장음표시 사용
61쪽
ferentialem 698 3ig per 9.cap. .)adda ad differtntialem conlaplementi P Z scilicet ad differentialem s6. qui est 39s 77os, prouenient t3o 78oρ Logarithm. complementi anguli Z P S. quod complem tum est 47.3o .r. Similiter casus S M. et . 3jam etiam acquisiit dist rentialem 8 3239 per eandem nonam sect. adde ad differentialem complementi P Zi scilicet ad disse rentialem A; gr qui est 698698.prouenient i I sis; Logarith ni is complementi anguli ZS P, quod comp ementum cst 38.s s 3ue. Memor autem hic sis non ipsas partes P Z. 3 . N Z P S, aut P Z .& Z S P,sed sua complementa,viz. 6 gr. 3c 67. bos. de φῖ gr.& 3 8. s.; .circulares partes hic dici per iecundam cap.
q. hiatus.Verus itaque angulus quae situ, Z P S est 1.r,. 3 , . & ZSP est 3 I. s. s. ut etiam ex sect. Octava capct . huius patet. Aliud eiusdem iriantuli exemtum.
Eodem triangulo P Z. s. alio situ constituto, sit S. g. basis, dc
datis lateribus ut supi I, quaeratur angulus P. Z. S. Crurum itaque S. P. 69. dc P Z. 3 6. semi- aggregatum est s r. 3o, eiusque differennalis -- a 288 6so: semi- differentia vero est i . 3e, eiusque differentialis esti. is 23 I. Quos differentiales aude erit summa 'a 369 I. a qua aufer differentialern dimidii basis S Z.
videlicet disset etialem 2 I. g. qui est 3 18 os . remanebit 9 23 18sdifferentialis arcus 2.11.ύ.pro semi- basi alterna. Adde ergo se-ml-bales 62.2i. II & 23.3J. prouenient 6s. v ii. pro maiore casu S T dc tum substrahe a 3. yga 42.2i. H. remanent 8. t s. D. pro
minore casu TX,vel T Z.Huius ergo disseruntiat et io7 32or, adde ad differentialem complementum Z Ρ, scilicet ad )ifferentialem grad.s6.qui est 39377o ,&proueniet inde t68o7 22 Logarithmus complementi anguli P Z T. Arcus autem in rabaia i est ondens huic Logari hino 68 7 92 ex aduerso L st graduum 16. 1 si.pro angulo P Z T, cuius anguli PT T, quom angulus quae iis, s P Z , , sit ad semi circulum reliquinxi quod semper occhi sit q ium basis alitirna est maioc vera ) erit nccelle P Z S.elle graduum I io. i . min. 9.sec. alioquin si ba- . : ssive
62쪽
ss vera alternam superauerit,coincident anguli P Z T,& P Z S,
A D MO N ITIO. I Resiam habes veros modos inueniendi angulos ex datis
lateribus, quorum unoquoque tres variae soluuntur huius,& cuiuscunque trianguli quaestiones.Ex datis enim eleuatione
poli,altitudine solis,& declina ione solis, dubitantibus satis ni ad quaeitionem qua vel plaga solis,vel secundo angulus situs depositionis solis, vel tet Do hura diei quaeritur. - que ex lateribui inuenimus angulis. Superest ex angulis 1
N. In omui triangulo harico mutari nissent Iaura in angulor, 'aurub in laterarassum is tamen prius pro voico quoms a gulo,cts ssubtendente lateresuis adse circulum via quis. Exempli gratis.
Esto triangulum QR T, cuius sint anguli Q. 7. R It i . &T .sum mus pii mo pro angulo quo uis, videlices pro R m. . suum ag 1emicirculum reliquum, quod est kλ 69. gi ad Dico hos angulos T. 69. & 3 .li mutati posse in latera,& fiet superius t I gulum P Z S.In quo P Z. est 3 grad. Z S. I est grad. & P S est 69 grad. vi etiam exu illius triang .li, P Z S.angulis, fient huius --- mutuo latera. Nam Z S P angulus grad. 34. .,' illius , est latus Q R huius: & angulus ZPs. grad. 1. 2 illius est latus R Thuius: le tertii ansuli illius, qui est glad. 1ao. Σ . ,. reliquum ad semio circulum, quod est 19 3I u. eli latus Q T huius. Cuius rei demonstrationem exhibent Bartholomaeus Pitiscus. Aditanus Metius,& aiij. Eam igitur hac epitome minime repetendam cenico. a. Unde trianguli Spherica datis fribis angulis acili comesono Acquirursur latera.
