장음표시 사용
51쪽
declaratur,alioquin nisi eius daretur species, foret sex prima
cap. .& quinta sect. huius cap. incertus: potuit enim aliterfuisse i37. 3ο.i .Habebis etiam sic angulum I. Z. P. 37. I quo ex I.Z. S. I 7. 38. H. ablato, relinquitur reliquus quaesitus ungulus P. z.S. Iao. 24 49.Habebis denique &I. P. 63. 3s. 31'. quo ex I S. I 32.3 3I .ablato,remanet quaesitum latus P.S. 69. Ea iacm etiam metas attinges si beneficio perpendicularis
z. M. primi schematis,partium logisticen quaesiveris. ADMONITIO.ΡRaecedentis tertij & huius quarti exemplorum imitatione, octodecim variae soluuntur huius & cuiusque trianguli quaestiones.Ex datis enim tui in tertio exemplo P eleuatione poli,altitudine solis,& hora diei, habetur primo plaga solis,lecundo angulus positionis solis , tertib declinatio solis. Item datis ut in hoc quarto exemplo ) eleuatione poli,altitudine solis, & angulo positionis solis, habetur quarto plaga solis,quinto hora diei .sexto declinatio solis. Item datis altitudine solis, declinatione solis, de hora diei, habetur septimo angulus positionis solis, octauo plaga solis,nono eleuatio poli. Item datis altitudine solis, declinatione solis,& plaga solis,
habetur decimo angulus positionis solis,undecimo hora diei, duodecimo eleuatio poli.Item datis declinatione solis, eleuatione poli, de angulo positionis solis, habetur decimo tertio plaga solis,decirnoquario altitudo solis, decimoquinio hora diei. Item datis declinatione solis, eleuatione poli ,&plaga solis habet ut decimosexto hora dici,decimo septimo angulus positionis solis,& decimo- octauo altitudo solis.s uinιum exemplum duorum datorum angulorum, quorum quadranii propinquiorem tam risum pubιendit. TRianguli P.z. s. primi schematis,dentur anguli P.S.z. 3I. . s.& eo quadranti propinquior S.PZ. εχ. 29. 1 f. cum latere Z.S. 7 hunc subtendente. Ex quibus P.S. Z,& S.Z. habe-tuc per nonam quarti huius perpendiculatis Z. M. 22. ΙΨ.
52쪽
q. dc ceterae partes quadrantalis S.Z. M. scilicet M. Z. S. 6 . 3s u.& M S a. 33'.3i . Sicut & ex perpendiculari hoc cum dato Z.P.S .ieu Z. P.M.angulo ,habentur partes omnes quadrantalis Z. M. P. scilicet primo lattis quaesitum P. Z. certissim .enini scitur hoc per et .sentent .cap. s.huius) minus quadrante, videlicet esse 34. non autem eiie I 6. Deinde habetur P.Z. M. 2. 6 38'. quo ad S.Z. M. 67 38. ii .adduo fit quaesitus angulus P. Z.S. I 2O.χ . . vltimo habetur P.M. 26. 14. 2 9. quo ad
M. S. 42.3 a. 3 T. addito, fit reliquum latus quaesitum P.S.69. Has etiam iptas partes aliter fi mauis ) ex duobus proxime praecedentis Schematis quadrantalibus Z.I. S.& Z.I.P. acquivere poteris. Sanum exemplum duarum datorum angia rum,quor m quadran-ri minus propinquum subtendit latus datum,magis antem
propinquum subtendit Mim drua tantum Perici. TRianguli P.Z.S primi Schematis dentur anguli T. P. S.
