장음표시 사용
31쪽
D C, sit ut qiutique ad tria , ducatur illametro B in equidistias DE. Dico semiparaboli ABC centrudi
que ad tria per xxxiij. secundi de centi grauit. Elid. iitae igitur ABC centrum grauitatis erit E. . Quod de-
Omnis semiparabolae centrum grauitatis est in ea recta linea, quae diametro aequi distans basim ita diuidit ut pars, quae est a curuam sit ad reliquam,ut quinque ad tria. Esto semiparabola ABC, parabolae, cuius verrex diameter BC. Secta autem basi A.ita ut AD ad
32쪽
grauitatis esse in ipsa D E. Si enim in ea non est, cadet vel supra, vel insta rectam DE. cadat insta ut punctum P. Posita igitur E F ipsi BC, in directum & aequali, vertice F, circa diametrum C F, per punctum A, d stribatur parabola, cui congrua sit semiparabola AF Crδunctisque , A R. A F, sectaque AC bifariam in G, di posita A H, dupla ipsius C H, ducantur per ea puncta ipsi B F parallelae I ΚGL M, OH P, secenturque bifariam OH in puncto S, dc PH in puncto T: & posutis centris grauitatis inparabola: AI B; & R, parabolae A M F,quae in diametris I Κ, L M cadent, iungantur QS,RT. Et quoniam per praecedentem D est figurae ABF
centrum grauitatis, V autem semiparabolae A B C; recta D V producta occurret centro grauitatis reliquae semiparabolae A F C, in puncto quod sit X. recta autem V D X bifariam secetur in puncto Z. Quoniam igitur I G, parallela diametro B C secat A B bifariam in puncto Κ, erit ex conicis I Κ, diameter portionis A FB, similiter & L M, diameter portionis A M F. Qia
re ex primo decent grauitatis solidorum centra grauit
iis m , portionum AIB, A M F, erunt in ipsis I Κ, L M, ut igitur I Q ad QJ, ita M R ad R L: & componendo , & permutando vi IK ad L M, ita QK ad L R.
Sed I Κ, est aequalis ipsi L M. demptis nimirum aequalibus G Κ, GL; igitur QK, LR, aequales erunt,atque adeo tota G toti GR aequalis. Et quoniam dimia diae aequalium inter se sunt aequales ,&S H, H T aequales erunt. Rursus quoniam OH diuidit xtiumque t tus AB, AC trianguli ABC, ita ut utraque pars,quae ad verticem sit dupla reliquae: secta est autem OH bis riam in puncto S; erit trianguli AB C centrum granita tis S. similiter trianguli A C F centrum grauitatis erit Τ. Cum igitur duarum semiparabolarum AIB, A M F
tra fraustris R, erit semiparabolae ABC quod
33쪽
suod ponitur centium grauitatis V, in linea QI. Similiter in linea R T centrum grauitatis semiparabolae A F C, quod ponitur X. Rursus quoniam BF dupla est ipsius E L, minor erit O P, quam dupla ipsius Κ L: dupla autem
est O P ipsius S T ; minor igitur S T erit quam Κ L, &multo minor quam in . secat autem ipsas in , SparalleIas bifariam rectata, G H; si igitur tres rectae QS, G H, R T, ad partes C producantur, conuenient in uno puncto,&triangulum constituetur: ipsis igitur QS, RAintercepta V X nec basi QS parallela, secabitura recta G H in partes inaequales, quod fit in puncto D: eritque maius segmentum D X, quod est propinquius basi: sed recta V X ponitur secta bifariam in puncto Z, quae dua' rum semiparabolarum inter se aequalium, ex quibus coriis stat figura B AF, iungit centra grauitatis V, X; totius igitur figurae ABC, centrum frauitatis erit L extra D
34쪽
AF c , centrum grauitatis X, infra lineam D M, quare nec V, supra lineam DE cadet: sed nequε insta, in ipsa igitur DB, crit semiparabolae ABC ccntium grauitatis V. Quod demonstrandum erat.
Gmnis parabola sesquitertia est trianguli, eandem ipti basim, & eande in altitudinem ha
Sit paraboIa, & triangulum ABC, quorum commu vis vertex B, basis A C. Dico parabolam trianguli esse sesquitertiam .Ducta enim diametro B D, sectaque D C, bisariam in puncto ri fiat C F ad F D, ut quinque ad tria, & per E R ducantur diametro B D parallelae E G D, T Κ: diiungatur BNE. Esto autem portionis A H Cc uum zrauitatis L, nempe tu ut caro. G H. Et quo
gurae diametrum A C: vel cum sit aliud eluciem figit e centrum grauitatis D. Quorum utrilinque est absurdum. Non igitur semiparabolae AB centrum erauitatis v, insta lineam DE cadet. Similiter neque semiparabolae
35쪽
riam semiparabolae B C D centrum grauitatis est in ipsi FΚ, esto illud in ea I: iuncta igitur recta LI, & producta Occurret centro grauitatis trianguli BD C. esto
illud M. punctum igitur M in ipsa BE, cadet, eritque BE, tripla ipsiss: EM: & centrum M , in segmento BN: alioqui totius semiparabolae BCD, centrum gramuitatis extra ipsam K F, caderet, quod est absurdum . Quoniam igitur qualium partium est octo recta CD Iium est DE quatuor,& DF trium, talis erit E Fquadrupla igitur DE ipsius EF, hoc BE ipsius Epropter similitudinem triangulorum. sed eadem B E est ipsius E M tripla: qualium igitur partium est BE duodecim,talium erit E M quatuor, & E N trium; quadrupla igitur E M, ipsius MN, hoc est L M, ipsius MI,&per conuersionem rationis, sesquitertia L M ipsius L I. sed ut M L ad L I. ita ex contraria parte est lemipar bola B C D ad triangulum BDC; semiparabola igitur BCD sesquitertia est trianguli BD C. Similiter ostenderemus semiparabolam BAC sesquitertiam trianguli A B D. tota igitur parabola ABC totius trianguli ABC sesquitertia est. 4od demonstrandum erat. i. PRO-
