Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae

41쪽

BINARUM CURIORUM P. et

buntur per et X aequationibus P -2M-- metp ai. Denique habebitur RP-rp- M. f. . His igitur determinationibus consecuti sumus primo ut curum una A et B abscissi sua aequales se cundo ut utraque curua sit algebraica, et tertio xt arcuum si imma sit rectificabilis Q lare ideamuS, an quoque conditioni reliquae, qua traque curua per se debet esse irrectificabilis, si siti si ictum. Hoc quidem iam fictum esse videtur, cum nuSquam neques neque seorsim integrabiles secerimus. Attamen ne sorte algebraici valore pro Q et 7 proueniant, cauendum an tum est fiat integrabile. Nam cum sit dρ ν erils p in F ARU R -M- f. . ilo autem appareat, quomodo uitari possit integrabilitas ipsius problema etiam quinta ad tecta conditione soluam , qua postuletur ut curua traque non solum sit irrectificabilis, sed etiam ut triuSque recti sicatio a data pendeat quadratura , puta a jZda. Ad

hoc igitur essiciendum debebit; rada reduci.

S, quae ergo quantitas ex solis est com- α posita.

42쪽

jud S. Fuit igitur sud S 1 det, unde reperitur um Hoc igithi pro et Ialore accepto, triUSlle cur ita inuentae rectificatis quadratura Zda pendebit. Erit enim I lan cuia Deinde cum eadem quaciratura infinitis modi possit exhiberi, non solum per arbitrarios ipsarum alores varietas infinita obtinetur, sed etia in per innumero ipsiu u a lores; quibus tamen omnibu eicitur, ut curuarum tinuentarum omnium re stificatio a quadratura proposita j d pendeat. f. II. Hac igitur ratione innumerabilibus modissolui problema non solum , ut initio proposueram, sed adiecta insuper conditione pendentiae re et sicationi cur uarum inueniendarum a data quadratura. Problcma igitur adtenus solutum ita est proponendum. Duas in Auenire curua algebraicaS, quarum triuSque rect ficatio data pendeat quadratura, duorum autem arcuum eidem abscissae respondentium summa sit recti sicabilis. f. a. Ipsi autem curua quaesitae determinabuntur ex a Tinatis pro hieris et aloribu algebraici, atque ex propositam quadraturam introducente. Ex his enim reperiuntur et , quibus inuentis erit curvae A abscisia

terius vero curvaei abscissi quae aequa

43쪽

Iis erit illius abicissae; at applicata erit IsArcus autem curua Λ Xprimetur formula altyr d P, et curvae B arcus eidem absci iste respondenserit f - - si p. cndebit autem tam IR dΡquam ajZdet nihilo tamen minus sRdP--yx algebraice poterit Xhiberi. f. a. Denique ex ipsi sollitione sitis intelligitur me non monente eadem opera solui posse problema, si non arcuum summa, sed differentia eortim debeat esse algebraica, vel etiam summa seu differentia quorum cunque multiplorum horum arcuum utramobrem supersi lum Oret, o, quoque casti, attingere. Ad institutum quidem plenita persequendum requireretur, texempla quaedam euoliuerentur, sed cum ad prolixissimos calculos esset perueniendum, ea potius mitto, aliisque inuestiganda relinquo.

44쪽

OSCILLATIONIBUS

FILI FLEXILIS N TCUNQUE PONDVSCVLIS

ONUSTI . AUCTORE

g. T. Tibi ii iii uram ante compitires annos, cum Cl. Bernoulilius hic commoraretur, quaestio inter nos incidebat, de cur' Uatura catenae circa alterum terminum scium oscit lantis. Experientia autem nos docebat curua maXime irregulares easque diuersissima satiSfacere, e quo problema non solum dissicillimum, sed etiam vires humanas, nisi restrictio adlat beatur, exsuperans iudicauimus Hanc ob rem nostras cogitationes ad oscillationes infinit pa ua tantum aduertimus, it casu blutionem multo mi nus laboris requirere facile praeuideramus Neque Vero his infinite parua oscillationes omnes persequi ido neum visum est , sed ea duntaXat . in quibus singulae catenae partes simul ad lineam verticalem tanquam ad statum naturalem perueniunt Obseruauimus enim saeptu accidere, Ut catena oscillans nunquam tota in di rectum AEX tendatur neque eius Tartes omnec simul per lineam verticalem transeant ficile autem praeuide' bamus oscillationes initio ita temperari posse, singulae partes simul ad lineam verticalem sint peruentu

rae. Ex quibus sequens Ormavimus problema Inue'