2.39, 9.& eo quadranti minus propinquus Z.S.P. 3II. 7. cum eum lubtendete latere P. L. 3 . Deturque quod angulum Z .P.S.Qbtendens, scilicet latus Z.S.) sit specie minus qua-d cante. Ex his datis quaeratur perpendicularis T M. 22. Ii'. 4'. 5c caeterae quadrantalis P.Z. M. partes, scilicet P. Z. M. 32. s . 3I & P.M.α6.2s a, sicut & ex perpendiculari hoc cum dato
Z. S. M. se l. Z. S. P. ι.ε 3 quaerant ut partes omnes qu. dranta-Z M.f.scilicet primo latus Optatum Z.S. 7.quia ex hypothesi ex prei se quadrante minus declarantur, alioquin potuit DisIe I 3s.Nam per i. cap. s.& quintam huius incertum est nisi eius expresse detur species. Deinde angulus M. S. S. 67. 3s. II quo ad M.Z.P. 62 s.3s addito fit optatus angulus P. Z. S. I 2o 24. 9. Denique lixbetur S. M. a. 3 3'. si . Quo ad P. M. 26. 26. 2, addito,fit optata basis P. S. 69. Earum etiam partes ex duobus quadrantalibus P. H. L.& s. H. Z. secundi schema-matis,quam facillime acquirere poteris.
53쪽
ΡRaecedentis quinti & huius sexti exemplorum imitatione, octodecim variae soluuntur huius, de cuiusque trian guli quaestiones. Ex datis enim sui in quinto excmplo J angulo Do sitionis solis .hoi a diei & altitudine solis, habetur pii mo eleuatio poli,secundo plaga solis, tertib declinatio solis. Item datis ut in hoc sexto exemplo P hora diei, angi lo positionis solis,& eleuatione poli, trabetur quarto alii tudo solis, quinto plaga solis. sexto declinatio solis. Item datis hora diei, plaga solis,& altitudine solis, habetur septim ὀdeeunatios Iis,octaub angulas positionis lolis, nono e leuatio poli. Item datis hora diei. plaga solis,& declinatione solis, habetur deciamd altitudo solis Andecim b angulus positionis solis, duod cimo eleuatio poli.Item datis plaga solis, angulo positionis solis,& declinacione solis,liabctur decimotertio eleuatio poli, decimoquarib hora diei decimo quintb altitudo solis.Item datis plaga solis,angulo positionis solis , & eleuatione poli, habetur decimosexto declinatio solis, decimo septi md hora diei,deei mo-o ub altitudo solis. Atque ita huius solius canonis methodo,quinquaginta quatuor vatiae soluuntur quaestiones eiusdem trianguli non quadrantalis. Caeterae inferius soluentur. s. Ex his itaque patet 3 ea duorum angularum ct suo subten/erium larem in tribtis daturinartis/liem Luavithmus innotescet, tacita etiam quadrantalium descriptiom. Ab aegregato enim ex L garillanis anguli relaterωsibi adiae mis datorum, afer Logarith- num terti' dati, re prauemet seri Logarithmus quarii quasiti, i umque q-arium, nisisti νncerta 5 ciet,inmiescet. Vt ex superioribus tertio,quarto, quinto,& sexto exemplis percipi potest. Angulorum enim basis Z P.S.& Z.S. P.& suorum subtendentium crurum Z. S. & Z. P. dentur tria, quae s verbi gratia ) sint crura Z. S 47, eiusque Logarithmus 3 I 28 to,dc Z.P. 3 . eiusque logarii limus 38ia 6o6, cum huic adiacerae angulo Z. P. S. 41. 29. 3 p. cuius Logarithmum
54쪽
taciti & suppressi perpendieularis Z.M.vel anguli Z.H.S. seu Z. I. P. a quo aufer 3i 28 18o remanet 66o37 6 Logarithmus quarti Z.S. P quaesiti. Ipium itaque quartum Z S. P. erit 3 I. 1 Quoniam per 2.scet cap s. inus quadrante arguitur.COntra autem datis Z.P.3 . eiusque Logarithmo 18iχμώ.& Z.S. 7.eiusque Logalithmo 3Ias,8o,ciani huic adiacente angulo Z. S. P. 3 I 6.s ad cuius logarithmum 66os M. adde 3 318s rQ, fit aggregatum ut supra) 973 316.a quo aufer 38I 26C6, pro uenient 3 2I7ao Logarithmus quarti quaesiti cilicet Z. P.S, cuius arcus per I .see . cap. 3. incertus est an sit 42.2s. s. ant, .set. v.nisi deelatet hypothesis ma: Orne, an minor sit qua
ΗΑctenus de partibus miscellaneis datis r Sequunt ut
purae. I. Pura sunt tres partes eis em generis data. Suntque aut tria lat se data,O qsaruntur angulinant tres argvu dati, ct quaruntur
aT 'a quamvis simplicita e priores,ob disycultatem ramen enum dem merito hic posteriorem seni-κr locum. 3. In trian ulis Sphaerim primo μmnia ex L Uarithmis erum msubducta a summa ex Luartihmis auretati est differentiae βω- basis cir semidifrentia crurum elinquit duplum Logarsthms H mid, anguli verticalis.
