Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae

31쪽

f. a. X hac igitur generali summatione seriei cuius terminus cnerali est V confici possunt summae specialium serierum poteitatum sequitur

32쪽

1 INVENTIO SUMMAE CVIVSQUE SERIEI

. a . Sin autem X non ubique habuerit Xponentesinfirmativos in termino generali seriei, tum quoque expressi summae infinitis conflat terminis; quia huiusmodi series generalem summationem non admittunt, sed quasque quadratura inuoluunt. Interim Dmen obseruaui ope huius me laodi iusmodi series iacile admodum proXime summari posse , quod insignem habet utilitatem in seriebUS , quae parum convergunt, et alias dissiculter summantur. Quod quomodo elsic endum sit, eXemplis docebo. q. s. Confidenabo igitur primum series harmonicas , et prae ceteri S Uidem hunc I - - ἔ- - etc. cuius terminus generali est fiammatorius vero , sit S, quaeritur. Est ergo et X dx Confl . - - IX. At Ue Porro is dis

33쪽

EX DATO TERJIIXO GENERALI as

i, ira etc. Vbi conflans addenda ita de bet esse comparata ut posito x o fiat 'o Ex hoc cro ob nanes termino infiitit magno conflans determinari non . potest. g. 26. Ad constistem vero determinandam alium casum a Tilmi oportet, quo summa scri ei est cognita; qui ergo habebitur, si certus terminorum num eiu in unam si immam colligatur Adduntur ergo Io termini initiale --.H-έ , reperieturque eorum sum ma 2, 9289682s 39682sa 9 cui aequalis esse debet summa eorundem terminorum e formula mem

'Pi35IS 555 etc. Qil flet reperietur propter lio

et, IozSSsO9299 O s 68 constans illa addita i ,s Iz1566 9OIsa 29 hacque semel determinata summa quotcunque terminorum huius seriei reperietur. f. et . Hac igitur ratione inuestigaui summam Io O,

34쪽

E INVENTIO SUMMAE VIVSQUE SERIEI

ergo serie admodum irregulati et ne convergenti qui dem inuenta est linama quam proXime Serici autem in infinitum continuatae silmma erit III -HO SIT 21566 9O133 29, quae Prodit posito XIT . f. 29. Progrediamur nunc ad hanc seriem 1 - ἱ- - ἱ--ν - , etc. considerandoim , in qua est X et fXdae Const. l et X-1 atque di dxj di - ,2 os etc. Hi igitur uentis erit seriei propositae summa S Const. G- l X- I)

f. O. Constan autem quantitas in hoc casse adhu addendis aliquot terminis non tam Xpedite potest de terminari quam in casu praecedenti. Hoc vero casu subsidium aliquod usu venit, quo haec constan e praecedente determinari potest. Scilicet seriei 1 - - ἔ- Z etc. in infitii tum continuatae summa est Const. - l . Subtrahatur ab huius seriei duplo prior series harmonica; abcbitur 1 - - - etc. uiri summa Vt

35쪽

, ει - - etc. Vbi constanti quantitas ex casu speciali debet determinari. f. a. Ipso ergo acta addidi decem terminos ni tiales seriei istius, quorum summam inueni I, s 9 6I xi 1663 o. Ad hanc ergo cum sit hoc casu

- etc. X hoc ergo prodit constans illa addenda: 1, 6 93 2608 8226 36 Huicque constanti aequalis ei seriei in uisimitum continuatae summa possit enim v cui sit L Const. evanescentibu Omnibus terminis. f. a. Simili iam odo pro serie reciproca cuborum T se φόν - - ου. - etc. si addantUr decem termini in i tiales habebitur eorum summa haec , I9 53 I98367 I93. Vnde inueni in constans, quae in summatione huius se rici addi debet: I, Oa Os69O3 IS959 . Atque huic

numero aequalis est seriei - - - - ό, - - in infinitum continuatae summa. Atque proii JUadrati TH-j,-μή, -- etc. et summa I, 82323233 IIO82Φ.

36쪽

EXTIO SUMMAE CUIUSQUE SERIEI

a . Consideremus nunc hac methodo seriem, qua area circuli, cuius diameter ei 'H-' - - - - etc. el --, etc. cuiu terminii generalis est vel resoluendo in factore T Ad summam ergo huius serie quam proxime inueniendsim est atque s X dae Const. - lim et

' .ae oa 'ἔ' iacti, ta 'in' etc. Haec vero series etiamsi decem termini addantur non sistis convergit, quo valor constantis commode possit exhiberi. Constans autem quater sumta exhibet peripheriam circuli existente diametro I.

37쪽

INVESTIGATIO

VARVM

ARCUS EIDEM ABSCISSAE

SUMMAM ALGKRRAICAM

'Roblema, cui is solutionem hac dissertatione exponere constitui, sequente continet conditiones. Requiruntur in eo . duae curuae algebraicae, quarum II. neutra sit rectificabilis, quae tamen ita debent esse comparatae, ut duo arcus III eidem abscisi e respondentes V summam constituant algebraicam. Harum quatuor conditionum quacunque misi i problema sit solutu admodum ficile, omnibu autem satisfacere maXime videtur dissicile. Prima quidem conditione omissa, si admittantur curvae transcendentes, reliquis cotiditionibus ficile satisfiet. Si secunda Omittatur, quaelibet duae curuae algebraicae et rectificabiles problemati siti, ficient. Tertia quidem neglecta dissicilior est solii tio, sed tamen e ii quae Celeb. Viri Hermanus et Bennullius de reductione quadraturarum ad rectificationes

38쪽

DE INVESTIGATIONE

curuarum algebraicarum dederunt, solutio facile deduci tur. Quarta autem conditio, si mittatur, ne quidem problema erit, cum omne curuae algebraicae non rectificabiles reliquis conditionibu satiSfficiant. f. et Ad generalem uin problematis solutionem utor formulis, quas citati Vir Celeb dec erunt pro cur uis vel rectificabilibus, vel quarum re stilicatio a data quadratura pendet. His enim firmulis effici potest, ut curvae in algebraicae, Ut sua non rccstificabi-l S, atque V arcuum summa sit rectificabilis Mon strabo vero etiam, quomodo abscissae aequales cddi possint. Quo saeto omnibus conditionibus erit sitissa elum, atque problema generaliter solutum. Tam latecnim istae sormulae patent, xi, nisi praeter neces statem resti istio adhibeatur, Omne omnino curua problemati satisfacientes Xhiberes debeant. f. I. Designatis igitur curuis quaesitis Ter lite

rasis et , erit ex illis formulis in Curva

His sormulis iam obturetur, quod alia muXimam Ia reret difficultatem Vt ambae curuae sint algebraicae,

si modo

39쪽

si modo P ponatur quantitas algebraica Deinde rect ficabile non erunt, si quantitate transcenden tes inuoluunt. Tertio arcuum summa erit rectificabilis si siuerit quantita algebraica, etiamsi et seorsim tale non sint. Cum autem his conditionibus fuerit satisfactum, abscissae inter se aequales sunt ficiendae. f. . Eificiamus primo abscissas inter se aequales

40쪽

α DE INVESTIGATIONE

q. s. Hac igitur nitione iam assecuti sumus valgia res algebraicos pro P et , quibus substitutis utriusque . curvae abscissae fiunt aequales. Praeterea curua ipsae erunt algebraicae, si modo , suerint tales. Sed quo arcuum summa fiat quoque algebraica, de qita determinari debent, sit quantita alge braica. Est vero Q -- ρα IR dP--fro RΡ--λ

G. Cum autem iam supra auentum sit Aet N, substituantur hi valores in aequatiorie P dRH pd d M. ii facto prodibit Nii RH- d M. iii a Verom est quantitas algebraica, oportet ut hic ipsius M valor possit integrari.

pro quantitate quaecunque algebraicae accipi poterunt. f. Sumtic igitur pro R, et u functionibus quibuscunque indeterminatae et dabitur quoque T in z I - ' d Rcum sit Atque e postrema aequa- I R' drtione reperietur quoque in Inuenta autem habebitur Ita ai H U--u Similique modo dabuntur