장음표시 사용
31쪽
extractione c0mpetenter potest relinqui spatiun vacuum inter dians ordines sigurarunt, ut ibi ponatur, quod provenit addendum vel subtraliendum, ne aliquid memoriae intercidat.
Divisio est numeri per numerum duobus numeris pr0 5 positis maioris per min0rem in tot parte di Stributi 0, qu0 8unt unitates in minori. Notandum igitur, quod in divisione tres numeri sunt necessarii, scilicet numerus dividendus, et numerus dividens sive divisor, et numerus de il0uili quotien Sive nunte rus exiens Numerus autem dividendus semper debet esse 10 maior vel saltem par numero divisori, si debeat divisio fieri per
inleslrii. Si velis igitur aliquem numerum per Se es isti alii in
dividere, scribe numerum dividendum in superiori ordine persuas disserenitas, divisorem ero in inferiori ordine per suas disserentias, ita quod ultima divisoris sit sub ultima dividendi, iapenultima Sub penultima, et ita de aliis, si competenter fieri p0ssit. Sunt enim duae causae, quare ultima sub ultima collocari non poterit aut quia ultima inferioris ordinis non potest subtrahi ab ultima superioris ordinis, e quod ista est min0r inferiori, aut quia, licet ultima inferioris ordinis aliquotiens 20 possit subtrahi a sua superi0ri, reliquae tamen non possunt tollens a sibi Suprapo Sitis; ut si ultirna sit par ligustae sibi suprapositae, penultima vero sive antepenultima sit mai0r. Iutali casu 0eanda est ultima divisoris sub penullima dividendi. His itaque ordinatis incipiendum est operari ab ultima sigura 25 numeri divisoris et videndum est, quotiens illa possit subtralita figura sibi supraposita, ita quod totiens possint subtrahi reliquae a sibi suprapositis et a suo residu0, si aliquid fuerit residuum. Et 0tandum, quod non contingit pluries subtrahere quam novies, nec minus quam semel. Vis igitur, quotiens adsigurae inferioris ordinis subtrahi possint a suis superi0ribus, scribendus est numerus denotan quotiens Super positionem ex directo illius figurae, sub qua est prima figura numeri dixisoris,
32쪽
ei per illam figuram subtrahendae sunt omnes inferiores figura
a Suis superioribus. Hoc tueri facto anteriorandae sunt figura numeri divisoris per unicam disserentiam versu dextram, et ne
g0itandum est ut prius. Si autem contingat, qu0 post anteri0 5 rationem ultima seura divisoris non aliquotiens possit subtraha igura sibi suprapo filia tunc supra liguram, sub qua est primi divisoris, directe scribenda est cyla in ordine numeri denotanti qu0liens, et anteriorandae sunt figurae ut prius. Similiter faciendunt est, ubi cuinque contingit in numero dividendo, quod divi 80Is non possit subtrahi a numero dividendo ponenda est cyla in ordine numeri denotantis quotiens, et anteriorandae sunt figurae
ut prius. Nec cessali mi est a lati auteri oratione nec a tali numeri denotantis quotiens pus iti0ne, nec a ductu numeri deno-lantis qu0tiens in divisorem, nec a producti subtractione, doneci prima divisoris sit subtracta a prima dividendi. Quo facto aut aliquid erit residuum aut nichil Si aliquid residuum fuerit, reservetur exterius in tabula, et erit semper minus divisore. Si autem velis scire, quot unitates de numero dividendo conveniant cuilibet unitati numeri divisoris numerus denotanSe quotiens hoc ostendit. Cum laque acta fuerit talis divisio, et probare volueris, utrum bene seceris an n0n, multiplica numerum denotantem quotiens per divisorem, et redibunt eaedent
figurae, quas prius habuisti, si nichil uerit residuum; sed si aliquid uerit residuum, tunc cum additione illius residui redi-2 bunt eaedem figurae et ita inulti silicatio probat divisionem et e contrario, ut, si facta multipligatione dividatur productum permultiplicantem, tunc in numero denotante quotiens exibunt eaedem figurae numeri multiplicandi.
