장음표시 사용
211쪽
s et , sed praeterea a quibusciliaque integrationibus quin etiam a constri ustione aequvionuna quarumcunque disserentialium pendet, ad valorem plius 'inveniendum reduci posse. Tantum autem peculiari modo est opus si in Q differentialia secundi altiorumve graduum contineantur, pro quibus casibus Plura quam tria elementa .r . . , considerari debent. Contineat igitur Q in s f prae Fiιur, a ter X, I et , eorumque differentialia etiam dissirentialia secundi gradus in se, ita V posito G p rdae futurum sit Q Lia SH-Mθ-HNdv--V -wa r. EX qua expressione ut alor ipsius P eruatur, necesse est quinque elementa ab c defconssiderare, quorum quidem duo dui taxat puncta AE in loca proxima V et oransserantur. Hac igitur translatione per differentiationem O praesentata etds Oo odae III O
ds -dq. V --dq.dδ, reliqua evanescunt. Quocirca si valor clementis ab odes respondens disserentietur, et Ioco differentialium valore assignati stibstituantur, prodibit differentia inter illum vatorem et eundem elementis ab νδ es respondentem. f. IO.
212쪽
f. o. Quo jgitii hanc differentiam pro valore qui ex j d oritur et elementis abcdo respondet, inueniamus, differentiare oportet hanc formulam Ndae
.χ-- dx-- bX- d secundum regulam datam prodibitque
213쪽
diuersum ab eo, quem pro prima classe eiusdem sormulae sint respondentem inuenimus . a. Atque generalius etiam valet pro Omnibus sequentibus classibus, si in f da , d pendeat quomodocunque ab X, eorumque disserentialibus tam primi gnidus quam secundi, non ero abis perpetuo ipsi eandem formulam P
d Vae -- Midae respondere, X hacquc omnes Omnino
quaestiones posse resolui. Similiter etiam colligere licet, si Q praeter X, et eorum differentialia tum primi tum secundi gradus quoque differentialia tertii et at tiorum graduum inuoluat, eundem valorem pro P inuentum Omnibus classibus inseruire Scilicet si ponaturo pdae , p rdX, ' IdX, im udae etc. ueritqued Z NdXH-M H Udp-- dr--Xdt--Yd etc
tum ipsi fini respondebit sequens valor ipsius P in
habet in omnibus classibus. q. a. Ad sum huius formulae monstrandum qua renda sit inter omnes Omnino curuas ea, in qua j is, sit maximum vel minimum. Ponatur ergo P pdae,
rdae, dr idae, quibus substitutis debebit ista sormulas: esse maximum Vel minimum. Fiet igitur atque i zz-i 'l' , quare erit 'O,M o, Vm-y, W M, etc. Hinc prodit valor psitus ad qui posito aequalis nihilo eo integratus dat dae'-dd X et Adae Substitutis autem loco V et X valoribus inuentis prodibit - Tom. VIII. Aa ta
214쪽
1 86 INVENTIO CURVARVM MAXIMI MINIM.
B o et mutata constante erit X seu τα si,
atque γ' , is , e qua sit Imb P, quae est pro hyperbola intra symtotos Posito ero fit m et E p ei. Vnde oritur amat'. et X al quae est pro curua togarithmica.
f. a. In brmula autem genera I fQd si in Q
ingrediatur vel arcus S vel alia quantita integralis vis Rdae, tum valor ipsini P magis erit compositus pro quaestionibus fecundae quam primae classis, accedente scilicet quantitate Xponentiali Pro sequentibus autem classibus valor ipsius P nequidem exhiberi potest, sed tum in solutione problematum, in quibus huiusmodi sormulae occurrimi, ad modum confiugiendum est quem in praecedente dissertatione exposui. Interim tamen haec regula semper potest magna cum utilitate adhiberi. Sid pendeat ab scita V in eius disserentiali insit term nus L df, et in quaestionibus secundae sequentiumue clatasium una conditio sit V omnes curuae sint aeque longae, i. e. Ἱd fuerit ira proprietatum, quae vel omnibus curuis communis Vel in quaesita maximum minimumue
215쪽
ere debeat, tum tuto sitirpari poterit valor ipsius 'ad p m .im classem pertinetas. Simili modo etiam si ins dae ei adeat Q ab alia quantitate litegrallotyRd V, tum quoque valor ipsius P ad primam classem et tinens potest usurpari si quidem sic far etiam inter proprietates, quae omnibus curui commune esse debent, reperiatur. Hoc itaque artificio quaestiones alias dissicillimae solutu admodum facile redduntur.