55쪽
Quia docent Regiomontanus libro I. cap. 2. de triani gulis , dc alij, ut rectangulum comprehensum sub sini bus rectis crurum, se habet ad quadratum sinus totius : Ita disserentiam sinuum versorum basis de differentiae erurum se habere ad sinum versum anguli verticalis: quum autem vi illa differentia ad hunc sinum versum,ita rectangulum factum ex ' sinibus rectis aggregati α differentiae semibasis & semidifferentiae crurum , se habet ad quadratum snus recti dimidi j anguli vertiealis sest enim nouissimum hoc tectagulum ad illam di Erentiam sinuum versorum,& hoe ultimam quadratum ad illum sinum versum in ratione 3ooo oooςRP' , & intellige quinquies milies millecupla, existente sinu toto I oo oooo.j Ideo sequetur quod, ut rectangulum sub sinibus rectis ciuium se habet ad qnadratum sinus totius,ita rectangulum factum ex sinibus rectis aggregati & differentiae semibasis & semidifferentiae crurum, se habebit ad quadratum sinus recti dimidij anguli verticalis: δc per consequens ex corol. def. 6. cap. I .& pro P.6. cap. a. &probi. 3. cap. .lib. I.) Summa ex Logarithmis crurum, subducta ex Logati thmis aggregati & differentiae semibasis & --midisserentiae crurum relinquit duplum Logarithmi dimidi, anguli verticalis,ut supia. q. Seeundo Summa eae Logarithmis crurum subtacta a summa eκ
crurum,relinquit taplum annisg.εrsthmi dimidi3 anguli verticalis.
Non enim aliter se habet summa ex Logarithmis aggregati & differentiae semibas, & semi aggregati crurum huius propositionis,ad summam ex Logarithmis aggregati & differentiae semibasis dc semidifferentia crurum praecedentis prO-
positionis,quam duplum antilogaci thmi dimidii anguli ve vicalis hic, ad duplum logarithmi eiusdem dimidij anguli verticalis superius,quod alterius loci est demonstrare.
56쪽
s. TNSpseritis etiam,bases veram ct alternam, eodem sim' ω- p. m 'us,quo in rae tune: s,uimιrum alteram pro aggregato, aheram pro differentia cassum. 6. Tertio disserenitalia semibasiis vera data , subductus eae somma disserentialium semiaggregaso ct somadisserentis crurum,relinquit differentialam semibasis alterna. Huius ratio fundamentalis est.quod ut tangens semibasis verae se habet ad tangentem 1emi aggregati clusum, Ha tangens semidifferentiae crurum se habeat ad tangentem semibalis alternae. Ta. gentium enim logarithmi sunt suorum at-cuum differentiales perscct. 12.& 23. cap. 3. lib. I. Unde hac
tangen rium analogiam sequetur illa suorum logarithmo rum, seu disterentialium aeqoal HaSper plop. . .cap. 2. lib. I. Ve- iam quia huius analogiae lai gentium fundamentalis, hactenus ignotae, lemo ii strationem a me forte requirent Lcctores, eam ideo ,quantum huius compendii breuitas patitur, hic explicabimus.
