장음표시 사용
191쪽
qiuantitates nini ae,3 et a puneto a quod utrique elerare lato ab c a conani une est, pendent tantum, ideoque
respondente, b d est talis unctio ipsarum s ,1 a , et pqualis ante erat Q ipsarum S, J X et Iin inuenietur e pressio respondens elemento Cc, si loco X Bb. scri-
dis erentia inter Xprcssiones clementis V et et habe-
bitur, si Q d. disterentietur et loco b scribatur bg lo-
192쪽
tio ergo pro citrua quaesita erit Kaec Ρ --γZ- M -dV O, seu L daed --χdXds dyd V. 6. . Si ergo quaerenda sit curua oc, inquas lxvel maius sit vel minuS, quam inter mIIes alias curuas intra ΟSdem terminos sita S, atque uerit unctio quaecunque ipsarum et positos sequens habebitur regula a valorem ipsius P inueniendum. Differentietur primo Q et in differentiali ponatur 1 o, 6 o dx atque I deinde differentietur
et in differentiali ponatur S D , Ο ἈX, dx D, atque ρ - r. His factis haec differentialia duo coniuncta dabunt valorem ipsius P. Ita casu quo posuimus d ET L dSH M. - - Ndς--Vd prodibit per angregulam ut ante P ---Μdv d V Sit exempli gratia propositum curuam inuenire,in qua iudγ- eau, tau iae 3 denotante a unctionem . quamcunque ipsius X, sit mi
f. 8. Ope huius regulae etiam facile erit pro aliis expressionibus valorem ipsisti P inuenire, id quod emplo
193쪽
valor 6Rdae Posteriori autem sormulae differentiale
dae, et υ - I valor psilvis P, et iude simul ae- a quatio
194쪽
quatio pro curua inuenta reperietur inuenienda sit curua, in qua a debeat esse maximum vel minimum,
ue restituto S sydds' - - 2SΟyddo Idooddsysd Ο d y ci 'd s.f. o. Ex his praeceptis iam sitis intelligitur, ieXpressio, quae maXimum Vel minimum esse debeat, si non solum ipsarum X, et Diiunctio quaecunque, sed etiam praeter ea integralc firmula contineat quemadmodum eam tractari, atque tandem ad aequationem naturam curuae Xprimentem perueniri oporteat. Valet itaque ista methodus pro omnibus expressionibus qnae partim e integralibus, partim denique ex harum differentialibus sunt conflatae adeo ut ad omnes omnino quaestiones soluendas unicere videatur. Interim tamen incidi nuper in quaestionem quae ad hanc methodum referri non poterat, sed peculiarem solutionem requirebat.
195쪽
bat. Ita autem illa quaesti erat compa ita, ut indo mulla inta', ita maXimum minimum ue esse debet, praeter X, ,.s eorumque differentialia etiam differentialia secundi gradus essent contenta. Facile autem in telligitur, quoties differentialia secundi gradu occurrant, tum hactenus tradita praecepta non alere, sed nouam omnino methodum requiri. f. II. Cum autem differentialia secundi gradus bina elementa afficiant, ita V translatio puncti cina, disia serentialia secundi gradu elementi ante ab siti immutent, non difficulter perspicietur, ad huiusmodi quaestiones stiluendas praeter elementa ab et bo insuper praecedens et sequens in computum duci debere. Sint igi Figyin tu a b c d e quatuor elementa curuae inueniendae, quo rum bina tantum media od, ut ante secimus, in situm proXimum V transferantur . Ponatur OA ae, Aa J, et a S, atque elementis abscissae X aequa
Posito praeterea oras det, erit E p, I p. mp
atque E p. Qtii denique disserentialia secundi gradus in formula proposita inesse ponuntur fiat fp rda ita ut sit o rdae dds His positis
f. a. Si iam elementa ab c de in elementa ab P de transire concipiantur, alore ante inuenti incrementa vel decrementa accipient. Fient autem incrementa haec
196쪽
t6s INVENTIO CURVI RVM MAXIMI MINIM.
ut ex speistione gurae apparet, sequentia: ITTO, DIIT OG X O , p denotant enim S si . . , incrementa pitium Lo, X et , dum punctum c in tranSsertur, haec Vero mutatio a quantitates non as ficit, sed translato si V abibit ran erit Itaque incrementum quod uaterea capit seu dr Por-
dr o haec enim elementa non amplius a mutatioue puncti e assiciuntur. β. a. sit nunc tarda inuenienda, in qua debeat esse maximum vel minitari mi a X, in qua expressio ne Q sit compositum quomodocunqUe e X, I, S, harumque quantit.itum differentialibu tum primi quam se cundi gradus ita sutura iit fiuncti quaecunque ipsarum X, I/, , petr Iam Niliaci dae pro omni curuae portione ab is incipiente debet asse maximum vel minimum, necesse est tale quoque sit pro elementis ab ede Quare i l eundem valorem habere debebit tam in elementi ab c de quam in ab P de . Proelementis autem ab c de dat ista formula hunc valorem
197쪽
ex translatione puncti, in P OItum debet esse ino, vel dabit valorem ipsius P. ιγ Posito autem Q LdS-Mήν--Na x -Vdp-Wdr, erit pro disse- rei ut alibi is valoribus xhibitis substituendis x sequitur:
posito perpetuo X constante. f. Qilo hanc regulam Semplo illustremu sit vituti a. nobis proposituli inter omnes curuas per puncta A et transeunte eam determinare, quae cum sitia euoluta AOminimum spatium AOM comprehendat. Possitis ergo AP .X PM zy AMTIs erit radius osculi Ο
198쪽
' INVENTIO CURVARUM MAXIMI IXIII.
199쪽
s V 2 a)H- et bov), quae itidem est pro cycloide id ad Xeni oblique ductum. Ex quibus perspicitur quaestioni propositae aliam curii Im non uisfacere nieter Cycloidem ita ut inter omncs curuas per puncta A et transeunte nulli sit nisi cyclois, quae cui sua uolutatam exigi nisi spatium comprehendat. f. s. Sit nunc propositum inter omnes curuasAM determinare eam in quacia' sit maximum vel minimum Ponatur ergo P pdae rdae crit ----- otiare erit L. O, N o, met
200쪽
2 12 INVENTIO CVRIORUM MAXIMI MI IM
circuli et layberbolae quadraturi pendet. g. 6. Quanquam in his Xemplis posuimus quan titatem Q absolute dari, tamen regula data aeque o cum habet, eodemque modo potest usurpari, si illi tum per aequationem differentialem detur, ita ut valor ipsius Q per integrationem assignari nequeat. Huiusmodi casum quidem iam tractaui, cum curuam bra chystochronam in quocunque medio resistente determi narem. Eundem igitur usum ad Vsium regulae . . datae plenius ostendendum hic uoliter conueniet. Pro τό tuis . positum ergo sit curuam x inuestigare, super qua corpus a quibuscunque potentiis sollicitatum in medio quocunque resistente celerrime descendat. Ad hoc problema soluendum ponatur P I, PM J DAM S . trahaturque corpu3 in in directione applicatae M P, et ab alia vi d in direetione V parallela axi P constat enim ad has duas vires potentia quaScunque reduci posse. Posito ergo pd et S EXV 1 --pp erit vis tangentialis accelera n e iis orta
g. I . Sit nunc celeritas in M debita altitudini et resistentia aequalis sit' iunctioni cuicunque ipsius P.