장음표시 사용
541쪽
in qua etiam duae radices aequales comprehenduntur , videlicet. x MI, ac denuox ODI. Vetii illam multiplicassemus perata: Σ3x IImo, obtinuissemus dual salsas radices aequalest uiscunque autem haec multiplicatio fiat, si pror ponatur ejus valor, habebitur
xx - 2 xx in xΝ inq* I xx-anx xxinr J - Si jam unumquodque horum quatuor produ rum, seu, quod eodem redit, in I, -- 1 quoniam dividi potest per aeridi multiplicatores x p xx,qx,&r nullam mutationem Miseciunt multiplicetur per Arithmeticam Pr Messionema erat productum hujus multiplicationis M P. . Nam Multi in I, --a, I Mult. I, - 2, x
Hae usque universaliter consideravi omnes aequationes, duas aequales radices habentes, quomodocunque ipsae proponantur, hoc est, sive in iis termini quidam desint sive non, ut & quomo docunque sgna -- & - sese habuerint. Quod manifestum erit consideranti nobis λlummodo rem esse cum hisce numerisI,--2, in I, non autem cum multiplicatoribus xΤ, p xx, qx, &r. Similiter respeetia Arissimeticae Progressionis res etiam generalis manet, quandoquidem duo priores terminia, a b, δίindeterminati sunt Quod restat, ex sola inspectione praecedentis exempli, conserendo duas sequentes multiplicatiosenes, perspicuum siet. xi po---mo xy. 'x rmo
542쪽
tiplicatum per Ma 8 9 2-&,quoniam p: --Σρ xin 'xx idem est quod xx-2xx xxinp xx, erit quoquep x - 2DxΤ --Π' xx multiplicatum per a ra a 3 b c siquidem, ut ex praecedentibus lique primus terminus Progressionis ad libitum sumi potest aequaleo; atque sic deinceps. Vnde fit, ut etiam Productum totius aequationis per hane seriem proportionalium sit M o, nec non ut unus valor ipsius x M' , quae una duarum radicum aequalium est, necessario includatur. Et cum hic rursus nulla ha atur ratio multitudinis aut paucitatis aut etiam qualitatis multiplicatorum: erit Propositum Theorema universaliter demonstratum de quibuscunque aequationibus, duas radices aeluales habentibus. Hinc emanat
si in aequatione aliqua 3 fiat radices aequales. Ripn multiplicetur per Arithmeticain Progressionem ' quam libuerit, eo modo quojam diruim est, remanebunt in Producto duae adlvic aequales radices istarum trium ;ac proinde Produehim hoc denuo per Arithmeticam Progressitonem multiplicari poterit. Quod si autem ui Proposita aequatione quatuor radices aequales fuerint, atque ipsa multiplicetur per Arithmeticam Progressionem , relinquentur in hoc Producto adhuc 3 aequales radices istarum & sic porrb , quotcunque aequales radices aequatio habuerit. semper perisingulas ejusmodi multiplicationes una tantum istarum aequalium radicum tollerur. Hoc itaque demonstrato , transeo ad meam Methodum de Maximis & Minimis, quae sic te habet.
Positis quotclinque quantitatibus Algebratiis , maximum aut minimum designantibus ponantur ipsae met;& ordinata aequatione multiplicetur ea per Progressionem Arithmeticam, eo modo. quo dictunὶ est: &Pr
543쪽
sio IOHANNIs HvDDENII EPIST. II. . . ductum erit aequatio, quae communem cum praecede ' ti radicem habebit. Ita ut ad hujus Methodi demonstrationem tantummodo probandum restet, aequationem illam primam duas aequales radices comprehcndere od equidem demonstratu adco facile est, ut huic rei ulterius insistere nihil aliud sit, quam operam & oleum
Et haec quidem generalis mea Methodus est. Particulares v ro , quas anichac in aliquibus exemplis vidisti, hinc resultanti quemadmodum ex subjunctis operationibus, utroque modo foctis, perspicere licebit. .