. . nire

45쪽

nire crumturam catenae ita oscillantis, ut eius singulae par te simul ad lineam Verticalem perueniant, atque Oi gitudinem penduli simplicis eodem lcmpore sitas oscillationes abibluentis. q. a. Ad hoc autem problema soluendum catena consideranda est tanquam silum persccte flexile et grauitati, X perS, infinitis ponduSculi oneratum. Ociem enim modo catena considerari solet, quando catenae in troque termino suspens te figura seu curva catenaria inquiritur. Quo igitur ad solutionem huius problematis via debito modo flernatur filiam exile et grauitati e per est considerandum, quod primum nico tum duobus, deincep tribuS, quatuor, etc. ponduscuhs sit Oneratum, quo e his conchisio ad casum infinitorum pondusculorum fieri queat. Hinc sequentes natae sunt quaestiones praeliminares si filum persecte flexile duo bu, tribus, et deinde quotcunque pondusculis in datis distantiis a se inuicem dispositis, fuerit Oneratum, inUC-nire positionem pondusculi,rum Xtra statum naturalem

ut singula sibi permissi ad lineam verticalem seu in statum naturalem simul perueniant atque hoc inuento determinare longitudinem penduli simplicis sochroni. In his vero semper oscillationes infinitae paruae tantum considera n ir, quippe quae omnes, ut patebit, inter se sunt sochronae quam obi cm ilia pondusculorum positio infinite parum a linea verticali discrepabit. f. I. Atque hac sunt quaestit aes, quas cl. Ber mallia ante abitum obitas dedit sine demonstrationibus,

46쪽

ses DE OSCILLATIONIBUS FILI FLEXILIs

nunc veri simili demonstratas litici misit. tum vero iam illo tempore hae quaestione. Illum inter eiusque Patrem et me agitarentur. ipse quoque earum Ohltiones dedi cum hisce Bernouli, sollationibus egregie conspirantes At cum nunc perspicium eiu methodum ramea prorsus differentem, ad augmentum scientiae non parum utile ore iudicaui, si et meam methodum hac dissertatione Xposuero. Cum enim huiuS modi quae stione sint nouae et ad mechanicae partem adhuc mo Uam, et a nemine pertractatam pertineant, nihil magis ad Xcolendam hanc Mechanicae partem est χXoptandum, quam hire methodi, quibus idem problema soliti queat. Figura . . . Quo igitur a simplicissimis exordiar, sit filum grauitatis Xper o Vnico pondusculo A onera tum , quod cum linea verticali a angulum infinite paruum Ao constituat Hoc igitur pendultim Tibi permisssim oscillationes faciet eundo in situm Oa, tantum que ultra illum transitendo. mota nobis aerit pendulilmsimplex, cum quo sequentia pendula composita comparabimus Dum ver, hoc pendulum mi mouetur corpori describenda est via Aa, reipsi quidem arcus circularis centro descriptus, sed 'ui cum horizontali Aa propter anguliun Oa infinite paruum congruet Inuestigandum ergo est, quanta vi acceleratrice

corpus A per a propellatur Corpus vero A vi grauitati S, quae aequalis est ponderi corporis A. deorsum secundum directionem Amtrahitura haec ergo vis si resoluatur in dua laterale Am, et 'm, altera in dire'ctione

47쪽

tione Λm tota ad tendendium filum insumetiar, altera vero in directionem corpus per Aa urgebit. At ob tit angi ita Aa, Mi silmilia trici vis filum Aotendens A, et vi corpus per A trahens

vis vero accelerans habebitur, diuisa abistula I per massiim mouendam, Vnde i accelerans est A. Perspicitur ex hoc si spatium percurrendum Aadiuidatur per vim accelerantem, prodituram esse longitudinem penduli O, istichroni cum motu Cr a. Qitare si in sequentibus casibus determinauerimus vim acceleratricem, qua quodque corpus ad verticulam bl-licitatur, habebimus simul longitudinem penduli simpli cis tib chroni. Atque cum in casia phiritim corporum, singula simul peruenire debeant ad verticalem, cuiuS-que Vis acceleratri proportionalis esse debet distantiae a linea Crticali Oa, ex quo positio corporum determinabitur. f. s. Sint filo Λ in o fixo duo anneX Figura . ponduscula A et B, et situs fili in sinite parum a erticali ob differens. Demittantur e A et B in ve ticalem ob perpendicula Aa, Bb, quae V Viae con siderari potcrunt a corpusculis abibluendae. Fili pars B producatur Usque ad lineam verticalem et O in usque E praecedentibus iam liquet vim grauitatis corporis B duplicem Xerere effectum, alterum