Vt praecedentis trianguli QR T dentur anguli O 7. R iii. M T ι . Querantur autem latera. Pro angulo quouis unico, verbi grati vi supra θ pro R i M. matur Luim ad semieircu- Ium4 cliquam 5y.ῖtad. lnda positas Α7. 69. & 3 ε. pro uteribus, '
63쪽
ut in triangulo superiore P Z S factum est, per quenauis ex tribus modis suprascriptis quaere illius angulos , & inuenies contra latus 7,angulum Αι.2 in& contia latus 3 , angulum 3 . o. s.& contra latus 69 quod pro iii posuimus 3 reperies angulum I 2o.24. I.Ideo in triangulo oblato QRT, pro latere R T. subtendente angulum QA. , pone 2. 1ή. Et pro laterem .subtendente angulum T. 3 pone 3I.o , verum pro laxere Q T iubtendente angulum R I ii pone 39. 3ἰ Ii. quae sunt reliquum graduum Ia O. 24. , .ad semi- circulum reliquum, scilicet ε' Et ita ex angulis per conuersionem acquires latera.
Ι X hac laterum per angulos datos inuentione tres variae sol-Luuntur huius, & cuiuscunque trianguli quaestiones. Vt in triangulo P Z S. Ex datis, hola diei, plaga solis, & angulo sirus uel positionis solis,haec praecedem sati facit quaestioni, qua vel
primo eleuatio poli, vel secundo altitudo solis. vel tertio declinatio solis quaeratur.Ex octaua itaque sc Ot. praeced. nti, cap. I.& septima ac duodecima huius, exaginta habes variarum qi, stionum solutiones quae in quodque triangulum cadunt. Nec his plures ex multiplici trium quarumlibet partium compositione oriri pol sunt variationes. Perfecta n igit ut habes.& abG Iutam triangulorum tam Sphaei icorum, quam pianorum dra, ctrinam.
Luarsthmi: Eorum enim ben sicio absique muttvlicationis,divisionis,aut ravicum extractionis molostia, omnis sieometrica qua tionis solutionem tuis licam promptissime exhibeti,tum apodeictια demonstrauimusvum exlmplis utrius ue Trigonometria docuimus. P. Orn in sum itaque mirificum Logarithmarum canonem habetιs ,eiusque amplissimum usum.quasi vobis eruditioribus grata fors εκ rescriptis vestras intellexera inimus mihi addetvir ad ιabula condenda methodum in Iucem etiam proferandam. Interim hoc breui opusculo fruamini, Deo ue Uisici summa,Omniumque operiem bonorum apisubuori l. --rim summam er glorsam trιburte.
64쪽
Cum priuilegio Caesareo & Galliarum Regis.
65쪽
Quia docent Regio montanus libro 3. cap. a. de tesari- gulis , a ij, ut rectangulum comprehensum sub sini-hus rectis crurum , se habet ad quadratum sinus totiust Ita disserentiam sinuum versorum basis 3c differentiae erurum se habere ad sinum versum anguli verticalis: quum autem ut illa differentia ad hunc sinum versum ita rectari-gulum factum ex ' sinibus rectis aggregati & differen-u tiae semibasis & semidissetentiae crurum , se habet quadratum sinus recti dimidii anguli verticalis sest enim nouissimum hoc rectagulum ad illam disserentiam sinuum versorum,& hoe ultimum quadratum ad illum sinum versum in ratione 3ooo oooςRP' , & intellige quinquies millies mitilecupla, existente sinu toto iooo oooo.j Ideo sequetur quod, ut rectangulum sub sinibus rectis ciuium se habet ad qnadratum sinus totius,ita rectangulum factum ex sinibus rectis aggregati & differentiae semibasis & semidifferentiae crurum, se habebit ad quadratum unus recti dimidi j anguli verticalis:& per consequens ex corol. dcf. 6. cap. I.& pro P.6. cap. a. Scprobi.3.cap. .lib.I.) Summa ex Logarithmis crurum, subdacta ex Logarithmis aggregati & differentiae semibasis & -- mi differentiae crurum,relinquit duplum Logarithmi dimidi, anguli verticalis,ut supia. 4. Seetinia Summa eae Logarishmu crurum sebiluela a summa eae
LVarithmis aggregati ct d ferentia semibasis ct semian regati
crurum,relinquit duplum antiletarithmi dimidis anguli verticalis.
Non enim aliter se habet summa ex Logarithmis aggregati & differentiae semibasis de semi aggregati crurum huius propositionis,ad summam ex Logarithmis aggregati & differentiae semibasis de scini differentia crurum praecedentis prO- positionis,quam duplum antilogarithmi dimidii anguli verticalis hic, ad duplum logarithmi eiusdem dimidi j anguli verticalis superius,quod alterius loci est demonstrare.
66쪽
ADMONITIO. s. π N Sphericis etiam. 'ases veram ct adiernam, eodem sien' ως mus, uo in rectiune: ,u mirum alteram pro aggregato, alteram pro differentia cassuum.
