장음표시 사용
531쪽
- IOHANNIS FI-DENII EPIST. I. i. Exemplum. in quo litera b ubique unam tan-ram dimensionem habet.
quam Proposita dividi potest x Exmplum.
autem maximus eommunis divisor, per Methodum ante deseruptam, est x - 2 a, per quem si fractio abbrevietur,
3 Exemplum, in quo quantitas e tantum 1 & 1 habet dimensiones.
Ita ut aequatio Proposita in hasce duas sit divisa. Quoniam a
532쪽
tem in ea a quoque I & 2 tantum dimensiones habet, potu et idem etiam quaerendo valorem ipsiusa investigari. Vbi notari potest, quod, ad inveniendas radices alicujus aequa 'tionis, in qualitera, cujus valor quaeritur, non plures habet dumensiones quam I & a, vel 2 & q, vel 3 & 6, &c. scire non sit necesse, cujusnam illa sequentium formularum existat.
Porro quoniam aequationes Omnes quatuor dimensionum re' duci possent ad aequationes trium dimensionum, & in omnibus quidem aequationibus secundus terminus tolli potest, ostendendum solummodo restat, quo pacto divisores aequationis inveniri queant, in qua incognita quantitas, vel alia quae vis litera, quae ut incognita consideratur, tantis I & 3 dimensiones habet. In quem itaque finem proponatur aequatio xyMη qx. r. In qua aedesignet quanti tem, cujus valor quaeritur; q & ra tem quantitates cum suis fgnis, quales illae in aequatione repe
533쪽
ironiam vero in prima parte prioris valoris ipsius x reperitur signum S ,&in secunda signum contrarium V, atque quantitates perea conjunctae omni ho eaedem existunt; & quoniam ad obtinendum valorem ipsius x, duae illae partes simul addi debent spoterunt ipsa determinari, ponendo pro uno Φ, & pro altero - , ita ut habeatur
- Quocirca quaerendo juxta hanc Regulam valorem quantithiis a licebit ipsius beneficio aequationem, si reducibilis sit,in duas rationales dividere: quoniam tunc V C. ex irin V 4rr- cxtrahi poterit, excepto tantam, quando quantitate qsigno-, adfecta , arr minor est quam Vbi dim cultas aliqua superesse videtur in radieis Cubi e binomiis hisce extraetione; sed cum V C. ex binomio numerali ope Regulae pag. 389 extrahi queat, poterit etiam ejusdem benescio radix ex binomio literati inveniri, cum pro. literis num ros ad arbitrium assumere liceat, &c. Quamplam autem saepenumero in reducendis aequationibus hujus quarti exempli contingat, ut Quaesitum per aliquam ex aliis Regulis facilius inveniatur, poterit tamen interdum naec Rogula, praesertim in aequationibus: numeralibus, ubi divisores ult mi Termini complures existant aut difficiles sunt inventu, cum fructu usurpari. Quibus praemissis , potero generalem Regulam commodius exprimerem quae talis est :Si in aequatione Proposita, quae in duas alias rationales cst divisibilis, quaeratur valor quantitatis incognitae Vel Diuitigod by Goos e l
534쪽
ves alicujus alterius , quae ut incognita consitaratur, poterimus ipsam aut dividere sicut in exemplo); aut fractionem inde ortam per communem aliquem di- vi'rem abbreviare sicut in Σφ' exemplo aut denique 'radicem quadratam sicut iii 3' 'exemplo J: aut radice ni
cubicam extrahere, excepto tantum ...ut diximμs, uno
casu , ubi θ designat quantitatem signo in adscisum,
Vbi tandem id advertendum, Regulam hanc in resolvendis ae- quationibus trivin & quatuor dimiasso num eandem esse evin illa Cardani, cujus inventionem Scipioni Ferreo tribuit; ita ut lex superiori calculo manifestum sit quod ea Regulit; quamvis ille author ex alio sorte fundamento cam eruerit, hoc tamen etiam modo inveniri possit. Hanc vero eandem esse,. vel hinc evidens fit, si ex illa sola conficiamus basce quatuor quippe ponendo quantitates signo in adsechis esse, obtinebinius ,: ex italitex O, C .ar έιrr-C. r- r- PYq Si et designet quantitatem signo in ,.r aut quantitatem signo adsectam,obtinebimus, Glcntexi OO -q x, mutando tam tum in Regula signa, quae ipsi r impares dimentiones habenti praefiguntur x x r 3 r r- VC. - έ r 2 r r
. Et nota, quod eodem modo operando similes regulae pro altiori bus aequationibus inveniri possint. - - . . a. Sed cum Methodus haec reducendarum aequationum, ubi
535쪽
sor IOHANNIS HvDDENII EPIST. I. quatuor dimensionum est, aliquando paulo longior sit, praestat
tum eius loco vigesima Regula uti, per quam omnes casus trium vel quatuor dimensionum, nullo excepto, reduci possunt; Velctiam regula I 7, ubi non adstringeris aequationibus quatuor dimentionum, sed omnes rationales, quae per aliquam rationalem aequationem dividi queunt, reducere poteris, atque aded etiam omnem Propositam rationalem aequationem, quae per aliquam rationalem divitibilis est, si modo aliqua litςra, quam libuerit, tanquam incognita, & Aliquae Omnes ut cognitae considerentur.3. Saepe autem satis breviter Reductio aequationum, quae tantummodo ter irrationales reduci possunt, inveniri potest. exempli gratia, si habeas hanc aequationem,
addas utrimque quantitatem aliquam per xx multiplicatam, cum ab altera parte habeasce in xx) talem nempe ut 3 quadrata ex altera parte extrahi possit, quod statim per extractionem reperies ei se a a xx, ideoque utrimque hac H-aa xx addita, & radice quadrata extracta invenies xx-ax aam x V aa in ecatque ideo Proposita aequatio ex multiplicatione duarum sequentium aequationum resultare poterit
. Magnum quoque usum habent aliae quaedam Regulae, tam in reducenda aequatione, quae per rationales, quam quae tantummodo per irrationales reduci possunt. ex. gr. per II Regulam, omnes aequationes reduci poterunt, quae non tantum ex duabus aliis per multiplicationem produci possunt, in quarum alterutra, unus pluresve termini deficiunt, si aequatio consideretur secum dum incognitam quantitatem, sed etiam si tantum quaevis alia ibicra, sive cognita, sive incognita, reperitur, quae ut incognita consideratur, & aequatio secundum illam in ordinem redacta talis sit, ut ex duabus aliis produci possit, in quarum alterutra unuspi
536쪽
DE REDv TIONE AE EX ATIONUM. so3 pluresve termini deficiunti sic quamvis sequens aequatici 5 dia
produci non possit ex duabus aliis, in quarum sterutra unua vel plures termini deficiunt, si scilicet x ut incognita quantitas eo sideretur, poterit tamen ex duabus talibus produci , si vel a vel but incognita quantitas consideretur, ut exaequationibus, ex quibus producta est, patet; ac proinde aequatio illa Proposita per XI Regulam reduci poterit. Hic ergo hanc Regulam abrumpam,& celeriori in sequentibus gradu ad tinem, quem jam dudum desidero, festinabo. Diversas adhuc alias Rcgulas in paratu habeo, quas Me simul
adjungerem,si non aliquid in futurum reservare animus esset: Nimirum inter caeteras una est, per quam omnes irrationales radi ces tam numeralium; quam literalium aequationum invenio; una Ier quam omnes aequatioἡcs numerales, quae ex duabus ration
ibus produci possunt, ad easdem reduco, non cognitis divisoribus ultimi termini; item alia, per quam saepe literales aequati nes reduco, quaeque in eo consistit, quod unam aut alteram lit ram ponam M o , vel M alii alicuiquantitati, quam libuerit, dcqudd hane aequationem inde resultantem prius reducere coner, di postea etiam Propositam per hanc. Exempli loco adjungam hanc
R g s V L A M, omnes rationales aequationes, quae nullas fractiones continent S reduci possunt. reducuntur, si sonendo unam auilline s titeras m o, aut m alii quam libuerit quantitati, talis inde aequatio resbitet, quae una tantum ensione minor liue irreducibilis
537쪽
Di Mantur inultimum terminum exortae aequati vis. si non ex diversis partibus aut Membris constet,
partes aut Membra eas nomino viantitates quae in eodem termino signis veJ - eaeteris cbnnectuntur twI alias per unum
membrum ultimi termini quodcunque libuerit. quemadmodum luc per vel 9be omnia Membra ultimi
termini Propos ae aequationis, quaecunquester illud dividisti ut, atque illud quotiens. sve unum estura fuerint , addatur quantitati x, per hanc summam Propo- ea ae statio dividi poterit.
V t in hoc exemplo, dividendo - 18 a b b per in F b exsurgit
quotiens -.3 a, quod additum ipsi x , quia in Propolita aequati ne inter membra ultimi termini nullum aliud habetur, quod pet 6 sit divisibile, exsurgit adi- 3 a,quod Propositam aequati nem dividere poterit. Vel si alterum exortae aequationis Membrum assumptum fuisset,nimirum bc,similiter prodii stet -3. quia i solumi a 7 inter Membra ultimi termini in Proposita aequatione r feritur, quod per- 3 a dividi potest. Nota, quod per hanc methodum, dum literam unam aut plu res pono m o, vel Io alii alicui quantitati,quam libuerit,non tantsim rationales literalium aequationum radices, sed etiam irrationales tam literalium quam numeralium aequationum inveniri possint. Nam etiam rigulae,quarum ope quarundam Cubicarum aequationum radices investigantur, quas Cardanus Authori Scipioni Ferreo asscribit, hac etiam methodo inveniri possunt, quae alia est, quam quae in et I Regnia ostensa fuit.
Hactenus aequationes absolut/ tantum consideravi, nun verest, ut eas etiam relatiTe, quatevus referuntur ad Problema, ex quo educuntur, confiderem. Sed priusquam hoc aggrediar pauca quaedam de iis Regulis,
quas hucusque tradidi, dicenda restant. Illae vero sunt duorum generum, quaedana enim aliquibus in casibus docent Propositam
538쪽
DE R EDUCTIONE AEGATIO VM. sis aequatitionem vel nesse reducibilem, Tuinquantum, vesper quales non t reducibilis, ut Regula I, 2, 12, I 3, & IA,& I quaedam etiam docent, quo parito aequariones reduci
debeant, quassimus reducibiles ese, vel per aliquam in
qua aliquis terminus datus,aut CD O quales sunt 9 & II, vesper aliquam rationalem, ut sunt 16 dc I7, Teldenique per alias. Sed quia saepe latet, utrum Proposita aequatio, vel
quae ex Problemate quodam educta est , reducibilis sit, nec ne, ad hoc inquirendum aliquis ordo observandus est. Et quem harum Regularum respectu optimum judico,talis cst: Inquirerem primo Ope priorum 1 cgularum anne aequatio sit irreducibilis; quod inaequationibus irreducibilibus primo plerumque intuitu apparet, aut saltem magna ex parte; adeo, ut multi labores tali in casu praescindantur. At si hoc non ita appareret,iransirem ad Regulam XI, imprimis si Vltimus aequationis terminus multos divisores, vel qui inventu dissiciles sint, admittat, vel si aequatio surdas quasdam aut fractas quantitates contineat per quam Omnes aequationes reduci possunt, quae divisibiles sunt ope altarius in qua una aut plures quantitates desunt, sive aequationem in ordinem redigas r spectu incognitae, sive respectu alicujus cognitae, quae ut incogni
Et sic omnes paene litcrales & reducibiles aequationes, ut&quam plurimae numerales reduci possunt. Si vero nec hoc pacto succedat Reductio, eam per caeteras Regulas inquirerem. Possunt etiam hic quaedam adjungi de signis , ex quibus cognoscitur sitne aliqua aequatio reducibilis necne; Verum cum hoc unum sit ex primariis rei capitibus,plus otii &Patientiae,quam quidem in praesentiarum mihi suppetit, ad id requiritur. .
Suod igitur alteram partem Reductionπm concernit, quae refertur ad Problema, 'ex quo aequatio es deducta,
multa adhuc dici possent,iam de ultimae aequationis in qua omnes Problematis conditiones includuntur Inientione, qua omnes aut saltem multae Reductiones rescindi queunt; quam de aliis
Reductionibus . quae saepe illis supra deseriptis breviores
existuηt. Nam quod primum attinet, expcrientia docet in omnibus fere Problematis multos esse, eosque diversos modos ultimam aequationem inveniendi, & ad pauciorum dimensionum aequatio-
539쪽
nem, si hune, quam ii alium moduni sequaris, perveniendi. Imbnon tantum diversa, sed etiam eadem methodo utendo, tandem in aequationem plurium aut pauciorum dimensionum pervenies. Atque ita breviori ac faciliori via non tantum multum laboris inveniendo postremam aequationem praeteribis, sed etiam reductiones valde inventu dissiciles, quae alioqui, si ad altiores aequationes dclabaris, quaerendae essent, rescindes. Quod alterum spectat, ejus a me specimen habes, ubi nempe aequationes omnium figurariam ordinatarum circulo inscript rum inveniuntur, in eo nempe consistens, quod cum ultimam aequationem, quae omnes Problematis conditiones includit, habeas, praetcrea adhuc aliam, sed alia methodo, investiges, quae itidem omnes conditiones comprehendat, adeo ut, cum duas aequationes eandeiu incognitam quantitatem includentes obtinueris, ipsas a se invicem tam diu, quam fieri possit, subtrahas, vel quod eodem redit, earum communem divisorem invenias, quemadmodum tunc in inveniendis illis aequationibus satis sua ostendi.
Et hujus Methodi utilitas se longe lateque diffundit, praesertim ad Problemata dissiciliora, quorum aequationes ad plures dimensiones excurrunt. Nam saepe numero, si earum reductionem per praecedentes Regulas invcuigares, aetatem consumeris, quod alioquin, si hanc viam sequaris, breviter, & ut ita dicam, uno mo mento absolvere posses. Cum igitur utrumque & Reductiones in prineipio in totum vel ex parte rescindendi, & eas in multis casibus adhuc compendiosius quam per praescriptas Regulas inveniendi, majoris m menti sit, quam utinic digne pertractari possit; atque ego etiam scribendo, tu vero legendo, aesessi simus: praestat, ut hie sebsistamus atque aliquantulum respiremur ; reliquRue opportuniori
540쪽
Clarissime Vir, attinet meam Methodum de Maximis Missimu i eam breviter hsc describere conabor; S iis antecessam demonstrabo hoc T Η E O R E M A. Si in aequatione duae radices fiat aequales. atque ipsa
multiplicetur per Arithmeticam Progrestionem, quam libuerit; nimirum . primus terminus aequationis per primum terminum Progressionis , secundus terminus aequationis per secundum terminum Progressionis, deinceps: dico Productum fore aequationem, in qua una dictarum radicum reperietur.
In hunc finem assumaturaequatio quaelibet, in qua a designet quantitatem incognitam, ut, verbi gratia, haec aequatio
ipsaque multiplicetur per xx-m o, id est, per aequationem, in qua duae radices sunt aequales, & habebitur haec aequatio