36쪽
Qua libet parabolae inter se proportionem habent , eosdem ipsis 'ertices, de easdem bases habentium triangulorun . Sint duae quaelibet parabolla ABC, DEF, quarum vertices A. E, & triangula ABC, DEF. Dico parabolim AB C ad parabolam DEF esse ut triangulum ABC ad trian um DEF. Ductis enim diametris B ῖ, EH, parabolis circumscribantur parallelogramma A Κ, D L, quotum latera C Κ, F L, sint parallela diametris B G, E H. Et sectis A Κ, D L, parallelo-
37쪽
grammis in parallelogramma aequalium altitudinum,&multitudine aequalia , figurae A Z , D Y, ex parallelogrammis aequalium altitudinum circumscribantur parabolis ABC, DEF, atque ita multiplicatis parallelogrammis exsicctionibus ipsorum AK, DL, ut parabolas superent minori excessu quantacumque magnia tudine proposita. Sint autem bina infima parallelograa
ma AN, ST, & DP, VX, quorum bases C, SMQ D H F, V O R Quoniam igitur est ut G B, ad B M, ita
ΗΕ, ad Eo, propter sectiones reditarum BG, ΕΗ . cum parallelogrammis AK, DL sed ut G ad BM, ita est quadratum ex AG, ad quadratum ex SM,&vtHE, ad Eo, ita quadratum ex D H, ad quadratum ex VO, ut igitur quadratum ex A G, ad quadratum ex S M , ita erit quadratum ex D H, ad quadratum ex V O, quamli
38쪽
H AG, ad SM, ita erit D IJ,ad VO: &tium ad duplas consequent um, ut A C, ad Smita D Fad V R. Sed ut AC ad Sinita est paralles manum
AN ad parallelogrammum 91, propter aequalitatem aut udinum,&ut DF ad VR, ita est parallelogrammum D R ad V X, parallelogrammum; ut igitur parallelograminum AN ad Sa, parallelogrammum, italogrammum DP, ad V X, uertendo, ut paralellograminum S Imum AN, ita parallelogrammum V X ad parallelogrammum D P . Similiter reliqua omnia parallelogramma bina proportionalia esse ostenderemus. Componendo igitur gradatim , & ex vi tota figura A Z ad parallelograminum A N, sic
tota figura DL ad parallelograminum rad ΑΚ, ita est DP ad D L, aeque enim AN, D P, ipsa AK, DL, metiuntur parallelogramma: &vt parallelo rammum A Κ ad triangulum ABC, ita est parallel grammu D L ad triangulum DEF, dupla enim est propor- io utrobiquet ex aequali igitur ut figura AZ ad triangulum ABC ita figura D L ad triangulum D E F. Superant autem eae figura ipsas parabolas minori elicessu magnit dine proposita, quantacumque illa sit ;secundi de centro grauit. solid. erit ut parabola A B C ad triangulum ABC, ita parabola: DEF ad triangulu DEF. & permutando ut triangulum ABC ad triang Ium D EF, ita parabola A B C ad parabolam D E P. Quod demonstrandum erat.
- omnis parabula sesquitertia est triangulo eandem ipsit basim,&eandem altitudinem habentis.
39쪽
Ducta enim diametro B D. sectaque A D bifariam in puncto F, ducatur usque ad curuam ipsi B D rallela recta EFG,&comple rpa allelogrammum E GH D. Quoniam igitur est ut qua- id, ita OB ad B H; quadruplum autem est AD qu dratum quadrati D E, dupla enim est A D ipsiuς n Πquadrupla erit B D ipsius B H, dc per conuesionem ra
eli trianguli AFE propter eorum similitudinem, & d
plum latus A D lateris A E homologi , triangulari er 'Ci quadruplum erit: triangulum ergo ABC trianguli ACB octuplum: igitur per Gaec' Sularum ipsis inscriptorum A B C, A G F, parabola ABC.
40쪽
portionis A G octiapta erit. Similiterjostenderemus p rabolam ABC, portionis B Κ C, octuplam esse. aequalis igitur est portio A G B, portioni B Κ C, & parabola ABC quadrupla utriusque portionis A G B, B Κ C, simul. Igitur per conuersionem rationis parabola ABC, sesquitertia est trianguli ABC. Quod demonstrandum crat. Cum haec scripsissem operae pretium esse existimavi, addere unum axioma ijs, quae posuimus in primo libro de centro grauitates solidorum, ut illud dictuin a nobis in demonstratione propositionis xv. eiusdem libri his verbis; Erit D, centrum grauitatis totius grauis ABC, hoc est duorum A BBC simul, magis cluceat. axioma autem est eiusmodi.
Si quodlibet graue secetur in duas partes utcumque, continguas autem eas aliqua causa teneat alterius ad alteram situ non mutato, earum paritum simul centrum grauitatis esse in eodem puncto, in quo fuerat centrum grauitatis priusquam diuideretur. Hoc posito axiomate, estb graue ABC, cuius centrum grauitates D. Secto autem ABC, in duas pamtes A BBC, utcumque, sint centra grauitatis Ε, ipsius AB, & P, ipsius BC: Et partium A BBC, si tu non mitato: i eo inquam, quem ante diuisionem inter se habebant, iungat puncta EF, recta , vel libra E F, ad cuius terminos suspensa sint grauia A BB C, secundum centra grassitates EF . Quoniam igitur duarum magnitudinum A B B C, ita suspensatam tanquam unius compositae centrum grauitatis