30 Progressio est numerorum secundum aequales excessus ab unitate vel a binari sumptorum aggregati0, ut univerSorum Seu diversorum numerorum summa compendio Se habeatur. Progressionum autem alia est naturalis sive continua, alia intercisa
33쪽
sive discontinua. Naturalis sive continua est, quando incipitur ab unitate, et n0n bmittitur in ascensu aliquis numerus, ut . . . . . . et sic de aliis et sic sena per timerius 8equens Superat praecedentem in unitate tantum. IItere iSa est, quando uniformiter binittitur aliquis numerus, ui . . . . . et caetera. Similiter a binari possunt incipere, ut . . . . et Sic Semper numerus Sequens superat praecedentem in duabus unitatibus. Nolandum autem, quod de progressione naturali duae dantur regulae. Prima est: Quando progressio naturalis terminatur in numerum IreIII, 10 per medietatem ipsius multiplica numerum proximum totali superiorem. Verbi gratia i 2 3. 4. Multiplica quinarium per binari uin, si bis quinque, et exil)unt legem, summa totiuSprogressionis. Γnde versus: Par paris media maiorem multiplicabis. 15S et iam dri est Quando progressi naturalis terminatur in numerum imparem, per mai0rem portionem ipsius multiplica t0talem numerum. Verbi gratia: l. 2. 3. 4. 5. Multiplicetur quinarius per ternarium, sic ter quinque, et resultabit quindenarius, Summa totius pr0gre8sionis. inde erSus 20 Impar parte sui maiori multiplicetur. De pr0gressione intercisa similiter danius duae regulae. Prima est:
Quando progreSSi intercisa terini natui in uni erum parem,
per medietatem illius multiplica numerum proximum medietati superiorem L 2. 4. 6. Multiplicetur quaternarius per ternarium, o si ter quatuor, et resultabit duodenarius, uniana totius progressionis. Unde versus Si par per medium se multiplicat sequentem. Secunda regula inlis est: Quando progressio intercisa terminatur in numerum imparem, multiplica mai0rem p 0rti0nem 30 per se ipsam Verbi gratia: l. 3. 5. Multiplicetur ternarius per se ipsum, si ier tria, et sunt novem, summa t0tius pr0gressionis. inde versus: imparibus media pars mai0 multiplicat se.
34쪽
Sequitur de radicum extracti0ne, et primo in unieris quadratis; unde videndum est, quid sit numerus quadratus, et quid sit radix numeri quadrati, et quid sit radicem extrahere. Prae-n0tanda tamen est haec divisio: Numerorum alius est linearis, alius superficialis, alius solidus. Numerus linearis est, qui consideratur tantum penes processum, non habito respectu adductionem unaeri in ulnerimn se dicitur litientis illi in ullis unal tantum habet numerum, sicut linea tantum unicam habet dimensionem, scilicet longitudinem. Numerus superficialis est, qui provenit ex ductu numeri in numerum ei dicitur superscialis, quoniam du0s habet numeros dimetientes sive mensuranies
ipsum, sicut superficies duas habet dimensiones, scilicet longii iudinem et latitudinem. Sed sciendum, qu0d dupliciter potest
numerus duci in numerum aut enim semel aut bis igitur numerus semel ducatur in numerum, hoc est aut in se ipsum aut in alium. Si in se ipsum, fit numerus quadratus et dicitur quadratus, quia dixi Si in scriptus per unitates liabebit quatuor 20 latera aequalia ad modum quadrali. ducatur in alium, sit numerus superficialis et non quadratus, ut binarius ductus in
