Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae

181쪽

SERIES SVMMANDI ULTERIVS PROMOTA. 1 sue

hic Ruilibet mimerus est multiplum suprastripti cum

f. Ex his ergo colligitor seriei propositae

a se Const.

182쪽

U Cotist quae ita debet esse comparata ut posito a mafi: it summa Anq. Si ponatur abibit series in pure algebraicam, in qua signa terminorum alter nantur hincque eadem formula ponendo I loco ', resultat, quam pro eodem casu iis supra . . inueni mus Seriei vero in infinitum excurrentii,

summa fiat quod quidem semper accideres solet per se, ita ut constante non sit opus, si quidem series convergit, summamque habet sinitam. f. s. X priore sormula pro huiusmodi seriebus ad arum usque terminum summandis intelligitur, si fuerit unctio algebraica talis ipsius X, ut tandem altiora eius differentialia evanestant, tum terminum summatorium reuera Xhiberi posse. Quamobrem si series cuius terminus generalis est X fuerit summabilis, tum quoque series, cuiuS terminus generalis est XnK, erit summabilis. Sic proposita serie 'n*-- a' byn y bH aes ab 'n' Rh HXyn erit eius summa T. χ'

183쪽

SERIES SVMMANDI ULTERIVS PROMOT .is

f. I . Si termini seriei iam mandae ex fictoribus suerint compositi ita ut series huiusmodi habeat formam. AH ABH- ABC DABC. . . V XV a pona-

184쪽

ponatur summa II S. ABC VX Abibit ergo haec summa posito x- loco ae in hanc ABC S- H etc. quae aequalis esse debet priori summae demto termino ultimo, id est huic quantitati AB V S X X) Manc ob rem ha

Ex hac aequatione valor psilis P erutus erit istes X EH FH-G- etc. qui termini ita progre- progrediuntur, Ut posito Ita D I ET V ijd, FAT

T. I x i x i atque ita porro Adeo ut summa seriei propositae sit ita ABC VX DH-EH F--G et ) Serie vero in infinitum continuatae ABC VX- ABCD VXY - etc. summa erit m ABC VX I-D E F G etc. )-Const. si quaeratur summa huius

eae summa ergo serici propositae ob

constantem evanescentem erit -- T i et ) his ero traditis facile intelligitur, cuiusmodi summae firmam asstimere oporteat in quovis casu oblato, quo summa minimo labore inueniatur.

187쪽

PROPRIETATE GAUDENTIUM

INVENTIO NOVA UT FACILIS.

AUCTORE

g. I.

QVmquam hoc problema, quod se initio huius Tabb. IX. x.

seculi ab acutissimo Geometra Iac Bernolidi cum erat propositum tum solutum, iam a pluribus eximiis viris tractatum atque diuersa solutiones nactum, a me vero demum ante aliquot annos in latiore sensu prolatum est atque methodo tam ficili solutum, ut nihil amplius desiderari posse videatur: tamen nuper in eiusmodi huius generis quaestione incidi, ad quas soluendas formulae tum tempori a me exhibitae, non erant sufficientes, adeo Vt coactus suerim noua formulas latius patentes contemplari, atque pro iis ad pro blema solitendum idoneos valores inuestigare. In hoc autem negotio occupatus non solita faciliorem quam ante detexi viam ad solutiones huiusmodi problematum perueniendi, sed etiam Omne et q. formulaS, qua ante tractaueram , in Unicam sum compleXus, atque praeterea ad alias aditu latiu patientes calculum accommodare licuit. f. 2.

188쪽

f. a. Quo autem calculum , qui pro formulis tantopei compositi modo designandi nsueto nimis iue re proliXu, ct taediosus, tractabiliorem redderem, i sum est a reccpto signandi modo aliquantum recedere, at que alia signa adhibere, quibus cum breuitati tum potissimum distinctioni consuleretur Sic quantitatem a riabilem in situm proximum promotam ita designa-

bo , hancque si denuo in situm proximum tranSi era-

. tu ita F; et si ulterius in situm proXimum promoue turi mihi indicabitur per X et ita porro, adeo ut mihi

atque similiter porro

189쪽

pROPRIETATE GAUDENTII M. 161

f. I. Mi Triacmonitas probicinata primae classis sy Rggredior in ilibi is dactatur curtia, qt re inter MneSOmnino curia is inter Osdem terminos ita niaXimi vel minimi cuiusdam proprietate Saulicat Sic igitur iactarua quaesitu ad Xen o relata, ponaturque Atax, Aama, et arcus a Tum sumtis duobus abscissae elementis aequalibus ABAA BCTI X, ducantur applicatae Bb et Co Deinde concipiantur duo alia elementa curuae prOXima a C, Cc puncta a et o iungentia. Quibus fictis manifestum est X natura maximorum vel mi nimorum quantitatem, Uae pro curua a maXima vel minima esse debet, cam siue ad elementa ibo sueas elementa ago reseraturi in Vtroque casu eundem Valorem produceres debere Qtiam ob rem differentia inter valores, qui prodeunt ex consideratione tum et mentorum ab tum ago, si mihilo aequalis sonatur, dabit aequationem, qua natura curua exprimetur Ista autem differentia semper ad luiusmodi formam reduci potest T. lig. in qua peri sola quantitate , , S, earum que differentialia Vna cum constantibus determina tur ratiocirca ista aequati, imo, exprimet natura ictu uae quaesitae.

q. . Proposito ergo quocunque problemate, quod

inter omnes omnino curua intra OSdem termino constitutas determinare iubet eam, quae maXimi vel mimi proprietate gaudeat, e formula, quae maXimum vel minimum esse debet, elici oportet alorem ipsius P, qui nihilo aequalis positus dabit aequationem pro curua quae ita Totum ergo hoc negotium absolitetur; si regula tradatur, cuia ope e data eXpressione, quae a

190쪽

ximum minimumue esse debet, inueniri queat alor P. Ad huiusmodi autem regulam inueniendam X primat j d. eam quantitatem, quae in curua quaesita maXima esse debeat vel minima, sitque quantita tcunque composita X P, I etas, horurrique differentialibus X, Ο, et s. Seu possit o pdae, ut sit 1 idae V st-pp), si quantitas Vtcunque composita X X, p ita ut eius disserentiale huiusmodi sit habiturum sormam ι a d. - Μ Ο - dae H V ip. tiae formula utique multo latius patet, quam omne I priores sormulae, quas in praecedente differtatione exhibui. q. s. Considerentur abeth tanquam curuae inueniendae elementa genuina, dum altera ag et o tantum ad conceptum maximi minimitte tormandum sint in subsidium vocata . . Cum igitur j dx debeat isse maximum vel minimum in curua a, a Xpressio pro

elemento ab dabit Q dx et elemento b c Vero Q dae, adeo ut elemento ab respondeat Xpressio Q dae et ele-

mento b haec Q dX, Vtrique autem element coniunctim ab isebo ista ubrmula dae. Iam quaerantur expressioneS, quae elementis assumtitiis a et go

respondeant; hae enim coniunctae et a Q - )d sub tractae dabunt residuum ipsi P. b aequale et propterea determinabunt valorem ipsius , ex quo aequati procurva obtinebitur. Expressio autem dae, quae respondet elemento ab transibit in expressionem respondentem

elemento ag, si loco p seu I scribatur pH-a seu u;