장음표시 사용
41쪽
mentum S PB: aut tertio complementum S P, complemcntum S P B, bc P B:aut quarto complementum S P B, P B , de B S:aut quinto sunt P B, B S.& complementum B S P.
Verum quia in omnibus his triplicitatibus, Tangens alterius extremae est ad sinum rectum intermediae, ut sinus totus ad tangentem reliquae extremae pro ut ex vulgaribus demonstrationibus Trigonometriae patet.) Ideo sper nostras de- monitiationes prop. s. cap. 2. lib. I. Logarithmi mediarum qui sunt logarithmus solius inter mediae per corollarium C. defcap. I.lib. I.)aequantur togarithmis tangentium utriusque extremae. Sed Logarithmi tangentium harum extremarum sunt differentiales earundem sex sect. 22.& 2 . cap. 3. lib. 2.3Logarithmus igitur solius intermediae aequatur differentialibus circumpositarum extremarum, ut priore parte Theorematis alter uimus. Sequitur posterioris partis confirmatio. Earundem ergo quinque partium circularium,tres illae quae in quaestionem exiremarum intermediae oppositarum cadun r,
sunt aut primo P B,complementum B S P,& complementum S P B aut secundo B S,complementum S P, & P B: aut tertio complementum B S P,complementum SP B,&BS:aut quarto complementum S P, PB, & complementum B S P: aut quinto denique complementum S P B, B S, & complementum S P. Sed in omnibus his triplicitatibus seu quinque casibus,sinus rectus complementi alterius extremae se habet ad sinum rectum intermediae,ut snus totus ad sinum redhiam complementi reliquae extremae squod fusus a Regi Omontano, Co- pernico, Lans bergio,Puisco,& aliis demonstratur, quamve breui hac epitome repetendum sit J Ideo per nostras demonia strat Mnes propcl.cap. 2. lib. I. Logarithmi complementorum harum extremarum aequantur togarii limis mediarum,
id est ut dictum est )logarithmo solius intermediae,At Logarithmi complementorum harum extremarum oppositarum sunt eat undem ipsarum partium anti logarithmi ex deffeci. I 3.& i 6.cap. s. lib. l. sequitur eigo in his casibus , quod logarithmus solius intermediae aequetur anti logarithmis suarum extremarum oppositarum, vi aIlesit posterior theorematis is ars
42쪽
tis pars. Totum itaque theorema constat.Praeter hanc probationem per inductionem omnium casuum,qui occurrerC po Liant,potcst idem theorema lucide perspici ex is & ro' praecedentibus,in quorum schemate homologa circularium partium constitutio earundem analogiae similitudinem arguit: ita ut quod de una intermedia & sitis extremis circumpo tis, aut oppositis vere enuntiatur,de caei eris quatuor intermediis& suis extremis respective circumpositis,aut Oppositis negati non possit.
s.TTIncsiquitur in quadrantalibiu simplicibus, quod ex duabus
L partibui quibuscunque ditis terna quavis innotestet.SemPer enim aut intermedia quaeritur,ct eius logiarithm ιιι habetur ad .ndo disteremiales circumpssitarum extremarum datarum: aut altera extremarum quaeritur,cir eius disserentialis emergit ex substra: ιο-πe disserentialis reliquae extremae data a Logarιthmo intermediae no-ra: ut in quinque prioribus triplicitatibus rectanguli praecedentis theorematis,st totidem non redianguli:aut intermedia quaeritur, o eius logarathmin prouenit, addendo aurit arithmos oppositarum extremarum datarvm aut denique altera extremarum opposivarum quaeritur: ct eius anti lorarithmias ex subductione antiluami mireliqua extrema oppositae data ex is arathmo intermedia notae habetur. Ut in quinque posterioribus casibus rectanguli praeceden ιι theorematis totidem non rectanguli. Horum autem Logarithmο-rum,antilogarithmsrum,or disserenitalium iam inuemorum' u li- sei restondet duo arcus diuersarum specierum. Ex Jecie igitur quasti arcus Persecundam,teratam,quartam huius,aut per h Zoihεsim nota, me arcus vere innotescet.