uicem taogant in communi puncto A , a quo per Sphaerae centrum is erigatur recta A S P lecans supremum Sphaerae Hemisphaerium in puncto P.eiitque ita A is P perpendicularis plano H I K deinde angulo A describatur in Sphaerae superlicie trikngulus' Aλγ in γ acurum, aut A λ μ in ιδ obiatulum,& protractis semicirculis A λ P,& A ω P, seu A β P,
polo λ, intei uallo λ γ, lea ei aequali λβ ducat ar circulus ε',3 γ, secans λ P in ι, & λ A in Q dc Α ον in punctis β dc ν Expuncto λ in arcum A β γ dimittatur perpendicularis arcus Eruat itaque hic A λ crus maius, λ γ vel λ με cius m nus,Aω &A a bales .alrera vera, reliqua a cerna, A ri diffoentia crurum.& A aggregatum crurum , quia λ ε, & ν δ ex constructione sunt aequalia minori crura η γ seu Ag, His pc ractis.&supposito P vicem gerere oculi aut lucidi cuiuspiam , ab
eodem P in subiectum planum HI Κ Q dim ttantur , radius Pa secans planum in C,& radius P β secans planum in b:&
58쪽
que p A L.& P A e. sunt in A rectae gula, atque ideo titiam Α δε st tangens anguli A. P ri, seu A P. d , di A e est tangens anguli A P , vel A P e sic etiιm A bcst tangens anguli A Ph vel A P b,& A c est tangens anguli A P ν vel A P e, posito gnomon2 leusinu toto P A.& quia A d est tangens anguli A PH. , de A P. , est dimidium anguli A Θ cl per ro. prop. 3. Eucl. quod hic sit illcentro,ille in circumferentia in ideo Ad est tangens dimidii 4nguli A SOeu quod idem est θ dimidi j arcus A quod est te,
millisterentia crurum Similitet qnia A e cst tangens anguli A P. angulus autem A P in circumferentia sit dimidium a iguli Α S in centro, ideo A e cst tangens dimidij A S , seu dimidii arcus,A . quod est simi aggregatum crurum. Simili modo ita basibus vera & alterna erit A b tangens anguli A Pιε, seu dimiα
dij anguli A Og, seu dimidi jaicus Αμ, quod est altera se b- isis: atque A e erit tanges anguli A P γ, seu dimidit anguli A s in Q seu dimidi j arcus Ase,quod est reliqu semibasis Qui inque lam i .
ostensum si quod A b fit tangens alterius simi hasis.& Λ clanm ., gens reliquae semibasis, atque A diit tangetis semidi ii tentia
CruIum,dc A e tangens semi aggregati cruiu. Dico qund ut A , tangens semibasis verae se habet ad a e tangentem semias stingati crurum, ita A d tangens semidifferentiae cturum ad A e ta gentem se basis alternae luci contra ex alterna veram sati nado,ut A c tangens semibalis verae se habeat ad A e tat geniciri semi aggregati crurum: Ita Ad tangens semidifferentiae crurum
ad A b tati gentem semibasis alternae. Quod scpioso.Si bc de sint in eodem circulo,erit spee 3 D pro p., ct D .pr cita Euclid. ut A b ad A e Iia A d ad A c. & contra. &e ut jam diaximus.Verum puncta b c de cadunt in eodem cuculo a ossi suffenim circvli in superficiae Sphaerae descripti vhibra a lucido in eadem superficie quod non est in circuli periphetia procedens circulum facit pei lacte rotundum in plano ora hogono ad te actam,quae a lucido per centrum Sphaerae progreditur ut ex op ticis.&astrolabi j fabrica patet. At hic circulus in sphit superficie describitur,& lucidum P. est extra dirculi peris he riam, quaeque ab eo procedit recta p r currunt videlicet ps Α3 est ad planum orthogona. Nccessat d ergo enus circuli vinhfa, quae in puncta d. b.c.e.incidit,circularis est:& petfccte fUtundit.
