장음표시 사용
21쪽
Sit quodlibet triansulum C, a cuius vertice Aad medium basis B C. cadat recta A D. altera autem la-
teritas AB, AC, intercepta E G F, non sit basi paraulata , sed pars E G propiaquior, quam G F. Dico E G, maioreta esse qu*m GF. Ducta dinim BL H ipsi Eriparallela si opus erit, idest si punctum E non sit idem puncto B: ducatur in triangulo BCH ipsi si g
in puncto A, punctuniti cadet in ipsa ΚH. D quod iam obparati '
tem B D aequalis ipsi DC. & B ac ipsi ΚΗ, aeqhalis erit, maior igitur B L quam L H: sed vi BL ad L H, ita est EG ad GF; nam recta AL in triangulo A B H se cat EF, ΒΗ, parallela in punctis G, L; maior igitur EG erit quam GF. Quod demonstrandum crat.
Omnem parabolam diameter bifariam diu
dit utraque autem talium partium vocetur semiti parab*la . ' Sit parabola ABCI cuius vertex B, diameter BD. Dico semiparabolas esse ABD, BCD. Nam par IE ABC, inscribatur figura ex parallelogrammos aequalium altitudinum deficiens a parabola minorispacio qua tacumque magnitudine proposita ita ut parallelogra
22쪽
viorum bina latera diametro B D sint parallela i F I H L, paralleIogrammi F H L Κ,cuius cum latus F H, basi A C, parallelum a diametro B D sectium bifariam sit, ut in puncto G, atque adeo & latus Κ Llbifariam in puncto D; erit parallelogrammum G Ic, dimidium Κ H, p rallelogram mi similiter singula reliqua parallesoῖramma, quae sunt in figura A B D dimidiata Bersit singuloriun, in paratala ABC sibi respondentium. Tota igitur figura EAE Ggurae A B D i scripta totius figurae K E L; parabo Le A B Ginscriptae dimidia eri Deficit autem utraque figura inscripta a sibi circiinascripta minori dese ' quanta cumque magnitudine proposita; per tertiam igitur secum di de centro grauit. solid. erit figura A B D parabolae ABC dimidiae diameter ergo B D. parabolam ABC distriam diuidit. Quod demonsuandum erata
si duae parabolae aequales glimetros habuerint indirςctum inter se constitutas, & comi nem ordinatim applicatam; figurae ex iuuabus sciniparabolis compostae diameter erit praedicia commui i= ordin*xim ii a l
23쪽
diametri AD, D C, inter se aequales. sitque A D C: una
recta linea, communis autem ad utramque diametrumor
dinatim applicata sit B D Dico figurae A B Cj diaine trum esse B D. sit enim in figura A B in applicata quae, libet tecta linea FEG basi AC parallela, & ex pii cto F, ducatur ad AD recta FH parallela ipsi BD.M.
DA ad AH,erit pper couersionem grationis, ut qua- l l . adratum ex L D D cad sui reliquum dempto quadrato E D, ita. A D ad D H, hoc est ad FSimiliter ostenderemus esse ut quadratum ex B D iad sub reliquum dempto quadrato DE, ita C D ad E C; velaitur AD ad FE, ita erit DC ad EG: &permutando ut A D ad D itae PE ad EG hSecat igitur BD ipsam F G, hoc est quamcumque applicatam in figura ABC basi AC parallelam bifariam in puncto E. Quod
Crinem praedictam fguram diameter bifariam diuidit.
