장음표시 사용
201쪽
latione non amplius inest resistenti R. Ad indolem igitur huius aequationis inuestigandam duco curua: radium osculi Mo quem pono , Xprimet ' vim cen trifugam, qua corpus curuam iuXta normalem ci premit. Erit autem ob dae constans asstinatum a
202쪽
sti S, . EXprimit autem ut modo meminimus P vim centrifugam, cuius directio et normalis MS,
atque V ante notauimu sis eXhibet vim norma lem e resolutione potentiarum bilicitantium P et Q ortam et in directionem curuam prementem. Qilo circa in I pothesii potentiarum utrumcunque sollicitan
tium et resistentiae cuiuSc-nque ea curua est brachysto chrona, quae premitur a corpore stuper ea moto vi duplo mai Ire, quam a sola vi centrifuga. f. 19. His igitur sussicienter Xpositis, quae tum
ad methodum .uic inter omne curua cam determi
nandi, quae maXimi minimitae cuiusdam proprietate gaudeat, intelligendam, tum etiam ad eius sum in qui bus lue huius generi problemati declarandum necessariavisse tanta, progredior ad sequentem huiu generi quaestionum classem, quae proprie sit problematis Ibperimetrici nomine est nota, in qua non X Omnibu curuis intra dato terminos iti S, sed iis tantum, quae vel aeque sunt longae Vel aliua quamcunque proprietatem communem habent, inueniri debet ea curua, quae maximi vel minimi cuiusdam proprietate gaudeat. Ocque est problema tanti in re analytica si is, tantaeque di nitatis, in quo enodando acutissimi Vm Ber lilii , T lorus atque Hermannis ingentem collocauerunt operam cuiusque ego etiam in dissertatione ante aliquot annos de prob-
203쪽
problemate is aperimetrico solutionem suis breuem atque
facilem tradidi, ope sormularum qu bu cuiu,que Sene' ris v aestione admodum expedite relblui possunt. q. O. Qilo hae duae proprietates, quarum altera omnium curuarum communi esse debet, altera Vero in quaesita maXimum minimumue inter se commutari et altera in alterius locum collocari queant, iam suis consi ita atque ego etiam pro plurimis huiusmodi proprietatibus cxhibui formula sub littera P consignatas, quae nulla iusta distinctione inter binas proprietate propositas usurpari atque statim ad aequationem pro curtia quaesita deduci possitnt. Hic quidem eodem tar modo, et perhuiusmodi firmulas P totum negotium absolitam ; sed triplici
ratione illam priorem methodum ad maiorem pers. istiGnis gradum sum euecturus. Primum enim Xponam methodum magis genuinam, cuius ope eiusmodi formulae multo facilius elici possunt. Deinde ingcntem formularum ibi traditarum numerum contraham, ita ut omnes illae coniunt sta in unica Vel duabus contineantur. Tertio etiam eiusmodi proprietates, quae vel curui commi nes Vel in quaesita maXimum minimumUe esse debent, euoluam et ad formulas deducam, ad quas inueniendas
prior mea methodus Vel nimis dissiculter vel omnino non sussiciebat. f. Qi. Sit igitur j lx quantitas Neu proprietas Tabula quae Vel omnibu curvis punista o et a iungentibus conata 's' munis vel in quaesita maXima minimaue esses debeat; conisi eam in troque casu in elementa a b c d aeque competere debere ac in elementa a CV liares si
illa quantita s. ad elementa , bc applicetur, et
204쪽
i' INVENTIO CVRCARUM MAXIMI MIMIM.
tum eius valor quaeratur translatis punctis in proxima C et V, oportebit ut disterentia inter hos duos valores sit O. Differentia autem ista statim habebitur, si valor ipsi ab Ida x, qui respondet elementis , cd ita dissi rentietur, ut puncta tantum variari ponantur , quare et hoc ipsum disterentiale debebit essemo. Hoc autem differentiale huiusmodi habebit sormam A. bg B. ι quae cum forma in prioridisseitatione stabilita . Og P- - Ρ). compa rata dabit - ex qua aequatione valor ipsius respondens quantitati s d inuenietur. Hoc autem si et problema quodque propositum facile resoluetur ex hanc regulam si inter omnes curuas, in quibus f dxeundem habeat valorem, quaeratur ea, in qua T d. viii maXimum vel minimum tum quaeratur valor ipsius Prespondens utrique Ermulae j d. et id da atque alter alteri per constantem quamcunque multiplicat aequalis pomnatur, ac resultan aequatio Xprimet naturam curua quaesitae.
