Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae

51쪽

Hinc fit quam proXime: B, b 24 29s a Vel Bb . , a 8 Aa Vel Bb -ο,6 3 Λ a. f. a. Sit nunc filum quotcunque ponduSculis one Figura viratum in punctis A, B, C, D etc. quorum Vltimum sit F ducantur per thaec singula puncta origon talas Aa, Bb, Cc, etc. et singulae fili parte utrinque producantur ut ante fictum est. Consideretur corpus quodcunque C, quod duplici vi sillicitatur, vi propriae grauitati scilicet, et vi tendente fili portionem CD, tenditur vero hoc filum a vi, quae aequalis est summae omnium sequentium ponduSculorum D --E--F, xt in praecedentibus vidimus Propria vero corporis G grauita efiicit, ut corpus per c Vrgeatur vi - At vis tendens sitim CD , ei blilia retrahet corpus C a e

pus per C aequale esse debeat tempori, quo penduliam simplex longitudinis j descensum abibluit, erit - ρα

a sunt

52쪽

aM DE OSCILLATIONIBUS FILI FLEXILIs

sunt corpuscula. Ex quibus aequationibus situ corpus culorum determinabitur, qui pro numero eorum Variari poterit. f. a. Longitudo penduli sochroni 1 semper a qualis est stimae fili parti ad lineam verticalem O Vsque productae, nempe rectae T. Atque figura OAB etc. in descensu ita immutabitur Vt puncta P, Q, R maneant inuariata. Ex quo perspicitur distantias Aa, Bb, etc. in eadem ratione diminitum iri, id quod etiam ex hoc intelligitur, quod hae distantiae Aa, Bb, Cc etc. simul debeant confici atque similiter, quia vires acceleratrices his distantiis sunt proportionales. Praeterea ex his elucet, si figura fili su rit huiusmodi, ut alicubi transeat per lineam Verticalem ut in C, in oscillationibus huius fili punctum C perpetuo in eodem loco esse permansurum. Par igitur penduli CDE circa punctum fixum C scili

tione eodem tempore absolliet, quo totum pendullamo ABCDEF, simili modo intelligitur etiam supra

filum cum corpusculis continuari posse manente tem pore oscillationum. Ex parte ergo infima fili EF superiores partes omnes in infinitum VSque poterunt determinari, ut totum filum perpetuo in oscillando ad lineam verticalem eueniat. Figura s. q. I . sint nunc tam omnia corpuscula quam O-rum inter se interualla aequilia, erunt EF, DE CD etc. nec non es, de , cd etc. inter se aequalia. Ponatur

longitudo penduli simplicis sochroni T seu T ,

morum

55쪽

nebitur Bb-' 'si h - Γ 'si h' Quae est distantia quinti corpusculi a linea verticali. Hinc concluditur distantia corpusculi n--I indicis a linea ver

f. s. si interualla OA , AB, BC etc. fuerint infinite parua, ut tanquam elementa curvae ABCD etc. considerari queant, innotescet hinc natura huius lineae curuae, quae scillans tota eodem momento ad lineam verticalem pertingit Nam cum in quovis loco sit Vs

EU si s sumatur pro abscina et Co pro applicata erit C subtangen curuae in C, D --E HI erit pondus omnium pondusculorum , quibus pars fili infir C est ncrata, es est elementum abscissile et D per differentiale secundi gradus applicatae dabitur. Symbola ergo loco horum substituta expriment naturam

curuae

56쪽

DE OSCILLAT IONIBUS FILI FLEXILu

curtiae quaesitae. Atque haec curua erit ipsa figura catenae oscillantis, quae in lineam rectam mutatur, quo ties ad lineam verticalem peruenit. At siue catena bique sit eiusdem crassitici, sint secus, elesinent curvae A, AB, B etc. nihilominus aequalia accipi possiliat, dum

modo ponduscula pro natura catenae recte assumantur. Sumtis antem elementi curvae aeqUalibUS, clementa abscissia quoque erunt aequalia, atqlle Dr erit dissere

tiale secundi gradiis applicatae. Figura . . is. Sit igitur Mi catena seu unis utcunque crassus ex o suspensuS, atque talem siguram habens OV B, ut figuram rectilineam O induat cum in situm verticalem cruenerit. EXprima curua crassitici fiunt in sing ilis punctis, ita ut pondus portionis LM exponatur area ΛΡ D, et pondu elementi m areola Ppq Nunc ad naturam curvae M inueniendam ponatur I t pM et APIT X atque p,

tur unis ' erit I fp X, quod respondet in superiori aequatione ipsi D -E-- F), atque quod ibi erat chic nobis erit dae, Vel di si ab incomputamus. Cover erit , et di subtangen PT atque

od di Posito autem element di constante huius respectu, quia a crescit, erit min si periore casu II dy.

substitutis prodibit ista eouatio es ris re pd , quae loco di posito det abit in hanc do DdX-p xo, bi I denotat subtangentem AF in in simo