quadratum nde patet, quod innis numerus quadratus est superscialis, et n0 convertitur. Radix autem numeri quadrati 25 est ille numerus, qui ita ducitur in se, ut efficiatur ille numerus quadratusὶ, ut bis duo sunt quatuor. uuaternariu igitur est primus numerus quadratus, et eius radix est binarius Si autem numerus bis ducatur in numerum, constituet numerum solidum; et dicitim solidus, quoniam, sicut Solidum corpus tres habet 30 dimensiqnes, scilice longitudinem, latitudinem et spissitudinem, ita numerus si habet ires numeros producentes in se. Sed numerus potest duplieiter bis duci in nunu rum quia mi in seipsum, aut in alium. Si igitur numerus ducatur bis in se ipsum
35쪽
aut semel in suum quadratum, quod idem valet, sit numerus cubicus et dicitur cubicus ob hoc nomine cubus, quod est
solidum. Si autem cubu quoddam corpu8 ex haben Superficies, ut laxillus, octo angulos et duodecim latera. Si vero aliquis numerus bis ducatur in alium sit numerus solidus et non culticus, ut bis tria bis constitutini duodecim. nde patet, quod omnis numerus cubicus S 80lidus, et non convertitur. Ex praedictis etiam patet, quod idem numerus est radix numeri quadrati et cubici, non tamen idem quadratus et cubicus. Patet eli iun, quod omni numerus p0test e88 10 radix quadrati et cubici, sed non omnis quadratus vel cubicus. Cum igitur ex ductu unitatis in se semel vel bis nichil pr0- veniat nisi unitas, dicit B Tic in uri8iuetrica sua, quod unitas potentialiter est mnis numerus, non tamen actu. Notandumeliam, quod inter qu0slibet duos quadratos proximos est unicum is medium proportionale, quod provenit ex ductione radicis unius quadrati in radicem alterius. Inter duos cubicos quoslibet proximos est duplex medium pr0portionale, scilicet minus
ni ediunt et maius Minus Duli nni provenit ex ductu radidis
maioris cubici in quadratum minoris maius medium est, Si 20 ducatur radix minoris cubici in quadratum maioris. Cum igituruit a summam numerorum solidorum in arte praesenti non stat
proce SSuS, tantum n0vem limite numerorum distinguuntur. Stenim limes numerorum eiusdem naturae extremis contentorum terminis continua ordinatio, unde primus limes est novem digi 25 torum c0ntinua pr0gres8io Secundus vero novem articulorum principalium tertius centenariorum; quartus millenariorum.
Tres limites etiam resultant in compositis per digitorum appositione in Sulier i urin numque trium praedict0runa, et si alter
alteri praeponatur. Sed per sinalis termini replicationem supra os semel per modum quadratorum aut bis per modum solidorum quocumque ali praecedente resultat penultimus limes et ultimus
36쪽
Radicem numeri quadrati extrahere est proposito aliquo numero radicem eius luadratam invenire, Si muneru quadratus fuerit propositus; si vero non sit quadratus, radicem maximi quadrati sub numero proposito contenti invenire. Si velis igitur
radice iii alicuius uini eri quadrati exuahere scribe numerum illum per suas disserentias, et computa numeruIn figurarum,
utrum sit par vel impar Si par, incipiendum est operari sub penultima, si impar, ab ultima et ut breviter dicatur semper abi impari ultima incipiendum est. Sub ultima igitur sigura in impari loco posita inveniendus est quidam digitus, qui ductus in se deleat totum sibi suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinius potest Tali aute ut digit in ento, et ducto in se, ei superiori subtracto duplandus est ille digitus, et duplatumi ponendum est sub proxima figura anteriori versus dextram et eius subduplum Sub illo. Uuo facto inveniendus est quidam digitus sub proxima sigura ante duplatum, qui ductus in duplatum deleat tolum supra p0silum respectu duplati, deinde ductusili se deleat totum Supia positum respeclli sui vel in luantum
