장음표시 사용
31쪽
Α C, asa. F3 --OOo. aufer 63 87o-ooo,Lo- sarithmum Α B. Sc prouenient εχχ8866 , di Dierentialis anguli B, o T 36. si, quaesiti. Verum si dentur crus A C, I 37 .& angulus B. o i 36. si, habebitur cr*s A B auserendo Σ18866 .dissereat talem anguli B. a Logarithmo A C.qui est 4 92 13 OOO. Inde enim proueniens 63537o - ooo. est logarithmus numeri s38 . qui crus est A B. quaelitum. Tertio datis crure A B, 38 .& angulo B, o T, sb. u: ut habeatur et 8s crus A C. adde 63 87o - ono. Logarith. cruris A B.ad 4128866 , differentialem anguli B.& prouenient 2ρ24s 3 ooo , Logarithmus I 37, cruris Α C quaesiti. Hypotenusa autem BC per praeced. prop. habetur. Angulus etiam C, patet,quum sit complementum anguli B.jam cogniti.Et ita per hanc,& praemissam, ex latere quouis,& parte alia quavis rectangu- C li datis reliquae omnes eius partes innotescent.
Completam ergo habes rectangulorum rectilineorum scientia . sequitur obliquangulorum.
praesertim obliquangulis. CAP. II.
II omni triangulo,aggregatum ex Logarithmis anguli cuiusdiis.
lateris eum ambientis,quatur aggregato ex ligarithmis lat ris, ct anguli eis oppositorum. Quia omnium laterum ad oppositorum angulorum sinus eadem est ratio:& ita factum ex anguli cuiusvis sinu recto,& latere quouis eum ambiente,arquatur facto ex latere subtendente priorem angulum,& simi anguli iubete-
32쪽
ί priore latere. Ideo sper prop. s. cap. z. I. in aggregatum
ex Logarithmis &c. aequatur. ut supra.
undentibuου , si ιria dantur, quArtum quodcunque, atque inde ca-ura omnes ιrianguli partes innotescent.
Horum enim quatuor proportionaliu quodvis quaesitu potest quacro loco constitui,& per 3. Probi. cap.s lib. I . inuenit i. Vt obliquanguli A.B. C detur Α B. 263oa,S: BC. 17's , or angulus C. α6 graduum:Quaeratur que angulus A , qui se habetur. Adde IOI-cio Logarithmu B C. ad 31 6889 Iogarithmum scilicet C as graduum , & fient Is o I 396 oo. Hinc aufei logarithmum A B , qui est 133 491I Oo, restant 3 667 logarithmus 7 graduum, dc paulo pluris , anguli scilicet, A quaesiti,si Α praedicatur acutus: alioqui Iol. per i.&a .sect.cap. .lib. I.)si pronun- cietuet obtutus. Vice versa si detur angulus A jam 7s graduum, atque angulus C. de latus B C. ut supra r & quaeratur A B. addit 343 7o oo logarithmum B C. ad 8a 688s logarithmum anguli C,fient,ut supra. I 37Oi 96 -- oo a quibiu aufer 3 66 3 logarithmum anguli A, prouenient Iss 'at so togarithmus lateris ΑΒ, & numeri eius 263o aquaesiti. Habitis jam angulis A. 7s C. a 6 Cerit augulus B. 79 gr. per i. huius. Ex quo jam habito, non secus ae quiritur latus ei oppositum A C. 38892 , quam nuperrimὸ . ex angulo C. innotuit latus ei oppositum ΑΒ. Itaque jam patent omnes huius obliquanguli partes. In obliquantulis crura vocamm, qua angulum quemvis ambiunt: basem qua pubien/ι
obliqua ιlis, legarithmus aggregati erurum subductus aE summa
33쪽
summascia ex logarithmo diserentia cruriινι, Gr dist orentiali β-mi-aggregati fluorum oppositarum angulorum,relinquit disset entialem semi- disserentia eorundem. Quia, ut aggregatum crurum ad differentiam crurum, ita tangens semi-aggregati suorum oppositorum angulorum , se habet ad tangentem semi-differentiae eorundem. Vnde analoga sunt,& per prop. I. cap. 2. lib. I. in eorundem differentiae seu excessus sunt aequales. Necessario igitur sperPIOP. .cap.2.lib. I. concludimus ut supra.
Vnde ex duobus eruribus, ct anguis comprahenso, innatem ni
liquum latus. Nam subducto togarithmo aggregati crurum, a summa facta ex togarithmo cisterenitae crurum, re differentialiseis mi aggregati oppositorum angulorum additis , proueniet differentialis semi- differentiae eorundem angulorum: qua semi- differentia addita ad semi- aggregatum dictum, proueniet angulas maior,& substracta minor. Vt repetiti superioris
BC. 379ss, & angulus compraehensus B. 79 graduum. Quaerantur autem reliqui anguli Α. de C. Aggregatum crurum AB. &BC est 3 2s , eiusque logarithmus est 2 7388is o. differentia autem eorundem Α Β , & B C est si sis 3 , eiusq; Logarithm. est 3 s 292i O o. Quumque B angulus detur 79 erit sper i. huius aggregatum angulorum A &C. Fraduum Io I , semi-ag gragatum vero so . 36 , cuius disterentialis est 193i766, quo ad 3 32 salo o addito, fient 32397 o. hinc ablatis 2 7388is - proueniant i 78s 86as differentialis graduum a . 36 , qui sunt semi-differentia angulorum A MC quaesitorum. Hanc ergo limi- differentiam θ'. 36 adde ad Le
34쪽
ad semi- aggregatum so 36, fient 7s gradus, pro angulo Aquaesitorum maiore,& substrahe eosdein a gradus ab eisdem so gradibus,& relinquentur 16 gradus pro angulo B quaesitorum minore.
In Obliquantulis vera basis semper est vel mregatum casitum: st tunc disterentia casurim basis alterna vocatur e vel Dera b Uis est iusserem i a casuum. tum aggregatum c.tisum vocamus alternam. - Vt trianguli A B C. casus minor est A D: caius maior est D C. Cassium aggregatum A C est basis vera f. tin hoc triangulo aufer ca- Cim minorem A D , seu eia qualcm DE a casu majore DC. relinquetur differentia casuum EC, quam baltria alternam vocamus. Contra vero in triangulo E B C caliis minor est D E cui aequatur DAὶ Casus maior cst DC,& caluum disterentia E C est basis vera. Casuum autem ag. gregatum,icilicet A C,basim alternam vocamuS.
In obliqua relis summa Igari hinnisu aggregati se disserenita crueis,esLequalissimma Loea ithmorum baskιm,verae, alimns, Ouia basis vera se habet ad ager ea tum crurum , ut differentia crurum ad basim alternum: ideos per pro p. 6, cap. 2. lib.i. necessario concludimus,basium logarithmos a quati logarit linus aggregati & disterentiae crurum,ut supra.
Unde ex obliqu'ngulo datorum laterum, si i Ens recla hian οι arum hystilenusarum cum alters ctiosque crure,qua tyr i. i. , rus ) reliquas etiam omnes obliquan titti partes nGIM reuiatam.
Nam addito togarii limo regregati crurum ad logari: b-m una differcntiae crurum, & hinc ablato toguli limo bolis vor. v proueniet logorii limus basis alterna , per pro p d. cpp. e basitim scini ag
35쪽
gregatum est casus maior: semi- differentia vero casus minor. Vt superioris trianguli ABC dentur latera, videlicet
quaerantur caetera. Aggregatum crurum est 3 as , eiusque Iogarithmus est 2 7388 I9 - o. Differentia crurum est
si63s , eiulque logarithmus est 3 3292 Io o. Hos loga-xithmos adde, fient inde s9268ΟΣ - , a quibus aufer 193 61 - oo togati thmum basis AC, restant 3397 368 Iogarithmus numeri a 86 satis alternae: quam ad veram adde , fient inde io 1 8, quornm dimidium est 1o89, D C. Calus maior. Eandem ab eadem aufer, fient inde is 6os, quorum dimidium est 68o 3 , A D casus minor. Rectanguli itaque A D B. habitis jam , hypotenuia A B.& crure altero A D. atque rectanguli B D C habitis, hypotenus a B C,& crure D C, innotescunt per i. huiusὶ anguli rectangulorum apud A & B&C,& per consequens omnes . etiam obliquanguli oblati partes ex praemissis propalantur. Nec secus agendum foret si darentur latera trianguli E B C , & caeterae partes quaerantur. Ex cruribus enim rebali vera E C , innoteseit basis alterna A C. atque ex his
uterque casu Si& caetera, v supra.
CONCLUSIO. . PFUecyam igitur 9 eo litam iam habes omnium friangulorum restilineorum doctrinam, qua si aliquantulum operosa in Logarithmis rectarum variabilium inuemendis videatur: In moti-b's tam n planetar'm computan is sin quibus sei licet eccentriciatates orb/um, eun atton s . Dσιum Vogeoνμm, epicyclorum diametis,st alia diei ZA , eadem π inuisabiles permanent in eorumugarathmi exacte semel notati. siemper in posteram , sine vita mutatione subsermenti miranda cer . facilitate,st certitudine. Seqnaretur 1am Sphaeraea triantula omnium dissicillima,ut uuiago ab aliis ινώduntur,per Leomthmos tamen Myros, omniγm Deiltima.
36쪽
IN triangulis Spharicis angiam omnium quadranis quantitate proximus, ct latus eum subtendens dubia suut, An eiusdem, an diuersa sint isteries,nisi id aut computas, aut fpothesis prodat. 2. Duorum vero obliquiorum angulorum quilibet est eiusdem steriri, cuius est latκs eusabimiles.Vnde alterius dara, reliqui patet leties. 3. Si trianguli angulus aliquis propinquior sit quadranti,quam latus eum Fubtendens , erum dus eius lasera eluserim lectet, ct tertium
. Si vero trianguli latus aliquod propinquius sit quadrami, quam eosubtensus angulas:erunt duo eius anguli eiusEem speciei,ct tertius
quadrante masor. s. Triangulum Sphaericum aut est quadrantale, ut nοπ.
unde non rectanguli quadrantalis scientiam aequd facile, ac rectanguli comparari posse, docemus.
si uia quadranti aequantur Trariatangulum est.
rtii latera sigiliarim quadranti aequantur. Ia. In omni birectangulo angulus obliquus aquator suo subtendenti lateri. r 3 . Omne Triangulum euius pars aliqua aquatur quadranti,ct -- ulus aliquis obliquus aquatur suo subtendenti,2Sirectangulam es Lr . Omne Triangulum habens duaου quascunque partes Attillasim quadranti aqualis,2 tertiam in qu.ιlem,Birectangulum est. 3 D Catera qruidrantaliasimplicia dicuntur. Disitig Cooste
37쪽
I. Vadrantale p&x ea, cuius unica tantum pars qua aequatur,catera autem quinque partes seunt non quadrantes . Harum quinque partium non quadrantium, Tres qua a AVulo eu quadrante latere situ 3 emotiores sunt,insua complementa conuertimus, Ur retento pristino ordine omnes quinque in cimo larem,stu pentagonalem situm statuimus, ct circulares vocamus
Sit primo triangulum BPS in B,
seu non quadiantes, sunt hae. B P ambiens rectum. P angulus obliquusi' ter. P S latus subtendens lectum. S angulus reliquus obliquus. S B reliquum latus ambiens rectum. Pro quibus nos facilioris calculi gratia assumimus latus Es a B P ipsum : complementum anguli PComplementum lateris P S,complementum anguli S, at-Y que ipsum latus S B,& scrvato naturali situ has quinq; partes ordine statuimus, ut a margine,& circulares voca, Similiter sit secundo triangulum quadrantale simplex, non rectangulum cx centiis solis orientis poli, & aetii his factum) S P Z in latere Z S quadrantale. o - ἔχε ius quinque partes non quadrata res Pri- stinae sunt. Z angulus alter ambitus a MI tere quadrante. Latus P Z cii antia fiat e a zmith. P angulus subtensasa, quaaiai l te.Latus P S distantia poli a Sole, ai -
έ Δ l gulus denique S alior angulorum qum I quadrans ambit. Pro q mbus D Os ad ': ciliorem computum nost sit assui nimi ipsum angulum Z iau P ZS, qui est ar
38쪽
Complementum anguli P, seu angeli Z PS, quod est differentia ascensionis, id est, differentia temporis ortus veloceasus Solis ab hora sexta. Complementum lateris P S quod est Solis declinatio: & angulum ipsum S seu PS Z , quem angulum positionis Solis, respectu scilicet poli & etenith,
vocamus. Has quinque partes etiam circulari vel pentagono situ statuimus,ut a margine, & circulares vocamus. Nec aliae fient circulares partes superioris trianguli rectangu
S solem,&B cardinalem borealem seu septentrionalet osuerit.Fient enimatus B P eleuatio poli, complementu P differentia ascensionalis , Complementum PS declinatio solis complementum Sangulus posit ionis solis:ac denique B S plaga solis. Quae sune eaedem prorsus circulares partes,quae supra,& eodem situ leuorsum quo ille dextrorsum dispositae.Et ita in omnibus quadrantalibus tam rectansulis,quam non rectangulis.