i. Cum ingur ici termini, maximum aut minimum designantes, non vis unam incognitam quantitatem continent, V nullas habent fra tiones. in quarum denominatore incognita quantitas reperitur, multiplico tan
es. Si Algeb iei termini maximum aut minimum: designantes , unam tavium incognitam quantitatem comprehendunt atque aliquot staritiones admittunt, in crvarum denominatore incognita quantitas reperitur,
operirito institui poterit. hoc pacto : . . ' Primo deleo omnes quantitates cognitae Deinde si reliquae
544쪽
quantitates non ejusdem denominationis fuerint, ipsas sub eundem denominatorem reduco. Quo peracto, considero hujus se ctionis integrum Numeratorem cum unoquoque Membro seu parte separata Denominatoris si ex diversis partibus constet tanquam unam quantitatem, Maximum aut Minimum designantem, ac unumquodque membrum seu partem separatam Numeratoris multiplico per dimensionum numerum quantitatis incognitae istius Membri, postquam ab eodem numero est ablatus dimensionum numerus incognitae quantitatis, qui in hoe Membro Denominatoris reperitur; productoque per hoc Membrum D nominatoris multiplicato, erunt omnia ejusmodi producta simulm o, ut ex sequentibus exemplis clarita patebit.
1 Exemplum. Esto alicui maximo.
Deleta quantitate cognita ab , reliquisque terminis sub communi Denominatore reductis, obtinebitur
Iuxta generalem Methodum est ax in bx- - ab MO,
545쪽
si1 IOH ANNI s Hvo bENII EPIST. II. Deleta quantitate cognitaa, & reliquis lab communi divisore
, kribo bita radix in x pro Divisis pera ax, habebitur abaa 2 a 3bara in , i
546쪽
DEMAxIMIs ET MINIMIs 'Patet itaque, duas has speciales Regulas in generali illa Methodo esse iandatas respectu hujus Progressionis O, I, 2, 3,q,&c. multiplicando scilicet terminum, in quo incognita quantitas x non reperitur pero ; ubi x unam habet dimensionem per I; de sic porro. Sed in genere notandum, quod, dum operando iuxta generalem Methodum Progressionem illam Aridimeticam ad libitum sumere licet, semper is terminus aequationis, quem libuerit, tolli possit, multiplicando illum tantum per o . A tque ita valor ipsius et per unam Progressionem simplicius obtineri poterit, quam per aliam: ut, si in praecedenti exemplo, ubi multiplicausemus per 3, 2, I, O, multiplicassemus per o, I, 2, 3 , obtinuisse
Vnde aptaret, ipsam quantitatem e sive maximum vel minimum) , si x cognita supponatur, inveniri atque exprimi posse multis diversis in is, e quibus faciliores pro Constructione eligore licebit: Aut se cognita supponatur, poterit x totidem divertis modis inveniri. Porro conliderando e&x, ut incognitas, poterimus ad alterutram tollendam aequationem instituere inter duos ex simplicissimis valores: ut, insuperiori exemplo, inter
. Si termini Augeb ici, Maximum aut Minisnum
designantes ,plures und quantitate incognita includunt,
suppono ipsos m α; & per hanc aequationem N per caeteras datas. seu quae ex natura Problematis manant, quaeque semper simul,si
omnes Problematis conditiones includunt, tot numero existunt, quot incognitae quantitates, una excepta, habentur , nimirum si unum tantum Maximum aut Minimum inter infinitas magnitudines quaeritur, non autem inter infinita Maxima ; reduco aequationes omnes ad unam, in qua necessario duae quantitates incognitae continebuntur, & inter east.. Cumque tunc solae ad Maximi vel Minimi inventionem nota esse debeat, manifestum est in eum finem duntaxat concipiendum esse, alteram quantitatem incognitam duas aequales radices habere. Sumamus, exempli gratia, tres aequationes, quibus maximam latitudinem curvae dcterminavi, quales illae pag. q98 Exercita tionum tuarum Mathematicarum reperiuntur; excepto tantum
547쪽
sr IOHANNIS HvDDENII EPIST. II. quod Maximum hic appellem et , & quod ibi e nominatum
Atque haec quidem aequatio jam sola relicta est, in qua igitur ut ultimae conditioni Problematis satisfiat, hoc est , ut ea ita deae minetur, ut et fiat Maximum, multiplico quemadmodum ibi finctum fuit candem aequationem Zυ -ἐneti υ 3 per Arith. Prog. 3, a, Is obtineoque 3 vΤ -in 3 mo
Si Arithmetica Progressio fuisset O , I, 2, 3, invenissemus 3 cc MT ἡ; si 2, 1,o,-I,habuissemus 3 et e MEt sive valor ipsius per utramlibet harum aequationum inventus,in praecedenti subrogetur aequatione 2 et ' - ἱ n v v 3etvm o, sive alter alteri adaequetur, ponendo ἰn v --ἰυν,obtinebitur semper vet min n.