Huius Phopositionisdemonstratisa demonstiatione se cundae nihil disserta
24쪽
i Si sint duae rectae lineae terminatae: quotcum quel autem magnitudinum centra grauitatis sue. rint i fi 'na earum, totidem snt in altera: snt autem & magestudines, & partes praedictarum linearum, quae a centris sunt, binae deinceps liv eadem prop)rtione, sempita ordine ab iisdemierminis; ceti ra grauitatis duarum magnitudi inum cuiusque ex ijs, quae ad eandem lineam per tinent compositarum centra grauitatis , praesi-ctas lineas diuidunt in easdem rationes. Sint duae rectae Iineae terminatae AB, C D, sectae priumum in ternas partes, ut AB in punctis EF,& CD in punctis G H. Sit autem E, centrum grauitatis magni-
P.Sit autem vi M: ad N, ita O ad P. &ut AE ad Eriva CG ad GH, ct ut EF ad FB, ita GH ad Hi .lduarum' auteni magi indivina M, simul dit centrum
25쪽
prauitatis Γ, quod inter centra EF cadet: duc iaiarauis grauitasti L, nempe in seminento G H. 1lico es e ut A K ad K B, it C L ad da . . odi*m enim est ut N ad M, ita P a Loi sed
DK, ita CL ad G L. Eadem ratione ,& conuertendo
xd LG, mi aequali igitur erit ut A K ad KR ita CL ad
L D. Sed sint aliae duae magnitudines S, cuius centrum grauitatis in segmento F B: & T, cuius centrum gravitatis R, in stegmento D H. & ut N ad S, ita sit P asT, & ut F ad QB, ita H R ad R D. Dico duorum magnitudinum compositarum unius M N S, alte. rius O P L centra grauitatis rectas AB, C D, diuia rdere in easdem rationes. Quoniam enim diuidendo est
vi K F ad F B, ita L H ad id D. Sed con ponendoaestvt B F ad F QU, ita D H ad H R in xquali erit vi EF ad F Q, ita L H adHR. Sed ut E K ad K F, uta α ut AE ad ΕΚ, ita CG ad C. L. 3. Posito
26쪽
igitur ut Q ad Q B, ita HR ad R D, ponitur necessat in recta A B secta in centris E, F, Q. in eas- rasiones, in quas recta C o in centris G, H, R, si
.gimina: deinceps bina sumantur: tres autem magnituri Gel NVS, quarum centra grailitatis E F . sunt trubus xys CpiIudinibus. O, P, T. proportionalesa binae si mantur : habemus igitur theorematis positionem. Quoniam igitur erat vi K F ad F ita L H ad H R, erit
componendo ut KQ ad Q F, ita L R ad RH. sed ut F id ita ponitur H R ad R D; ut igitur K Q ad QB, ita erit LR ad RD. & componendo,& per c uersionem rationis, ut B K ad KQ, ita D L ad L Rised vi A K ad K B, ita erat C L ad L D; ex aequali igi tur erit vi AK ad K Q, ita CL ad L R. sed& ut KQ ad , ita erat L R ad R D; compo do autem & exaequasi est ut MN simul, cuius centrum. Κ, ad S, cuius centrum in ita O P simul, cuius centium L ad T, c ius centrum R; similiter ut ante ostenderemus, a centris grauitatis duarum compositarum magnitudinum MN S,&,OPT duas rectas A. C D, diuidi in easdem rationes. Quod si duarum aliarum magni;udinum ipsis ST, proportionalium centra grauitatis segmenta . B D,diuiderent in ea leni rationes.& hoc in infinitum; sep per ut prius demonstrando progrederemur, 'semper enim ad bina centra, & binas magnitudines, duas simplices, α duas compositas res redderetur. Manifestum .est ij
Omnium parabolarum diametri a centris gra- .uitatis ipsarum figurarum in easdem rationcs dividuntur. Sint
27쪽
sint duae parabolae A B C, D E F, quartim diametri B D, F H, centra autem grauitatis K L, nempe in ipsis diametris. . Dico ut B K ad K D, ita esse FL ad .LH. Si enim hoc non est: sic minor proportio ipsius B K ad K i , quam F I ad F H, ct ut B K ad K la, ita sine F N ad N id, quare punctum L, insta punctuin N,
det.' Et quoniam ' i tu omnis parabola est figura circa diametrum interam partem deficiens , in qua tres quaelibet sectiones basi parallelae aequali
diametri segmenta intercipientes ita se habent ut minor sit proportio minimae ad' mediam , quam mediae ad maximam, ut colligitur ex demonsti atione quintae ter- iij de cent. rauitasolido.vnde per xxxi .secundi eorundem, cuique parabolarum ABC, D E F, figura quaedam ci cumscribi poterit composita ex parallelograminis aequalium altitudinum, cuius centri grauitatis distantia a parabolae centro grauitatis minor sit quantacumque tot situdine proposita; esto talis figurae, E P, circumscripta parabolae E F G, cuius centrum grauitatis O, in segmentos N L cadat. nam ex eodem libro centrum in