6. Tertio disserentiaia semibasiis mera data, subductus ex summa diserentialium sem aggregaso ct Fumidisserentia crurum,relinquit adserentialam semibalis alterna.
Huius ratio fundamentalis est.quod ut tangens semibasis verae se habet ad tangentem 1emi aggregati crurum , Ha tau-fens semidisseientiae crurum se habeat ad tangentem semialis alterna. Tangentium enim logarithmi sunt suorum at euum differentiales perscct. 22.& 23. cap. 3. lib. I. Vnde hae tangen rium analogiam sequetur illa suorum logarii limo rum, seu disterentialium aeqoalitas per propi .cap. 2dib. t. Ve-ium epita huius analogiae lai genti una fundamentalis, hactenus ignotae,demonstrarionem a me forte requirent Lectores, eam ideo,quantum huius compendi j breuitas patitur, hic explicabimus.
uicem taogant in communi Di octo A , a quo per Sphaerae centrum is erigatur recta Α Θ Ρ iecans supremum Sphaeiae Hemilphaeri uin in puncto P.eiitque ita A is P perpendicularis plano H i K . . deinde angulo A describatur in Sphaerae superlicie trianguluin Αλο in γ acurum, aut Α λ μ in ρ obtutuin,& protractis temicirculis A λ P, & A se P, seu A β P, polo λ, interuallo λ γ, lea ei aequali λ β ducat ar cuculus . His v, secans λ P in ι, & λ A in e& Α ον in punctis β Ac γ Expuncto λ in arcum A β γ dimittatur pei peridicularis arcus λ, Erum itaque hic A λ crus maius, λ γ vel O cius m nus, A ω &A β bates.alrera vera, reliqua 3lterna. A H diffcrentia crurum.& A aggregatum crurum , quia λ , 6e H ex constructione sunt aequalia minori ciuta η γ seu λβ- His peractis.& supposito P vicem gerere oculi aut lucidi cuiuspiam , ab
eodem P in subiectum planum HI K Q dim ttantur , radius γ secans planum in C,& radius P secans planum in b: iu
67쪽
quia γ' A in eodem plano seu circulo sunt cum lucido P, erant tuae vimbra: cb A in eadem recta. Similiter ab eodem puncto P.in idem planum dimittantur radius Ps secans planum in e ,& radius P ri secans planum in d. & quia x .l A in eodem sunt plano & circulo cum lucido P: ideo suae umbrared Α erunt in eadem recta.Praeterea quia P S A, est plano orthogonalia sed rectans illa,ideo trianῖula Pued.& P. A.cri at-qR
68쪽
centro ille in circumferentia i ideo A d est tangens dimidii an
mi disterentia crurn m. Similitet quia A e cst tangens anguli Α γε, angulus autem A P in circumferentia su dimidium a. guli A Si in centro. ideo A e est tangens dimidij A S , seu dimidii arcus, A . quod est simi aggregatum crurum. Simili modo in
basibus vera & alterna erit Ab ta gens anguli A P μ, seu dimi- dij anguli A Sβ, seu dimidi j a Icus A β, quod est altera se baae sis: atque A c erit tanges anguli A P γ seu dimidit anguli λ ν, seu dimidi j arcus Αω,quod est reliqu3 semibasis Qui inque lassi ostensum si quod A b fit tangens alterius semibasis & Λ ctarim gens reliquae semibasis, atque A diit tangens semidit tentiae
CruIum,& A e tangens sem laggregati cruiu. Dico qui d ut a , tangens semibasis verae se habet ad a e tangentem semiag stingati crurum, ita A d tangens semidifferentiaeeturum ad A et1 gentem semibalis alteinae luci contra ex alterna veram salici ado,ut A clangens semibalis verae se habeat ad A e largemcntsemi aggregat i crurum: Ita A d tangens semidist frentiae crui uni
ad A b tati gentem semibalis alternae. Quod sc pioso.Si pili: a b c d e sint in eodem circulo,erit sper 36 pro p., de i 6.pr ιιι
Euclid. ut A b ad A e Iia A d ad A c. & contra. &c ut lana d laxi s.Verum puncta b c de cadunt in eodem circulor oti Alffenim circuli in superficiae Sphaerae descripti umbra a lucido in eadem superficie,quod non est in circuli periphetia procedens circulum facit pei secte cotundum in plano ora Logono ad reactam,quae a 'lucido per centrum Sphaerae progreditur ut ex opηticis,&astiolabit fabrica patet. At hic circulus in sphit superficie describit ut,& lucidum P. est extra circuli peripheariam quaeque ab eo proced: t recta p. r cetrum videlie ei νω Α3 est ad planum orthogona. Nccessa o ergo inus circuli umbfa, quae in puncta d. b.c.e.inci lit,circulatis est:& pet et E fetus diu
69쪽
Ergo ut se habent A. b. ad A.e.Ita A.d.ad A.c. & contra, id est, ut tangens semibalis verae ad tangentem semiaggr: gati cluxu, ita tangens semidi S rem ae crurum ad tangentem semibasis al-rernae:& per consequens, differentialis semibasis verae, stabductus ex sui vina dimetentialium semiaggregati, & se disterentiae crurum, aequatur differentiali te basis alternae, quae demonstranda sulcepimus. 7. 'de trianguli 3phaerici datis tribus lateribin, habetur triplici modo angulorum quiuis.