59쪽
Ergo ut se habent 4.b ad A. e.Ita A.d.ad A.c. & contra, id ea, ut tangens semibasis verat ad tangensem semiaggr. gati ciuria, ita tangens semidisserenhiat crurum ad tangentem semibasis al- tetriae: Sc per consequens, differentialis semibasis verae, subductus ex summa differentialium semiaggregati, & iemi disterentiae crurum, aequatur diserentiali lemibasis alternae, quae demonstranda suscepimus. . V de trianguli Ipharici datis tribuι lateribis, habetur inplici modo angulorum qusuis. 3. Primm moduι est,ut laesus quodvis praeipue quadranti Proximum inna basi statuas. Inde semidisseremiam erurum,' ad semibasim addas,ct a semibasi subirabM: producti ct residus Luarithmos
addas, hinc anseras aggregatum ex Lotarithmis crurum, reliqua bipartiti Logarithmi arcum duplius, ct prouenies angulud verticaών,
Vt trianguli P Z S repetiti,dentur latera P Z 3 gr.& Z s gr.& S P 69 gr. Quaerantur anguli, primoque quadranti proximus P Z S angulus, quam S P 69 l tus scilicet quadranti proximum γsubtendit. Hoc itaque S P 69pto ra basi statuatur. Inde semidisterentiam crurum PT,& Z S, videlicet s6. o. Et adde ad semibasim 34. 35. fientque Ar aggregatum e dc substrahe ab ea, fientque 28. residuum. Logarithmos graduum 41 scilicet aa I o 6, dc gladi um 28, scilicet si si adde fient II 776sI6.Similiter crurum P.Z.34, α Z S. - . Logarithmos s8I 26o6 , & 3 i 28 1 8o adde, fientque 894iIS6. quibus ex III 6 i 6 ablatis, fient 28 333so: cuius dimidio togarulim. i i 7663.res pondentem arcum, videlicet 6o. I x 2 et ait plica,proueniciat 12O.24 49. angulus verticalis P.Z. S. quaeli us. Nec secus angulos reliquos, s libet, inuenire poteris: facilius tamen per s. cap l. huius Innotescent,quIa peL 2.sent r. cap 3 lunt ceriae speciei.
60쪽
ct hinc auferas aggregatum eae luartihmis erarum, reliqui biparati Antilogamhmr arcum duplices, proueniet inde angulus verticalis:
Vt eiusdem trianguli P.Z. S. constituti ut in praemissa semibasim 3 .3, & ad semiaggresatum crurum 4 .so .adde,fient que s S ab eodem substrahe,nentque si,quorum & 6 gra duum losarii h.3 6683,& 22 3 assi adde, fientque 2 29 296 4. Hinc aufer aggregatum ex togarithmis crurum quod ut supra est 89 Ii 86 , fientque 339884 8. Quae bipartire, fient inde
699 22 antilogarithmus conueniens arcui go. II. 2 T. Cuius
duplum i 2 o. 14. z. est ut supra quaestus angulus P TS verticalis .Caeteros licet etiam hoc modo,facilius tamen Per s.cap. . huius inuenies angulos. Sunt enim per 2.sent.cap.3.noti speciei. o. Tertius modus est,ut latere quovis pra basipolito,ὰ fera :laum semi-VEregati crurum asia Locrentiatim sima disserentia strurum adda/,or a producto auferas disperentiatimsemi- basis vera,st ρυ--niet inde differentialis semibasis altornat quarem semibasium flummascasus maior, Uberentia caseus minor, duo distinguantes rectaV-ι. , Ma orsuvi,ct Vsius oblati trianguli partes omnes per nonam μ'
4. ct octauam cap. s. bisius notas reddunt.
Vt propoliti trianguli P. Z. S. datis lateribus ut supra, quaeratur ang ali apud balim Z PS.&ZS P. Semi- aggregatum crurum P Z.& Z S. est 4o. 36. Semidifferentia crurum est 6. 39. Illius differenti lis est is 7196, huius vero est 2I72Iaos. Quos adde,fient 23 2983o3. Hinc auset semibasis verae 3 . sol differentialem 373olao,remanent i si 8383,differentialis 3.1. 3ζ. pro semibasi alterna. 4,-- adde ergo semibases 3 .so.& 8.1.3 . . fient N se inde a. 31. 3 I. pro maiore casu M S. M ς substrahe s . . relinquentur 26.1ώ. 29. pro minore casu P M. horum itaq;
casuum officio habes duo jam rectangula in M. scilicet P M Z, & S M Z: quae de perpendicularem Z M, & ansulos verticales P Z M, & S Z M, aut, si libet, ipsum P Z S.patefaciunt sper nonam cap. .& Dcta uana cap. s. huius.) Sed his omissis ad quaestos basis angulos ZΡ-Z S P,redeamus.Casus P M, a L iam acquisiti diL