V t in priore exemplo septimae, Tres quaestionis partes cir- Culares sunt, plaga solis,eleuabio poli, & differentia ascensionalis, id est,in rectangulo B P S. partes B S, P B. S complemetum SP B: vel in non rectangulo quadrantali P Z , paries P Z S, complementum P Z,& complementum S P Z: quarum trium dentur extremae circumpositae, scilicet plaga solis orientis B Si vel P ZS, O Gr.dc disserentia ascensionalis coma
43쪽
plementum S P B,vel complementum SP Z, I 6 Gr. 2 , χν: 8c quaera in Iermedia pars P. B, vel complementum P Z, quae v st eleuatio poli. Addatur ergo differentialis Io. Gr. , viz. reie68a ad differentialem is gr.Σ .1V. videlicet ad ii 12618o. M prouenient ar is 333.Logamhmus 4.graduum pro eleuatione poli quaesita. ADMONITIO. Haeter eleuationem poli hoc modo inuentam , habetur
etiam secundo eidem praxi plaga solis ex eleuatione poli, angulo positionis solis. Item teitid angulus positionis solis ex plaga solis,& eiusdem declinatione datis. Quarto declinatio solis ex angulo positionis solis,& differentia ascensionali. Quinto dissetentia ascensionalis ex declinatione solis, & ele- 'lutione poli.
DEtur plaga solis otientis B S,seu P.Z. s, o. graduum: Meleuatio poli graduum,quae est P. B, aut complementum P. Z. Quaeratur autem differentia ascensionalis, scilicet eomplementum S. P. B,vel complementum S. P.Z.Et,quia hic similiter effetremae partes circumponuntur intermediae, ergo aufer differentialem plagae solis seu Io. graduum, qui est-tro Ic6827.ex togarithmo eleuationis poli 3 .graduum, scilicet ex 2IIs 3 3: & prouenient inde iχχχ6i So. differentialis graduum I 6.1 2 fere, arcus differentiae ascentionalis quae-
A Dbvius exempli imitationem habetur scundo declina-λλtio solis ex differentia ascensionali, & eleuatione polidatis.Item tertio angulus positionis solis ex declinatione solis & disierentia ascensionali. Quarto plaga solis ex angulorositionis solis,& declinatione eiusdem .Quin id eleuatio po-i habetur ex plaga solis,& angulo positionis solis.Item contra habetur. Sexto differentia ascensionalis ex declinatione solsi,
44쪽
solis,& angulo positionis solis datis. Septimo declinatio solis ex angulo positionis solis,& plaga eius. Octauo angulus positionis solis habetur ex plaga solis Sc eleuatione poli datis. Nono plaga solis ex eleuatione poli, & differentia ascensio innali. Decimo tandem eleuatio poli habetur ex differentia aiacensiotiali,& declinatione solis datis.
IN posteriore exemplo eiusdem septimae tres quaestionis
partes circulares proponuntur hae,declinatio solis,eleuatio poli,& angulus positionis solis. Eae sunt in rectangulo B. P. S. Complementum P S. B P. de complementum B S P. & in non rectangulo quadrantali P. Z.S,eae sunt, complementum P. S. complementum Z .P.& Z S. P. Quarum trium dentur extremae oppositae,scilicet declinatio solis,quae est complementum P.S. H.grad. 31. i', & angulus positionis solis,qui est complementum B. S. P, seu Z. S. P. 3 grad. ἰ9 a1 sere. Et quaeratur intermedia pars B. P, seu complementum Z P, quae est eleuatio poli. Addatur ergo anti logarithmus M. grad. 3 1. O , qui est 2o627 I ad anti logarithmum 34. grad. i . ai, qui est ictis Cit prouenient 2I I9363.Logarithmus ψ.graduum pro eleuatione poli quaesita.