addab, hinc auferas aggregatum ex Logarithmis crurum, reliqui bipartiti Logarithmi arcum duplices, ct prouenies singulud verticalis,
Vt tr ianguli P Z S repetiti,demur latera P Z 3 gr.& Z s gr.&S P 69 gr. Quaeramur anguli, primoque quadranti proximus P Z S angulus, quam S P 69 si tus scilicet quadranti proximum in subtendit. Hoc itaque S P 69pto in . basi statuatur. Inde semidisteren- , tiam crurum P Z,& Z S, videlicee s. o. Et adde ad semibasim 34. 3 os fientque Ar aggregatum et & substrahe ab ea, nentque 28. residuum. Logarithmos graduum I, scilicet aa I so , dc gradi um 28, scilicet 7 6i Ua adde fient I I776sI6.Similiter crurum P.Z.34,
89 i I 86.quibus ex III 6 I 6 ablatis,fient 28 3 3 3o : cuius dimidio togarithm. i i 7663.respondebrem arcum, videlicet 6O. I i. 2 ret da plica,prouenaeut 32O. 2 ac angulus verticalis P.Z. S. quaeli us. Nec secus angulos reliquos, si l bet, inuenire poteris: facilius tamen per s. cap huius innotescent,quia per a. sent Cricap 3 iunt cer ae speciei. s. Secundas moaim et , υι latere quovis praeipue quadranti proxima )pro basi statuto, Νemi.basim or adsemi iurae.ιIum cru um a
70쪽
ct hinc auferas aggregatum ex togarissimis erurum, peliqui biparthiantilogamhmi arcum duplices,ct pronemet inde anguim verticalis:
Vt eiusdem trianguli P.Z. S. constituti ut in praemissaὶ ω- mi basim 3 .3α N ad semiaggregatum crurum 4 .3o.adde,fient que s & ab eodem substrahe fientque si,quorum & 6 gra duum logarith.3 668s,& 2238 293t adde, fientque 2 29 296 34. Hinc aufer aggregatum ex togarithmis crurum quod ut supra est 89 Ii 86 , fientque 13 988 8. Quae bipartire , fient inde
699 22 anti logarithmus conueniens arcui ho. II. 1.-, cuius duplum ἔχo. a.. τ.est ut supra quaestus angillus P TS verticalis .Caeteros licet etiam hoc modo,facilius tamen per s.cap. . huius inuenies angulos.Sunt enim per 2.sent.capcl.notet speciei. ιo. Tertias modus est,ut latere quavis pra bastposito,ὰ ferin talem
semi-ag regati crurum ad difforentiatim sim, disserentia cruram addas, or a producto auferas disserenitalem semi- basis vera,&yrο--niet inde disserentialis semibasis alterna: quamm si basium summo casus maior, γ δ erenιia caseus minor,duo distinguantes rectata ι , Ma ct suas,ct ipsius oblati trianguli partes emnes per nonam 6 p.
4. ct octauam cap. I .hisius)notas reddunt.
Vt propositi trianguli P. Z. S. datis lateribus ut supra, quaeratur ang ili apud baiim Z P S.de ZS P.Semi- aggregatum crurum P Z.& Z S. est 4o. 3o. Semidifferentia crurum est 6. 39. Illius differenti lis est is 7195, huius verδ est χI72Iaos. Quos adde.fient 23 2983o Hinc aufei semibasis verae 3 .3o differentialem 373oy ,remanent lys 8383 Diarentialis 3. 3. 3'. pro semibasi alterna. adde ergo semibases 3 .so. dc 8. . a. fient 'o inde Αa. 3 1. 3 . . pro maiore casu M S. ocis substrahe g. 3.3 . .a 3 .3g. relinquentur 16.1ώ.29.pro minore casu P M. horum itaq;
casuum ossicio habes duo jam rectangula in M. scilicet PMZ,&SMZ: quae dc perpendicularem Z M, & angulos verticales P Z M, & S Z M, aut, si libet,ipsum P Z S.patefaciunt sper nonam cap. .& Dcta uam cap. . Luius.) Sed his omissis ad quaesitos basis angulos ZP-Z S P,redeamus.Casus P M, a, . iam acquisiti di D