cibae ligurae E P, supra centrum L, parabolae E F G,
28쪽
necessario cadet. Ex quot autem parallelogrammis con stat figura E P, ex totidem aequalium altitudinum parabolae ABC circumscripta figura sit AR, cuius sit centrum grauitatis M. Qioniam igitur omnium praedictorum parallelogrammorum ad diuersas parabolas perti nentium bases secant diametros in easdem rationes: sunt autem earum basium dimidiae ad diametrum ordinatim applicatae, quamobrem earum quadrata deinceps erunti rout inter se respondent, bina sumpta in eadem proportione; quadrata enim illa ex Apollonio inter se sunt, ut segmenta diametri, quae inter verticem dc applicatas interijciuntur: ipsae igitur quoque applicatae, atque adeo ipsarum duplae bases parallelogrammorum & ipsa parallelogramma aequalium altitudinum , utrobique deinceps ierunt bina in eadem proportione: sunt autem multitudine
aequalia ea, quae in figura AR, ijs, quae in figura EP,
o eorum centra diametros B D, F H, sumpto ordine averticibus B, F, diuidunt in easdem rationes; cum igiatur totius figurae A R, sit centrum grauitatis bir totius autem O P centrum grauitatis O; erit ut B M ad M D,
ita F O ad O H. Sed uisior est proportio est F O ad O H, quam F N ad N H, hoc est quam B K ad K D; maior igitur erit proportio B M ad MD, quam B K ad KD. di componendo maior proportio B D ad D M, quam B D ad DK; erit igitur D M minor, quam D Κ, & fiasurae A R, centrum grauitatis propinquius basi, quam parabolae ABC, centrum grauitatis. Quod est absurdum: non igitur minor proportio est ipsius B D ad DK,
quam F L ad L H: eadem autem rationc, nec minor erit
proportio FL ad L H, quam ΒΚ ad Κ D; hoc est non maior ipsius BK ad K D, quam FL ad L H; ut igitur BK ad K D, ita erit FL ad L H. Quod demonsua
29쪽
Omnis sgurae ex duabus semiparabolis corri politae , cuius diameter sit ad utriusque parabolae diana ctros aequales, & in directum inter se
constitutas communis Ordinatim applicata, centrum grauitatis eli punctum illud , in quo dicta diameter sic diuiditur, ur pars quae ad verticemst ad reliquam ut quinque ad tria. Sit figura A B C ex duabus semipam Iis composita,
quarum vertices A, C , diametri autem parabolarum aequales, ct indirectum inter se constitutae AD , D C. Erit igitur B D, communis ad utramque A I , D Gordinatim applicata diameter figurae ABC: quare in ea centrum grauitatis figurae. ABC, esto illud E. Dico B E ad E D, esse ut quinque ad tria . Expositoinim hemisphaerio FGH, cuius axis GK, &ineo hemisphaerii centrum grauitatis L, basis circulus circa diamet ni F KH. figurae ABC, &hemisphaerio figurae circuitiscri-hantur uni ex parallelogrammos: alteri cκ cylindris aequaaium altitudinum, & multitudine paribus, ponatur autem utraque sibi inscriptam escedere minori excessu quanta' cumque magnitudine proposita sit autem parallelogram-rnum infimum A b, & consequens O V, cuius basis o P M, ipsi A C,parallela infimus auten; cylindrus F T, & coni quens X, cuius basis circulus circa diametrum QN R, communem sectionem cum semicirculo per axem FGH, circula circa F H parali eius. Quonia igitur est ut quadratu
FK ad quadratum QD, ita A D ad O M ioc est ut quadratum i H ad quadratum ra, hoc est ut circulus circa F H
30쪽
ad circulum circa m , ita A C ad O P, Sed & cylindri,
L parallelogramma aequalium altitudinum inter se sunt ut bases:vt igitur cylindri s FT ad cylindrum QX,ita erit parallelogrammum AS ad OV parallelogrammum. Eadem ratione erunt omnes cylindri,& omnia parallelogramma bina sumpta,quae inter se ordine res mdent in eadem proportione.inoniam igitur virorumque centra grauitatis In Qiametro B & axe GK existentia diametrum &axem necessario diuidunt in easdem rationes superant autem figurae circumscriptae, figuram A B C, & hcmispha rium minori excessu quantacumque magnitudine proposita; similiter ut in antecedenti ostenderemus hemisphaeri jFGH &figurat ABC centra grauitatis E, L, diuidere ipsas BD, G Κ, in easderi rationes: quare ut G L ad ΕΚ, ita erit BCM ED, sed GL ad. L est ut quin-'. B a que