PRaeter eleuationem poli hoc jam modo inuentam poteris secundo per eandem praxim habere plagam solis ex eiusdem declinatione,& differentia ascontionali datis. rtio angulum positionis solis ei d fferentia ascentionali & eleuatione poli. Quarto declinationem solis ex eleuatione poli.& plaga i olis. Et quinto inuenies disterentiam ascensionalem ex plaga solis & angulo politionis lolis datis. Guartum exemplum. DEtur declinatio solis complementum S. P. r i. gracili m s. s P,& eleuatio poli B.P. seu complementum P.Z graduum S . Quaeratur autem angulus politionis solis comple- F 3 mensum
45쪽
mentum B. s.P,seu P,s,Z:&,quia hic similiter extremae partes intermediae opponuntur,igitur auferendus erit anti loga Iithmus 3 I. graduum 3 s. si , qui est 2o627 i. ex togarithm S .graduum,qui est La is 3ss. &supererunt I9I3o82. antit garritimus 3 .graduum ij. 21' fere, qui lunt angulus posmonis solis quaesitus.
AD MONITIO.ΡRaeter angulum positionis solis ac prima praxi acquisitum,habetur secundo eadem praxi declinatio solis ex datis differentia ascensionali de plaga solis. Tettio habetur differentia ascentionalis ex datis eleuatione poli de angulo po stionis solis. Quarto eleuatio poli inuenitur ex plaga solis Meiusdem declinatione datis. Quinto plaga solis acquiritur ex angulo positionis solis & differentia ascensionali. Sexto contrario ordine) angulus positionis solis inuenitur ex plaga solis de dillerentia ascensionali datis. Septimo declinatio solis habetur ex angulo positionis solis, & eleuatione polidatis.Octauo differentia ascensionalis ex declinatione solis,& eiusdem plaga inuenitur. Nono eleuatio poli habetur ex data differentia ascensionali,& angulo positionis solis. Decimo tandem acquiritur plaga solis, ex eleuatione poli, & declinatione solis datis.
Atque ita ad imitationem horum quatuor exemplorum. triginta variae soluuntur quaestiones circularium partium, hoc est triginta variae quaestiones in quadrantali rectangulo,& totidem in non rectangulo soluuntur hoc potasmate, be-nc ficio virius tantummodo additionis vel subitractionis.Cae-xerum ad intelligentiam posterioris partis huius porismatis, de arcuum speciebus, vide exempla, c tertium,quartum,quinis tum,& sextum tequentia.
46쪽
LIB. II. CAP. V. 39DE NON QUADRANT ALIBUS
Η-Ienus quadrantalium, sequitur triangAlorum Spheris rum neu quadrantalium doctrina. a, Non quadrantale est triangulum Sphaericum, cuius nec latus, nec angulus quadrans epf. a. 26m quadrantale reducitur ad bina quadrantalia, Si a vertice ad eius basim prout opus fueris extensam dimittatur perpendi cularis,aut quadrans arcus. 3. Perpendacularis eadit intra triangulum,si anguli apudbasim sinaeiusdem oeciei:extra vero si diuerseris' contra. . cu'drans arcus cadat extra triangulum, si crura sint ei aemstetiei. Intraverosi diuersae r contra. s. 'Ex non quadrantalis sex partibus, tres data solum se piciunt ad reliquarum mentiam comparandam : nisi forsan trium datarum, quarum una alteri opponatur, tertia sit propinquior quadranti, quam altera eiusdem generis data. in hoc enim caseu requiritur etiam dari θecies pariis quae tertia opponitur,ut reliqua sciamur. Huius casus exempla sunt,quartum & sextum cxemplum sequentium
Ut cum dantur duo latera,& angulus aliquis: aut duo an guli cum latere aliquo.
ius reliquo termino sit angalus datus,eadat ad bas perpendicula-νis,aut quadrans datum sisym angulu Abiendens, redacetur non quadrantale ad bina quadraulatia sper nonam sedi. cap. q. huiui scibilia. I nde or non quadrantali spartes quia cum horum quadrantalium Partibus iam partiam reliquis commone; sunt facile insolefi
47쪽
ct anguli interpesiti datorum.
non quadrantale in tu perficie primi mobilis defeti-ptum P. Z. S.polum, Zenith, & sollem reserens: cuius sex partes sunζ, latus P. Z quod est interstitium poli& Zenith, seu complementum eleuationis poli. Latus Z. S, interstitium Zenith & solis, seta complementum altitudinis solis. Latus P. S. interstitium poli & solis, seu comple n- tum declinationis solis ab aequatore. Angulus T. P. S. hora diei, seu tempora horaria aequatoris. Angulum
P. Z. S, quae plaga eli, se aeti muth solis , septentrione.Angulus P. S. Z, qui angulus ea situs & posit ionis solis ad polum dc etenith. Harum sex partium dentur tres quaecunque mistellaneae.Verbi graIia. angulus horarius Z.P.S. Σ.- qui horam secundam clypomeridianam notat) de latus P. Z.3 .complernentum Cleua- ionis poli:atque latus. P S.69. complementum declinationis solis. Ex quibus, ut acquirantur tres reliquae putes,ab. Z. ter mino lateris. P Z.dati,dimittatur perperidicularis Z.M,aut, si mauis,quadrans Z,H. angulum datum Z. P. s.subtendens, reducensque non quadrantale oblatum P. A. S. ad duci
triangula in angulo M. quadrantalia , quae sunt P. M. A. de Z. M. S, ut in primo schemate : vel f si varietate delecteris) ad duo triangula in latere Z. H. quadrantalia, quae sunt Z. H. P. &ZH. s. ut in secundo schemate: Quorum
48쪽
Nam ex datis P Z 3 .atque Z P M seu Z PS, 42. 29. ἰ, inuenies perpendicularem Z M 12,ra & angulum P Z M. is a. s. sa.d latus P M 26.1I 29: quo ablato a P S 69. restat M S a. 3 .ss'. quo & perpendiculari Z M. lam cognitis, inuentes per s.sech.cap. 6. huius angulum M S Z seu quaesitum P S Z. 3 r. ιτ.&latus quaesitu SZ47. atque angulum M Z S 6 . 38.li. quo ad PTM . s 3 s. addito, fit angulus reliquus qua situs P Z S Iao. χ . . Tres itaque habes partes quaesitas ossibio perpendicularis A M, primi schemaris. Easdem quoque ossiricio quadrantis Z H secundi schematis venari poteris. Ex datis enim, ut suprὶ,Pa 3 .& Z P S seu Z P H 2.2,. si, inuenies per eandem cap. 4 huius,angulum zHP. 21. I l. a.& angulum P a H I 2. Αου, g & latus P H i I 6. 2L a' cx quo aufer P S ε'. restat S H Q. ac a , . quo & angulo apud H 11. ii. ν iam habitis,inuenies per ' cap. . huius,angulum H S Ar 8 s, . eiusque ad semicirculum reliquum scilicet 3 r. I. i. angulum P S Z quaesitum: atque latus quaesitum S. Z . Denique angulum H ZS 22.21.4 . quo ex H AP r 2 M'.3 s. ablato,restat angulus reliquus quaesitus P Z SI 1o. 24. 4 9. prorsus vi supra.
HVius exempli imitatione nouem variae soluuntur huius& cuiusque trianguli quaestiones. Ex datis enim eleva
rione poli,hora diei,& declinatione solis illius diei, habetur ut supra in primo agimuth seu plaga solis, secundo altitudo
solis,Tettib angulus positionis solis. Item datis declinatione solis,angulo positionis solis, de altitudine solis,habetur quarto plaga solis,quinto eleuatio poli, sex id hora , seu arcus hoα rarius. Item datis altitudine solis, plaga solis, & eleuat lonct
poli ,habetur septimo hola diei,octauo declinatio solis, non δdenique angulus positioni a solis. Secundum
49쪽
Secundum exemplum duorum angulorum , ct lateris interposin, datorum.