48쪽

σέ DE OSCILLATIONIBUS FILI FLEYILIs

corpus A afficietur secundum directionem AB ad ci ius effectum inueniendum aesolu itur ae in duas, alteram in directione Ap ta a B, quae filum A tendit: alteram in directione origontali, quae erit atque pro negativa est habenda, quia motum per A a retar dat Atque in hoc consistit effectus ponderis B. Pondus A vero ut ante urgebit per a V P, et silum A tendet vi I A. Sollicitabitur ergo corpus vi acceleratrice n-XAh, et corpus B L acceleratrice: Quo igitur corpora A et B simul ad lineam verticalem perueniant, hae vire acceleratrices proportionales esses debebunt vito describendis scilicetn Aa Bb. Et longitudo Tenduli cisochroni erit BP A BM EX p f. . Est ero P l P propter ang. HB, ins-nite paruum, atque ob b Aa: ab zB, b erit BP mn d. Atque cum sit p erit B p Bb Deinde propter Azzo et AB ab habebitur haec analogia A. Aa ob B. b. a --B Aa. Ob A. Aia . a Bb Aa: Bb Sit longitudo penduli sochronicitas habebuntur hae duae aequatio-

habeat radices, duplicem dabit situm pondusculorum et ,

49쪽

ci , in quonam viroqile simul ad verticulem perti gunt. Motu Vero erit uiiuSmodi, ut inter mouendum ΟΛ et A maneant eiusdem longitudinis et punctum in eodem loco restet.

f. . Si fili partes AB fuerint inter se

q. . Si praeterea ponduscula A et B suerint inter se aequalia, erit Bb Aa et wzza Aa Bb.

atque Ia I -Y2. Alier ergo sit A et B in eandem partem verticalis ob cadunt, altero in diuersias. f. s. Sint nunc silo in o fixo tria ponduscula, Fim 3. Λ, B et C annexa infinite parum a vertical o dissita. Diicantur origora tales Aa, Bb, Cc, seu Viae a corporibus simul describendae; et producantur Ain P CB in d; item A in AB in . His positis pondus C essiciet, ut partim corpus C secundum Coorgea tur xi partim vero filum BC tendatur vi II J C. Hac autem vi corpus B sollicitabitur in

directione C. Resoluatur haec vis in duas, quarum altera est origon talis et corpus B a verticali coe trahat se altero vero tendat filiami quae est e in C. Nunc sumatur pondus , quo partim

50쪽

1 7 DE OSCILLATIONIBUS FILI FLEXILIS

ditii filii in B vi B. Tota ergo i qtici filum BAtenditur est B-DC, hac vi corpus A sollicitabitur horiZontaliter a verticali ι v - N. atque filum o tendetur B- C. Pondus de ni quo Messiciet ut corpus A secundum A a Ullicitetur vi 2 6 P, simulque tendatur filiamin vi IIA ita ut tota vis, quae filum o tenditur, sit II AH B

f. o. His igitur colligendis corpus C per Cp, gebitur at corpus B peris urgebitur vi ip --A . , atque OIPUS A per A et trahetur a. Cum igitur singula corpora limul ad lineam verticalem peruenire debeant, si ponatur longitudo penduli sochroni erit seus' 'Q. atque

bus tribus aequationibu dat situ corpuSculi , deter minabitur situs pondusculorum B et C quo Omnia tria corpora simul ad verticalen perueniant. Prodibit autem triplex situs propter aeqUationem cubicam resoluendam. Notos vero ad verticalem ita et xl fila OA Λ et B eandem seruent longitudinem et puncta Tet Q invariata maneant.

f. r. Si et corpora A, B et C suerint inter se aequalia et distantiae aequales, erit Ob c d AI IS, b P JE . et ρ Cc aB bH Aa et BI, Bb