20 vicinius potest. Vel potest ita subtrahi digitus ultim inventus, ut ducatur in duplatum vel duplata et postea in semet ipsum, deinde autem duo producta simul addantur, ita quod prima figura uinu pr0ducti p0natur ante primam primi pr0duoli et secunda addatur primae et ita deinceps, et ita simul subtra-25 hatur a toto numero respectu digiti inventi, et idem est, ac Sissat divisio. Si auteni contingat, quod n0n 08Si aliqui digilus inveniri post anteriorationem, tunc ponenda est cyli a sub tertia figura anteriori se sub illa cysia etiam cytra anteriorandum est primum duplatum cum suo subduplo. Nec cessandum esta a tali digiti inventione, nec a digiti inventi duplati0ue, nec a duplatorum anteri0ratione, nec a subdupli sub duplo p0silione, donec sub prima figura inventus luerit ili sidam digitu8, qui ductus in milia duplata deleat totum suprapositum respectu
37쪽
duplatorum, deinde ductus in se deleat totum suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinius potest. Quo facto aui aliquid erit esiduunt aut lichil Si nicthil, 0n Stat, quod numerus pr0p0situs fuerit quadratus, et eius radix est digitus ultimo inventus cum subduplo vel subduplis, ita quod praeponatur. Si vero uerit aliquid residuun , constat, quod numerus propositus non fuerit quadratus, sed digitus ultimo inventus cum subduplo vel subduplis tunc est radix maximi quadrati sub
sederis an non multiplica digitum ultinio inventum cum sub 10 duplo vel subduplis per eundem digitum cum subduplo vel subduplis, et redibunt eaedem gurae quas prius habuisti si nichil fuerit residuum; sed i aliquid uerit residuuua, tunc eum additione illius residui redibunt eaedem figurae, quae prius
Sequitur de radicum extrae ione in numeris cubicis unde
videnduin est, quid Sit nuria erit S tibicus, et quae sit eius radix,
ut quid sit radicem cubicam extrahere. Est igitur numerus 20 cubicus, sicut patet ex praedictis, qui provenit ex ductu alicuius numeri in bis vel semel in suum quadrasum. Radix autem nuntiesri cubici est ille numerus, qui ita bis ducitur in se vel semel in suum quadratum. Unde palei, quod numerus cubicus et quadratus eandem habent radicem, sicut dictum est superius. 5Radice in utein cubicam extrahere est numeri pr0 positi radicem cubicam invenire, si numerus propositus sit cubicus si vero non sit cubicus, tunc radicem cubicam extrahere est maximi cubici sub numero pr0p0Sit c0ntenti radicem cubicain ili venire. Pr0p0sit igitur aliquo numero, cuius radicem velis extrahere 30 cubicam, primo c0mputandae sunt figurae per quartas, sive per locos millenariorum, et sub loco uitiini illi Enarii in v lii eluius es quidam digitus, qui ductus in se cubice deleat t0tum suprapositum respectu sui, vel quantum vicinius p0lest. Quo facis
38쪽
triplandus est ille digitiis, et triplatum p0nendum est sub proxima figura tertia versus dextram et subtriplum sub triplo Deinde trivertiendus est quidam digilias sub proxima gura. ante triplatum, qui cum Subtriplo ducus in triplatum, postea sine sub triplo ductus in productum deleat lotum suprapositum respectu triplati, deinde ductus in se cubice deleat totum suprapositum respecti sui, vel in quantum vicinius potest. Ilo autem facto triplandus est ille digitus iterum, et iterum triplatum p0uendum est sub proxima figura tertia ut prius et eius subtriplumi sub eo. Postea anteriorandum S primuin tri I latum cum Suo
subtriplo per duas diiserentias. Deinde inveniendus est quidam digitus sub proxima figura aut triplatum, qui cum subtriplis
illic uis in trilii:ila et postea sine subtriplis ductu in productum