. Hinc fit quod plurimasint triangula in partibus suis naturalibus haud couformia, qua in p.rrtibus his circularibus prorsus cou- ueniunt,oe hac nostra circulariam methiso res luuntur. Vt satis lucide apparet in duobus superioribus triangulis B P S , & P Z S coniunctis. In quibus omnes naturales partest praeter P S & B S huius.& Ps&PZS illiusὶ prorsus differunt: circulates vero partes omnes ut supra dictum est2 con
. . Hac circularium partium νmfomitat manifestus e patet in
39쪽
mctangulis factis in seuperficie globi ex quinque circulis magηis,
quorum primus secet siecundum secundus iertium, treιius quarἔum, qu rius quintum quintus denique primum ad rectos angulos: rei qua vero sectiones omnes ad angulos obliquos sient.
Exempli gratia: Meridianus regionis D B , secat horizon intem B E in puncto B. Horizon B E secat circulum E C,qui solem ambit sid est. qui circa solem tanquam Polum ducitur in puncto E. Circulus E C, qui solem ambit, secat meridianti solis CF in puncto C. Meridianus solis C F aequatorem F D in puncto
F: & tandem aequator FD secat meridianum regionis D B in puncto D.
Et omnes hae quinq; sectiones in puncti S. B. E. C. F. D orthogonaliter& ad rectos angulos fi uir factis caeteris iactionibuin punctis Z.P.S.o.Quad angulos obliquos. Fientque ex his
sectionibus tectangula quinque P B S, S F O, O E Q, Q D Z,
ct Z C P, quorum quamuis partes naturales differant idc in singulis triangulis varientur,circulares tamen quinque partes eaedem sunt,quae supra,absque ullo discrimine. S, IEadem circularium partium Nniformita, paκι etiam in quadr
talibus non re tangulis faciis insup/ficie lobi ex quinque pMν iis, quorum primus distet a secundo eundus a tertio, tertius a quarto, quartus a quinto,st quintus a primo distantiis ct arcubus aequalibus quadranti,alia vero punctorti distantia inaequales set quadrati. Vt in eodem praecedente schemate puncta. P a Q, ab S, S ab Z,Zab O, atque O a P distant spatiis quadranti aequalibus:at vero P ab Z,Z a Q Q ab O O ab S,& S,a P, distant ab inuicem arcubus non quadrantibus. Et fient ex his distantiis quadrantalia non rectangula quinque,P Z O,Z QO, QO S, G S P,& S P Z: quorum quamuis naturales partes differant
partes tamen circulares eaedem & immutabiles hic perma
40쪽
lis, declinatio solis,angulus positionis solis,&plaga solis: qυς
Omnibus superioribus triaugulis ex aequo conuenium, nec his duntaxat solis,veru metiam omnibus triangulis quae oriuntur ex intersectionibus caeteris horum decem arcuit ad integros circulos productorum:quae,quia plurima & cofusa sunt, mi Gia hic facimus. Hac epitome satis est monui IIe omiacm co&sionem naturalium partium,& suarum regularum, his pauccircularibus partibus & sua regula unica evitari sic tolli. o. cuinque circularium paratum,tressemper in quastioncm casint, quarum dua dantur,tertia queritur. 7. Atque harum trium τηκ est intermidia , ct dira sunt em rima, quae scilicet intermedia aut circarmponuntur,aim o ponuntur.
Verbi gratia, Sint partes tres in quaestione pio posita hae, plaga sinis,eleuatio poli, de differentia ascensonalis: quarum, eleuatio poli pars intermedia dici: ur, de reliquae duae extremae ei vicinae,aut circumposita vocantur: velum si tres partes in quaestionem cadentes forent, declinatio solis,eleuatio poli, Mangulus postionis solis, vocabitur ut pilus in Heuatio poli intermediat sed declinatio solis, de angulus positionis solis. extremae a media remotae,seu ei oppositae dicentur: Par ratio est in reliquis quinque. 8. Loσarithmus intermedia equa1κν ιι serensiabbus circumposita
rum extremarum,stu antiriarithmis oppositarum extremarum. Hoc theorema probatur inductione omnium trium par
tium seu triplicitatum,quae ex quinque circularibus partibus quadrantalis prioris B P S rectanguli, constitui possunt, dc in quaestionem cadere: posterioris autem non rectanguli PT Striplicitates omittimus,quia eius omnes partes circulares exi 8 , de is , dc et o praemissis eaedem prorsus sunt quantitate, quae prioris. Quinque ergo pallium circularium rectanguli B P s, quae sunt B S , seu plaga solis orientis . complemcntum B S P, seu angulus positionis solis: complementum SP, seu declinatio solis:complementum S P B. seu disserentia a Dcensonalis:& P B, seu et ouatio poli in tres illae quae tu quaestis-nem CXtremarum circumpostarum cadunt, sunt aut prim δBs,complementum B S P,&complementum S P: aut secundo complemcntum B S P, complementum S Pr dc comple-F men m