elam.

Theorema 8. propositio S. Si in triangulo rectangulo ab angulo recto ad basim perpendicularas ducatur; qua ad perpendicularemfunt trianguia-toti, di interIGasim ιιia sunt. SIt triangulum rectangultim

ABC. rectum habens angulum BAC, Ae a puncto A ad BC perpendicularis ducatur A D. Dico triangula ABD, ADC totirri agillo ABC , di inter se simi. Ita esse. Quoniam enim angu ius BAC est aeqWalis angulo ADB, rectus enim ute que est, dc angulus, qui ad B communis duobus tria-gulis AzC , AB P erit reliquus ACB reliquo BAD aequalis; aequiangulum igitur est triangulum ABCfriangulo ABD; quare , ut BC, quae subtendit angulum rectum trianguli ABC ad BA subtendentem amgulum rectum trianguli ABD, si e ipsa AB subtendεs angulum qui ad C trianguli ABC, ad BD siibtenderistem angulum aequalem angulo qui ad C , videlicet BAD ipsius ABD trianguli: & adhuc AC ad AD subtendentem angulum qui ad B, communem duobus triangulis 3 ergo triangulum ABC triangulo ABD aequiangulum est, & eirca aequales angulos latera

habet proportionalia: x simile igitur est triantulum ABC triangulo ABD. ca Eadem ratione d

254쪽

monstrabimus etia ADC triangulum triangulo ABC simile esse. Quare utrumque ipsorum ABD, ADC i ii ABC triangulo est simile. Diso insuper triangula taΛBD, ADC etiam inter se similia esse. dionian enim angulus BD A rectus . est aequa Iis recto AD C. sed , & BAD ostensiis est aequalis ei, qui ad C, erit reliquus qui ad B reliquo D AC aequalis ; atqitianguintum igitur est triangulum ABD triangulo ADC ; ergo, ut BD trianguli ABD subtendens BAD angulu, ad D A trianguli ADC subtendentem angulum , qui ad C, aequalem angulo BAD, sic ipsa AD trianguli Α BD subtendens angulum, qui ad B, ad DC subtendentem angulum D AC ei, qui ad B, aequalem: dc adhue BR ad AC subtendentem angulum rectun AD C. Simile igitur est ABD triangulum ttianguloe AD C. Quare si in triangulo rectangulo ab angulo recto ad basi in perpendicularis ducatur, quae ad perispendicularem sunt triangula, & toti, & inter se, milia sum. -d oportebat demonstrare.

Ex hoe ma nifestum est , si in triangulo res angulo ab angulo recto ad basim perpendicularis ducatur; duistam basis paritum media proportionalein esse, oc adhuc l, a sis , dc uniuscujusque partium latus,quod ad partem, medium esse proportionale . Quod demonstrare oportebat. με.

255쪽

ctaque BC per puncta, quidem D, E ipsi BC parallelae ducantur DF , EG; per D vero , ipsi AB ducatur parallela DHΚ ; paranelogrammum igitus est utrumque ipsorum FH , ΗΒ: ac propterea DΗ quidem est aequalis FG, HK vero ipsi GB g )Et quoni1 uni laterum trianguli DΚC , ipsi scia rilicet ΚC parallela ducta est HE ; erit ut C E ad ED, ita ΚΗ ad ΗD ι a aequalis autem est ΚΗ quidem ipsi BG , HD vero ipu GF , est igitur, ut CE ad ED, ita BG ad GF. Rursus quoniam unitater Im trianguli AGE, nimirum ipsi EG parallela ducta est FD, ut BD ad DR , ita erit GF ad FA. Sed ostensia est, ut C E ad ED,ita esse BG ad GF; ut igitur CE ad ED, ita est BG ad GF, dc ut ED ad DA, ita GF ad FA. Ergo data recta linea insecta ΑΒ datae rectae lineae sectae AC silvilitet secta est. Quod faeere oportebat.

Problema 3. Propositro I. Duabus datis rinis lineis rapistiam proportionalem invenire.

Iam quemvis contineant; oportet ipsarum AB,AC tertiam proportionalein invenires producantur enim

AB, AC ad puncta D, E; ponaturque ipsi AE qualis BD, di lucta BC,ducatur per Dipsi BC parallela DE;

256쪽

et Euelissis Elem. quoniam igitur uni laterum trianguli ADE, videIieet ipsi DE parallela ducta est BC, erit, ut AB ad BD, ita AC ad CE; aequalis autem est BD ipsi AC ; ut igitur BA ad AC, ita est AC ad c E Quare datis rectis lineis AB, AC tertia proportionalis inventa est CE. Quod

facere oportebat. Problem μ 4. Propositio Ia. Tribus datis rema lineis quar- eam proportionalem invenire.

Sint datae tres rectae lineae

A, B,C oportet ipsaru A,B quarta proportionalem imvenire. Exponantur duae Iineae DE , DF angulu quemvis E DF conu neu te natur ipsiqiridem κDG , ipsi vero B aequalis GE, Ei de ipsi C aequalis DH: iunctaque GH per E ipsi parallela ducatur EF .niam uni laterum trianguli DLF . nimirum ipsi Enarallela ducta est GH. erit, ut DG ad G Ε, ita DHaaHF: i 9 est alii e DG ipsi A aequalis ; GE vero aequa lis B:& DH aequalis C ut igitur A ad B, ita C ad He. Quare datis tribus rectis lineis A,Bα quarta propor tionalis inventa est HF. Quod sacere oponebat.