57쪽

simo catenae meto Quare si fit x o debebit esse - - , id quod aequatio iam indicat, dacto inimspitae o si v - o.

f. II. Ad laan aequationem ad differentialem primi gradu reducendam pono me H, erit Hesia Edae ef da xes et dae ) Xistente e numero, cui u log est a. His substitutis prodit fiet et det pdae et da sp χ-pet X, quae posito z I transit in hanc du- quae si construi po- terit, simul laabebitur curua quaesita. At per series commodius definietur ex data abscissa et applicata . Hac quidem aequatione magnitudo ipsius applicatae non determi iratur sed applicatarum inter se relationes. Qitare si curua suerit constructa pro finito ipsius a valore, postea applicata n eadem ratione in infinitum diminuantur, quo prodeat curua quasisIta. g. 8. Si catena ubique ierit eiusdem crassitiei ita ut sit quantitas constans habebitur pro curuatura huius catenae quaesita haec aequati ddy

EXd , seu DdX - . . Vnde sequens elegan hu- tu curvae proprietas consequitur aream AP m aequarisacto ex constante AF et portione Ni quam tangens T M ad AB producta et verticalis N N abscindunt, seudit semper proportionas est areae APMB. Facta vero in hac aequatione substitutione 3 ei φή prodibit t

Tom. VIII. F admit

58쪽

DE OSCILLATIONIBUS ID FLEXILIs

Omnia, quae do curua quaesita requiri possunt, inuensere licet. F. 9. X aequatione pro curua inuenta apparet facta X negatiua curvam infra B in infinitum quoque progredi, quae autem par ad catenam repraesentandam est inepta Radius osculi vero curua in est ob elementum curvae aequale elemento abscissie, est ve-

Quare ubi haec series in denominatore sit, o fit θα G, ibique curua habebit punctum eXus contrarii. g. 2O Tota autem curua pars supra , quae in infinitum ascendit, ad catenam repraesentandam erit a commodata quare inuestigari conuenit figuram portionis curua supra B Et quidem si et Iseu APII AFfiet Frao, 23892iet, si x 21 si am O, I9 Sue acutua ergo in hac altitudine in alteram partem rectaeo vergit. Loca in quibus curua per verticalem Atransit inueniri debeut ex hac aequatione I , TU P ---ζte, Hae dabit infinitos valo res loco X, seu pro distantii intersectio uim curiane it

viaticalis ab ina puncto nimae autem interluctio

59쪽

nisi inuenitti distantia OA 1 f. ita ut oipsuis A sit feres dimidium. Reliqua puncta intersectionum magis distant. Simili modo curua in infinitis

punctis habebit tangentem verticalem, atque tiam ii finita puncta flexus contrarii Figuram curvae exhibui in g. . in qua tria intersectionum puncta G, O, O Figdi' τrepraesentantur. f. II. Consderemus etiam catena non aequaliter crassis, quarum tamen figura facilius possit determina .ri Ad hoc igitur ponamus μαχ' et D dX --, ex quibus conficitur haec aequati H O, quae reductione in . a adhibita transiit in hanc x dae- - --du nes 1 u X ' 'dae. Maec Vero aequatio, quia conuenit cum ea, quam Com. Riccati proposuit, separationem admittit quoties in est numerus integer impar, siue inmativus siue negativu8. Sit zn -I, seu Ata A, ita ut crastities catenae sit reciproce tua di quadrata e longitudine catenae a puncto insimo B sumta aequatio differentio-differentialis adeo integratio nem admittet, erit nimirum T H-2Xddy--daeomo, quae in o ducta et integrata dat '--xd,

60쪽

DE OSCILLATIONIBUS FILI FLEXILIs

g. r. In hac igitur curuatur puncta , Ο, Ο, etc. 1 quibus curua Verticalem Ao secat, laabentur ponendo O Posita autem ratione diametri ad peripheriam 1: r, erit id di x posito I terminu ex hac serie , , etc. horum enim arcuum Osi1-nus sunt Io. Quare erit AG terminus quilibet ex

hac serie , T P , etc. Inter quoSuis binos nodos applicata maXima est a ubi etiam an gens es verticalis. Facto autem erit si , terminus X hac serie , π, Π, π, P, etc. Distantiae ergo horum punctorum ab infimo A constituent hanc

seriem etc. bi termini primo, . tertio, quinto etc. respondet: - a reliqui Syma. Puncta flexus contrarii huius curuae habebuntur ficiendo do o.

puncta flexus contrarii ibi emni, Vbi est dis Via, iseu ubi est Ad ea igitur inuenienda quaerantur arcus, qui aequales sint suis colangent hus sint hae colangentes erit My t seu f., Hoc vero cum infinitis casibus accidere possit, prodibunt infinita puncta eXus contrarii. f. a. Qtiicunque autem uerit numerus 'aequa