ΡRaecedentium schematum datis angulis, horario scilieet
plemcnto eleuationis poli,latere scilicet inter' sito P .Z.3 Tres caeterae partas exquiruntur. Nam hisitis primδ ut iu- pra) Z. a. is P. 1.16.1LG.de angulo P.Z.M. - o s8,quo ex P.Z S.I 2 o. i. ,. ablato relictoque angulo WZ.S. 67. έA.ex hoe atque Z.M jam notis,inuenientur tandem latus quaesitum Z.S. 7.& E S.M. siue angulus quaesitus Z.s.P. 3 I. 64 atque M.f. 2.3s. I quo ad P. M. addito, fit reliquum latus quaesitum P. S.69 Hasque beneficio perpendicularis pii m ichematis habes, nee secus easdem ossicio quad tantis secundi schematis aequirere poteris: acquiruntur enim per nonam quarti huius) ex datis. anguli P. H.Z.& P. Z.H,& ex hoc subducto P. Z.S. dato,restat S.Z.H.quo,& angulo P.H.Zjam notis propalantur caeterae omnes partes.
HVius exempli imitatione nouem variae solvuntnr huius, ac cuiusque trianguli quaestiones. Ex datis enim ut supt,' hora diei, eleuatione poli, & plaga solis, habetur primo declinatio solis. Secundό angulus positionis solis, tertio altitudo solis.Item datis hora diei declinatione solis,& angulo positionis solis, habetur quarto altitudo solis, quinto plaga solis. sexto eleuatio poli. Item datis angulo positionis solis, alti tudine solis , & plaga solis acquiritur septimo eleuatio poli octauo hora diei,nono declinatio solis. Tertium
50쪽
Graium exemplum duarum datorum laterum, ρηεrum quadranti propinquius subtendit angulum datam. PRaecedentium schematum dentur latera P. Z. 3 . & eo
quadrAnti propinquius Z.S. 7.cum eo quem lioc subtendit angulo Z. P. S. qa. 26. , . acqui tantur per '. sect. cap. . huius Z.ria2.II. ς.& Pet de P. M. 16. 2ί 29. ω simili modo habebis T. S. M. seu quae situm angulum P .S. P. certissime enim sci ut hic per a. sen .cap. 3. haut , minor quadrante, scilicet ess: 3 i.ί .3c non esse r48. , .s7. Habebis etiam angulum M.Z.s.67, 3cii. quo ad P.Z.M. r. Αί. 37. addito, fit reliquus quaesitus angatus P.Z. S.Iao. 2 9. Habebis denique de M. S, 2.3 ἰ si . quo ad P.M 26 2 si, addito, fit quaelitum latus P, S, .Nec secus eadem acqui iere potetis siubet olficio quadrantis Z.H.secundi schematis. ari Num eve iam duorum dat frum laterum, quorum quadrau- ιι minus propinrunm subtendit angulum datum . magis aurem propinquum 'btenait angulum datarantum lecses.
DEntur latera zS, 1 ,& eo quadranti minus propinquumst Z 3 cum eo quem hoc subtendit angulo Z S P, 3I tis. deturque quod quem Z S subtendit sangulus scilicet SP δ)st specie minor quadrante: Dimitto itaque ab z. ad basim P. S. perpendiculara η. M ut prius aut qua drante Z I. Othic) subtendente langulum datum a.
S. P. Acquirantur per 9.siet. .huius caeterae partes, ut sexerciti & varietatis gratia ) ex huius schematis quadrante Z I. acq ii rens angulum Z I. S. 22. I. & I Z.S.Is7.35.1I .E S.I.it 2.3ζ. si 8e simili modo ha. bebit angulum I P. , & per coris eq iens angulum quaesit in λ. 29. 9.Quia ex hypothesi expresse quadrante ii 'iuor