257쪽

t.ber sextus .

S int datae duae rectae lineae

AB, BC, oportet ipsarum AB, BC mediam proportionale invenire; ponatur in directum, di in ipsa AC describatur semicirculus ADC , ducaturque 1 puncto B ipsi AC ad rectos an .eulos BD, de AD , DC iung nxur. Quoniam igitur in semicirculo est angulus ADC , is rectus est ι ci di quoniam in triangulo rectangulo ADC ab angulo tecto ad basim perpendicularis ducta est DB, erit DB basis partium AB, BC media proportionalis. Duabus igitur datis rectis lineis AB, BC media proportionalis inventa est DB. Quod faeere oportebat.

Theorema Prepositis Saequalium, se unum tin ἐaequalem habentium an crufum parallelogrammortim latera , qua circum aqua us angulos , ex contraria parte sibι ipsis respondent: ct quorum paraltilagram- mon m unι aquial. m habentium angulum latera , ova cari una acytia es an stilos . ex contraria parte sibi ipsis est AEdent ι ea inter se funt aquatia.

In aequalia parallelogramma AB , BC , aequales habentia angulos ad B, & ponantur in di rectum

258쪽

a r 6 Euelidis Elam. . DB, BE; ergo,& in directumi Aerunt FR, BG . Dico parallelogrammorum AB , PC lateraia , quae sunt circum aequales angulos eK cotraria parte sibi iptis respondere : hoe est , ut DB ad BE, ita esse G B ad BF ; compleatur enim parallelogram-nuim FE i& quoniam paralle logrammum AB aequale est parallelogrammo BC; aliud autem aliquod est FE parallelogrammum, erit,

ut AB ad FE, ita BC ad FE. I sed , ut AB quidem

ad PE, ita est DB . α

ergo Farallelogra-Iuorum ΑΒ , BC Iatera , quae circu . aequales angulos,ex contraria parte sibi et piis rei pondent. Sed ex conitaria parte sibi ipsis respondeat la-. era, quae circum aequales angulos, sitque , ut DB ad

ΒΕ, ita GB ad BF . Dico parallelogranamum AB parallelogrammo BC aequale esse . Moniam enim est. ut DB ad BE, ita GB ad BF, DB ad BE, ita

259쪽

ita AB parallelogrammum ad paralIelogrammira FE. ς γ & ut G B ad BF , ita BC parallesogrammum ad parallelogrammum FE; erit,dc ut AB ad F Ε, it BC ad FE; aequale igitur est AB parallelogrammu parallelogrammo BCι 69 ergo aequalium, ut unum

uni aequalem habentium angulum parallelogram morum latera, quae circum aequales angulos,er, contraria parte sibi ipsis respondent, de quorum parat telogrammoriim unum uni aequalem habentium angulum latera , quae circum aequales angulos, ericontraria parte sibi ipsis respondent, ea inter se sunt aequalia. od oportebat demonstrare.

Georema Io. Propositio Is. qua/ium unum tin 3 aqualem habentium augulum traan tutorum later uacircum aquales angulos , ex contraria parte sibi usia respondent, ct quorum triangulorum unum uni aqualem habentium angulum latera , qua circum γα quales angulos , ex contraria parra sibι ipsa respondent, ea interse sunt aqualia.

SInt aeqvalia triangula ABC , ADE unum angulum uni angulo aequalem habentia , angulur 1e ille et B AC angulo DAE. Dico triangulorum ABCf ADE latera, quae eircum aequales angulos ex contra ria parte sibi ipsis respondere, hoc est, ut CA ad AD, ita esse E A ad AB; ponamur enim ita ut in directum

sit CA ipsi ADieito, dc EA ipsi AB in directu 2 a triu

260쪽

aliud autem

est ABD ; erit sui CAB trian aguluin ad triangulum II AD , ita triangulum ADE ad triangulum BAD. 2 Sed, ut triangulum quidem C AB ad BAD triangulum, ita C A ad AD, ut autem triangulum E AD ad ipsum BAD, ita EA ad AB; .& ut igitur C A ad AD , ita E A ad AB. Quare triangulorum ABC, ADE latera, quae circum aequa-Ies angulos. ex contraria parte sibi iplis respondent. Sed ex contraria parte sibi ipsis respondeant latera triangulorum ABC, ADE r dc sit, ut CA ad AD , ita aE A ad AB. Dico triangulum ABC triangulo ADEaequale est e. Iuncta enim rursus BD, quoniam,ut CA ad A D , ita est EA ad AB , ut autem C A ad AD , ita: ABC triangulum ad triangulum BAD ι dc ut EA ad AF, ita triangulum E AD ad BAD triangulum,erit,ut . ABC triangulum ad triangulum BAD , ita triangulum E AD ad BAD triangulum . Utrumque igitur trian pulorum ABC, AD E ad triangulum BAD eandem habet proportionem; ac propterea