m . - , Vel mo v - εν Quamvis autem operationes uno aut alio modo factae hic parum inter
548쪽
inter se disterant, potest tamen saepe numero, ut supra monui, contingere, ut una multo prolixior ac difficilior sit quam alia, quo quidem casu commodiorem viam, quae facile perspicitur, eligere satius erit. Caeterum notandum,ultimam hanc aequationem minυν- nee determinari etiam posse per secundum modum praecedentem. Etenim existente te M , dc em maximo: erit etiam hic valor ipsius et et omnium maximus, ideoque diva
Quoniam vero in multis casibus aequatio ultimo relicta non sinit ut 'aloriptas e vetae, aute), &c. in ejusmodi terminis, in quibus ipse e non invenitur, exprimi possit, visum fuit in exempli hujus operatione generalem Methodum indicare. Atque hie, Vir Amicissime, multa adhuc dicenda restarent, sed ne rursus epistola mea voluminis instar se extendat, scriptionis meae filum abrumpam; praesertim cum id, quod hic desider tur, non difficile sit ex praecedentibus colligere. At vero ne te lateat, quid hic desiderari putem, adjungam argumentum tractatus, quem de hac materia ante 2 aut 3 annos in proprios usus adornavi, quemque nuper obiter & quasi per transennam inspexisti. In eo autem pertractantur Tit Σ
549쪽
116 IOH. HvDD. EP. II. DE MAX. ET MIN. i. Methodus de Maximis S Minimis. Termini vero AIg
braici,Maximum vel Minimum designantes,considerantur
. GIrespectu cognitionis nosse. fic ut certi simus in iis Maximum esse comprehens , saliquod detur Maximum s aut Minimum ,s aliquod Minimum
detur. Termini autem hi Algebraici in se continent
Vel unam duntaxat incognitam quantitatem,
x. Vel fractionem nullam. in cujus Seno- natore incognita reFeritur quantitas. Σ. Vel fractiones. in arum Senominatorui a reperitur. V Flures uis incognita quantitate, quae duplices sunt 1. Vel tot simul eum iis aequationes dantur, seu in natusta Probuma
l tu iscluduntur, quot sunt inco
enitae quantitates una excepta; 2. Vel non totidem, aut etiam nullae. α Vesresterita nostrae inscientiae, id est,cum incerti sumus,
utrum in iis aliquod Maximum aut Minimum , aut utrum que, aut etiam neutrum contineatur, ipsos autem rursus
considero vel absist/,vel relativὰ ad aliquod Problema L. G dem usus atque utilit , quae quidem se longe lateque
extendit, ae praesertim ad ea Problemata,quae alias dimculter adaequationem revocari possunt. Cujus exemplum illustre est. Determinatio omnium aequationum , quae res adeo generalis atque utilis,hujus Methodi tantum corollarium existit.
Vale, Vir Arateissime, S me amare perge.
Dabam Amstetidami Tuis Cal. Februar. Observantissimum
550쪽
Vm nuperrime ex tuis ad me daris, Vis CZa- rissime intellexerim de eris te teneri viden- , di Methodum is me inventam, cujus benes --- cis complures curvae lineae cui tibi isdieatae D. Huddenius in rectaspossunt transmutari: non omittendum duxi, quin eandem tibi o us transmitterem tuoque inprimis judicio exponerem. Verum graemonere te volui. eam is me tunc temporis excogitatam esse, cum iter in Galliam meditarer, quo nec omia, quae ea de re dici queunt, perpendere, nec quae ante discestum inmeneram. chartis committere valui. In Gallia vero nunquam rebus Mathematicis vacare sed me totum atiisstudiis applicare constitui, arib ut vix quicquampraelo dignum me scribbere posse confidam. Attamen ut petitioni tuae utcunque satisfaciam habitd ratione tengoris,quod mihi valde carum est: visum fuit in memoriam revocare, ac breviter eonscribere quae ante circa hanc rem meditatus si , eaque paucis bla subicere. Bae, si Mathematicis non displicitura judices Commentariis tuis adjungerepoteris: