Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae

23쪽

SERIERIM COXVERGENTIUM SUMMAS INV. 9

set I , 392 76 9. q. r. f. I . Proposita sit ilia haec series IH ἱ- - , ἰ --.' etc., cui VS silmma in infinitum desideretur. Si pri in decem termini initiales addantur habebituro,s 9 68. Pro reliqui Vcro erit a Y s, k- - Gib, etym

CUIUSQUE SERIEI

DATO TERMINO GENERALI.

f. I.

C in quae superiore dissei titione de summatione

serierum nacthodo geometraca exposui, diligentiu consider.issem, eandemque summandi rationem analytice inuesti assem ; perspexi, id, quod eo metrice licui, dedi ci si si e peculiari quadam stim mundi methodo, cuius iam ante triennium in Differ Tom. VIII. B tatio-

24쪽

1, INVENTI SUMMAE VIVSS E SERIEI

tatioiae de immatione serierum mentionem seceram; postmodiim vero de ea non ampliti cogitaueram. Vimigitti analyticae methodi penitius perscrutatuS, deprehendi non bilini formulam geometrice inuentam in ea con tineri; sed etiam eius ope adhuc hiribu terminis ad iiciendis magis perfici posse, ita ut tandem veram sum mam absollat exhibeat Geometralca autem via eOSdem termino iuuenire summe difficile videtur. g. 2. In illa autem dissertatione de summatione 2-rierum, si uerit terminus generalis cuiuspiam seriei a eiusque inde ii, uniuersali modo pro termino summatorio exhibui sequentem Ormam dn-- - prauo biiiiTH etc. e qua disserentialia ipsius , uni X per dari ponitur, a disterentialis dii, quod constan as sumitur, potestatibus, destruentur ita ut summa algebraica obtineatur, si quidem v d n integrationem admittat. In integratione vero ipsitis xd tanta adiici debet O stans, Vt tota Xpressio evanescat posito zz0. f. a. iii igitur hanc sormulam eiuSque sum ac ratius in ista dissertatione persequi constitui ante Omnia modum, quo eam sormulam sum consecutus Xponam: Singularis enim est analysis, qua in hac re sum suS, et compita a sitis praeclara in Analytica suppeditat, partim noua partim iam cognita, quae alitem nuSquam quantum recordor, satis euidenter sint demonstrata. f. . Ex natura calculi infinite si malis sequitur, si fuerit 3 quomodocunque per X et constante datum, atque loco ae ponatur indae tum abit tim in I - Τ.

25쪽

s iam porro X clemento X augeatur, vel x abeat inae se et dae tum loco trabebitur J - - 2 6- do. Atqties X densio elemento X crescat, I transibit in FH a 4 - ad FH-d J. Vbi coefficientes sinat idem qui in potestitibus binomii. Ex his sequitur si loco . ponaturae --wd tum y abire in ranc formam: --

f. s. Sit iam ad nostrum institutum m numerus i. sinite .lgnus, quo dae quantitatem finitam significare queat erit alor, quem J possit X--m X loco X h bebit, ster P-- T. etc. Si nunc fiat daem a se in B, induet), si pro Io natur X a, hanc trinam Cis, d is -- cic in qua Omnes termini sunt finitae magnitudi nis. f. . Hanc ipsi seriem, quae alorem ipsuis transmutatum exhibet, si loco . Ponatur X--a, pri mus produxit Cl. Tolor in Methodo Increm inu camque ad multos egregio Vsu accommodauit. Sequitur scili cet primum eleuati binomii ad quamcunque dignita tem Vt si quaeratur valor ipsiuS X--aj ponos xyn; eritque aeH-as valor ipsiuS F, si loco x ponatur X se a Cum igitur 1 Ο X' 'dX m a X

26쪽

1 INVERTI SUMMAE CUIUSQUE SERIEI

. . Hanc porro seriem Tay rus adhesibet ad radicem e quacula γ te aequatioue pro l me inueniendam, id quod hoc pacto perficit. Sit aequatio quaecunque incognitam et inuoluens, nempe o, bi Z cst quantitas e incognita et et cognitis Vtcunque composita. Deinde sumit X pro valore ipsi et prope aeqUali, et quantitatem ipsius , quae prodit si loco et Onatur ponit 3 ita Vt ore F o, si X esset verus ipsius

valor.

f. . At cum X a aer ipsius a Valore aliquan tum discrepet, ponit Verum ipsiuS alorem esse X - a. Quare perspicuum est si in I loco X ponatur X H G, tum euaniturum . At loco . si ponatur X-- tum.

rem ergo erit se H V 2- - Ι- , -- etc. X qua aequa

tione valor ipsius a rutus dabit complementum a ad Paddendum requisitum, quo obtineatur incognita αβ. . ilia autem X ad a prope accedere ponitur, erit a quantita value parua, ita prae duobu terminis initialibus sequentes omne evanescere queret. Hocque pacto oritur atque X- ,' quies valor ipsius et multo magis propinquit quam X tantum. Vt pro hac aequatione a - a et 'o erit m Xy- a - 2 et om a X -3 ideoque et x - '. Sumto nunc primo XII 3 erit et 'IL, hocque alore denuo pro X posito prOXime et indenietur.

f. IO. Si porro detur conditio quaecunque tinctionis F, quae certo ipsius X casu locum habeat, sormula superior

abibit

27쪽

abibit in acquuionem, in qua proprietas ipsius y conti nebitur. Vt ii lauiusmodi tuerit iunctu ipsius S eua

qua aequatione integrale ipsius ad per criem in sini- Lim Xhibetur. Atque haec est generali quadratura cur uarum, quam Ct IOB Bromulli in Act Lips tradiclit; analysin autem, qua ad Mac seriem peruenit non a iunXit. f. a 2. Missis autem his, quae ad nostrum institu-tUm minus pertinent, pergo ad scri es Sit igitur 4eries quae cuia lues AH L--C-D H-X; in qua A denotbit terminum primum secundiam ; et eum cuius inde cst v ita ut X sit terminus generatis seriei propositae Ponatur autem summa luius progressionis AH B--CH D HX erit Sterminus sumniatorius atque tam S quam , si series fuerit determinata, ex X et constantibu erunt composita.

q. ra. iii iam S exhibet summam tot terminorum seriei, quot sunt unitates in x si in S loco scribatur X-I, habebitur prior summa termino ultimo

28쪽

1 INVEXTIO SUMMAE VII OVE SERIEL

immini ita. Lic igitur substitutione abibit S in S X. Comparentur ergo haec cum sit periore firmula erit

Ex quo oritur ista aequatio iam ζ2-Iα - ποῦ ε

f. 1 . Ope huius ergo aequationi S c dato termino summatorio seriei cuiuSque inuenitur terminu generalis. Qito autem, cum alia sit ficillimum, ii perfluum foret hac methodo ad terminum generalem X summatorio inueniendum vii Id autem maXime commodi huic aequationi accidit, singuli termini sinteuoluti, eaque idcirco ad singulares sus possit accommodari. Methodo enim cognita haec series X , Hae C TIΠ H etc. potest falleri Vt e termino generati X determinetur summiatorius , quod ipsum maxime desideratin . f. s. Ponamu igitur a mαXH- - - etc. Qta sit UX X- gX-

q. s. Substituantur ergo sine serie loco cuiusque termini superioris ei iei; et termini similes inter se com parentur nihiloque aequales ponantur. Quo ficto coe scentes , C, etc. Ita determinabuntur, ut sit, tisequitur: α T

29쪽

ΕX DATO TERMINO GENERALI s

β. I . Oefficiente ergo α, g, P, etc. seriem constituunt huius indolis, ut quiSque terminus eX omnibus antecedentibus determinetur; Xistente termino primo I Num cri autem per quos singuli terminorum antecede otium diuidi debent, constituunt progressionem a Vassisa hypergeometricam dictam 2 6, 2 , et O , 2O, O O , etc. Ipsi autem serie cocissicientium , g, Vetc. ita est comparata, Vt i credam to ea term num generalem posse Xhiberi. f. 8. Pro instituto ergo nostro contenti esse debemus scriem coessicientium quousque libuerit continuasse, id quod e lege progressionis ficile perficito cit Inucia autem hanc seriem, i sequitura

30쪽

16 UVE TIO SUMMAE CUIUSQUE SERIEI

f. 19. Si ergo loco , C, Vetc. hi termini sub niti tantur; h: ibebitur terminus summatorius S JX dx

etc. f. et O. Series h te insignem habet sum in summis progressionum algebraicarum inueniendis, quarum in terminis generalibus X nusquam in denominatorem ingreditur. Quia enim hac ratione X bique habet M ponentes affirmativo integros eius differentialia tandem evanescent, atque series abrumpetur, unde ipse termi nus summatorius inito terminorum numero reperietur. In quo inueniendo statim omnes termini, qui X non continent reiici possunt, quia infXd tanta constitias addi debet, quae faciato fiat 'o possit X 9. f. 21. Qito su huiu formulae clarius percipiatur,eXernpla quaedam afferre conuenit. Sit ergo seu series summanda haec 1 - 2H3 prop

stuas, et propterea reiicitur, et sequentia differentialia sponte UaneScunt. Sit porro X X seu ista series X H 9 -- Γῆ summanda erit JXdae ideoque summa seriei f. a. Sit nunc haec serie generalis potestatum

numerorum naturalium proposita 1 - 2'-3 - Hue -- etc. culti terminus generali est ae Hab bitar

ergo XIIX' et j X dx -- Differentialix autem ita