f. a. Quemadmodum autem, si proposita uelit quaecunqtie sormula I dae, disserentiam inter valores huius formulae elementis ab c d et C dinueniri oporteat, sequenti modo patebit. Positis ut ante A LX, Aata , o a s et elemento dae constante. itemquo II ni o pdae; erit Bb , Cc I et D TU, item ab
205쪽
f. et a Sit iam proposita formitia i se, quae vel communi Vel maXi a minimaue esse debeat, ideo ius aequaliter Xpressi tam pro elementi ab c quam Cud; sit autem Q sunctio quaecunque ipsiartim X, , s et pposito pdae ita Vt Q habiturum sit huiusmodi formam dΙ--M PH NdX--V Elementis a
tem ab ι respondebit iste Malo QNX-- X- - Υ, qtii secundum translationcm punctorum ina et,
206쪽
denotante e numerum uiu log est . g. et . Pro quaestionibus autem ad primam classe napertinentibus eidem Ormulae j d respondere inueni mus supra g. 6. hunc valorem P -dV- - dx LQ--M), qui valor a nunc inuent pro quaestionibus secundae classis tantum differt quantitate eXponentiali , Quare si evanescat, quod accidit quando Q non abis, sed tantum ab X redi pendet, tum traque formula in eandem recidi P -dV-HMdX, quae ergo pro quaestionibus secundae classis aeque valet ac pro quaestioni bus primae classis EX praecedente autem mea disse latione aeque ac ex ista intelligitur eandem tormulam P -dV---M , quae respondet quantitatis d. cxistente QS M. Ο -- dx--V quoque ad quaestiones classis tertiae atque omnium sequentium iustacere; in quibus quaeri solet inter omne curua duas pluresue proprietates communes habente ea curua, quae maximi minimiue proprietate gaudeat. ita ut his casibus frosequentibus classibus nouos prO valores eruere non sit
207쪽
--i dX--V fp tam late diei, ut non solum 6 priore sormula omnes in praecedente mea dissertatione exhibita complecti itur, sed insuper innumerabilibus aliis quaestionibus bluendis inseruiat ad quas illae sor mulae sunt insufficientes; quorum utrumque exemplo declarari conueniet. Propositum igitur sit inter omnes ut vi K euruas An, quae ad Xem AB aequales constituunt areas eam determinare, quae in suido secundum axis AB directionem mota minimam patiatur resistentiam. Sum s abscissis AP in rceta AC ad axem AB normali, ponaturque AP M AP la', crit area V M set O , quae Oniarabus curui, per A et M tranSeuntibus communis esse dei et, Deinde resistentia, quam elementum is in fluido motum patitur, est x Miu ductum in quadratum sinus an incidentiae in hoc est v v impediet ergo motum V a , , ita ut tota resistentia, quae
minima Te debet, sutura sit fa . f. 26. Formulae igitur, pro quibus alores ipsius P quaerere debemus, sunt suo ν et in , . Consideremus primo hanc sae ab , quae posito P pdae, abit in IXpdae, haecque cum j d comparata dat Q X et pdXH-X Erat itaque o M o, et a V x
208쪽
rso INVEXTI CVRV RVM MAXIMI MIMIM.
Fiet ergo pro hac formula IIo, o, atque Ur cui respondebit consequenter
se . His inuentis ponatur alter ipsuis valor aequalis multiplo alterius, et prodibit x atque x K Cum autem a d y pdae, erit)
quaesita erit algebraica, atque eliminata minuenietvi sequens inter X et a pro curua aequatio
mutato pro arbitrio constanti a Valore Tabula IX. q. et . Nunc ad exemplum proserendum, ad quod/sμ μ ε formulae ritis datae non sussiciunt, sit in hypothesi potentiarum corpus sollicitantium et resilientia quacunque inter omnes curua AH stipe quibus corpus ex A descendens in M eandem acquirit velocitatem, inuenienda ea curua vi supc qua corpus ec in citissime perueniet. sit ergo tante . Iis. II. AP a ,ΡMI ,ΑM S, et potentia corpus secundum P sollicitante Ρ, potentia corpus secundum Q trahente celeritate iam debita arutitudini O et iesistentia TR, erit O Q dx P0-Rds. Duae igitur formulae, quae sitnt propositae erunt
209쪽
Alter. Vero formula I in modo vj supra tractata
Duorum horum valorum ripssius ' multipla quaecunque sibi aequalia possit dabunt aequationem pro UrUa Uaesita, quian autem xlterius perse qui calculi prolixitas non
6. 28. Sit nunc Ormula, quae vel omnibus iuruis 'hulgiri communis esse debet Vel on quaelita curua s maXimum
JRdae Huius differentiale secundum data praecepta dabit x sequi Alr:
210쪽
dae s R dx--QIdae. Ex hac aequatione orietur
Lq- M)da IR dx-- Id x); qui ergo valor ipsius P cspondet quantitati s d0Rdae, quae non solum omnes formulas et ante a me prolata comprehendit, sed etiam longe latiu patet. f. 29. Ex his intelligitur methodo Xposita etiam vilia formulas; da , in quibu non solum Per V y, et ,