q. a . Qilo autem, si Q injQd contineat in
se vel arcum S Vel aliam quantitatem integralam, tum valor ipsius P pro classe secundi magis fiat compositus, quam pro prima, atque in sequentibus classibus plane non exhiberi queat, nisi vel f vel aliae omne quan titates integrales, quae in Q continentur, simul inter quantitates propositas reperiantur, quae omnibu iis curuis communes esse debent, ex quibus quaesita debet determinari, eius dissicultatis ratio in hoc consistit; quod translato b in g, haec mutatio non tantum Xpressio Tabula IXnem ad elementa ab pertinentem assiciat et immutet, /sμ
sed insuper ipsimos dae alorem, qui omnibus sequentibus elementis post o competit, assiciat atque immutet quemadmodum si re ipsa ad sequentia elementa hunc ipsius s. valorem applicemus, statim hicebit. Sed si in f dae tantum ab X et I horumque disserentia- Iibu, cuiusque ordinis pendeat, tum hoc incommodum iocum non habet, sed quomodocunque punctum boarietur, tamen haec variatio in sequentia post o elementa nulliam omnino habet influxum, uti ex allatis facile intelligitur. Aa a .ras.
216쪽
z.- η' . s. Si inter Irines curua puncta o et cim , gentes ea debeat determinari, in qua Ormula d neque abis neque alia quantitate integrali pendeat, debeat esse maximum vel minimum, tum curua et utique hanc habebit proprietatem, si eius quaeui portio a eadem praerogativa gaudeat. At si Q pendeat vel a s vel ab alia quantitate integrali, tum curua et habere poterit f dx maximum vel minimum, etiamsi eius nulla portio hac praerogativa gaudeat, cum translato b in tota curuae portio et alium induat valorem eis dae, qui valor Brte maior vel minor esse potest, etiamsi
valor elementis ab competens non sit maXimus vel minimus. ita mobrem si quaeratur inter Omnes curuas puncta definita o et a iungentes ea, in qua Q d in- uolitente Q. Vel f vel alia quantitatem integralem, debeat esse maximum minimumve, tum positio elementorum ab non ex eo debet determinari, quo valor j d ad ea applicatus fiat maximus minimusve, sed potius illa positio est quaerenda, quae pro omnibus4 quentibus elementis deis etc. atque de pro tota portione a generet maXimum minimum Ialorem
f. 6. Haec autem determinatio positionis clementorum ab sequenti modo debet institui. Translato
in g essici debet, D eadem quantita j X tam in
Valore culuae abc et et curuae ago et respondentes,
217쪽
L; quare si punctum et in incideret haberetur pra
beretur dXdq.bg L-- L hi et aesponderet abscissile AC sedae , Sumto autem in ipso puncto et, et posito abscissi interuallo CZ indae erit terminus adiiciendus et respondens abscissae et 'o CH-ndae iste daedρ,
numerus infinitus, erit iste terminus -- dxdq.b g n L
q. I . Cum autem distantia g. st data ideoque
218쪽
Ilanc ob rem abcbitur pro curua quaesita ista aequatio -d V DdX Lq My Adq-dqfLdae. Atque valor ipsius P tam pro quaestionibus primae classis quam sequentium erit semper idem scilicet Ρ --dV- dx Lq--M)-dqs L dx ubi jLdae ita lonitur esses integratum, Uanescat Pinto puncto indefinito a in puncto Xo et seu posito x M. SI illi quoque modo erit progrediendum si da alia quantitate integrali pendeat.