deleat t0tum suprapositum respectu triplatorum, deinde ductus 1 in se cubice deleat linium suprapositum respectu sui, vel in quantum vicinius potest. ec cessandum est a talis digiti inventi0ne, nec a digiti inventi triplau0ne, nec a trilitat 0rum anterioratione per duas disserentias, nec a subtripli sub triplo positione, nec a tali multiplicati0ne nec a tali subtractione,
20 donec perventum it ad primari liguram, ut qua inveniendus
es quidam digitus, qui cum subtriplis ductus in triplata, deinde sine subtriplis ductus in productum deleat totum suprapositum
respectu reptat 3 un. ii iiii te luetus in se cubice deleat totiun
respectu sui, vel in quantum vicinius p0lest. N0tandum etiana, et quod pr0ducium proveniens ex ductu digiti inventi cum subtriplo vel subtriplis in triplatum et postea sine subtriplo vel subtriplis in productum, et iterum productum, quos Ino enite ductu digiti invenit in se cubice possunt addi et simul subtrahi a totali numero supraposito respectu digiti inventi, et idema est, ac si fiat divisio. Hoc autem lacto aut erit aliquid residuum, aut nichil Si nichil , 0nstat, quod numerus pr0positus fuerit cubicus, ei eius radix est digitus ultim inventus praepositus cum Subtriplo vel subtriplis. uuae radix si ducatur in se et postea in productum, erunt gurae eaedem, quae prius ueri t.
39쪽
Si autem aliquid fuerit residuum reservetur illini exterius in tabula, et constat, quod numeria ille non uerit cubicus, Sed
digitus ultimo invenius cum subtriplo vel subtriplis est radix maximi cubici sub numer pr0posito contenti; luae radix si ducatur in se et p0stea in productum, emerget ille cubicus maximus sub numero proposit contentus, et si illi cubico addatur residuum reservatum in tabulis, erunt eaedem figurae, quae prius fueruiit Si aute in aliquis digitus post anteriorationem inveniri non possit, ponatur 'sta sub quarta figura versus dextram et sub illa 'sin elium cyla', et anteriorandae sunt i 0 ligurae ut prius. Notandum etiam , quod . Si in numero proposito non est aliqui l0cus millenarii, incipiendum est perari sub prima sigura. In hac autem radice extrahenda solent quidam distinguere numerum propositum per ternari08, et incipere operari sui, prima sigura ultinii ternarii sive completi ix in iocompleti. Qui modus operandi idem est cum praedicto. Et haec de radicum extracti0ne dicta sumiciant iam in numeris quadrati quam in cubicis.
40쪽
hoc tractatu deierminatur de arte numerandi sive de numero practico, ii quo auctor sic pr0cedit. Prim enim in praemittendo probemium aperit intentionem rerum dicendarum in hoc tractatu secundo de intent pr0sequitur ibi Est enim numeratio. In pr0hemio quatu0 causae tanguntur per ordinemi huius operis. Primo tangitur causa finalis, secundo efficiens, tertio materialis, quarto formalis. Et est iste ordo congruus
vel conamuIii S. Finis enim iis vel euicie illelii eniciens dispunit materiam ad introducti0nem 10rmae Causam autem inalem
tangit, cum dicit: mnio, quae a primum etc' causam emi cientem tangit, cum dicit Hanc aciem sesentiam numerandi compendiomm et causam laterialem tangit, cum dicit: Numerus quidem dupliciter noti icu tur; et causam formalem, eum dicit Huius autem urtis nonem sunt speries causa autem linali liuius artis est persecta cognitio innium, quia Sicut 2 probat auct0r, ars numerandi est ο0perativa in universa rerum cognitione. Quo ostenso satis erit accidens de fine huius artis. Ad probari luin autem istud accipit quandaui probationem aB mo in urismetrio sua. Didii igitur: Omniu, quo a primum ιrerem origine processerunt, formula sunt ratione numerorum
2 vult dicere quod omni et processerilli in esse sub aliquo nunt ero, quia unum sub rati0ne unitatis, duo sub ratione binarii seu